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苏教版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示背景图课件ppt
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这是一份苏教版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示背景图课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了习题11等内容，欢迎下载使用。
1. 1集合的概念与表示
在初中的数学学习中，我们曾做过下面的作业：
这里有“正数集合”“负数集合”“整数集合”“分数集合”，那么，
● 什么是集合?● 如何用数学语言表示集合?
康托尔(G.Cantr，1845—1918)，德 国 数学家、集合论创始人，他在 1874 年发表了关于集合论的论文.
一定范围内某些 ________、_______ 对象的全体组成一个集合.
常用大写拉丁字母表示，如集合 ______、集合______等.
集合中的 __________ 称为该集合的元素，简称元.
常用小写的拉丁字母a，b，c，···表示.
“中国的直辖市”组成一个集合，该集合的元素就是北京、天津上海和重庆这 4 个城市. “yung 中的字母”组成一个集合，该集合的元素就是 y，，u，n，g 这5个字母. “bk 中的字母”也组成一个集合，该集合的元素就是 b，，k 这3个字母. “1~10 以内的所有质数”组成一个集合，该集合的元素就是 2，3，5，7这4个数.
(1) 集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、 代数式吗?
提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.
(2) 根据集合的定义思考：集合中的元素具有哪些特性?
提示：确定性、互异性和无序性.
二、常见的数集及表示符号
特别地，全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作 N；全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作 N*或N＋；全体整数组成的集合，叫作整数集，记作 Z；全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作 Q；全体实数组成的集合，叫作实数集，记作 R.
N 与 N＋ (或N*) 有何区别?
提示：N＋ (或N*) 是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋ (或N*) 多一个元素0.
元素与集合之间有第三种关系吗?
提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有 “a∈A”与“a∉A”这两种结果.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 在一个集合中可以找到两个相同的元素. ( ) (2) 高中数学新教材苏教版第一册课本上的所有难题能组成集合. ( )
集合中的元素是互不相同的.
“难题”没有严格的标准，所以不能构成集合.
(3) 由方程 x2－4＝0和 x－2＝0的根组成的集合中有 3个元素.( )
由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合有2个元素.
2. 下列关系中，正确的个数为 ( ). A. 1 B. 2C. 3 D. 4
3. 已知集合 A 含有三个元素0，1，x－2，则实数 x 不能 取的值是________.
【解析】根据集合中元素的互异性可知：x－2≠0 且 x－2≠1，所以实数 x 不能取的值是 2，3.
1. 已知 2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是 ( ) A. a可取全体实数 B. a可取除去0以外的所有实数 C. a可取除去3以外的所有实数 D. a可取除去0和3以外的所有实数
解析：因为2a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a.所以a(a－3)≠0.所以a≠0且a≠3.
2. 若以方程 x2－5x＋6＝0和方程 x2－x－2＝0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
解析：方程 x2－5x＋6＝0 的解为2和3，方程 x2－x－2＝0的解为－1和2，所以集合M是由－1，2，3这三个元素组成的集合.
3. 英文短语“pen the dr t...”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是( ) A.7 B.8 C.9 D.10
解析：根据集合中元素的互异性可知，“pen the dr t...”中的不同字母共有“，p，e，n，t，h，d，r”8个，故该集合的元素个数为 8.
5. 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1) 求实数x应满足的条件.
解：由集合中元素的互异性可知，x≠3，且 x≠x2－2x，x2－2x≠3. 解之得 x≠－1且 x≠0，且 x≠3.
(2) 若－2∈A，求实数x.
解：因为－2∈A，所以 x＝－2 或 x2－2x＝－2. 由于 x2－2x＝ (x－1)2－1≥－1， 所以 x＝－2.
已知集合A含有两个元素 a－3 和 2a－1，(1) 若－ 3∈A，试求实数a的值.
解：因为－3∈A，所以 a－3＝－3或2a－1＝－3. 若a－3＝－3，则a＝0. 此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意. 若 2a－1＝－3，则a＝－1. 此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(2) 若a∈A，试求实数a的值.
解：因为a∈A，所以 a－3＝a或 2a－1＝a. 当 a－3＝a 时，有－3＝0，不成立. 当2a－1＝a时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意. 综上知 a＝1.
1. 列举法 (1) 方法：将集合的元素_________出来，并置于花括 号_________内. 例如{北京，天津，上海，重庆}，{y，，u，n，g}. (2) 注意事项：①元素之间要用_______分隔； ②列举时与元素的_______无关.
一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗?
提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.例如：{a，b}与 {b，a} 表示同一个集合.
2. 描述法 (1) 形式：{ x∣p(x)}，其中x为集合的代表元素，p(x) 指元素 x 具有的性质. (2) 本质：它是集合符号语言的具体体现，可将集 合中元素的规律与性质清楚地表示出来.
如：{ x∣x 为中国的直辖市，{ x∣x 为 yung 中的字母}， { x∣ x＜－3，x ∈ R}.
{ (x，y) ∣y＝x2＋2}能否写为{ x∣y＝x2＋2} 或{ y∣y＝x2＋2}呢?
提示：不能，(x，y) 表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.
3. Venn图法 (1) 形式：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合. (2) 作用：直观地表示集合.
文恩 ( J . Venn，1834-1923)，英国数学家。
例如，由方程 x2－1＝0 所有的实数解组成的集合，可以表示为下列形式.
(1) 列举法：{－1，1}(也可以是{1，－1})；
一个集合可以用不同的方法表示.
(2) 描述法：{ x∣x2－1＝0， x∈R} (也可以是 { x∣x为方程 x2－1＝0 的实数解}).
4. 集合相等 (1) 定义：如果两个集合所含的元素完全相同，那么 称这两个集合相等. (2) 本质：A与B相等，即A中的元素都是B的元素， B中的元素也都是A的元素.
例如，{北京，天津，上海，重庆} ＝{上海，北京，天津，重庆}.
用列举法表示下列集合：
(1) 大于1且小于 13 的所有偶数组成的集合；
解：设大于1且小于 13 的所有偶数组成的集合为 A， 那么A＝ {2，4，6，8，10，12}.
(2) 由1～15 以内的所有质数组成的集合.
解：设由 1～15 以内的所有质数组成的集合为 B， 那么 B ＝ {2，3，5，7，11，13}.
用描述法表示下列集合：
(1) 大于1的所有偶数组成的集合；
解： 设大于1的偶数为 x，并且满足条件 x＞1，x＝2k，k∈N， 因此，这个集合表示为 A＝{ x∣x＞1，x＝2k，k∈N}.
(2) 不等式 2x－3＞5 的解集.
解：由 2x－3＞5可得x＞4，故不等式2x－3＞5的解集 为 { x∣x＞4，x∈R }.
例1中的集合的元素都有有限个，例2中的集合的元素都有无限个.
(1) 含有__________元素的集合称为有限集；(2) 含有__________元素的集合称为无限集；(3) _______________的集合称为空集，记作⌀.
1. 辨析记忆 (对的打“✔”，错的打“✘”).
(1) 由 1，1，2，3 组成的集合可用列举法表示为 {1，1， 2，3}. ( )(2) 集合{(1，2)}中的元素是1和2.( )
由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1 ，2，3 }.
集合{(1，2)}中的元素是(1，2) .
(3) 集合{ x∣x2＝1}与集合{－1，1}相等.( )(4) 集合{ x∣x＞3} 与集合{ t∣t ＞3}相等. ( )
由 x2＝1求得 x＝－1或x＝1，所以{ x∣x2＝1}与{－1，1}相等.
虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的实数，两个集合相等.
2. 给出下列集合， (1) {0}，(2) { x∣x ＞7，且 x＜1}，(3){ x∣x＞4}， (4) { x∣x2－2＝0，x∈Z}. 其中空集的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
3. 由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示 为_________________________，用描述法表示为 _______________________________.
{0，1，2，3，4}
{ x ∣ － 1 ＜ x ＜ 5，x∈N}
1. 已知集合 A＝ { x∣－1≤x＜4，x∈Z}，则集合A中元素的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
解析：因为－1≤x＜4，x∈Z，所以 x＝－1，0，1，2，3，所以集合A＝ {－1，0，1，2，3}共有5个元素.
2. 集合{(x，y) ∣y＝2x－1}表示( )A.方程 y＝2x－1 B. 点(x，y)C. 平面直角坐标系中的点组成的集合D. 函数 y＝2x－1图象上的点组成的集合
解析：集合{(x，y) ∣y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，满足的关系式为 y＝2x－1，因此集合表示的是函数 y＝2x－1图象上的点组成的集合.
5. 设 x，y 为实数，已知 A＝ {x，y}，B＝ {0，x2}，且 A＝B，求 x，y 的值.
解 ：因为集合A，B相等，则 x＝0或 y＝0. (1)当 x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互 异性，故舍去. (2) 当 y＝0时，x＝x2，解得x＝0 或 x ＝ 1. 由(1)知 x＝0 应舍去. 综上知：x＝1，y＝0.
练 习
1. 用“∈”或“∉”填空：
2. 用列举法表示下列集合 ：
(1) { x∣ x ＋ 1 ＝ 0}；
解： x＋1＝0 x ＝－1. ∴{ x ∣ x＋1＝ 0} ＝{－ 1} 综上所述，结论是：{－ 1}；
(2) { x∣ x 为15的正约数 }；
解：15＝1×15＝3×5. ∴{ x∣x 为15的正约数} ＝{1，3，5，15} 综上所述，结论是：{1，3，5，15};
(3) { x∣ x为不大于10 的正偶数}.
解：不大于10 的正偶数是：2，4，6，8，10 ∴ { x∣x 为不大于10的正偶数} ＝{2，4，6，8，10} 综上所述，结论是：{2，4，6，8，10}.
3. 用描述法表示下列集合：
解：奇数的集合＝ {n＝2k－1∣k∈Z}；
解：正偶数的集合＝{z＝2k∣ k∈N*}；
(3) 不等式 x2＋1≤0 的解集.
解：∀x ∈ R，x2≥0， ∴ x2＋1≥1， ∴ 不等式 x2＋1 ＜ 0的解集为 ∅ ＝ { x ∣ x2＋1≤0}.
4. 用适当的方法表示下列集合：
(1) 方程 x2＋2x－15＝0 的根的集合；
解：因为方程 x2＋2x－15＝0的根为 x＝－5 或 x＝3， 所以方程 x2＋2x－15＝0 的根的集合为： {－5，3}.
(2) 不等式 4x－3＜5的解集.
解：不等式 4x－3＜5 的解集为{ x∣x＜2}.
5. 用列举法表示下列集合：
(1) { a∣0 ≤ a ＜ 6，a∈N }；
解：∵0≤a＜6 且 a∈N， ∴a ＝ 0，1，2，3，4，5. ∴用列举法表示为{0，1，2，3，4，5}
(2) “mathematics 中的字母”组成的集合；
(3) 汉字“永”的笔画组成的集合.
解：∵ mathematics中出现的字母有 a，c，e，h，i， m，s，t，重复出现的字母只记一次， ∴ 用列举法表示为{a，c，e，h，i，m，s，t}；
解：永字的笔画为“、，?，フ， 丿，㇏”， ∴用列举法表示为{、，?，フ， 丿，㇏”}.
2. 用列举法表示下列集合：
(1) { x | x2 ＋ 3x － 18 ＝ 0，x ∈ R)}；
(2) { x | x 为不超过 5 的自然数}；
(3) { x | － 3 ＜ 2x－1 ≤3，x ∈ Z}；
(4) { (x，y) | 0 ≤ x ≤ 2， 0 ≤ y ≤ 2，x，y ∈ Z}；
{0，1，2，3，4，5}
{ (0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)}
(1) 不等式 3x ＋ 2 ＞ 5 的解集；
(2) 平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；
(3) 二次函数 y ＝ x2－2x＋3 图象上的点组成的集合.
{x∣3x＋2＞5} 即{ x∣x ＞1}；
{(x，y) ∣x＜0，y＞0}；
{ (x，y) ∣y＝x2－2x＋3，x∈R).
4. 用“∈”或“∉”填空：
(1) 若 A＝ { x∣ x2－x＝0}，则 1_____A，－1_____A；
(2) 若 B ＝ { x∣1 ≤ x ≤ 5，x∈N}，则 1______B， 1.5_____B；
(3) 若 C ＝ { x∣－1＜ x ＜ 3，x∈Z}，则 0.2_____C， 3_____C；
5. 设 a，b 为实数，已知 M＝ {1，2}，N＝{a，b}，且 M＝N，求 a，b 的值.
6. 已知 A＝ {x∣x＝3k＋1，k∈Z，问：－1，5，7 三个 数中，哪此数是 A 的元素?
7. (写作题) 我们使用符号“e”表短语“是……的元素” (is an element f). 符号“3∈A”表示“3 是集合 A 的 元素”如果“3 不是集合 A 的元素”，那么写成“3 ∉ A”虽然“e”看起来有点像字母“e”，但这两个 符号并不相同，不应混淆.
请查阅有关资料，寻找最先引入符号“∈”的数学家，以及符号“∈”的原始意义等信息，写一篇关于符号“∈”的短文.
“∈”表示一个元素属于某一集合的记号，是意大利数学学家皮亚诺 (Pean) 在1889年的数学著作中首先使用的.在数系理论研究方面，皮亚诺作出了重大贡献，
在1889年出版的《算术原理新办法》一书中，皮亚诺提出“皮亚诺自然数公理”举世闻名，在书中他还对许多逻辑符号进行了创新.在1891年创建了《数学杂志》，皮亚诺在这个杂志上利用数理逻辑符号写下自然数公理，并对它们的独立性进行了证明皮亚诺于1893年发表《无穷小分析教程》，该书被德国的数学百科全书列在“自L.欧拉(Euler)和A.L，
柯西(GAUCHY)时代以来最重要的19本微积分教科书”之中.皮亚诺撰写的《数学百科全书》中有很多地方引人注目，例如推广微分中值定理;多变量函数一致连续性的判定定理；隐函数存在定理以及其可微性定理的证明；部分可微但整体不可微的函数的例子；当时流行的极小理论的反例等.
1. 1集合的概念与表示
在初中的数学学习中，我们曾做过下面的作业：
这里有“正数集合”“负数集合”“整数集合”“分数集合”，那么，
● 什么是集合?● 如何用数学语言表示集合?
康托尔(G.Cantr，1845—1918)，德 国 数学家、集合论创始人，他在 1874 年发表了关于集合论的论文.
一定范围内某些 ________、_______ 对象的全体组成一个集合.
常用大写拉丁字母表示，如集合 ______、集合______等.
集合中的 __________ 称为该集合的元素，简称元.
常用小写的拉丁字母a，b，c，···表示.
“中国的直辖市”组成一个集合，该集合的元素就是北京、天津上海和重庆这 4 个城市. “yung 中的字母”组成一个集合，该集合的元素就是 y，，u，n，g 这5个字母. “bk 中的字母”也组成一个集合，该集合的元素就是 b，，k 这3个字母. “1~10 以内的所有质数”组成一个集合，该集合的元素就是 2，3，5，7这4个数.
(1) 集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、 代数式吗?
提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.
(2) 根据集合的定义思考：集合中的元素具有哪些特性?
提示：确定性、互异性和无序性.
二、常见的数集及表示符号
特别地，全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作 N；全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作 N*或N＋；全体整数组成的集合，叫作整数集，记作 Z；全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作 Q；全体实数组成的集合，叫作实数集，记作 R.
N 与 N＋ (或N*) 有何区别?
提示：N＋ (或N*) 是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋ (或N*) 多一个元素0.
元素与集合之间有第三种关系吗?
提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有 “a∈A”与“a∉A”这两种结果.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 在一个集合中可以找到两个相同的元素. ( ) (2) 高中数学新教材苏教版第一册课本上的所有难题能组成集合. ( )
集合中的元素是互不相同的.
“难题”没有严格的标准，所以不能构成集合.
(3) 由方程 x2－4＝0和 x－2＝0的根组成的集合中有 3个元素.( )
由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合有2个元素.
2. 下列关系中，正确的个数为 ( ). A. 1 B. 2C. 3 D. 4
3. 已知集合 A 含有三个元素0，1，x－2，则实数 x 不能 取的值是________.
【解析】根据集合中元素的互异性可知：x－2≠0 且 x－2≠1，所以实数 x 不能取的值是 2，3.
1. 已知 2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是 ( ) A. a可取全体实数 B. a可取除去0以外的所有实数 C. a可取除去3以外的所有实数 D. a可取除去0和3以外的所有实数
解析：因为2a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a.所以a(a－3)≠0.所以a≠0且a≠3.
2. 若以方程 x2－5x＋6＝0和方程 x2－x－2＝0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
解析：方程 x2－5x＋6＝0 的解为2和3，方程 x2－x－2＝0的解为－1和2，所以集合M是由－1，2，3这三个元素组成的集合.
3. 英文短语“pen the dr t...”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是( ) A.7 B.8 C.9 D.10
解析：根据集合中元素的互异性可知，“pen the dr t...”中的不同字母共有“，p，e，n，t，h，d，r”8个，故该集合的元素个数为 8.
5. 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1) 求实数x应满足的条件.
解：由集合中元素的互异性可知，x≠3，且 x≠x2－2x，x2－2x≠3. 解之得 x≠－1且 x≠0，且 x≠3.
(2) 若－2∈A，求实数x.
解：因为－2∈A，所以 x＝－2 或 x2－2x＝－2. 由于 x2－2x＝ (x－1)2－1≥－1， 所以 x＝－2.
已知集合A含有两个元素 a－3 和 2a－1，(1) 若－ 3∈A，试求实数a的值.
解：因为－3∈A，所以 a－3＝－3或2a－1＝－3. 若a－3＝－3，则a＝0. 此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意. 若 2a－1＝－3，则a＝－1. 此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(2) 若a∈A，试求实数a的值.
解：因为a∈A，所以 a－3＝a或 2a－1＝a. 当 a－3＝a 时，有－3＝0，不成立. 当2a－1＝a时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意. 综上知 a＝1.
1. 列举法 (1) 方法：将集合的元素_________出来，并置于花括 号_________内. 例如{北京，天津，上海，重庆}，{y，，u，n，g}. (2) 注意事项：①元素之间要用_______分隔； ②列举时与元素的_______无关.
一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗?
提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.例如：{a，b}与 {b，a} 表示同一个集合.
2. 描述法 (1) 形式：{ x∣p(x)}，其中x为集合的代表元素，p(x) 指元素 x 具有的性质. (2) 本质：它是集合符号语言的具体体现，可将集 合中元素的规律与性质清楚地表示出来.
如：{ x∣x 为中国的直辖市，{ x∣x 为 yung 中的字母}， { x∣ x＜－3，x ∈ R}.
{ (x，y) ∣y＝x2＋2}能否写为{ x∣y＝x2＋2} 或{ y∣y＝x2＋2}呢?
提示：不能，(x，y) 表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.
3. Venn图法 (1) 形式：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合. (2) 作用：直观地表示集合.
文恩 ( J . Venn，1834-1923)，英国数学家。
例如，由方程 x2－1＝0 所有的实数解组成的集合，可以表示为下列形式.
(1) 列举法：{－1，1}(也可以是{1，－1})；
一个集合可以用不同的方法表示.
(2) 描述法：{ x∣x2－1＝0， x∈R} (也可以是 { x∣x为方程 x2－1＝0 的实数解}).
4. 集合相等 (1) 定义：如果两个集合所含的元素完全相同，那么 称这两个集合相等. (2) 本质：A与B相等，即A中的元素都是B的元素， B中的元素也都是A的元素.
例如，{北京，天津，上海，重庆} ＝{上海，北京，天津，重庆}.
用列举法表示下列集合：
(1) 大于1且小于 13 的所有偶数组成的集合；
解：设大于1且小于 13 的所有偶数组成的集合为 A， 那么A＝ {2，4，6，8，10，12}.
(2) 由1～15 以内的所有质数组成的集合.
解：设由 1～15 以内的所有质数组成的集合为 B， 那么 B ＝ {2，3，5，7，11，13}.
用描述法表示下列集合：
(1) 大于1的所有偶数组成的集合；
解： 设大于1的偶数为 x，并且满足条件 x＞1，x＝2k，k∈N， 因此，这个集合表示为 A＝{ x∣x＞1，x＝2k，k∈N}.
(2) 不等式 2x－3＞5 的解集.
解：由 2x－3＞5可得x＞4，故不等式2x－3＞5的解集 为 { x∣x＞4，x∈R }.
例1中的集合的元素都有有限个，例2中的集合的元素都有无限个.
(1) 含有__________元素的集合称为有限集；(2) 含有__________元素的集合称为无限集；(3) _______________的集合称为空集，记作⌀.
1. 辨析记忆 (对的打“✔”，错的打“✘”).
(1) 由 1，1，2，3 组成的集合可用列举法表示为 {1，1， 2，3}. ( )(2) 集合{(1，2)}中的元素是1和2.( )
由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1 ，2，3 }.
集合{(1，2)}中的元素是(1，2) .
(3) 集合{ x∣x2＝1}与集合{－1，1}相等.( )(4) 集合{ x∣x＞3} 与集合{ t∣t ＞3}相等. ( )
由 x2＝1求得 x＝－1或x＝1，所以{ x∣x2＝1}与{－1，1}相等.
虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的实数，两个集合相等.
2. 给出下列集合， (1) {0}，(2) { x∣x ＞7，且 x＜1}，(3){ x∣x＞4}， (4) { x∣x2－2＝0，x∈Z}. 其中空集的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
3. 由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示 为_________________________，用描述法表示为 _______________________________.
{0，1，2，3，4}
{ x ∣ － 1 ＜ x ＜ 5，x∈N}
1. 已知集合 A＝ { x∣－1≤x＜4，x∈Z}，则集合A中元素的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
解析：因为－1≤x＜4，x∈Z，所以 x＝－1，0，1，2，3，所以集合A＝ {－1，0，1，2，3}共有5个元素.
2. 集合{(x，y) ∣y＝2x－1}表示( )A.方程 y＝2x－1 B. 点(x，y)C. 平面直角坐标系中的点组成的集合D. 函数 y＝2x－1图象上的点组成的集合
解析：集合{(x，y) ∣y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，满足的关系式为 y＝2x－1，因此集合表示的是函数 y＝2x－1图象上的点组成的集合.
5. 设 x，y 为实数，已知 A＝ {x，y}，B＝ {0，x2}，且 A＝B，求 x，y 的值.
解 ：因为集合A，B相等，则 x＝0或 y＝0. (1)当 x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互 异性，故舍去. (2) 当 y＝0时，x＝x2，解得x＝0 或 x ＝ 1. 由(1)知 x＝0 应舍去. 综上知：x＝1，y＝0.
练 习
1. 用“∈”或“∉”填空：
2. 用列举法表示下列集合 ：
(1) { x∣ x ＋ 1 ＝ 0}；
解： x＋1＝0 x ＝－1. ∴{ x ∣ x＋1＝ 0} ＝{－ 1} 综上所述，结论是：{－ 1}；
(2) { x∣ x 为15的正约数 }；
解：15＝1×15＝3×5. ∴{ x∣x 为15的正约数} ＝{1，3，5，15} 综上所述，结论是：{1，3，5，15};
(3) { x∣ x为不大于10 的正偶数}.
解：不大于10 的正偶数是：2，4，6，8，10 ∴ { x∣x 为不大于10的正偶数} ＝{2，4，6，8，10} 综上所述，结论是：{2，4，6，8，10}.
3. 用描述法表示下列集合：
解：奇数的集合＝ {n＝2k－1∣k∈Z}；
解：正偶数的集合＝{z＝2k∣ k∈N*}；
(3) 不等式 x2＋1≤0 的解集.
解：∀x ∈ R，x2≥0， ∴ x2＋1≥1， ∴ 不等式 x2＋1 ＜ 0的解集为 ∅ ＝ { x ∣ x2＋1≤0}.
4. 用适当的方法表示下列集合：
(1) 方程 x2＋2x－15＝0 的根的集合；
解：因为方程 x2＋2x－15＝0的根为 x＝－5 或 x＝3， 所以方程 x2＋2x－15＝0 的根的集合为： {－5，3}.
(2) 不等式 4x－3＜5的解集.
解：不等式 4x－3＜5 的解集为{ x∣x＜2}.
5. 用列举法表示下列集合：
(1) { a∣0 ≤ a ＜ 6，a∈N }；
解：∵0≤a＜6 且 a∈N， ∴a ＝ 0，1，2，3，4，5. ∴用列举法表示为{0，1，2，3，4，5}
(2) “mathematics 中的字母”组成的集合；
(3) 汉字“永”的笔画组成的集合.
解：∵ mathematics中出现的字母有 a，c，e，h，i， m，s，t，重复出现的字母只记一次， ∴ 用列举法表示为{a，c，e，h，i，m，s，t}；
解：永字的笔画为“、，?，フ， 丿，㇏”， ∴用列举法表示为{、，?，フ， 丿，㇏”}.
2. 用列举法表示下列集合：
(1) { x | x2 ＋ 3x － 18 ＝ 0，x ∈ R)}；
(2) { x | x 为不超过 5 的自然数}；
(3) { x | － 3 ＜ 2x－1 ≤3，x ∈ Z}；
(4) { (x，y) | 0 ≤ x ≤ 2， 0 ≤ y ≤ 2，x，y ∈ Z}；
{0，1，2，3，4，5}
{ (0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)}
(1) 不等式 3x ＋ 2 ＞ 5 的解集；
(2) 平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；
(3) 二次函数 y ＝ x2－2x＋3 图象上的点组成的集合.
{x∣3x＋2＞5} 即{ x∣x ＞1}；
{(x，y) ∣x＜0，y＞0}；
{ (x，y) ∣y＝x2－2x＋3，x∈R).
4. 用“∈”或“∉”填空：
(1) 若 A＝ { x∣ x2－x＝0}，则 1_____A，－1_____A；
(2) 若 B ＝ { x∣1 ≤ x ≤ 5，x∈N}，则 1______B， 1.5_____B；
(3) 若 C ＝ { x∣－1＜ x ＜ 3，x∈Z}，则 0.2_____C， 3_____C；
5. 设 a，b 为实数，已知 M＝ {1，2}，N＝{a，b}，且 M＝N，求 a，b 的值.
6. 已知 A＝ {x∣x＝3k＋1，k∈Z，问：－1，5，7 三个 数中，哪此数是 A 的元素?
7. (写作题) 我们使用符号“e”表短语“是……的元素” (is an element f). 符号“3∈A”表示“3 是集合 A 的 元素”如果“3 不是集合 A 的元素”，那么写成“3 ∉ A”虽然“e”看起来有点像字母“e”，但这两个 符号并不相同，不应混淆.
请查阅有关资料，寻找最先引入符号“∈”的数学家，以及符号“∈”的原始意义等信息，写一篇关于符号“∈”的短文.
“∈”表示一个元素属于某一集合的记号，是意大利数学学家皮亚诺 (Pean) 在1889年的数学著作中首先使用的.在数系理论研究方面，皮亚诺作出了重大贡献，
在1889年出版的《算术原理新办法》一书中，皮亚诺提出“皮亚诺自然数公理”举世闻名，在书中他还对许多逻辑符号进行了创新.在1891年创建了《数学杂志》，皮亚诺在这个杂志上利用数理逻辑符号写下自然数公理，并对它们的独立性进行了证明皮亚诺于1893年发表《无穷小分析教程》，该书被德国的数学百科全书列在“自L.欧拉(Euler)和A.L，
柯西(GAUCHY)时代以来最重要的19本微积分教科书”之中.皮亚诺撰写的《数学百科全书》中有很多地方引人注目，例如推广微分中值定理;多变量函数一致连续性的判定定理；隐函数存在定理以及其可微性定理的证明；部分可微但整体不可微的函数的例子；当时流行的极小理论的反例等.
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