苏教版 (2019)必修 第一册1.2 子集、全集、补集背景图课件ppt

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1.2 子集、全集、补集
(1) A＝ {－1，1}，B＝{－1，0，1，2}；(2) A＝N，B＝R；(3) A＝{ x∣x 为正方形}，B＝{ x∣x 为四边形}.
●集合A与B之间具有怎样的关系?●如何用数学语言来表述这种关系?
观察(1)，可以发现，集合 A 中的每个元素都是集合 B 的元素观察(2)(3)，它们也有同样的特征.
这时称 A 是 B 的子集.
如果集合A的_______一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.
例如，{1，2，3} ⊆ N，N ⊆ R， { x∣x 为正方形} ⊆ {x∣x为四边形}等.
根据子集的定义，我们知道A ⊆ A也就是说，任何一个集合是它本身的子集.
对于空集 ∅，我们规定 ∅ ⊆ A，即空集是任何集合的子集.
符号“∈”与“⊆”有什么区别?
提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系， 比如 1∈N，－1∉N. ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系， 比如 N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. ③“∈”的左边是元素，右边是集合， 而“⊆”的两边均为集合.
判断下列各组集合中，A 是否为 B 的子集.
(1) A＝ {0，1}，B＝{－1，0，1，－2}；
解：因为0∈B，1∈B，即A中的每一个元素都是B 的元素，所以 A 是 B 的子集.
解：因为1∈A，但 1 ∉ B， 所以 A不是B 的子集.
(2) A＝ {0，1}，B＝ { x∣x＝2k，k∈N}
A⊆B 与 B⊆A能否同时成立?
能；A是B的子集；同时B也是A的子集； 此时A＝B；就是两集合相等的定义.
写出集合 {a，b} 的所有子集.
解： 集合{a，b}的所有子集是∅，{a}，{b}，{a，b}.
集合{al，a2，a3，a4}有多少个子集?
如果集合 A ⊆ B，并且 A≠B，那么集合 A 称为集合 B 的真子集.
集合 M，N 是两个至少含有一个元素的集合，试画图说明这两个集合关系有哪几种?
下列各组的 3 个集合中 ，哪 2 个集合之间具有包含关系?
(1) S＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{－2，2}；(2) S＝R，A＝ { x∣x≤0，B＝ { x∣x＞0)；(3) S＝ { x∣x为整数}，A＝ { x∣x 为奇数}， B＝ { x∣x 为偶数}.
解：在(1)(2)(3)中都有 A⫋S，B⫋ S可以用图1-2-2来表示.
(1) 任何一个集合是它本身的子集，即_______.(2) 对于空集，我们规定⌀⊆A，即空集是任何集合 的子集.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)
(1) 任何一个集合都有子集.(　　)(2) 空集是任何集合的真子集.(　　)(3) A⊆B的含义是 A ⫋ B或A ＝ B.(　　)
提示：(1) ✔.任何一个集合都是其本身的子集. (2) ✘.空集是任何非空集合的真子集. (3) ✔.若A是B的子集，则说明这两个集合的关系 有以下两种可能： A是B的真子集或A与B相等.
2. 用适当的符号填空：(1) 2________ {x∣x2＝2x}. (2){3，4，8}________ Z. (3){ x∣x 是平行四边形}______{ x∣x 是中心对称图形}. (4){ x∣x＜1}__________{ x∣x＜2}. 
3. 已知集合 A＝ {－1，0，1}，则含有元素0的A的真子 集为________________________________. 
{0}，{0，1}，{0， －1}
解析：根据题意，含有元素0的A的真子集为{0}，{0，1}， {0，－1}.
1. 下列集合中与{1，9}是同一集合的是 (　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.{{1}，{9}} B.{(1，9)} C.{(9，1)} D.{9，1}
解析：与{1，9}是同一集合的是{9，1}. 故选D
2. 设A，B是集合I＝ {1，2，3，4 }的子集，A＝{1，2}， 则满足A⊆B的B的个数是 (　　) A. 5 B.4 C.3 D.2
解析：满足条件的集合B可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2， 4}，{1，2，3，4}，所以满足A⊆B的B的个数是4.
4. 设集合 A＝{ x∣x2＋x－1＝0}，B＝{ x∣x2－x＋1＝0}， 则集合 A，B 之间的关系是____________.
5. 已知集合A＝{x∣1≤x≤2}，B＝{x∣1≤x≤a，a≥1}. (1) 若A ⫋ B，求a的取值范围.
(2) 若B⊆A，求a的取值范围.
观察例 3 中每一组的 3个集合，它们之间还有什么关系?
在例3中，观察(1)，可以发现，A ⊆ S，S中的元素－2，－1，1，2 去掉 A 中的元素－1，1后，剩下的元素为－2，2，这两个元素组成的集合就是 B.
观察 (2)(3)，它们也有同样的特征这时称 B 是 A 在 S中的补集.
设A ⊆ S，由_____________的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 CsA，读作“_________________”.
CsA＝______________________
{ x∣x∈S，且 x ∉ A }
补集既是集合之间的一种关系，也是集合的基本运算之一.
①依据定义求集合的补集；②求参数的值或范围；③补集思想的应用.
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的_____元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)
(1) 同一个集合在不同的全集中补集不同.(　　)(2) 不同集合在同一个全集中的补集也不同.(　　)(3) 若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一.(　　)
2. 设集合U＝ {1，2，3，4，5，6}，B＝ {3，4，5}， 则∁UB＝________________. 
解析：根据补集的定义∁UB ＝{ x∣x∈U且∉B} ＝{1，2，6}.
3. 已知 U＝R，A＝{ x∣x＞2}，则∁UA＝___________. 
解析：因为A＝ { x∣x＞2} ，所有∁UA＝{ x∣x ≤2} .
1. 已知集合A＝{x∣3≤x≤7，x∈N}，B＝{x∣4＜x≤7， x∈N}，则∁AB＝ (　　) A.{3} B.{3，4} C.{3，7} D.{3，4，7}
解析：A ＝{3，4，5，6，7}， B ＝{5，6，7}，所以∁AB ＝{3，4}.
2. 已知全集 U＝R，集合A＝ { x∣－1≤x＜0}的补集 ∁UA＝(　　) A. {x∣x ＜－1或 x≥0} B. {x∣x ≤ －1或 x＞0} C. { x∣－ 1＜ x≤0} D.{ x ∣ 0 ＜ x≤1}
3. 已知全集 U＝R，A＝{x∣1≤x＜b}，∁UA＝{x∣x＜1 或 x≥2}，则实数b＝___________. 
解析：因为 ∁UA＝ { x∣x＜1或 x≥2}， 所以 A＝ { x∣1≤x＜2}，所以 b＝2.
解析：A＝ { x∣x＋1≥0且 3x－6≤0}＝ {x∣－1≤x≤2}，所以∁UA＝ { x∣x＜－1或 x＞2}，在数轴上分别表示如图.
练 习
1. 写出下列集合的所有子集：
(1) {1}； (2) {1，2}； (3) {1，2，3}.
(1) ∅，{1}；(2) ∅，{1}，{2}，{1，2}；(3) ∅，{1}，{2}，{3}，{ 1，2}，{1，3}，{2，3}， {1，2，3}.
2. 已知全集 U＝ {0，1，2，3，4，5，6}，分别根据下 列条件求 ∁UA.
(1) A＝ {0，2，4，6}；
(2) A＝ { 0，1，2，3，4，5，6 }；
{ 0，1，2，3，4，5，6 }
3. 判断下列表述是否正确：
(1) a ⊆ {a}；
(2) {a} ∈  {a，b}；
(3) {a，b} ⊆ {b，a}；
(4) {－1，1} ⫋ {－1，0，1}；
(5) 0 ∈ ∅ ；
(6) {0} ＝   ∅ ；
(7) ∅ ⊆ { 0 } ；
(8) ∅ ⫋ {－1，1 }.
4. 若 U＝Z，A＝{ x∣x＝2k，k∈Z，B＝{ x∣x＝2k＋l， k∈Z}，则 ∁UA ＝______________________， ∁UB ＝______________________.
5. ∁U( ∁UA ) ＝____________________.
6. 已知 U＝R，A＝ { x∣x＜0}，求 ∁UA.
解：∁UA ＝ { x ∣x ≥0}.
提示：可利用数轴以及补集定义求解，注意补集中包含 0.
1. 如图，试说明集合 A，B，C 之间有什么包含关系.
2. 指出下列各组集合 A 与 B 之间的关系：
(1) A ＝ {－1，1}，B＝Z；
(2) A ＝ {－1，0，1}，B＝{ x∣x2－1 ＝ 0}；
(3) A ＝ {1，3，5，15 }，B＝{ x∣x 是15的正约数}；
(4) A ＝ N* ，B ＝ N.
3. 已知 U＝{ x∣x 是至少有一组对边平行的四边形}， A＝{ x ∣ x 是平行四边形}，求 ∁UA.
解：因为 U ＝{是平行四边形或x是梯形}， A ＝{ x ∣x 是平行四边形}， 所以 ∁UA ＝ {x ∣x 是梯形}.
4. (1) 已知 U ＝{1，2，3，4}，A＝ {1，3}，求∁UA ；
(2) 已知 U ＝{1，3}，A＝ {1，3}，求∁UA ；
∁UA ＝{ 2，4}
(3) 已知 U ＝ R，A＝ { x∣x ≥ 2}，求∁UA ；
(4) 已知 U ＝ R，A＝ { x∣－2 ≤ x ＜ 2}，求∁UA ；
∁UA ＝{ x ∣x ＜ 2}
∁UA ＝{ x ∣x ＜ － 2 或 x ≥2}
5. 设 A 是一个集合，下列关系是否成立?
(1) A ＝ {A}； (2) A ⊆ {A}； (3) A ∈ {A}.
解：(1) A是一个集合，{A}是一个只含有一个元素A 的集合，故A ＝{A}不成立.
(2) A ⊆ {A}； (3) A ∈ {A}.
解：(2) {A}是一个只含有一个元素A的集合，其所 有子集为∅，{A}，故A⊆{A}不成立. (3) {A}是一个只含有一个元素A的集合， 故 A ∈{A}成立.
6. 已知 A⊆B，A⊆C，B＝{ 0，2，4}，C＝{0，2，6}， 写出所有满足上述条件的集合 A.
解：B ∩ C ＝ {0，2} 且 A ⊆ B，A ⊆C， 所以 A ⊆{0，2}， 则 A ＝ ∅，{0}，{2}，{0，2}.
7. 设 m 为实数，若 U＝R，A ＝{ x∣x ＜ 1}， B ＝{ x∣x＞m }.
(1) 当∁UA ⊆ B 时，求 m 的取值范围；
解：因为A＝{ x∣x＜1}， 所以∁UA ＝ {x∣ x≥1}， 因为∁UA ⊆ B， 所以 m ＜ 1，故m的取值范围为(－∞，1)
(2) 当∁UA ⊇ B 时，求 m 的取值范围；
解：因为∁UA ⊇ B， 所以 m ＞ 1， 故 m 的取值范围为[1， ＋ ∞ ).
8. 子集符号“⊆”与不等号“≤”看起来很相似.“≤” 具有下面的性质：
(1) 如果 a≤b 且 b≤c，那么 a≤c；
(2) 如果 a≤b 且 b≤a，那么 a＝c.
试写出“⊆”相应的“性质”，并判断其正确性.
解：(1) 如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C，正确； (2) 如果A ⊆ B且 B ⊆A，那么 A＝B，正确.