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苏教版 (2019)必修 第一册5.1 函数的概念和图象教学演示课件ppt
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这是一份苏教版 (2019)必修 第一册5.1 函数的概念和图象教学演示课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了习题51等内容，欢迎下载使用。
5 . 1函数的概念和图象
在现实生活中，我们可能会遇到下列问题： 1. 人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据. 从中国统计年鉴中可以查得我国1979~2014 年人口数据资料(年末)如表5-1-1所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗?
表5-1-1 1979~2014 年我国人口数据表
2. 一物体从静止开始下落，下落的距离 y (单位：m) 与下落时间 x (单位：s) 之间近似地满足关系式 y＝4.9x2. 若一物体下落 2s，你能求出它下落的距离吗?
3. 图 5-1-1为某市一天 24 小时内的气温变化图.
(1) 上午 6 时的气温约是多少?全天的最高、最低气温分别是多少?
(2) 在什么时刻，气温为 0℃?(3) 在什么时段内，气温在 0℃以上?
在上述的每个问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之唯一确定.根据初中学过的知识，每一个问题都涉及一个确定的函数.这就是它们的共同特点.
● 如何用集合语言来阐述上述 3 个问题的共同特点?
第一，每个问题均涉及两个非空数集 A，B. 例如，在第一个问题中，一个集合 A 由年份数组成，即 A＝{1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014}； 另一个集合 B由人口数(百万) 组成，即 B＝{975，1 044，1 127，1 199，1 258，1 300，1 335，1 368}.
第二，每个问题均存在某种对应关系，对于A 中任意元素x ，B 中总有一个元素 y 与之对应. 例如，在第一个问题中，若x (年份)取 1979，则 y (百万) 取 975. 这时，我们说“1979 对应到975”，或者说“输入1979，输出975”，简记为1979 → 975.
图 5-1-2 所示的“箭头图”可以清楚地表示这种对应关系，这种对应具有“一个输入值对应到唯一的输出值”的特征.
①定义：一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有______的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
② 记法：y＝f(x)，x∈A.③定义域：x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域； 值域：所有输出值y组成的集合{y∣y＝f(x)，x∈A} 称为函数的值域.
(2)本质：函数的集合定义.
1. 对于函数 f：A→B，值域一定是集合B吗?为什么?
提示：不一定.值域是集合B的子集.
2. 对应关系f必须是一个解析式的形式吗?为什么?3. f(x)的含义是什么?
提示：不一定.可以是数表，也可以是图象.
提示：集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数.
考察本章引言中的问题(1)，对于每一个 x (x∈(0，＋∞))，都有唯一的实数 y＝π 与 x 对应. 因此，y＝π (x∈(0，＋∞)) 是x的函数.
由函数定义还可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数.
例如函数 y＝x2 (x∈(0，＋∞))与函数 s＝t2(t∈(0，＋∞)) 是同一个函数.
如果两个函数的表达式相同，即其对应关系相同，但定义域不同，那么这两个函数就是不同的函数.
给定函数时要指明函数的定义域. 对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.
函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系?
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可.
三、常见的函数的定义域和值域
判断下列对应是否为函数：
(2) x → y，这里 y2＝x，x∈N，y∈R；
解 考虑输入值为4，即当 x＝4 时输出值y由 y2＝4 给出，得 y＝2 和 y＝－2. 这里一个输入值与两个输出值对应，所以，x → y (y2＝x，x∈N，y∈R) 不是函数.
(3) 当x为有理数时，x → 1；当x为无理数时，x → 0 .
(1) f(x) ＝(x－1)2－1，x∈{－1，0，1，2，3}；
解 函数的定义域为{－1，0，1，2，3}. 因为 f(－1) ＝[(－1) －1]2＋1＝5， f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5， 所以这个函数的值域为{1，2，5}.
(2) f(x) ＝(x－1)2＋1.
解 函数的定义域为 R . 因为(x－1)2＋1≥1， 所以这个函数的值域为{y∣y≥1}.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”.( ) (2) 根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( ) (3) 在研究函数时，除用符号f(x)外，还可用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数.( )
2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) A.出租车车费与出租车行驶的里程 B.商品房销售总价与商品房建筑面积 C.铁块的体积与铁块的质量 D.人的身高与体重
解析：A.出租车车费与行程是函数关系；B.商品房销售总价与建筑面积是函数关系；C.铁块的体积与质量是函数关系；D.人的身高与体重不是函数关系.
3. 如图能表示函数关系的是____________.
解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数关系.
【课堂检测·素养达标】
1.对于函数f：A→B，若 a∈A，b∈A，则下列说法错误的是( ) A. f(a)∈B B. f(a)有且只有一个 C.若 f(a)＝f(b)，则a＝b D.若 a＝b，则f(a)＝f(b)
解析：对于函数f：A→B，a∈A，b∈A，则根据函数的定义，f(a)∈B，且 f(a)唯一，故若 a＝b，则 a，b 代表集合A中同一个元素，这时，有 f(a)＝f(b)，故 A，B，D 都对.但若f(a)＝f(b)，则不一定有a＝b，如f(x)＝x2，显然f(－1)＝f(1) ＝1，但－1≠1，故C错误.
2.如表表示y是x的函数，则该函数的定义域是________， 值域是_______________.
解析：由题表可知，函数的自变量x从0开始至4，每个数都有意义，所以定义域为(0，4]；该函数是一个分段函数，从表中的数据可知，y只能取到1，2，3，4 这四个数，所以值域为{1，2，3，4}.
3. 若函数 y＝x2－3x 的定义域为{－1，0，2，3}，则其 值域为_______________.
解析：依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0； 当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0， 所以函数 y＝x2－3x 的值域为{－2，0，4}.
4.下列对应关系是集合P上的函数的是______.(填序号) ①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应;②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；③P＝{三角形}，Q＝{x∣x＞0}，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应.
练 习
1. 某班级学号为 1~6 的学生参加数学测试的成绩如下表 所示，试将学号与成绩的对应关系用“箭头图”表示 在下图中.
2. 从甲地到乙地的火车票价为 80 元，儿童乘火车时，按 照身高选择免票、半票或全票. 选购票种的规则如下表 所示：
(1) 若儿童身高h为输入值，相应的购票钱款为输出值， 则 1.0→________，1.3→_______，1.6→________；(2) 若购票钱款为输入值，儿童身高 h 为输出值，则 0→__________，40→______________.
3. 判断下列对应是否为从 A 到 B 的函数：
(1) A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}， 对任意的 x∈A，x→2x；
解 x＝5∈A，2x＝10 ∉ B，故不是函数. 综上所述，结论是： 对应 x→2x 不是从A到B的函数.
(2) A＝ {1，2，3，4，5}，B＝{x∣x＜10，x∈N，对任 意的 x∈A，x→2x＋1；
解：x＝1∈A → 2x＋1＝3∈B； x＝2∈A → 2x＋1＝5∈B； x＝3∈A → 2x＋1＝7∈B； x＝4∈A → 2x＋1＝9∈B；满足函数的定义. 综上所述，结论是：对应 x→ 2x＋1是从A到B的函数.
(3) A＝B＝N*，对任意的 x∈A，x→x－1；
解 x＝1∈A，x－1＝0∉B，故不是函数. 综上所述，结论是： 对应x→x－1不是从A到B的函数.
(4) A为正实数集，B＝R，对任意的 x∈A，x→x 的算 术平方根.
4. 判断下列对应是否为函数：
6. 求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝ 1－3x；
解 由 x2－1≠0，得 x≠±1， ∴函数f(x)的定义域为{x∣x≠±1 }.
7. 求下列函数的值域：
(1) f(x)＝x2＋x，x∈{l，2，3}；
解 函数的定义域为{1，2，3}， ∵ f(1)＝12＋1＝2，f(2)＝6，f(3)＝12. ∴ 函数f(x)的值域为{2，6，12}.
(2) f(x)＝(x－1)2－1；
解 函数的定义域为R， ∵ (x－1)2－1＞－1， ∴函数f(x)的值域为[－1，＋∞).
(3) f(x)＝x＋1，x∈(1，2].
解 ∵ x∈(1，2]， ∴ x＋l∈(2，3]， ∴函数f(x)的值域为(2，3].
将自变量的一个值x0作为_______，相应的___________作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)). 当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的图形就是函数 y＝f(x)的图象.
(2) 集合表示： 所有这些点组成的集合(点集)为________________， 即_________________________.(3)本质：函数对应的图形，即几何意义.
{(x，f(x)) ∣x∈A}
{(x，y) ∣y＝f(x)，x∈A}
集合{x∣y＝f(x)，x∈A}、{y∣y＝f(x)，x∈A} 能表示函数的图象吗?为什么?
提示：不能. 上述两个集合都是数集，不是点集. 因此不能表示函数的图象.第一个集合表示函数的定义域，第二个集合表示函数的值域.
试画出下列函数的图象：
(1) f(x) ＝ x＋1；(2) f(x) ＝ (x－1)2＋1，x∈[1，3).
解：描点作出图象，函数图象分别如图 5-1-4 和 5-1-5 所示.
函数 f(x)＝(x－1)2＋1， x∈[1，3) 的图象为函数g(x)＝(x －1)2＋1，x∈R 的图象上 x∈[1，3) 的一段. 其中，点(1，1) 在图象上，用实心点表示；而点(3，5)不在图象上，用空心点表示.
在 5.1节开头的第一个问题中，如果把人口数 y (百万)看作年份 x 的函数，试根据表 5-1-1，画出这个函数的图象.
思 考
设函数 y＝f(x) 的定义域为 A，集合 P＝ {(x，y)∣y＝ f(x). x∈A}与Q＝{y∣y＝f(x)， x∈A }相等吗? 请说明理由.
试画出二次函数 f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：
(1) 比较 f(－2)，f(1)，f(3) 的大小；(2)若0＜x1＜x2，试比较 f(x1)与f(x2)的大小.
解 函数图象如图 5-1-7.
(1) 比较 f(－2)，f(1)，f(3) 的大小；
解 根据图 5-1-7(1)，容易发现 f(－2) ＝f(2)， f(1)＜f(2)＜f(3). 所以 f(1)＜f(－2)＜f(3).
(2) 若0＜x1＜x2，试比较 f(x1)与f(x2)的大小.
解 根据图 5-1-7(2)，容易发现 当0＜x1＜x2 时， f(x1) ＜f(x2).
在例 6(2)中， (1) 如果把“0＜x1＜x2”改为“x1＜x2＜0”，那么 f(x1)与f(x2)哪个大? (2) 如果把“0＜x1＜x2”改为“∣x1∣＜∣x2∣”，那么 f(x1) 与 f(x2) 哪个大? 请结合图象回答上述两个问题，并用不等式的基本知识来解决例 6及上述思考中的问题.
下面我们介绍在 Excel 工作表中用“描点连线”的方法绘制函数 f(x)＝(x－1)2＋1的图象，不妨作 x∈[－2，2]上的图象.
(1)第一列产生自变量的值：在单元格 A1，A2 内分别输入－2，－1.9，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖曳“填充柄”，如图 5-1-8，直到单元格内出现填充值 2 时为止.
(2) 第二列产生对应的函数值： 如图 5-1-9，在 B1 内输入“＝(A1－1)^2＋1”，敲回车键或在编辑栏内选中“√”，拖曳 B1 的填充柄至所需的单元格(或双击 B1 的填充柄)，得到与第一列相对应的函数值.
(3) 成图：光标置于数据区的任一位置，插入“图表”，选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”，点击“完成”，便得函数 f(x) ＝(x－1)2＋1在区间[－2，2 ]上的图象，如图 5-1-10.
你能用上面的方法绘制函数 f(x)＝x3的图象吗?
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 已知函数 y＝f(x)，x∈A，若x0∉A，则点(x0，f(x0))一定不在函数的图象上. ( ) (2)直线 x＝a 和函数 y＝f(x)，x∈[m，n]的图象有1个交点.( ) (3) 函数的图象一定是连续的.( )
2. (多选题)下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数 y＝f(x)的图象的有( )
解析：能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故BD可以，AC不可以.
3. 函数 y＝x＋1，x∈Z，且∣x∣＜2的图象是________. (填序号)
解析：由题意知，函数的定义域是{－1，0，1}，值域是{0，1，2}，函数的图象是三个点，故③正确.
1. 函数 y＝x0 的图象是( )
解析：因为函数 y＝x0的定义域为{x|x≠0}，所以排除A，C. 又 y＝x0＝1，所以排除D.
4. 若函数y＝f(x)的图象经过点(0，1)，那么函数y＝f(x＋4) 的图象经过点___________.
解析：y＝f(x＋4) 可以认为把 y＝f(x) 向左移了4个单位，由 y＝f(x) 经过点(0，1)，易知 f(x＋4) 经过点(－4，1).
1. 画出下列函数的图象：
(1) f(x)＝2x－1；
(2) f(x)＝2x－1，x∈ [－1，2)；
(5) f(x) ＝ x2，x∈[－1，2]；
(6) f(x)＝(x－1)2，x∈[0，3].
2. 先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域：
(1) f(x)＝(x－1)2，x∈{－ 1，0，1，2}；
解 由定义域为{－ 1，0，1，2}知， 其函数图象就是四个点： A(－1，4)，B(0，1)，C(1，0)，D(2，1)，图象如图所示.
其值域为{4，1，0}.
(2) f(x)＝x2，x∈[1，2)；
解 函数 f(x)＝x2，x∈[1，2) 的图象是抛物线 x2＝y落在第一象限内的一部分，其图象如图所示.
函数 f(x)＝x2，x∈[1，2)为增函数，故值域为[f(1)，f(2))＝[1，4)
3. 根据如图所示的函数 y＝f(x) 的图象填空：
(1) f(0)＝_______，f(1)＝ _______， f(2) ＝_______.(2) 若－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)与 f(x2) 的大小关系是___________.
f(x1)＜ f(x2)
1. 已知函数 y＝5x－2. (1) 当x＝0，1，5时，分别求出y的值；
解 ∵函数 y＝5x－2， ∴当x＝0时，y＝5×0－2＝－2； 当x＝1时，y＝5×1－2＝3； 当x＝5时，y＝5×5－2＝23；
(2) 当y＝0，1，5时，分别求出x的值.
2. 判断下列对应 f 是否为从集合 A 到集合 B 的函数：
满足函数的定义，则f为从集合A到集合B的函数.
(2) A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7， f(3)＝8；
满足函数的定义，f是从集合A到集合B的函数.
(3) A＝B＝{1，2，3}，f(x) ＝ 2x－1；
∵f(2)＝5，不满足条件. 故f不是从集合A到集合B的函数；
(4) A＝B＝{ x∣x ≥ －1}，f(x)＝2x＋1；
满足函数的定义，则f是从集合A到集合B的函数；
(5) A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1； n为偶数时，f(n) ＝ 1.
满足函数的定义，则f是从集合A到集合B的函数.
3. 求下列函数的定义域、值域，并画出图象：
(1) f(x)＝3x；
解 函数 f(x)＝3x 定义域为R，值域为R，图象如下：
(2) f(x)＝－3x＋1；
解 函数 f(x)＝－3x＋1定义域为R，值域为R，图象如下：
解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 值域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)， 图象如下：
解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 值域为 (－∞，1)∪(1，＋∞)， 图象如下：
(5) f(x)＝1－x2；
解 定义域为R， 值域为 (－∞，1]， 图象如下：
(6) f(x) ＝x2＋2x.
解 定义域为R， 值域为[－1，＋∞)， 图象如下：
4. 判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由：
(2) y＝x2，y＝x2，x∈[0，＋∞)；
解 不是. 因为两个函数的定义域不同
(3) y＝x，s＝t；
解 是. 虽然两个函数的变量不同， 但定义域都是 R，对应关系也相同.
(4) f(x)＝1，g(x)＝1.
解 是. 因为两个函数的定义域相同， 对应关系也相同.
5. 已知函数 f(x) ＝ ax＋b，且 f(3) ＝ 7，f(5) ＝－1， 求 f(0)，f(1) 的值.
6. 直线x＝a和函数y＝x2＋1的图象的公共点可能有几个?
解 由函数的定义知 直线 x＝a和函数 y＝a＋1的图象有且仅有一个公共点.
8. 如果函数 f(x)与 g(x)分别由下表给出，那么 f(f(1))＝__________，f(g(2))＝__________， g(f(3))＝__________，g(g(4))＝__________.
9. 设函数 f(x)＝2x＋3，函数 g(x)＝3x－5， 求 f(g(x))，g(f(x)).
解 ∵f(x)＝2x＋3，g(x)＝3x－5， ∴f(g(x))＝2g(x)＋3＝2(3x－5)＋3＝6x－7， g(f(x))＝3f(x)－5＝3(2x＋3)－5＝6x＋4.
10. 已知集合 A＝R，B＝{－1，1}，对应关系 f 如下： 当x为有理数时，f(x)＝－l； 当x为无理数时，f(x)＝1. 该对应是从集合 A 到集合 B 的函数吗?
解 ∵A＝R，B＝{－1，1}都是非空数集， 且对于集合A中的任意一个数x，在对应关系f的作用下， 在集合B中都有唯一的一个确定的数f(x)与之对应， 故该对应是从集合A到集合B的一个函数.
11. (操作题)将一枚子投掷 10 次，并将每次子向上的点数 记录在下表中规定对应关系f：对每一投掷序号 n(n＝ 1，2，···，10) 对应到这次子的向上点数. 试判断对 应 f 是否为函数. 若是，这个函数值域一定是集合{1， 2，3，4，5，6}吗?
∵对于任意一个序号n都有唯一的数与之对应，∴对应f是函数因为在函数值中，集合{1，2，3，4，5，6}中的数并不一定每个都出现，由上表可以看出，此函数的值域为{2，3，4，5，6}，∴ 这个函数的值域不一定是{1，2，3，4，5，6}.
5 . 1函数的概念和图象
在现实生活中，我们可能会遇到下列问题： 1. 人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据. 从中国统计年鉴中可以查得我国1979~2014 年人口数据资料(年末)如表5-1-1所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗?
表5-1-1 1979~2014 年我国人口数据表
2. 一物体从静止开始下落，下落的距离 y (单位：m) 与下落时间 x (单位：s) 之间近似地满足关系式 y＝4.9x2. 若一物体下落 2s，你能求出它下落的距离吗?
3. 图 5-1-1为某市一天 24 小时内的气温变化图.
(1) 上午 6 时的气温约是多少?全天的最高、最低气温分别是多少?
(2) 在什么时刻，气温为 0℃?(3) 在什么时段内，气温在 0℃以上?
在上述的每个问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之唯一确定.根据初中学过的知识，每一个问题都涉及一个确定的函数.这就是它们的共同特点.
● 如何用集合语言来阐述上述 3 个问题的共同特点?
第一，每个问题均涉及两个非空数集 A，B. 例如，在第一个问题中，一个集合 A 由年份数组成，即 A＝{1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014}； 另一个集合 B由人口数(百万) 组成，即 B＝{975，1 044，1 127，1 199，1 258，1 300，1 335，1 368}.
第二，每个问题均存在某种对应关系，对于A 中任意元素x ，B 中总有一个元素 y 与之对应. 例如，在第一个问题中，若x (年份)取 1979，则 y (百万) 取 975. 这时，我们说“1979 对应到975”，或者说“输入1979，输出975”，简记为1979 → 975.
图 5-1-2 所示的“箭头图”可以清楚地表示这种对应关系，这种对应具有“一个输入值对应到唯一的输出值”的特征.
①定义：一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有______的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
② 记法：y＝f(x)，x∈A.③定义域：x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域； 值域：所有输出值y组成的集合{y∣y＝f(x)，x∈A} 称为函数的值域.
(2)本质：函数的集合定义.
1. 对于函数 f：A→B，值域一定是集合B吗?为什么?
提示：不一定.值域是集合B的子集.
2. 对应关系f必须是一个解析式的形式吗?为什么?3. f(x)的含义是什么?
提示：不一定.可以是数表，也可以是图象.
提示：集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数.
考察本章引言中的问题(1)，对于每一个 x (x∈(0，＋∞))，都有唯一的实数 y＝π 与 x 对应. 因此，y＝π (x∈(0，＋∞)) 是x的函数.
由函数定义还可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数.
例如函数 y＝x2 (x∈(0，＋∞))与函数 s＝t2(t∈(0，＋∞)) 是同一个函数.
如果两个函数的表达式相同，即其对应关系相同，但定义域不同，那么这两个函数就是不同的函数.
给定函数时要指明函数的定义域. 对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.
函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系?
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可.
三、常见的函数的定义域和值域
判断下列对应是否为函数：
(2) x → y，这里 y2＝x，x∈N，y∈R；
解 考虑输入值为4，即当 x＝4 时输出值y由 y2＝4 给出，得 y＝2 和 y＝－2. 这里一个输入值与两个输出值对应，所以，x → y (y2＝x，x∈N，y∈R) 不是函数.
(3) 当x为有理数时，x → 1；当x为无理数时，x → 0 .
(1) f(x) ＝(x－1)2－1，x∈{－1，0，1，2，3}；
解 函数的定义域为{－1，0，1，2，3}. 因为 f(－1) ＝[(－1) －1]2＋1＝5， f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5， 所以这个函数的值域为{1，2，5}.
(2) f(x) ＝(x－1)2＋1.
解 函数的定义域为 R . 因为(x－1)2＋1≥1， 所以这个函数的值域为{y∣y≥1}.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”.( ) (2) 根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( ) (3) 在研究函数时，除用符号f(x)外，还可用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数.( )
2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) A.出租车车费与出租车行驶的里程 B.商品房销售总价与商品房建筑面积 C.铁块的体积与铁块的质量 D.人的身高与体重
解析：A.出租车车费与行程是函数关系；B.商品房销售总价与建筑面积是函数关系；C.铁块的体积与质量是函数关系；D.人的身高与体重不是函数关系.
3. 如图能表示函数关系的是____________.
解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数关系.
【课堂检测·素养达标】
1.对于函数f：A→B，若 a∈A，b∈A，则下列说法错误的是( ) A. f(a)∈B B. f(a)有且只有一个 C.若 f(a)＝f(b)，则a＝b D.若 a＝b，则f(a)＝f(b)
解析：对于函数f：A→B，a∈A，b∈A，则根据函数的定义，f(a)∈B，且 f(a)唯一，故若 a＝b，则 a，b 代表集合A中同一个元素，这时，有 f(a)＝f(b)，故 A，B，D 都对.但若f(a)＝f(b)，则不一定有a＝b，如f(x)＝x2，显然f(－1)＝f(1) ＝1，但－1≠1，故C错误.
2.如表表示y是x的函数，则该函数的定义域是________， 值域是_______________.
解析：由题表可知，函数的自变量x从0开始至4，每个数都有意义，所以定义域为(0，4]；该函数是一个分段函数，从表中的数据可知，y只能取到1，2，3，4 这四个数，所以值域为{1，2，3，4}.
3. 若函数 y＝x2－3x 的定义域为{－1，0，2，3}，则其 值域为_______________.
解析：依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0； 当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0， 所以函数 y＝x2－3x 的值域为{－2，0，4}.
4.下列对应关系是集合P上的函数的是______.(填序号) ①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应;②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；③P＝{三角形}，Q＝{x∣x＞0}，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应.
练 习
1. 某班级学号为 1~6 的学生参加数学测试的成绩如下表 所示，试将学号与成绩的对应关系用“箭头图”表示 在下图中.
2. 从甲地到乙地的火车票价为 80 元，儿童乘火车时，按 照身高选择免票、半票或全票. 选购票种的规则如下表 所示：
(1) 若儿童身高h为输入值，相应的购票钱款为输出值， 则 1.0→________，1.3→_______，1.6→________；(2) 若购票钱款为输入值，儿童身高 h 为输出值，则 0→__________，40→______________.
3. 判断下列对应是否为从 A 到 B 的函数：
(1) A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}， 对任意的 x∈A，x→2x；
解 x＝5∈A，2x＝10 ∉ B，故不是函数. 综上所述，结论是： 对应 x→2x 不是从A到B的函数.
(2) A＝ {1，2，3，4，5}，B＝{x∣x＜10，x∈N，对任 意的 x∈A，x→2x＋1；
解：x＝1∈A → 2x＋1＝3∈B； x＝2∈A → 2x＋1＝5∈B； x＝3∈A → 2x＋1＝7∈B； x＝4∈A → 2x＋1＝9∈B；满足函数的定义. 综上所述，结论是：对应 x→ 2x＋1是从A到B的函数.
(3) A＝B＝N*，对任意的 x∈A，x→x－1；
解 x＝1∈A，x－1＝0∉B，故不是函数. 综上所述，结论是： 对应x→x－1不是从A到B的函数.
(4) A为正实数集，B＝R，对任意的 x∈A，x→x 的算 术平方根.
4. 判断下列对应是否为函数：
6. 求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝ 1－3x；
解 由 x2－1≠0，得 x≠±1， ∴函数f(x)的定义域为{x∣x≠±1 }.
7. 求下列函数的值域：
(1) f(x)＝x2＋x，x∈{l，2，3}；
解 函数的定义域为{1，2，3}， ∵ f(1)＝12＋1＝2，f(2)＝6，f(3)＝12. ∴ 函数f(x)的值域为{2，6，12}.
(2) f(x)＝(x－1)2－1；
解 函数的定义域为R， ∵ (x－1)2－1＞－1， ∴函数f(x)的值域为[－1，＋∞).
(3) f(x)＝x＋1，x∈(1，2].
解 ∵ x∈(1，2]， ∴ x＋l∈(2，3]， ∴函数f(x)的值域为(2，3].
将自变量的一个值x0作为_______，相应的___________作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)). 当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的图形就是函数 y＝f(x)的图象.
(2) 集合表示： 所有这些点组成的集合(点集)为________________， 即_________________________.(3)本质：函数对应的图形，即几何意义.
{(x，f(x)) ∣x∈A}
{(x，y) ∣y＝f(x)，x∈A}
集合{x∣y＝f(x)，x∈A}、{y∣y＝f(x)，x∈A} 能表示函数的图象吗?为什么?
提示：不能. 上述两个集合都是数集，不是点集. 因此不能表示函数的图象.第一个集合表示函数的定义域，第二个集合表示函数的值域.
试画出下列函数的图象：
(1) f(x) ＝ x＋1；(2) f(x) ＝ (x－1)2＋1，x∈[1，3).
解：描点作出图象，函数图象分别如图 5-1-4 和 5-1-5 所示.
函数 f(x)＝(x－1)2＋1， x∈[1，3) 的图象为函数g(x)＝(x －1)2＋1，x∈R 的图象上 x∈[1，3) 的一段. 其中，点(1，1) 在图象上，用实心点表示；而点(3，5)不在图象上，用空心点表示.
在 5.1节开头的第一个问题中，如果把人口数 y (百万)看作年份 x 的函数，试根据表 5-1-1，画出这个函数的图象.
思 考
设函数 y＝f(x) 的定义域为 A，集合 P＝ {(x，y)∣y＝ f(x). x∈A}与Q＝{y∣y＝f(x)， x∈A }相等吗? 请说明理由.
试画出二次函数 f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：
(1) 比较 f(－2)，f(1)，f(3) 的大小；(2)若0＜x1＜x2，试比较 f(x1)与f(x2)的大小.
解 函数图象如图 5-1-7.
(1) 比较 f(－2)，f(1)，f(3) 的大小；
解 根据图 5-1-7(1)，容易发现 f(－2) ＝f(2)， f(1)＜f(2)＜f(3). 所以 f(1)＜f(－2)＜f(3).
(2) 若0＜x1＜x2，试比较 f(x1)与f(x2)的大小.
解 根据图 5-1-7(2)，容易发现 当0＜x1＜x2 时， f(x1) ＜f(x2).
在例 6(2)中， (1) 如果把“0＜x1＜x2”改为“x1＜x2＜0”，那么 f(x1)与f(x2)哪个大? (2) 如果把“0＜x1＜x2”改为“∣x1∣＜∣x2∣”，那么 f(x1) 与 f(x2) 哪个大? 请结合图象回答上述两个问题，并用不等式的基本知识来解决例 6及上述思考中的问题.
下面我们介绍在 Excel 工作表中用“描点连线”的方法绘制函数 f(x)＝(x－1)2＋1的图象，不妨作 x∈[－2，2]上的图象.
(1)第一列产生自变量的值：在单元格 A1，A2 内分别输入－2，－1.9，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖曳“填充柄”，如图 5-1-8，直到单元格内出现填充值 2 时为止.
(2) 第二列产生对应的函数值： 如图 5-1-9，在 B1 内输入“＝(A1－1)^2＋1”，敲回车键或在编辑栏内选中“√”，拖曳 B1 的填充柄至所需的单元格(或双击 B1 的填充柄)，得到与第一列相对应的函数值.
(3) 成图：光标置于数据区的任一位置，插入“图表”，选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”，点击“完成”，便得函数 f(x) ＝(x－1)2＋1在区间[－2，2 ]上的图象，如图 5-1-10.
你能用上面的方法绘制函数 f(x)＝x3的图象吗?
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 已知函数 y＝f(x)，x∈A，若x0∉A，则点(x0，f(x0))一定不在函数的图象上. ( ) (2)直线 x＝a 和函数 y＝f(x)，x∈[m，n]的图象有1个交点.( ) (3) 函数的图象一定是连续的.( )
2. (多选题)下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数 y＝f(x)的图象的有( )
解析：能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故BD可以，AC不可以.
3. 函数 y＝x＋1，x∈Z，且∣x∣＜2的图象是________. (填序号)
解析：由题意知，函数的定义域是{－1，0，1}，值域是{0，1，2}，函数的图象是三个点，故③正确.
1. 函数 y＝x0 的图象是( )
解析：因为函数 y＝x0的定义域为{x|x≠0}，所以排除A，C. 又 y＝x0＝1，所以排除D.
4. 若函数y＝f(x)的图象经过点(0，1)，那么函数y＝f(x＋4) 的图象经过点___________.
解析：y＝f(x＋4) 可以认为把 y＝f(x) 向左移了4个单位，由 y＝f(x) 经过点(0，1)，易知 f(x＋4) 经过点(－4，1).
1. 画出下列函数的图象：
(1) f(x)＝2x－1；
(2) f(x)＝2x－1，x∈ [－1，2)；
(5) f(x) ＝ x2，x∈[－1，2]；
(6) f(x)＝(x－1)2，x∈[0，3].
2. 先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域：
(1) f(x)＝(x－1)2，x∈{－ 1，0，1，2}；
解 由定义域为{－ 1，0，1，2}知， 其函数图象就是四个点： A(－1，4)，B(0，1)，C(1，0)，D(2，1)，图象如图所示.
其值域为{4，1，0}.
(2) f(x)＝x2，x∈[1，2)；
解 函数 f(x)＝x2，x∈[1，2) 的图象是抛物线 x2＝y落在第一象限内的一部分，其图象如图所示.
函数 f(x)＝x2，x∈[1，2)为增函数，故值域为[f(1)，f(2))＝[1，4)
3. 根据如图所示的函数 y＝f(x) 的图象填空：
(1) f(0)＝_______，f(1)＝ _______， f(2) ＝_______.(2) 若－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)与 f(x2) 的大小关系是___________.
f(x1)＜ f(x2)
1. 已知函数 y＝5x－2. (1) 当x＝0，1，5时，分别求出y的值；
解 ∵函数 y＝5x－2， ∴当x＝0时，y＝5×0－2＝－2； 当x＝1时，y＝5×1－2＝3； 当x＝5时，y＝5×5－2＝23；
(2) 当y＝0，1，5时，分别求出x的值.
2. 判断下列对应 f 是否为从集合 A 到集合 B 的函数：
满足函数的定义，则f为从集合A到集合B的函数.
(2) A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7， f(3)＝8；
满足函数的定义，f是从集合A到集合B的函数.
(3) A＝B＝{1，2，3}，f(x) ＝ 2x－1；
∵f(2)＝5，不满足条件. 故f不是从集合A到集合B的函数；
(4) A＝B＝{ x∣x ≥ －1}，f(x)＝2x＋1；
满足函数的定义，则f是从集合A到集合B的函数；
(5) A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1； n为偶数时，f(n) ＝ 1.
满足函数的定义，则f是从集合A到集合B的函数.
3. 求下列函数的定义域、值域，并画出图象：
(1) f(x)＝3x；
解 函数 f(x)＝3x 定义域为R，值域为R，图象如下：
(2) f(x)＝－3x＋1；
解 函数 f(x)＝－3x＋1定义域为R，值域为R，图象如下：
解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 值域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)， 图象如下：
解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 值域为 (－∞，1)∪(1，＋∞)， 图象如下：
(5) f(x)＝1－x2；
解 定义域为R， 值域为 (－∞，1]， 图象如下：
(6) f(x) ＝x2＋2x.
解 定义域为R， 值域为[－1，＋∞)， 图象如下：
4. 判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由：
(2) y＝x2，y＝x2，x∈[0，＋∞)；
解 不是. 因为两个函数的定义域不同
(3) y＝x，s＝t；
解 是. 虽然两个函数的变量不同， 但定义域都是 R，对应关系也相同.
(4) f(x)＝1，g(x)＝1.
解 是. 因为两个函数的定义域相同， 对应关系也相同.
5. 已知函数 f(x) ＝ ax＋b，且 f(3) ＝ 7，f(5) ＝－1， 求 f(0)，f(1) 的值.
6. 直线x＝a和函数y＝x2＋1的图象的公共点可能有几个?
解 由函数的定义知 直线 x＝a和函数 y＝a＋1的图象有且仅有一个公共点.
8. 如果函数 f(x)与 g(x)分别由下表给出，那么 f(f(1))＝__________，f(g(2))＝__________， g(f(3))＝__________，g(g(4))＝__________.
9. 设函数 f(x)＝2x＋3，函数 g(x)＝3x－5， 求 f(g(x))，g(f(x)).
解 ∵f(x)＝2x＋3，g(x)＝3x－5， ∴f(g(x))＝2g(x)＋3＝2(3x－5)＋3＝6x－7， g(f(x))＝3f(x)－5＝3(2x＋3)－5＝6x＋4.
10. 已知集合 A＝R，B＝{－1，1}，对应关系 f 如下： 当x为有理数时，f(x)＝－l； 当x为无理数时，f(x)＝1. 该对应是从集合 A 到集合 B 的函数吗?
解 ∵A＝R，B＝{－1，1}都是非空数集， 且对于集合A中的任意一个数x，在对应关系f的作用下， 在集合B中都有唯一的一个确定的数f(x)与之对应， 故该对应是从集合A到集合B的一个函数.
11. (操作题)将一枚子投掷 10 次，并将每次子向上的点数 记录在下表中规定对应关系f：对每一投掷序号 n(n＝ 1，2，···，10) 对应到这次子的向上点数. 试判断对 应 f 是否为函数. 若是，这个函数值域一定是集合{1， 2，3，4，5，6}吗?
∵对于任意一个序号n都有唯一的数与之对应，∴对应f是函数因为在函数值中，集合{1，2，3，4，5，6}中的数并不一定每个都出现，由上表可以看出，此函数的值域为{2，3，4，5，6}，∴ 这个函数的值域不一定是{1，2，3，4，5，6}.
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