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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.2 三角函数概念集体备课课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.2 三角函数概念集体备课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了习题72等内容，欢迎下载使用。
7 . 2 三角函数概念
用(r，α)与用坐标 (x，y) 均可表示圆周上的点 P，那么，这两种表示有什么内在联系?确切地说，
●用怎样的数学模型刻画 (x，y) 与 (r，α) 之间的关系?
7 . 2 . 1任意角的三角函数
为了建立 (x，y) 与 (r，α) 之间的关系，我们从简单的情形出发先考察 α 为锐角时的情形.
一、三角函数的定义(坐标法)
此时，点 P是角 α 的终边与半径为 r 的圆的交点(图7-2-2).
(2)本质： 用坐标法定义三角函数，是根据角终边上点的坐标，构造直角三角形，将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合，简单易行，便于学生理解、掌握.(3)应用： 适用于求任意角的三角函数值，特别是弧度制条件下角的三角函数值.
初中学习的锐角三角函数的定义是什么?
如图 7-2-3，已知角 α 的终边经过点 P (2，－3)，求 α 的正弦、余弦、正切值.
由于 sin α ，cs α ，tan α 的值与 α 的终边上的点的位置无关，为了方便，可以选择 α 终边上的特殊点来计算 sin α ，cs α ，tan α 的值，例如选择 α 的终边与单位圆的交点.
二、三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中，设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x，y)，那么：sin α ＝_____； cs α ＝______； tan α＝______(x≠0).
提示：单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆.
对于表中的角α，计算 sin α 的值，填写下表：
把 α 的值看作横坐标，对应的 sin α 的值看作纵坐标，在平面直角坐标系中描出点(α ，sin α).
把 α 的值看作横坐标，对应的 sin α 的值看作纵标，在平面直角坐标系中描出点 (α ，sin α)，如图 7-2-6 所示.
思 考
从例 3 的表与所画的图中，你能得到什么结论?
sin α ，cs α ，tan α 分别叫作角α 的正弦函数余弦函数、正切函数. 以上三种函数都称为的三角函数.
(2) 记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
三角函数值在各象限的符号由什么决定?
提示：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定.
确定下列正弦、余弦、正切值的符号：
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) sin α 表示 sin 与 α 的乘积.( ) (2) 已知α是三角形的内角，则必有cs α ＞ 0.( ) (3) 终边落在 y 轴上的角的正切函数值为0.( )
4. 若角 α 的终边落在 y＝－x上，则 tan α 等于( ) A. －1 B.1 C. －1或1 D.不能确定
练 习
1. 已知角 α 的终边经过点 P，求 α 的正、余弦、正切值.
(1) P(3，4)； (2) P(－3，4)； (3) P(0，5)； (4) P(2，0).
(1) P(3，4)；
(2) P(－3，4)；
(3) P(0，5)；
(4) P(2，0).
5. 确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：
解 (1) 885°＝2× 360°＋165°， ∵165°为第二象限角， ∴885°为第二象限角， ∴ sin885°＞0，cs885°＜0，tan885°＜0.
(2) ∵－395°＝－2×360°＋325°为第四象限角， ∴ sin(－395°)＜0，cs(－395°)＞0， tan(－ 395°) ＜ 0.
6. 已知 cs α＜0，且 tan α＜0.确定角 α 是第几象限角.
解 因为 cs α ＜ 0，tan α ＜ 0， 所以 sin α ＞ 0. 因为 cs α ＜ 0，sin α ＞ 0， 所以角 α 是第二象限角.
下面我们来研究正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的几何表示.
过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M显然，线段OM的长度为∣x∣.
为了去掉绝对值符号，我们引入有向线段的概念.
规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线. 若有向线段 AB 在有向直线 l 上或与有向直线 l 平行，根据有向线段 AB 与有向直线 l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数叫作有向线段的数量，记为 AB.
如图7-2-9，轴上有三点 A，B，C，则 AB＝3，BC＝2CB＝－2.
引入有向线段的概念后，如果 x＞0 有向线段 OM 与 x 轴同向，其数量为x； 如果x＜0，有向线段 OM 与 x 轴反向，其数量也为故总有 OM＝x. 同理可知 MP＝y. 所以，sinα＝MP，csα＝OM. 这表明，有向线段 MP，OM 的数量分别等于 α 的正弦、 的余弦. 因此，我们把有向线段 MP，OM分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.
(2)本质： 三角函数线是三角函数的图形表示，是数形结合思想应用的重要理论依据.(3)应用： 三角函数线能直观地表示三角函数值，常用来比较三角函数大小，解三角不等式等.
三角函数线的方向是怎样确定的?
提示：三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与 x 轴或 y 轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值.
阅 读
在锐角三角函数推广至任意角三角函数的过程中，如果我们假设角 α 用弧度表示，且取圆半径 r＝1 (图7-2-10(1))，
那么我们得到 y＝sinα.
我们可以这样来理解正弦函数：输入一个实数 α (弧度数)，输出唯一的实数 y (点 P的纵坐标). 这是一个从实数集 R (所有角的弧度数所成的集合) 到闭区间 [－1，1] 上的函数(图7-2-10(2)). 也正因为此，今后才可以方便地进行下面的运算：x＋sinx，这也表明了引入弧度制的重要性.
探 究
用适当的有向线段来表示第一象限角 α 的正切.
角 α 的终边在 y 轴右侧是指第一象限角或第四象限角，或终边与 x 轴正半轴重合的角.
即总有tan α ＝ AT.因此，我们把有向线段AT叫作角 α 的正切线.有向线段 MP，OM，AT 都称为三角函数线.当角 α 终边在不同象限时，其三角函数线如图所示：
当角 α 的终边在x轴上时，正弦线正切线分别变成一个点； 当角 α 的终边在 y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.
五、三角函数的定义域 Z
在弧度制下，正弦函数余弦函数、正切函数的定义域如下表所示：
怎样求三角函数的定义域?
提示：函数的定义域是函数概念的三要素之一，确定三角函数的定义域时，应抓住分母等于零时比值无意义这一关键，因此需要注意，当且仅当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为零，结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域.
根据单位圆中的三角函数线，探究：
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 角的三角函数线是直线.( ) (2) 角的三角函数值等于三角函数线的长度.( ) (3) 第二象限的角没有正切线.( )
2.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是 ( )A. 正弦线为PM，正切线为A′T′B. 正弦线为MP，正切线为A′T′C. 正弦线为MP，正切线为ATD. 正弦线为PM，正切线为AT
解析：α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确.
3. 已知 sin α＞0，tan α＜0，则α的( ) A.余弦线方向向右，正切线方向向下 B.余弦线方向向右，正切线方向向上 C.余弦线方向向左，正切线方向向下 D.余弦线方向向上，正切线方向向左
解析：因为sin α＞0，tan α＜0，所以α是第二象限角，余弦、正切都是负值，因此余弦线方向向左，正切线方向向下.
2. sin 1、cs 1、tan 1的大小关系为( ) A. sin 1＞cs 1＞tan 1 B. sin 1＞tan 1＞cs 1 C. tan 1＞sin 1＞cs 1 D. tan 1＞cs 1＞sin 1
解析：根据三角函数线：如图所示：设∠DOC＝1弧度， 所以根据三角函数线得到：CD＞AB＞OA， 即tan 1＞sin 1＞cs 1.
3. 函数 y＝lg(3－4sin2x) 的定义域为_______________________________________________.
1. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
2. 根据单位圆中的正弦线，你能发现正弦函数值有怎样 的变化规律?
链 接
余切、余割、正割也是以实数为自变量的函数，ct α ，csc α ，sec α 分别叫作余切函数、余割函数、正割函数.它们也都称为三角函数.
7 . 2 . 2同角三角函数关系
sinα，csα，tanα的值都由 α 确定，那么，sin α ，cs α ，tan α 之间有何关系?
sin2α＋cs2α＝1
(2)本质： 同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系.(3)应用： 正弦、余弦、正切的知一求二，三角函数的证明、化简.
“同角”一词的含义是什么?
你能用图 7-2-15 解释例 8 中求证的等式吗?
解析：由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cs α＜0，sin α＞0，故B项正确.
1. 利用三角函数的定义，证明：
(1) sin2α＋cs2α＝1；
4. 已知 tan θ ＝ 2，求 sin θ ，cs θ 的值.
(2) sin4α－cs4α ＝ sin2α－cs2α；
证明：∵ sin4α－cs4α ＝(sin2α)2－(cs2α)2 ＝(sin2α＋cs2α)(sin2α－cs2α) ＝sin2α－cs2α ， ∴ sin4α － cs4α＝ sin2α－cs2α.
(3) tan2α sin2α ＝ tan2α－sin2α.
7 . 2 . 3三角函数的诱导公式
由三角函数定义可以知道： 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即有
sin(α＋2kπ)＝__________(k∈Z) ，cs(α＋2kπ)＝__________(k∈Z) ，tan(α＋2kπ)＝___________(k∈Z) .
除了“终边相同”这样非常特殊的关系之外还有一些角，它们的终边具有另外的某种特殊关系，如两个角的终边关于坐标轴对称、关于原点对称等. 那么它们的三角函数值有何关系呢?
如果角 α 的终边与角 β 的终边关于 x 轴对称，那么 α 与 β 的三角函数值之间有什么关系?
(2) 诱导公式二、三、四
(3)本质： 在单位圆中，不同角的终边的位置关系决定了三角函数值之间的关系.(4)应用： 通过诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明之中.
公式一至公式四有简单的记忆方法吗?
提示：有，记忆口诀为：“函数名不变，符号看象限”.
由公式二、三，你能推导出公式四吗? 根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗?
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x) ＝1－cs x；
解 因为函数 f(x) 的定义域是 R，且 f(－x) ＝1－cs(－x) ＝1－cs x＝f(x)， 所以 f(x) 是偶数.
(2) g(x) ＝ x sin x.
解 因为函数 g(x) 的定义域是 R， g(－x) ＝－x－ sin(－x) ＝－x－ (－sin x) ＝－(x－sinx) ＝－g(x)， 所以 g(x) 是奇函数.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 公式一～四对任意角 α 都成立.( ) (2) 由公式二知 cs [－(α－β)] ＝－cs(α－β).( ) (3) 在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C.( )
4. 计算：cs 210°＝__________.
4. 已知 sin(θ＋π) ＜0，cs(θ－π) ＞0，则角θ的终边落在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限
5. 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x) ＝－2tan 3x； (2) f(x) ＝x sin (x＋π).
解 (1) f(－x) ＝－2tan3(－x) ＝2tan 3x＝－f(x)，x∈R， 所以 f(x)＝－2tan3x 为奇函数. (2) f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，x∈R， 所以f(－x) ＝xsin(－x) ＝－xsin x＝f(x)， 故函数 f(x) 为偶函数.
(1) sin150°； (2) tan1020°；
3. 化简： (1) sin(π＋α)cs(－α)＋sin(2π－α)cs(π－α)；
(2) sin α cs (π ＋α) tan(－π－α).
4. 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x) ＝ ∣sin x∣；
解 函数的定义域为R，定义域关于原点对称， f(－x) ＝∣sin(－x) ∣＝∣sinx∣＝f(x)， 故函数f(x)为偶函数.
(2) f(x) ＝ sin x cs x .
解 函数的定义域为R，定义域关于原点对称， f(－x)＝sin(－x)cs(－x)＝－sinxcsx＝－f(x)， 故函数f(x)为奇函数.
(3) 本质： 单位圆中，终边关于 y＝x 对称，互相垂直的角的三角函数之间的关系.(4) 应用： 与诱导公式一～四结合用于三角函数式求值、化简、证明.
从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六，有什么变化规律?
提示：函数名称改变，符号随象限变化而变化，即：函数名改变，符号看象限.
分析 注意到(15°－α)＋(75°＋α )＝90°，因此，可将 cs(15°－α)转化为 sin(75° －α).
解析：cs 130° ＝ cs(90° ＋ 40°) ＝ － sin 40° ＝ － a.
1. 已知 cs α ＝ a，求下列各式的值：
2. 已知 sin53.13°＝0.8，求 cs143.13°和 cs216.87°.
1. 已知角 α 的终边经过下列各点，求 α 的正弦、余弦、 正切值：
(1) (－8，－6)；
(3) (－1，1)；
(4) (0，－2).
3. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
4. 求下列各式的值：
(1) 5sin 90°＋2sin 0°－3sin 270°＋10cs 180°；
原式＝5＋2＋3－10＝0；
5. 确定下列三角函数值的符号：
(1) sin 2； (2) cs 6；
(3) cs (－3)； (4) tan(－8).
7. 确定下列各式的符号： (1) cs 310°tan(－ 108°)；
原式＝－cs(360°－50°) tan 108° ＝－cs 50°tan 108°＞0
8. 根据下列条件，确定θ是第几象限角或哪个坐标轴上的角： (1) sinθ＜0且 csθ＞0；
由sinθ＜0知：θ是第三或第四象限角或是终边落在y轴负半轴上的角， 由csθ＞0可知：θ是第一或第四象限角或是终边落在x轴正半轴上的角， 所以满足sinθ＜0且csθ＞0的角θ是第四象限角.
由sinθ csθ ＞ 0可知：sinθ与csθ同号，所以θ是第一或第三象限角.
(4) | sinθ | ＝ sinθ.
由| sinθ | ＝ sinθ 可知：sinθ ≥ 0， 所以θ为第一或第二象限角或终边落在x轴上的角或终边落在y轴正半轴上的角.
10. 求下列各式的值：
(3) cs 1650°； (4) sin 1740°.
13. 证明下列恒等式： (1) sin4α ＋ cs4α ＝ 1－2sin2α cs2α；
17. 设角θ的终边经过点 P(4a， －3a) (a≠0)，求 sinθ 和 csθ 的值.
18. 利用单位圆分别写出符合下列条件的角 α 的集合：
20. 当角 α，β 满足什么条件时，有 sinα＝sinβ ?
21. 设 α 为锐角(单位为弧度)，试利用单位圆及三角函数 线，比较 α，sinα，tanα 之间的大小关系.
7 . 2 三角函数概念
用(r，α)与用坐标 (x，y) 均可表示圆周上的点 P，那么，这两种表示有什么内在联系?确切地说，
●用怎样的数学模型刻画 (x，y) 与 (r，α) 之间的关系?
7 . 2 . 1任意角的三角函数
为了建立 (x，y) 与 (r，α) 之间的关系，我们从简单的情形出发先考察 α 为锐角时的情形.
一、三角函数的定义(坐标法)
此时，点 P是角 α 的终边与半径为 r 的圆的交点(图7-2-2).
(2)本质： 用坐标法定义三角函数，是根据角终边上点的坐标，构造直角三角形，将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合，简单易行，便于学生理解、掌握.(3)应用： 适用于求任意角的三角函数值，特别是弧度制条件下角的三角函数值.
初中学习的锐角三角函数的定义是什么?
如图 7-2-3，已知角 α 的终边经过点 P (2，－3)，求 α 的正弦、余弦、正切值.
由于 sin α ，cs α ，tan α 的值与 α 的终边上的点的位置无关，为了方便，可以选择 α 终边上的特殊点来计算 sin α ，cs α ，tan α 的值，例如选择 α 的终边与单位圆的交点.
二、三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中，设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x，y)，那么：sin α ＝_____； cs α ＝______； tan α＝______(x≠0).
提示：单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆.
对于表中的角α，计算 sin α 的值，填写下表：
把 α 的值看作横坐标，对应的 sin α 的值看作纵坐标，在平面直角坐标系中描出点(α ，sin α).
把 α 的值看作横坐标，对应的 sin α 的值看作纵标，在平面直角坐标系中描出点 (α ，sin α)，如图 7-2-6 所示.
思 考
从例 3 的表与所画的图中，你能得到什么结论?
sin α ，cs α ，tan α 分别叫作角α 的正弦函数余弦函数、正切函数. 以上三种函数都称为的三角函数.
(2) 记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
三角函数值在各象限的符号由什么决定?
提示：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定.
确定下列正弦、余弦、正切值的符号：
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) sin α 表示 sin 与 α 的乘积.( ) (2) 已知α是三角形的内角，则必有cs α ＞ 0.( ) (3) 终边落在 y 轴上的角的正切函数值为0.( )
4. 若角 α 的终边落在 y＝－x上，则 tan α 等于( ) A. －1 B.1 C. －1或1 D.不能确定
练 习
1. 已知角 α 的终边经过点 P，求 α 的正、余弦、正切值.
(1) P(3，4)； (2) P(－3，4)； (3) P(0，5)； (4) P(2，0).
(1) P(3，4)；
(2) P(－3，4)；
(3) P(0，5)；
(4) P(2，0).
5. 确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：
解 (1) 885°＝2× 360°＋165°， ∵165°为第二象限角， ∴885°为第二象限角， ∴ sin885°＞0，cs885°＜0，tan885°＜0.
(2) ∵－395°＝－2×360°＋325°为第四象限角， ∴ sin(－395°)＜0，cs(－395°)＞0， tan(－ 395°) ＜ 0.
6. 已知 cs α＜0，且 tan α＜0.确定角 α 是第几象限角.
解 因为 cs α ＜ 0，tan α ＜ 0， 所以 sin α ＞ 0. 因为 cs α ＜ 0，sin α ＞ 0， 所以角 α 是第二象限角.
下面我们来研究正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的几何表示.
过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M显然，线段OM的长度为∣x∣.
为了去掉绝对值符号，我们引入有向线段的概念.
规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线. 若有向线段 AB 在有向直线 l 上或与有向直线 l 平行，根据有向线段 AB 与有向直线 l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数叫作有向线段的数量，记为 AB.
如图7-2-9，轴上有三点 A，B，C，则 AB＝3，BC＝2CB＝－2.
引入有向线段的概念后，如果 x＞0 有向线段 OM 与 x 轴同向，其数量为x； 如果x＜0，有向线段 OM 与 x 轴反向，其数量也为故总有 OM＝x. 同理可知 MP＝y. 所以，sinα＝MP，csα＝OM. 这表明，有向线段 MP，OM 的数量分别等于 α 的正弦、 的余弦. 因此，我们把有向线段 MP，OM分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.
(2)本质： 三角函数线是三角函数的图形表示，是数形结合思想应用的重要理论依据.(3)应用： 三角函数线能直观地表示三角函数值，常用来比较三角函数大小，解三角不等式等.
三角函数线的方向是怎样确定的?
提示：三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与 x 轴或 y 轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值.
阅 读
在锐角三角函数推广至任意角三角函数的过程中，如果我们假设角 α 用弧度表示，且取圆半径 r＝1 (图7-2-10(1))，
那么我们得到 y＝sinα.
我们可以这样来理解正弦函数：输入一个实数 α (弧度数)，输出唯一的实数 y (点 P的纵坐标). 这是一个从实数集 R (所有角的弧度数所成的集合) 到闭区间 [－1，1] 上的函数(图7-2-10(2)). 也正因为此，今后才可以方便地进行下面的运算：x＋sinx，这也表明了引入弧度制的重要性.
探 究
用适当的有向线段来表示第一象限角 α 的正切.
角 α 的终边在 y 轴右侧是指第一象限角或第四象限角，或终边与 x 轴正半轴重合的角.
即总有tan α ＝ AT.因此，我们把有向线段AT叫作角 α 的正切线.有向线段 MP，OM，AT 都称为三角函数线.当角 α 终边在不同象限时，其三角函数线如图所示：
当角 α 的终边在x轴上时，正弦线正切线分别变成一个点； 当角 α 的终边在 y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.
五、三角函数的定义域 Z
在弧度制下，正弦函数余弦函数、正切函数的定义域如下表所示：
怎样求三角函数的定义域?
提示：函数的定义域是函数概念的三要素之一，确定三角函数的定义域时，应抓住分母等于零时比值无意义这一关键，因此需要注意，当且仅当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为零，结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域.
根据单位圆中的三角函数线，探究：
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 角的三角函数线是直线.( ) (2) 角的三角函数值等于三角函数线的长度.( ) (3) 第二象限的角没有正切线.( )
2.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是 ( )A. 正弦线为PM，正切线为A′T′B. 正弦线为MP，正切线为A′T′C. 正弦线为MP，正切线为ATD. 正弦线为PM，正切线为AT
解析：α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确.
3. 已知 sin α＞0，tan α＜0，则α的( ) A.余弦线方向向右，正切线方向向下 B.余弦线方向向右，正切线方向向上 C.余弦线方向向左，正切线方向向下 D.余弦线方向向上，正切线方向向左
解析：因为sin α＞0，tan α＜0，所以α是第二象限角，余弦、正切都是负值，因此余弦线方向向左，正切线方向向下.
2. sin 1、cs 1、tan 1的大小关系为( ) A. sin 1＞cs 1＞tan 1 B. sin 1＞tan 1＞cs 1 C. tan 1＞sin 1＞cs 1 D. tan 1＞cs 1＞sin 1
解析：根据三角函数线：如图所示：设∠DOC＝1弧度， 所以根据三角函数线得到：CD＞AB＞OA， 即tan 1＞sin 1＞cs 1.
3. 函数 y＝lg(3－4sin2x) 的定义域为_______________________________________________.
1. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
2. 根据单位圆中的正弦线，你能发现正弦函数值有怎样 的变化规律?
链 接
余切、余割、正割也是以实数为自变量的函数，ct α ，csc α ，sec α 分别叫作余切函数、余割函数、正割函数.它们也都称为三角函数.
7 . 2 . 2同角三角函数关系
sinα，csα，tanα的值都由 α 确定，那么，sin α ，cs α ，tan α 之间有何关系?
sin2α＋cs2α＝1
(2)本质： 同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系.(3)应用： 正弦、余弦、正切的知一求二，三角函数的证明、化简.
“同角”一词的含义是什么?
你能用图 7-2-15 解释例 8 中求证的等式吗?
解析：由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cs α＜0，sin α＞0，故B项正确.
1. 利用三角函数的定义，证明：
(1) sin2α＋cs2α＝1；
4. 已知 tan θ ＝ 2，求 sin θ ，cs θ 的值.
(2) sin4α－cs4α ＝ sin2α－cs2α；
证明：∵ sin4α－cs4α ＝(sin2α)2－(cs2α)2 ＝(sin2α＋cs2α)(sin2α－cs2α) ＝sin2α－cs2α ， ∴ sin4α － cs4α＝ sin2α－cs2α.
(3) tan2α sin2α ＝ tan2α－sin2α.
7 . 2 . 3三角函数的诱导公式
由三角函数定义可以知道： 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即有
sin(α＋2kπ)＝__________(k∈Z) ，cs(α＋2kπ)＝__________(k∈Z) ，tan(α＋2kπ)＝___________(k∈Z) .
除了“终边相同”这样非常特殊的关系之外还有一些角，它们的终边具有另外的某种特殊关系，如两个角的终边关于坐标轴对称、关于原点对称等. 那么它们的三角函数值有何关系呢?
如果角 α 的终边与角 β 的终边关于 x 轴对称，那么 α 与 β 的三角函数值之间有什么关系?
(2) 诱导公式二、三、四
(3)本质： 在单位圆中，不同角的终边的位置关系决定了三角函数值之间的关系.(4)应用： 通过诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明之中.
公式一至公式四有简单的记忆方法吗?
提示：有，记忆口诀为：“函数名不变，符号看象限”.
由公式二、三，你能推导出公式四吗? 根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗?
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x) ＝1－cs x；
解 因为函数 f(x) 的定义域是 R，且 f(－x) ＝1－cs(－x) ＝1－cs x＝f(x)， 所以 f(x) 是偶数.
(2) g(x) ＝ x sin x.
解 因为函数 g(x) 的定义域是 R， g(－x) ＝－x－ sin(－x) ＝－x－ (－sin x) ＝－(x－sinx) ＝－g(x)， 所以 g(x) 是奇函数.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 公式一～四对任意角 α 都成立.( ) (2) 由公式二知 cs [－(α－β)] ＝－cs(α－β).( ) (3) 在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C.( )
4. 计算：cs 210°＝__________.
4. 已知 sin(θ＋π) ＜0，cs(θ－π) ＞0，则角θ的终边落在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限
5. 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x) ＝－2tan 3x； (2) f(x) ＝x sin (x＋π).
解 (1) f(－x) ＝－2tan3(－x) ＝2tan 3x＝－f(x)，x∈R， 所以 f(x)＝－2tan3x 为奇函数. (2) f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，x∈R， 所以f(－x) ＝xsin(－x) ＝－xsin x＝f(x)， 故函数 f(x) 为偶函数.
(1) sin150°； (2) tan1020°；
3. 化简： (1) sin(π＋α)cs(－α)＋sin(2π－α)cs(π－α)；
(2) sin α cs (π ＋α) tan(－π－α).
4. 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x) ＝ ∣sin x∣；
解 函数的定义域为R，定义域关于原点对称， f(－x) ＝∣sin(－x) ∣＝∣sinx∣＝f(x)， 故函数f(x)为偶函数.
(2) f(x) ＝ sin x cs x .
解 函数的定义域为R，定义域关于原点对称， f(－x)＝sin(－x)cs(－x)＝－sinxcsx＝－f(x)， 故函数f(x)为奇函数.
(3) 本质： 单位圆中，终边关于 y＝x 对称，互相垂直的角的三角函数之间的关系.(4) 应用： 与诱导公式一～四结合用于三角函数式求值、化简、证明.
从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六，有什么变化规律?
提示：函数名称改变，符号随象限变化而变化，即：函数名改变，符号看象限.
分析 注意到(15°－α)＋(75°＋α )＝90°，因此，可将 cs(15°－α)转化为 sin(75° －α).
解析：cs 130° ＝ cs(90° ＋ 40°) ＝ － sin 40° ＝ － a.
1. 已知 cs α ＝ a，求下列各式的值：
2. 已知 sin53.13°＝0.8，求 cs143.13°和 cs216.87°.
1. 已知角 α 的终边经过下列各点，求 α 的正弦、余弦、 正切值：
(1) (－8，－6)；
(3) (－1，1)；
(4) (0，－2).
3. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
4. 求下列各式的值：
(1) 5sin 90°＋2sin 0°－3sin 270°＋10cs 180°；
原式＝5＋2＋3－10＝0；
5. 确定下列三角函数值的符号：
(1) sin 2； (2) cs 6；
(3) cs (－3)； (4) tan(－8).
7. 确定下列各式的符号： (1) cs 310°tan(－ 108°)；
原式＝－cs(360°－50°) tan 108° ＝－cs 50°tan 108°＞0
8. 根据下列条件，确定θ是第几象限角或哪个坐标轴上的角： (1) sinθ＜0且 csθ＞0；
由sinθ＜0知：θ是第三或第四象限角或是终边落在y轴负半轴上的角， 由csθ＞0可知：θ是第一或第四象限角或是终边落在x轴正半轴上的角， 所以满足sinθ＜0且csθ＞0的角θ是第四象限角.
由sinθ csθ ＞ 0可知：sinθ与csθ同号，所以θ是第一或第三象限角.
(4) | sinθ | ＝ sinθ.
由| sinθ | ＝ sinθ 可知：sinθ ≥ 0， 所以θ为第一或第二象限角或终边落在x轴上的角或终边落在y轴正半轴上的角.
10. 求下列各式的值：
(3) cs 1650°； (4) sin 1740°.
13. 证明下列恒等式： (1) sin4α ＋ cs4α ＝ 1－2sin2α cs2α；
17. 设角θ的终边经过点 P(4a， －3a) (a≠0)，求 sinθ 和 csθ 的值.
18. 利用单位圆分别写出符合下列条件的角 α 的集合：
20. 当角 α，β 满足什么条件时，有 sinα＝sinβ ?
21. 设 α 为锐角(单位为弧度)，试利用单位圆及三角函数 线，比较 α，sinα，tanα 之间的大小关系.
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