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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质教课内容ppt课件
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质教课内容ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了习题73等内容，欢迎下载使用。
7 . 3 三角函数的图象和性质
三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么，“周而复始”的基本特征必定蕴含在三角函数的性质之中.
● 三角函数具有哪些性质?
7 . 3 . 1三角函数的周期性
由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化是现出周期现象. 每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同，即有sin(2π＋x) ＝sin x，cs(2π－x) ＝ cs x . 正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.
● 如何用数学语言刻画函数的周期性?
若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x).
设函数 y＝f(x)的定义域为A. 如果存在一个非零常数T，使得对于任意的 x∈A，都有 x＋T∈A，并且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.
易知 2π 是正弦函数和余弦函数的周期，且 4π，6π，···以及－2π，－4π，···都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数 2k (k∈Z且k≠0) 都是这两个函数的周期.
思 考
一个周期函数的周期有多少个?周期函数的图象具有什么特征?
如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的_________，那么这个最小的正数就叫作 f(x) 的最小正周期.
(3)本质： 函数值随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.(4)应用： 函数的周期性是函数的重要性质,是高考中常见的考查知识点，在生活中也有很多的应用.
例如，2π 是正弦函数的所有周期中的最小正数 (同学们可从单位圆中正弦线的变化特征看出这一结论，其证明见本节后“链接”)，所以 2π 是正弦函数的最小正周期；同样地，2π 也是余弦函数的最小正周期.
因此，正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k (k∈Z 且 k≠0) 都是它们的周期，它们的最小正周期都是 2π.
通过观察正切线不难发现，正切函数 y＝tan x 也是周期函数，并日最小正周期是π .今后本书中所说的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.
周期函数都有最小正周期吗?
提示：周期函数不一定存在最小正周期. 例如，对于常数函数 f(x)＝c (c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.
已知作周期性运动的钟摆的高度 h (单位：mm) 与时间 t (单位：s) 之间的函数关系如图 7-3-1 所示： (1) 求该函数的周期；
解 由图象可知，该函数的周期为 1.5 s.
(2) 求 t＝10 s 时钟摆的高度.
解 设 h＝f(t)，由函数 f(t) 的周期为 1.5 s， 可知f(10)＝f(1＋6×1.5) ＝f(1) ＝20. 所以 t＝10s 时钟摆的高度为 20 mm.
求函数 f(x) ＝cs 2x 的周期.
解 设 f(x) 周期为 T ，则 f(x＋T) ＝f(x)，即 cs 2(x＋T) ＝cs2x 对任意实数 x 都成立. 也就是 cs(u＋2T)＝csu 对任意实数 u 都成立，其中u＝2x. 由 y＝cs u 的周期为2π，可知使得 cs(u＋2T)＝csu对任意实数u都成立的2T的最小正值为 2π，可知2T＝2π，即T＝π. 所以 f(x)＝cs 2x 的周期为 π.
二、正、余弦函数的周期
一般地， 函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acs(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且 A≠0，ω＞0) 的周期为________. 函数 y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω， φ为常数，且 A≠0，ω＞0) 的周期为________.
若函数 y＝f(x) 的周期为 T，则函数 y＝Af(ωx＋φ) 的周期为(其中A， ω， φ 为常数，且 A≠0， ω≠0).
当函数 y＝Asin(ωx＋φ)中，ω＜0时，函数的周期是多少?
3. 若函数 f(x)(x∈R) 的图象如图所示. 则该函数的周期为 ( ) A.1 B.2 C.2.5D.5
解析：根据函数的图象知，函数的周期为2.
1. 今天是星期三，从明天算起，第167天是 ( ) A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
解析：因为周期 T＝7，又167＝23×7＋6， 故第167天是星期三的前一天，星期二.
3. 若 f(x) 是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2，则 f(3)－f(4) ＝( ) A.1 B. －1 C.3D. －3
解析：因为 f(x＋5) ＝f(x)，f(－x) ＝－f(x)， 所以 f(3) ＝f(3－5) ＝f(－2) ＝－f(2) ＝－2， 所以 f(4) ＝f(4－5) ＝f(－1) ＝－f(1) ＝－1， 所以 f(3) －f(4) ＝－2＋1＝－1.
5.函数 f(x) 是以 2 为周期的函数，且f(2)＝3，则 f(8)＝____________.
解析：因为 f(x) 的周期为2，所以 f(x＋2) ＝f(x)， 所以 f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3.
练 习
1. 判断下列说法是否正确，并简述理由：
解 正确. 由周期函数的定义易知说法正确.
2. 求下列函数的周期：
(1) y＝2cs 3x；
4. 已知弹管振子对平衡位置的位移 x (单位：cm) 与时间 t (单位：s) 之间的函数关系如图所示. (1) 求该函数的周期；
解 由图可知， 函数的周期 T＝4 s.
(2) 求 t ＝ 10.5 s 时弹簧振子对平横位置的位移.
解 令 x＝f(t)， ∵ f(10.5) ＝f(2×4＋2.5) ＝f(2.5) ＝－8， ∴当t＝10.5 s 时，弹簧振子对平衡位置的位移为 －8 cm.
链 接
2π 是正弦函数的最小正周期
由诱导公式易知，2π 是正弦函数的一个周期. 下面用反证法证明 2π 是它的最小正周期.假设 0＜T＜2，且T是正弦函数的周期，则对任意实数x，都有 sin(x＋T)＝sinx 成立，令 x＝0，得 sinT＝0，
7 . 3 . 2三角函数的图象与性质
为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.
● 怎样作出三角函数的图象?
先画正弦函数的图象. 由于 y＝sin x 是以 2π为周期的周期函数，故只要画出在[0，2π]上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象. 下面我们借助正弦线来画出 y＝sin x 在 [0，2π] 上的图象.
首先，我们来作坐标为(x0，sin x0)的点S(不妨设 x0＞0).
把角 x 的正弦线向右平移，使它的起点与 x 轴上表示数的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数 y＝sin x 在 [0，2π] 上的图象，如图 7-3-3 所示.
最后我们只要将函数 y＝sin x，x∈[0，2π] 的图象向左、右平移(每次 2π 个单位)，就可以得到正弦函数 y＝sin x， x∈ R 的图象(图7-3-4). 正弦函数的图象叫作正弦曲线.
以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也可以通过列表描点来作出正弦曲线，或利用图形计算器、计算机来作出正弦曲线.
在 Excel 中可用“描点连线”的方法绘制正弦曲线，步骤如下. (1) 设置角 (弧度)：在单元格 A1，A2 内分别输入 0，0.1，选中 A1，A2 后拖拽填充柄至单元格出现 6.3为止. (2) 计算正弦值：在 B1 内输入“＝sin(A1)”，双击 Bl 的填充柄即得到与第一列相对应的正弦值.
(3) 成图：光标置于数据区任一位置，按“插入/图表/散点图”选择“无数据点平滑散点图”，点击“完成” (图 7-3-5).
事实上，描出五点后，函数 y＝sin x，x∈[0，2π] 的图象形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图. 这种作图方法称为“五点法”.
(1) 正弦曲线正弦函数 y＝sin x，x∈R 的图象叫正弦曲线.
(2) 正弦函数图象的画法 ① 几何法： (ⅰ) 利用正弦线画出 y＝sin x，x∈[0，2π] 的图象；
(ⅱ) 将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
②“五点法”： (ⅰ) 画出正弦曲线在 [0，2π] 上的图象的五个关键点 (0，0)，_________，(π，0)，___________，(2π，0)，用光滑的曲线连接； (ⅱ) 将所得图象向左、向右平行移动 (每次 2π 个单位长度).
(3)本质： 正弦曲线是正弦函数的图形表示，是正弦函数的一种直观表示.(4) 应用： 根据正弦曲线，能帮助学生更直观地认识正弦函数，进而根据正弦曲线推导正弦函数的一些常用性质.
在作 y＝2＋sin x 的图象时，应抓住哪些关键点?
(1) 余弦曲线 余弦函数 y＝cs x，x∈R 的图象叫余弦曲线.
y＝cs x (x∈R) 的图象可由 y＝sin x (x∈R) 的图象平移得到的原因是什么?
观察正弦曲线和余弦曲线(图 7-3 - 6)，我们得到正弦函数、余弦函数有以下主要性质.
(1) 定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集_____.
由正弦曲线和余弦曲线可以发现， －1≤sin x ≤1， － l ≤cs x ≤ 1，而且 sin x，cs x 都可以取 [－1，1] 中的一切值.这说明正弦函数、余弦函数的值域都是____________.
余弦函数： 当且仅当 x＝ ___________ (k∈Z) 时取得最大值 1， 当且仅当 x＝ ___________ (k∈Z) 时取得最小值－1.
(3) 周期性： 正弦函数和余弦函数都是周期函数，并且周期都是________.(4) 奇偶性： 正弦函数是奇函数，其图象关于_______对称：余弦函数是偶函数其图象关于 _______ 对称.
这个变化情况如下表所示：
三、正弦函数、余弦函数的性质
[－π＋2kπ ，2kπ ](k∈Z)
[2kπ ，π＋2kπ ](k∈Z)
π＋2kπ，(k∈Z)
(2)本质： 函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质.(3)应用： 求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x的值.
从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置?
提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方.
试讨论余弦函数的单调性.
用“五点法”画出下列函数的简图：
(1) y＝2cs x，x∈R；
解 (1) 先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得整个图象(图 7－3－7).
(2) y＝ sin 2x，x∈R.
解 先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得出整个图象 (图7－3－8).
求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x的集合：
(2) y＝2－sin 2x；
不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点.( ) (2) 余弦函数 y＝cs x 的图象与 y＝sin x 的图象形状和位置都不一样.( ) (3) 函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同.( )
2. 以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是( )A. 在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z) 上的图象形状相同，只是位置不同B.介于直线 y＝1与直线 y＝－1之间C.关于x轴对称D.与y轴仅有一个交点
解析：画出 y＝sin x 的图象(图略)，根据图象可知 A，B，D 三项都正确.
3. 函数 y＝－xcs x 的部分图象是( )
2. 函数 y＝cs x 与函数 y＝－cs x 的图象( ) A. 关于直线x＝1对称B. 关于原点对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
解析：由解析式可知 y＝cs x 的图象过点 (a，b)，则 y＝－cs x 的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称.
3.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈[2π，4π] 的图象( )A.重合B.形状相同，位置不同C.关于y轴对称D.形状不同，位置不同
解析：根据正弦曲线的作法可知函数 y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈[2π，4π] 的图象只是位置不同，形状相同.
4. 如图是下列哪个函数的图象( ) A. y＝1＋sin x，x∈[0，2π] B. y＝1＋2sin x，x∈[0，2π] C. y＝1－sin x，x∈[0，2π] D. y＝1－2sin x，x∈[0，2π]
1. 下列各等式有可能成立吗?为什么?
(1) 2cs x ＝ 3；
解 不可能理由如下：∵2 csx ＝3，∴csx＝1.5. 又∵－1≤csx≤1， ∴等式 2csx＝3 不可能成立.
(2) sin2x ＝ 0.5.
2. (1) 函数 y＝sinx 的图象是轴对称图形吗? 若是，写出 它的一条对称轴.
(2) 函数 y＝sin x 的图象是中心对称图形吗?若是，写出 它的一个对称中心.
解 函数 y＝sinx 的图象是中心对称图形， 其对称中心为(kπ，0) (k∈Z)， 故其一个对称中心为 (0，0).
3. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦 曲线的区别和联系：
(1) y＝sin x－ l；
解 先用“五点法”作出函数y＝sinx－1在[0，2π]上的图象，列表：
描点画图，再将函数图象向左或向右平移 2kπ (k∈N*)个单位，得函数y＝sinx－1在R上的图象，
将正弦曲线y＝sinx下平移1个单位长度得到y＝sinx－1 的图象；
(2) y＝2sin x.
解 先用“五点法”作出函数在 [0，2] 上的图象，列表：
描点画图，再将函数图象向左或向右平移 2kπ (k∈N*)个单位，得函数y＝2sinx在R上的图象，
将正弦曲线 y＝sinx 上的每个点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到 y＝2sinx 的图象.
4. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦 曲线的区别和联系：
(1) y＝1＋cs x；
解 函数 y＝1＋csx 的图象，可以看作是把 y＝csx 的图象上所有的点向上平移1个单位而得到的.
5. 求下列函数的最小值及取得最小值时自变量x的集合：
(1) y＝－2sin x；
7. 求下列函数的单调区间：
(2) y＝3cs x；
解 对于函数 y＝3csx，可得它单调性和 y＝csx 的单调性一致， 故它的增区间为 [2kπ－π，2kπ]，k∈Z， 减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
8. 不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1) sin 250°与sin 260°；
由于正切函数 y＝tanx 是以为周期的周期函数，故只需先画出一个周期内的图象，然后由周期性，就可得出整个图象.
把上述图象向左、右平移(每次 个单位)，就可得到正切函数的图象，并把它称为正切曲线.
四、正切函数的图象与性质
(2)本质： 根据正切函数的解析式、图象，总结正切函数的性质.(3)应用： 画正切函数的图象，解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.
正切函数在整个定义域上都是增函数吗?
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2) 正切函数是中心对称图形，对称中心是原点. ( ) (3) 存在某个区间，使正切函数在该区间上是单调递减的.( )
1. 观察正切函数的图象，分别写出满足下列条件的 x 的集合：
(1) tan x＝0；
(2) tan x＜0；
2. 求下列函数的定义域：
3. 不求值，判断下列各式的符号：
(1) tan 138°－ tan 143°；
解 ∵ 90°＜138°＜ 270°，90°＜143°＜ 270°， 且 y＝tan x 在 (90°270) 上是增函数， ∴ tan 138°＜tan 143°， ∴ tan 138°－tan 143°＜ 0，故原式为负.
阅 读
正切、余切等三角函数的由来
古人立杆测日影以定时间。后来发展成为日晷，在中国有周公测景的记载(约公元前 1100 年). 希腊泰勒斯(Thales，约公元前 625－前 547)利用日影确定金字塔的高. 我国唐代一行(原名张遂，683－727)创制《大衍历》，在实测的基础上利用三次内插法算出每个节气初日8 尺之表的日影长，实际上相当于一个正切表.
由日影的测量就逐步形成了正切和余切的概念.
阿拉伯天文学家、数学家巴塔尼 (al-Battani，约 858—929)也立杆测日影，把杆子AB插在平地上，日影 l＝CB 称为“直阴影”(图7－3－11).设太阳仰角为 α ，则日影长为(用现代符号)l ＝ h ct α.
又把杆子水平地插在竖直的墙上 (图7－3－12)，日影 t＝CB 叫作“反阴影”，它和太阳仰角 α 的关系是t＝h tan α.
16 世纪时，天文观测日益精密，迫切需要更为精确的三角函数表.天文学家哥白尼的学生雷蒂库斯 (，1514-1574)重新给出三角函数的定义，即把它定义为直角三角形的边长之比，并首次编制全部六个三角函数表.17 世纪时，现在通用的六个三角函数的符号陆续由不同的学者引入，18 世纪时，由于瑞士数学家欧拉 ( L.Euler，1707-1783)的使用，这些符号得以推广.
如图 7-3-13，摩天轮的半径 r为 40 m，圆心O距地面的高度为48m，摩天轮做逆时针匀速转动，每30 min 转一圈摩天轮上点P的起始位置在最低点处如何确定在时刻 t (min)时，点 P 距离地面的高度 H?
取点O为坐标原点，水平线为 x 轴，建立如图 7-3-14 所示的直角坐标系.
作函数 y＝sin(x＋1)和 y＝sinx 的图象(图7-3-15).
从图 7-3-15 中可以看出，函数 y＝sin(x＋1) 的图象上横坐标为t－1的点的纵坐标，与函数 y＝sin x 的图象上横坐标为 t 的点的纵坐标相同.
这表明，点 (t，sin t) 在函数 y＝sin x 的图象上，而点 (t－1，sin t ) 在函数 y＝sin(x＋1) 的图象上.因此，函数 y＝sin(x＋1) 的图象可以看作是将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移 1个单位而得到的.
函数 y＝sin(x－1) 的图象与函数 y＝sin x 的图象有什么关系?
φ对函数 y＝sin(x＋φ) 图象的影响：
作函数 y＝3sinx 和 y＝sinx 的图象(图7-3-16).
从图 7-3-16 中可以看出，函数 y＝3sin x 的图象上横坐标为 t 的点的纵坐标等于函数 y＝sin x 的图象上横坐标为 t 的点的纵坐标的3倍.
这表明，点 (t，sin t) 在函数 y＝sin x 的图象上，而点 (t，3sint) 在函数 y＝3sinx 的图象上. 因此，函数 y＝3sinx 的图象可以看作是将函数 y＝sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的 3 倍 (横坐标不变) 而得到的.
A对函数 y＝Asin x 图象的影响：
一般地，函数 y＝Asin x (A＞0且 A≠1) 的图象，可以看作是将函数 y＝sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍 (横坐标不变) 而得到的.
作函数 y＝sin 2x 和 y＝sin x 的图象(图7-3-17).
ω对函数 y＝sin ωx 图象的影响：
最后，我们来研究函数 y＝sin(2x＋1)和 y＝sin 2x 的图象之间的关系.先作出它们的图象(图 7-3-18).
(2) A对函数 y＝Asin x 图象的影响： y＝sin x 图象各点___坐标变为原来的__倍(___坐标不变)得到 y＝Asin x 图象.(3) ω对函数 y＝sin ωx 图象的影响： y＝sin x 图象各点___坐标变为原来的____倍(___坐标不变)得到 y＝sin ωx 图象.
φ、ω、A 分别确定了图象的左右平移、左右伸缩和上下伸缩.
φ、ω、A 广泛应用于图形变换，求函数的最值，周期等数学问题中.
先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗?
提示：不相同.平移的单位长度不同.
解 (1)方法1 先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性，通过向左、右平移 (每次 个单位)得出整个图象(图 7-3-19).
方法 2 作出正弦曲线，并将曲线上每一个点的横坐标变为原来的一倍 (纵坐标不变)，得到函数 y＝sin 2x 的图象；
上述图象变换的顺序如下：
(2) 根据函数的简图，写出(1)中函数的减区间.
(3) 将 y＝sin x 图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到 y＝2sin x 的图象. ( )
2. 为了得到函数 y＝sin (x＋1) 的图象，只需把函数 y＝sin x 的图象上所有的点( )A. 向左平行移动1个单位长度B. 向右平行移动1个单位长度C. 向左平行移动π个单位长度D. 向右平行移动π个单位长度
解析：根据图象平移的方法，左加右减，平移1个单位.
解析：y＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的 后变为 y＝sin 4x 的图象.
1.若函数 y＝sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到 y＝f(x)的图象，则( ) A. f(x)＝cs 2x B. f(x) ＝ sin 2xC. f(x)＝－cs 2x D. f(x) ＝－sin 2x
解析：由ω对图象的影响可知，A正确.
1. 函数 y＝sin x 的图象如图所示，试在这个图上分别画 出下列函数的图象，并说明它们是如何由函数 y＝sin x 的图象变换得到的.
(3) y＝2sinx；
(4) y＝sin 2x.
2. 已知函数 y＝3sinx 的图象为C.
(1) 画出函数的简图；
解：“五点法”列表如下.
答 图画出的是函数在一个周期内的图象，将此图象左、右平移(每次4π个单位长度)使得到整个函数的图象.
(2) 指出它可由函数 y＝sinx 的图象经过哪些变换而得到，并画出图象变换流程图；
(3) 根据函数的简图，写出函数的减区间.
1. 求下列函数的周期：
(2) y＝cs 4x；
2. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
(1) y＝cs x＋2；
解 对于函数 y＝csx＋2，x∈[0，2π] 列表
(2) y＝4sin x；
解 对于函数 y＝4sinx，x∈[0，2π] 列表
3. 确定下列函数的定义域：
4. 求下列函数的最大值、最小值以及使函数取得最大值、 最小值时的 x 的集合：
5. 利用函数的性质，比较下列各组中两个三角函数值的 大小：
(1) sin 103°45′ 与 sin 164°30′；
解 ∵90°＜103°45′ ＜164° 30′ ＜270′， y＝sinx 在此范围内是减函数， ∴ sin 103° 45′＞sin 164°30′.
(3) sin 508°与 sin 144°；
(4) cs 760°与 cs(－ 770°)；
6. 求下列函数的单调区间：
(1) y＝1＋sin x；
(2) y＝－cs x .
(1) 画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2) 根据函数的简图，写出函数的增区间.
(2) 值域为[－ 3，3]
8. 不画图，说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样 的变化得出：
9. 分别写出满足下列条件的 的集合：
(1) tan x ＝ －1；
10. 观察正弦曲线和余弦曲线，分别写出满足下列条件的 x 的集合：
(1) sin x ＞ 0；
(2) cs x ＜ 0 .
11. 请同学们每三人一组，通过实验、猜想、探索和研讨， 共同完成下面的课题，并写出课题研究报告，与其他 小组进行交流.
烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒煤在一起做成的，现在要用矩形铁片做成一个直角烟简弯头(如图，单位：cm)，不考虑焊接处的需要，
选用的矩形铁片至少应满足怎样的尺寸?请你设计出一个最合理的裁剪方案. (在矩形铁片上画出的裁剪线应是什么图形?)
解 将其中一段烟筒拆下转动一个角度后，可以跟另一段烟筒构成一个完整的圆柱.因此最佳的剪裁方案是，用(6 ＋15)×9π＝21×9 的矩形铁片拼接成一段柱筒然后距离一端6cm处做一点，然后过这一点做一个面，该面与底面成45度角，用这个平面剪裁这个圆筒即可. 矩形铁片上的剪裁线应是半圆加长方形.
7 . 3 三角函数的图象和性质
三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么，“周而复始”的基本特征必定蕴含在三角函数的性质之中.
● 三角函数具有哪些性质?
7 . 3 . 1三角函数的周期性
由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化是现出周期现象. 每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同，即有sin(2π＋x) ＝sin x，cs(2π－x) ＝ cs x . 正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.
● 如何用数学语言刻画函数的周期性?
若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x).
设函数 y＝f(x)的定义域为A. 如果存在一个非零常数T，使得对于任意的 x∈A，都有 x＋T∈A，并且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.
易知 2π 是正弦函数和余弦函数的周期，且 4π，6π，···以及－2π，－4π，···都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数 2k (k∈Z且k≠0) 都是这两个函数的周期.
思 考
一个周期函数的周期有多少个?周期函数的图象具有什么特征?
如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的_________，那么这个最小的正数就叫作 f(x) 的最小正周期.
(3)本质： 函数值随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.(4)应用： 函数的周期性是函数的重要性质,是高考中常见的考查知识点，在生活中也有很多的应用.
例如，2π 是正弦函数的所有周期中的最小正数 (同学们可从单位圆中正弦线的变化特征看出这一结论，其证明见本节后“链接”)，所以 2π 是正弦函数的最小正周期；同样地，2π 也是余弦函数的最小正周期.
因此，正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k (k∈Z 且 k≠0) 都是它们的周期，它们的最小正周期都是 2π.
通过观察正切线不难发现，正切函数 y＝tan x 也是周期函数，并日最小正周期是π .今后本书中所说的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.
周期函数都有最小正周期吗?
提示：周期函数不一定存在最小正周期. 例如，对于常数函数 f(x)＝c (c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.
已知作周期性运动的钟摆的高度 h (单位：mm) 与时间 t (单位：s) 之间的函数关系如图 7-3-1 所示： (1) 求该函数的周期；
解 由图象可知，该函数的周期为 1.5 s.
(2) 求 t＝10 s 时钟摆的高度.
解 设 h＝f(t)，由函数 f(t) 的周期为 1.5 s， 可知f(10)＝f(1＋6×1.5) ＝f(1) ＝20. 所以 t＝10s 时钟摆的高度为 20 mm.
求函数 f(x) ＝cs 2x 的周期.
解 设 f(x) 周期为 T ，则 f(x＋T) ＝f(x)，即 cs 2(x＋T) ＝cs2x 对任意实数 x 都成立. 也就是 cs(u＋2T)＝csu 对任意实数 u 都成立，其中u＝2x. 由 y＝cs u 的周期为2π，可知使得 cs(u＋2T)＝csu对任意实数u都成立的2T的最小正值为 2π，可知2T＝2π，即T＝π. 所以 f(x)＝cs 2x 的周期为 π.
二、正、余弦函数的周期
一般地， 函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acs(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且 A≠0，ω＞0) 的周期为________. 函数 y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω， φ为常数，且 A≠0，ω＞0) 的周期为________.
若函数 y＝f(x) 的周期为 T，则函数 y＝Af(ωx＋φ) 的周期为(其中A， ω， φ 为常数，且 A≠0， ω≠0).
当函数 y＝Asin(ωx＋φ)中，ω＜0时，函数的周期是多少?
3. 若函数 f(x)(x∈R) 的图象如图所示. 则该函数的周期为 ( ) A.1 B.2 C.2.5D.5
解析：根据函数的图象知，函数的周期为2.
1. 今天是星期三，从明天算起，第167天是 ( ) A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
解析：因为周期 T＝7，又167＝23×7＋6， 故第167天是星期三的前一天，星期二.
3. 若 f(x) 是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2，则 f(3)－f(4) ＝( ) A.1 B. －1 C.3D. －3
解析：因为 f(x＋5) ＝f(x)，f(－x) ＝－f(x)， 所以 f(3) ＝f(3－5) ＝f(－2) ＝－f(2) ＝－2， 所以 f(4) ＝f(4－5) ＝f(－1) ＝－f(1) ＝－1， 所以 f(3) －f(4) ＝－2＋1＝－1.
5.函数 f(x) 是以 2 为周期的函数，且f(2)＝3，则 f(8)＝____________.
解析：因为 f(x) 的周期为2，所以 f(x＋2) ＝f(x)， 所以 f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3.
练 习
1. 判断下列说法是否正确，并简述理由：
解 正确. 由周期函数的定义易知说法正确.
2. 求下列函数的周期：
(1) y＝2cs 3x；
4. 已知弹管振子对平衡位置的位移 x (单位：cm) 与时间 t (单位：s) 之间的函数关系如图所示. (1) 求该函数的周期；
解 由图可知， 函数的周期 T＝4 s.
(2) 求 t ＝ 10.5 s 时弹簧振子对平横位置的位移.
解 令 x＝f(t)， ∵ f(10.5) ＝f(2×4＋2.5) ＝f(2.5) ＝－8， ∴当t＝10.5 s 时，弹簧振子对平衡位置的位移为 －8 cm.
链 接
2π 是正弦函数的最小正周期
由诱导公式易知，2π 是正弦函数的一个周期. 下面用反证法证明 2π 是它的最小正周期.假设 0＜T＜2，且T是正弦函数的周期，则对任意实数x，都有 sin(x＋T)＝sinx 成立，令 x＝0，得 sinT＝0，
7 . 3 . 2三角函数的图象与性质
为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.
● 怎样作出三角函数的图象?
先画正弦函数的图象. 由于 y＝sin x 是以 2π为周期的周期函数，故只要画出在[0，2π]上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象. 下面我们借助正弦线来画出 y＝sin x 在 [0，2π] 上的图象.
首先，我们来作坐标为(x0，sin x0)的点S(不妨设 x0＞0).
把角 x 的正弦线向右平移，使它的起点与 x 轴上表示数的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数 y＝sin x 在 [0，2π] 上的图象，如图 7-3-3 所示.
最后我们只要将函数 y＝sin x，x∈[0，2π] 的图象向左、右平移(每次 2π 个单位)，就可以得到正弦函数 y＝sin x， x∈ R 的图象(图7-3-4). 正弦函数的图象叫作正弦曲线.
以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也可以通过列表描点来作出正弦曲线，或利用图形计算器、计算机来作出正弦曲线.
在 Excel 中可用“描点连线”的方法绘制正弦曲线，步骤如下. (1) 设置角 (弧度)：在单元格 A1，A2 内分别输入 0，0.1，选中 A1，A2 后拖拽填充柄至单元格出现 6.3为止. (2) 计算正弦值：在 B1 内输入“＝sin(A1)”，双击 Bl 的填充柄即得到与第一列相对应的正弦值.
(3) 成图：光标置于数据区任一位置，按“插入/图表/散点图”选择“无数据点平滑散点图”，点击“完成” (图 7-3-5).
事实上，描出五点后，函数 y＝sin x，x∈[0，2π] 的图象形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图. 这种作图方法称为“五点法”.
(1) 正弦曲线正弦函数 y＝sin x，x∈R 的图象叫正弦曲线.
(2) 正弦函数图象的画法 ① 几何法： (ⅰ) 利用正弦线画出 y＝sin x，x∈[0，2π] 的图象；
(ⅱ) 将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
②“五点法”： (ⅰ) 画出正弦曲线在 [0，2π] 上的图象的五个关键点 (0，0)，_________，(π，0)，___________，(2π，0)，用光滑的曲线连接； (ⅱ) 将所得图象向左、向右平行移动 (每次 2π 个单位长度).
(3)本质： 正弦曲线是正弦函数的图形表示，是正弦函数的一种直观表示.(4) 应用： 根据正弦曲线，能帮助学生更直观地认识正弦函数，进而根据正弦曲线推导正弦函数的一些常用性质.
在作 y＝2＋sin x 的图象时，应抓住哪些关键点?
(1) 余弦曲线 余弦函数 y＝cs x，x∈R 的图象叫余弦曲线.
y＝cs x (x∈R) 的图象可由 y＝sin x (x∈R) 的图象平移得到的原因是什么?
观察正弦曲线和余弦曲线(图 7-3 - 6)，我们得到正弦函数、余弦函数有以下主要性质.
(1) 定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集_____.
由正弦曲线和余弦曲线可以发现， －1≤sin x ≤1， － l ≤cs x ≤ 1，而且 sin x，cs x 都可以取 [－1，1] 中的一切值.这说明正弦函数、余弦函数的值域都是____________.
余弦函数： 当且仅当 x＝ ___________ (k∈Z) 时取得最大值 1， 当且仅当 x＝ ___________ (k∈Z) 时取得最小值－1.
(3) 周期性： 正弦函数和余弦函数都是周期函数，并且周期都是________.(4) 奇偶性： 正弦函数是奇函数，其图象关于_______对称：余弦函数是偶函数其图象关于 _______ 对称.
这个变化情况如下表所示：
三、正弦函数、余弦函数的性质
[－π＋2kπ ，2kπ ](k∈Z)
[2kπ ，π＋2kπ ](k∈Z)
π＋2kπ，(k∈Z)
(2)本质： 函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质.(3)应用： 求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x的值.
从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置?
提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方.
试讨论余弦函数的单调性.
用“五点法”画出下列函数的简图：
(1) y＝2cs x，x∈R；
解 (1) 先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得整个图象(图 7－3－7).
(2) y＝ sin 2x，x∈R.
解 先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得出整个图象 (图7－3－8).
求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x的集合：
(2) y＝2－sin 2x；
不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点.( ) (2) 余弦函数 y＝cs x 的图象与 y＝sin x 的图象形状和位置都不一样.( ) (3) 函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同.( )
2. 以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是( )A. 在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z) 上的图象形状相同，只是位置不同B.介于直线 y＝1与直线 y＝－1之间C.关于x轴对称D.与y轴仅有一个交点
解析：画出 y＝sin x 的图象(图略)，根据图象可知 A，B，D 三项都正确.
3. 函数 y＝－xcs x 的部分图象是( )
2. 函数 y＝cs x 与函数 y＝－cs x 的图象( ) A. 关于直线x＝1对称B. 关于原点对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
解析：由解析式可知 y＝cs x 的图象过点 (a，b)，则 y＝－cs x 的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称.
3.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈[2π，4π] 的图象( )A.重合B.形状相同，位置不同C.关于y轴对称D.形状不同，位置不同
解析：根据正弦曲线的作法可知函数 y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈[2π，4π] 的图象只是位置不同，形状相同.
4. 如图是下列哪个函数的图象( ) A. y＝1＋sin x，x∈[0，2π] B. y＝1＋2sin x，x∈[0，2π] C. y＝1－sin x，x∈[0，2π] D. y＝1－2sin x，x∈[0，2π]
1. 下列各等式有可能成立吗?为什么?
(1) 2cs x ＝ 3；
解 不可能理由如下：∵2 csx ＝3，∴csx＝1.5. 又∵－1≤csx≤1， ∴等式 2csx＝3 不可能成立.
(2) sin2x ＝ 0.5.
2. (1) 函数 y＝sinx 的图象是轴对称图形吗? 若是，写出 它的一条对称轴.
(2) 函数 y＝sin x 的图象是中心对称图形吗?若是，写出 它的一个对称中心.
解 函数 y＝sinx 的图象是中心对称图形， 其对称中心为(kπ，0) (k∈Z)， 故其一个对称中心为 (0，0).
3. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦 曲线的区别和联系：
(1) y＝sin x－ l；
解 先用“五点法”作出函数y＝sinx－1在[0，2π]上的图象，列表：
描点画图，再将函数图象向左或向右平移 2kπ (k∈N*)个单位，得函数y＝sinx－1在R上的图象，
将正弦曲线y＝sinx下平移1个单位长度得到y＝sinx－1 的图象；
(2) y＝2sin x.
解 先用“五点法”作出函数在 [0，2] 上的图象，列表：
描点画图，再将函数图象向左或向右平移 2kπ (k∈N*)个单位，得函数y＝2sinx在R上的图象，
将正弦曲线 y＝sinx 上的每个点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到 y＝2sinx 的图象.
4. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦 曲线的区别和联系：
(1) y＝1＋cs x；
解 函数 y＝1＋csx 的图象，可以看作是把 y＝csx 的图象上所有的点向上平移1个单位而得到的.
5. 求下列函数的最小值及取得最小值时自变量x的集合：
(1) y＝－2sin x；
7. 求下列函数的单调区间：
(2) y＝3cs x；
解 对于函数 y＝3csx，可得它单调性和 y＝csx 的单调性一致， 故它的增区间为 [2kπ－π，2kπ]，k∈Z， 减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
8. 不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1) sin 250°与sin 260°；
由于正切函数 y＝tanx 是以为周期的周期函数，故只需先画出一个周期内的图象，然后由周期性，就可得出整个图象.
把上述图象向左、右平移(每次 个单位)，就可得到正切函数的图象，并把它称为正切曲线.
四、正切函数的图象与性质
(2)本质： 根据正切函数的解析式、图象，总结正切函数的性质.(3)应用： 画正切函数的图象，解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.
正切函数在整个定义域上都是增函数吗?
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2) 正切函数是中心对称图形，对称中心是原点. ( ) (3) 存在某个区间，使正切函数在该区间上是单调递减的.( )
1. 观察正切函数的图象，分别写出满足下列条件的 x 的集合：
(1) tan x＝0；
(2) tan x＜0；
2. 求下列函数的定义域：
3. 不求值，判断下列各式的符号：
(1) tan 138°－ tan 143°；
解 ∵ 90°＜138°＜ 270°，90°＜143°＜ 270°， 且 y＝tan x 在 (90°270) 上是增函数， ∴ tan 138°＜tan 143°， ∴ tan 138°－tan 143°＜ 0，故原式为负.
阅 读
正切、余切等三角函数的由来
古人立杆测日影以定时间。后来发展成为日晷，在中国有周公测景的记载(约公元前 1100 年). 希腊泰勒斯(Thales，约公元前 625－前 547)利用日影确定金字塔的高. 我国唐代一行(原名张遂，683－727)创制《大衍历》，在实测的基础上利用三次内插法算出每个节气初日8 尺之表的日影长，实际上相当于一个正切表.
由日影的测量就逐步形成了正切和余切的概念.
阿拉伯天文学家、数学家巴塔尼 (al-Battani，约 858—929)也立杆测日影，把杆子AB插在平地上，日影 l＝CB 称为“直阴影”(图7－3－11).设太阳仰角为 α ，则日影长为(用现代符号)l ＝ h ct α.
又把杆子水平地插在竖直的墙上 (图7－3－12)，日影 t＝CB 叫作“反阴影”，它和太阳仰角 α 的关系是t＝h tan α.
16 世纪时，天文观测日益精密，迫切需要更为精确的三角函数表.天文学家哥白尼的学生雷蒂库斯 (，1514-1574)重新给出三角函数的定义，即把它定义为直角三角形的边长之比，并首次编制全部六个三角函数表.17 世纪时，现在通用的六个三角函数的符号陆续由不同的学者引入，18 世纪时，由于瑞士数学家欧拉 ( L.Euler，1707-1783)的使用，这些符号得以推广.
如图 7-3-13，摩天轮的半径 r为 40 m，圆心O距地面的高度为48m，摩天轮做逆时针匀速转动，每30 min 转一圈摩天轮上点P的起始位置在最低点处如何确定在时刻 t (min)时，点 P 距离地面的高度 H?
取点O为坐标原点，水平线为 x 轴，建立如图 7-3-14 所示的直角坐标系.
作函数 y＝sin(x＋1)和 y＝sinx 的图象(图7-3-15).
从图 7-3-15 中可以看出，函数 y＝sin(x＋1) 的图象上横坐标为t－1的点的纵坐标，与函数 y＝sin x 的图象上横坐标为 t 的点的纵坐标相同.
这表明，点 (t，sin t) 在函数 y＝sin x 的图象上，而点 (t－1，sin t ) 在函数 y＝sin(x＋1) 的图象上.因此，函数 y＝sin(x＋1) 的图象可以看作是将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移 1个单位而得到的.
函数 y＝sin(x－1) 的图象与函数 y＝sin x 的图象有什么关系?
φ对函数 y＝sin(x＋φ) 图象的影响：
作函数 y＝3sinx 和 y＝sinx 的图象(图7-3-16).
从图 7-3-16 中可以看出，函数 y＝3sin x 的图象上横坐标为 t 的点的纵坐标等于函数 y＝sin x 的图象上横坐标为 t 的点的纵坐标的3倍.
这表明，点 (t，sin t) 在函数 y＝sin x 的图象上，而点 (t，3sint) 在函数 y＝3sinx 的图象上. 因此，函数 y＝3sinx 的图象可以看作是将函数 y＝sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的 3 倍 (横坐标不变) 而得到的.
A对函数 y＝Asin x 图象的影响：
一般地，函数 y＝Asin x (A＞0且 A≠1) 的图象，可以看作是将函数 y＝sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍 (横坐标不变) 而得到的.
作函数 y＝sin 2x 和 y＝sin x 的图象(图7-3-17).
ω对函数 y＝sin ωx 图象的影响：
最后，我们来研究函数 y＝sin(2x＋1)和 y＝sin 2x 的图象之间的关系.先作出它们的图象(图 7-3-18).
(2) A对函数 y＝Asin x 图象的影响： y＝sin x 图象各点___坐标变为原来的__倍(___坐标不变)得到 y＝Asin x 图象.(3) ω对函数 y＝sin ωx 图象的影响： y＝sin x 图象各点___坐标变为原来的____倍(___坐标不变)得到 y＝sin ωx 图象.
φ、ω、A 分别确定了图象的左右平移、左右伸缩和上下伸缩.
φ、ω、A 广泛应用于图形变换，求函数的最值，周期等数学问题中.
先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗?
提示：不相同.平移的单位长度不同.
解 (1)方法1 先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性，通过向左、右平移 (每次 个单位)得出整个图象(图 7-3-19).
方法 2 作出正弦曲线，并将曲线上每一个点的横坐标变为原来的一倍 (纵坐标不变)，得到函数 y＝sin 2x 的图象；
上述图象变换的顺序如下：
(2) 根据函数的简图，写出(1)中函数的减区间.
(3) 将 y＝sin x 图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到 y＝2sin x 的图象. ( )
2. 为了得到函数 y＝sin (x＋1) 的图象，只需把函数 y＝sin x 的图象上所有的点( )A. 向左平行移动1个单位长度B. 向右平行移动1个单位长度C. 向左平行移动π个单位长度D. 向右平行移动π个单位长度
解析：根据图象平移的方法，左加右减，平移1个单位.
解析：y＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的 后变为 y＝sin 4x 的图象.
1.若函数 y＝sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到 y＝f(x)的图象，则( ) A. f(x)＝cs 2x B. f(x) ＝ sin 2xC. f(x)＝－cs 2x D. f(x) ＝－sin 2x
解析：由ω对图象的影响可知，A正确.
1. 函数 y＝sin x 的图象如图所示，试在这个图上分别画 出下列函数的图象，并说明它们是如何由函数 y＝sin x 的图象变换得到的.
(3) y＝2sinx；
(4) y＝sin 2x.
2. 已知函数 y＝3sinx 的图象为C.
(1) 画出函数的简图；
解：“五点法”列表如下.
答 图画出的是函数在一个周期内的图象，将此图象左、右平移(每次4π个单位长度)使得到整个函数的图象.
(2) 指出它可由函数 y＝sinx 的图象经过哪些变换而得到，并画出图象变换流程图；
(3) 根据函数的简图，写出函数的减区间.
1. 求下列函数的周期：
(2) y＝cs 4x；
2. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
(1) y＝cs x＋2；
解 对于函数 y＝csx＋2，x∈[0，2π] 列表
(2) y＝4sin x；
解 对于函数 y＝4sinx，x∈[0，2π] 列表
3. 确定下列函数的定义域：
4. 求下列函数的最大值、最小值以及使函数取得最大值、 最小值时的 x 的集合：
5. 利用函数的性质，比较下列各组中两个三角函数值的 大小：
(1) sin 103°45′ 与 sin 164°30′；
解 ∵90°＜103°45′ ＜164° 30′ ＜270′， y＝sinx 在此范围内是减函数， ∴ sin 103° 45′＞sin 164°30′.
(3) sin 508°与 sin 144°；
(4) cs 760°与 cs(－ 770°)；
6. 求下列函数的单调区间：
(1) y＝1＋sin x；
(2) y＝－cs x .
(1) 画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2) 根据函数的简图，写出函数的增区间.
(2) 值域为[－ 3，3]
8. 不画图，说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样 的变化得出：
9. 分别写出满足下列条件的 的集合：
(1) tan x ＝ －1；
10. 观察正弦曲线和余弦曲线，分别写出满足下列条件的 x 的集合：
(1) sin x ＞ 0；
(2) cs x ＜ 0 .
11. 请同学们每三人一组，通过实验、猜想、探索和研讨， 共同完成下面的课题，并写出课题研究报告，与其他 小组进行交流.
烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒煤在一起做成的，现在要用矩形铁片做成一个直角烟简弯头(如图，单位：cm)，不考虑焊接处的需要，
选用的矩形铁片至少应满足怎样的尺寸?请你设计出一个最合理的裁剪方案. (在矩形铁片上画出的裁剪线应是什么图形?)
解 将其中一段烟筒拆下转动一个角度后，可以跟另一段烟筒构成一个完整的圆柱.因此最佳的剪裁方案是，用(6 ＋15)×9π＝21×9 的矩形铁片拼接成一段柱筒然后距离一端6cm处做一点，然后过这一点做一个面，该面与底面成45度角，用这个平面剪裁这个圆筒即可. 矩形铁片上的剪裁线应是半圆加长方形.
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