2023-2024学年江西省南昌市南昌县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌市南昌县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. (3a)2=9a2B. a2⋅a3=a6C. (a3)2=a5D. 2a2+3a2=5a4
3.下列等式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. a(x+y)=ax+ayB. x2+2x+1=x(x+2)+1
C. (x+1)(x+2)=x2+3x+2D. x3−x=x(x+1)(x−1)
4.下列各式：x2+5x，x2+1，x2+xx，3π，其中分式有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.已知2m−n=3，4m2−3mn+n2=14，则mn的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.已知三角形的三条边长分别为a、b、c，则代数式a2+b2−c2−2ab的值( )
A. 小于零B. 等于零C. 大于零D. 不能确定
7.一项工程，甲队单独做需20天完成，甲、乙合作需12天完成，则乙队单独做需多少天完成？若设乙单独做需x天完成，则可得方程( )
A. 120+112=1xB. x20+x12=1C. 112+120=xD. 120+1x=112
8.若关于x的不等式组y−2≤y−223y+1−m≥0有解，则满足条件的整数m的最大值为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：20100×(−3)+(−13)−2= ______．
10.全国科学技术名词审定委员会将PM2.5的中文名称命名为细颗粒物，细颗粒物指环境空气中空气动力学当量直径小于或等于0.0000025米的颗粒物.其中0.0000025用科学记数法表示为______．
11.多项式4a2+2ma+16是完全平方式，那么m的值是______．
12.如图，l1//l2，点O在直线l1上，且∠AOB=90°，若∠2=51°，则∠1的度数为______．
13.已知a+1a=3，则a2+1a2的值是______．
14.已知实数a，b，c满足a+b=ab=c，有下列结论：
①若c≠0，则a−3ab+b2a+7ab+2b=−29；
②若a=3，则b+c=9；
③若c≠0，则(1−a)(1−b)=1a+1b；
④若c=5，则a2+b2=15．
其中正确的是______(把所有正确结论的序号都填上)．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
15.探索发现：
11×2=1−12；
12×3=12−13；
13×4=13−14；
根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)15×6=______；1n×(n+1)=______；
(2)利用发现的规律计算：11×2+12×3+13×4+…+1n×(n+1)；
(3)利用以上规律解方程：1x(x+2)+1(x+2)(x+4)+…+1(x+48)(x+50)=1x+50．
四、解答题：本题共7小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
分解因式：(1)x2y−4y；
计算：(2)(−2xy2)2⋅3x2y÷(−x3y4).
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(x+2−5x−2)÷x+3x−2，其中x=1．
18.(本小题6分)
解分式方程：xx−1+1x2−1=1．
19.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(−3,1)，B(2,3)，C(1,0)．
(1)在图中作△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC关于直线l轴对称；
(2)点A′的坐标为______，点B′的坐标为______；
(3)设点P的坐标为(a,b)，则P点关于直线l轴对称的点P′的坐标为______．
20.(本小题8分)
已知：如图，点P是等边△ABC内一点，点Q是BP延长线上一点，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
(Ⅰ)求证：△ABP≌△ACQ；
(Ⅱ)求证：△APQ是等边三角形；
(Ⅲ)线段CQ、AP、BQ三者之间有怎样的数量关系？并请你说明理由．
21.(本小题8分)
为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．
(1)求A和B两种图书的单价；
(2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？
22.(本小题8分)
如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，其中2a>2b，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是______；
(2)利用图2中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式：(a+b)2，(a−b)2，ab之间的数量关系是______；
(3)利用(2)中的结论，计算当x−y=2,xy=34时，x+y的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合．
故选：C．
把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．
本题主要考查了轴对称的图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、(3a)2=9a2，正确，符合题意；
B、a2⋅a3=a5，原计算错误，不符合题意；
C、(a3)2=a6，原计算错误，不符合题意；
D、2a2+3a2=5a2，原计算错误，不符合题意．
故选：A．
分别根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟知运算法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、属于整式的乘法，故不符合题意；
B、不是几个整式乘积的形式，即不属于因式分解，故不符合题意；
C、属于整式的乘法，故不符合题意；
D、属于因式分解，故符合题意；
故选：D．
题可根据“把一个多项式写成几个整式乘积的形式”进行求解即可．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：x2+xx是分式，共1个，
故选：A．
形如AB(A,B均为整式，且B中含有字母，B≠0)的代数式即为分式，据此进行判断即可．
本题考查分式，熟练掌握其定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵2m−n=3，
∴(2m−n)2=32，即4m2−4mn+n2=9，
∴4m2+n2=9+4mn，
∴4m2−3mn+n2=9+4mn−3mn=14，
∴mn=5，
故选：C．
将已知等式两边平方，再代入所求式子可得答案．
此题考查的是完全平方公式，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看作一项后，也可以用完全平方公式．
6.【答案】A
【解析】解：∵三角形的三条边长分别为a、b、c，
∴a+c>b，a−b∴a−b+c=a+c−b>0，a−b−c<0
∵a2+b2−c2−2ab
=a2−2ab+b2−c2
=(a−b)2−c2
=(a−b+c)(a−b−c)
∴(a−b+c)(a−b−c)<0，
故选：A．
先根据三角形三边关系，判断a−b+c和a−b−c的正负，然后把所求代数式分解因式，进行判断即可．
本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是熟练掌握三角形三边关系和几种常见的分解因式的方法．
7.【答案】D
【解析】解：设乙单独做需x天完成，由题意得：
120+1x=112，
故选：D．
首先设乙单独做需x天完成，根据题意可得等量关系：甲的工作效率+乙的工作效率=112，根据等量关系，列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8.【答案】B
【解析】解：不等式组y−2≤y−22①3y+1−m≥0②，
由①得y≤2，
由②得y≥13(m−1)，
∵不等式组有解，
∴13(m−1)≤2，
解得m≤7，
∴满足条件的整数m的最大值为7．
故选：B．
先解一元一次不等式组，根据不等式组有解可得m≤7，即可确定满足条件的整数m的最大值为7．
本题考查一元一次不等式组的解，一元一次不等式的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
9.【答案】6
【解析】解：原式=1×(−3)+9=−3+9=6，
故答案为：6．
先计算零指数幂与负整数指数幂，再计算乘法与加法即可得．
本题主要考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键，任何不等于0的数的0次幂都等于1是常考知识点，需重点掌握．
10.【答案】2.5×10−6
【解析】解：0.0000025=2.5×10−6．
故答案为：2.5×10−6．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11.【答案】±8
【解析】解：∵多项式4a2+2ma+16是完全平方式，
∴4a2+2ma+16=(2a±4)2，
∴m=±8．
故答案为：±8．
这里首末两项是2a和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2a和4积的2倍．
此题主要查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
12.【答案】39°
【解析】解：∵∠2=51°，
∴∠OBA=51°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BAO=90°−51°=39°，
∵l1/​/l2，
∴∠BAO=∠1=39°，
故答案为：39°．
根据对顶角的性质得出∠OBA，再根据互余求出∠BAO，然后根据平行线的性质得出∠1的度数．
本题考查了平行线的性质及互余的概念，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题关键．
13.【答案】7
【解析】解：∵a+1a=3，
∴(a+1a)2=a2+2a×1a+(1a)2=a2+2+1a2=9，
则a2+1a2=9−2=7，
故答案为：7．
根据(x±y)2=x2±2xy+y2，直接作答即可．
本题考查了完全平方公式，分式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
14.【答案】①③④
【解析】解：①∵c≠0，
∴ab≠0
∵a+b=ab，
∴原式=a+b−3ab2(a+b)+7ab=ab−3ab2ab+7ab=−2ab9ab=−29
故①正确；
②∵c=3，
∴ab=3，
∴a+b=3，
∴联立ab=3a+b=3
化简可得：b2−3b+3=0，
∵△<0，
∴该方程无解，
c=3时，a、b无解，故②错误；
③∵c≠0，
∴ab≠0，
∵a+b=ab
∴(1−a)(1−b)=1−b−a+ab=1，
1a+1b=a+bab=1，
∴(1−a)(1−b)=1a+1b，故③正确；
④∵c=5，
∴a+b=ab=5，
联立a+b=5ab=5，
化简可得：b2−5b+5=0，
∵△>0，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=15，故④正确
故答案为：①③④
①由题意可知：a+b=ab=c≠0，将原式变形后将a+b整体代入即可求出答案．
②由题意可知：a+b=ab=3，联立方程后，可得出一个一元二次方程，由于△<0，所以a、b无解，
③分别计算(1−a)(1−b)和1a+1b．
④由于a+b=ab=5，联立方程可知△>0，所以由完全平方公式即可求出a2+b2的值．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式与整式的运算法则，本题属于中等题型．
15.【答案】15−16 1n−1n+1
【解析】解：(1)15×6=15−16，1n×(n+1)=1n−1n+1；
故答案为：15−16，1n−1n+1；
(2)11×2+12×3+13×4+…+1n×(n+1)
=1−12+12−13+13−14+…+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1；
(3)1x(x+2)+1(x+2)(x+4)+…+1(x+48)(x+50)=1x+50，
12(1x−1x+2)+12(1x+2−1x+4)+…+12(1x+48−1x+50)=1x+50，
12(1x−1x+2+1x+2−1x+4+…+1x+48−1x+50)=1x+50，
1x−1x+50=2x+50，
∴1x=3x+50．
∴x+50=3x．
解的x=25．
经检验，x=25是原分式方程的解．
∴x=25．
(1)根据规律可直接得答案；(2)利用(1)的规律求解；(3)利用(1)的规律，得分式方程，求解即可．
本题考查了分式的加减及分式方程的解法，根据已知算式找到规律是解决本题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=y(x2−4)
=y(x+2)(x−2)；
(2)原式=4x2y4⋅3x2y÷(−x3y4)
=12x4y5÷(−x3y4)
=−12xy．
【解析】(1)先提取公因式，再利用平方差公式；
(2)先算乘方，再算乘除法．
本题考查了因式分解和整式的运算，掌握因式分解的提公因式法、公式法及整式的运算法则是解决本题的关键．
17.【答案】解：(x+2−5x−2)÷x+3x−2
=(x+2)(x−2)−5x−2÷x+3x−2
=x2−9x−2⋅x−2x+3
=(x+3)(x−3)x−2⋅x−2x+3
=x−3，
当x=1时，原式=1−3=−2．
【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】解：方程的两边同乘(x+1)(x−1)，得
x(x+1)+1=x2−1，
解得x=−2．
检验：当x=−2时，(x+1)(x−1)=3≠0．
所以原方程的解为x=−2．
【解析】先把分式方程化为整式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19.【答案】(−3,−3) (2,−5) (a,−2−b)
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(2)由图可得，A′(−3,−3)，B′(2,−5)．
故答案为：(−3,−3)，(2,−5)．
(3)由题意得，点P′的横坐标为a，纵坐标为2×(−1)−b=−2−b，
∴点P′的坐标为(a,−2−b)．
故答案为：(a,−2−b)．
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)由图可得答案．
(3)根据轴对称的性质可得答案．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】(Ⅰ)证明：如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠ABP=∠ACQBP=CQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)．
(Ⅱ)证明：∵△ABP≌△ACQ，
∴AP=AQ，∠1=∠2．
∵∠BAC=∠1+∠3=60°，
∴∠2+∠3=60°．
即∠PAQ=60°．
∴△APQ是等边三角形；
(Ⅲ)解：BQ=CQ+AP．
理由：∵△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ，
∵△ABP≌△ACQ，
∴BP=CQ，
∴BQ=BP+PQ=CQ+PQ=CQ+AP．
【解析】(Ⅰ)由△ABC是等边三角形，可得AB=AC，∠BAC=60°，利用SAS，即可得出△ABP≌△ACQ．
(Ⅱ)由△ABP≌△ACQ，可得AP=AQ，∠1=∠2，∠1+∠3=60°，由∠2+∠3=60°.可得∠PAQ=60°，即可得出△APQ是等边三角形；
(Ⅲ)由全等三角形的性质可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定及性质，解题的关键是得出△ABP≌△ACQ．
21.【答案】解：(1)设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，
依题意，得：30001.5x−1600x=20，
解得：x=20，
经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x=30．
答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．
(2)30×0.8×20+20×0.8×25=880(元)．
答：共花费880元．
【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
(1)设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，根据数量=总价÷单价，结合花3000元购买的A种图书比花1600元购买的B种图书多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)根据总价=单价×数量，即可求出结论．
22.【答案】a−b (a+b)2−4ab=(a−b)2
【解析】解：(1)根据拼图可知，图2中阴影部分的正方形的边长是a−b，
故答案为：a−b；
(2)图2中阴影部分的正方形的边长是a−b，所以阴影部分的面积可以表示为(a−b)2，
阴影部分的面积也可以看作大正方形与4个小长方形的面积差，即为(a+b)2−4ab，
∴(a+b)2，(a−b)2，ab之间的数量关系是(a+b)2−4ab=(a−b)2，
故答案为：(a+b)2−4ab=(a−b)2；
(3)由(2)可知，(x+y)2−4xy=(x−y)2，
当x−y=2，xy=34时，(x+y)2−4×34=22，
∴(x+y)2=7，
∴x+y的值为± 7．
(1)根据拼图可直观得出阴影部分的正方形的边长；
(2)根据图形各个部分面积之间的和差关系即可得出结论；
(3)利用(2)中的结论，将当x−y=2，xy=34代入(x+y)2−4xy=(x−y)2进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积的和差关系式正确解答的关键．