北师大版高中数学必修第二册 第1章 §2 任意角 PPT课件

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任意角温故知新1.将0°~360°的角的概念推广到任意角.（重点）2.认识象限角及其表示. （难点）学习目标导入在初中，我们研究了0 °~360°的角，特别学习了锐角、直角、钝角、平角和周角等.角的概念推广 圆周运动是一种常见的周期性变化现象.如图，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点P的位置变化呢? 我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.在图中，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α，射线OA，OP分别是角α的始边和终边.当角α确定时，终边OP的位置就确定了.这时，射线OP与圆O的交点P也就确定了.由此想到，可以借助角a的大小变化刻画点P的位置变化. 在生活中，拧紧螺丝时，需要将扳手顺时针方向旋转；拧松螺丝时，需要将扳手逆时针方向旋转.可以旋转一圈，也可以旋转多圈.为了描述这种现象，需要对角的概念进行推广.实例分析 如图，平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边.OABα抽象概括 在数学上规定，按逆时针方向旋转形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α =0°.“角α”或“∠α”可以简记成“α”.OABα这样，我们就把角的概念推广到了任意角.任意角正角负角零角OABα 如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍，那么所得新角的终边与原角的终边重合.OABα 图①中的角是750°的正角；图②中，正角α= 210°，负角β=-150°，负角γ=-660°在跳水运动中，“转体2周”即“转720°”， “翻腾3周”即“翻腾1 080°”，这些都是跳水动作的名称.图①图② 对于一个钟表，分针按顺时针方向旋转，在旋转过程中与起始位置所形成的角总是负角.设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α = β. 设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β ，这时终边所对应的角是α + β.于是，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有 a-β=a+（-β）这样，角的减法就转化为角的加法.象限角及其表示 为了方便研究问题，本节及以后经常将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴. 以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类： 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角； 如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限. 例如，图①中，30°，390°和-690°角都是第一象限角；图②中，300°和-60°角都是第四象限角；图③中，585°角是第三象限角.图①图②图③ 从图①中可以看出，390°和-690 °角的终边都与30 °角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°~360°的角与k个周角的和，其中k为整数，即390° = 30 ° + 360° (k=1)，-690°=30°+(-2)×360° (k=-2).图① 设集合S= {β| β =30°+k·360°，k∈Z}，则390°，-690°角都是S的元素，30°角也是S的元素(k=0).容易看出：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是集合S的元素；反之，集合S的任一元素的终边显然与30°角终边相同. 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S= {β| β = α +k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.抽象概括各象限角的集合表示轴线角的集合表示轴线角的集合表示例1：判定下列各角是第几象限角：(1)- 60°； (2) 945°； (3)-950°12'.解：(1)因为-60°角的终边在第四象限，所以它是第四象限角；解： (2)因为945 ° =225 ° +2×360 °，所以945 °与225 °角的终边相同，而225 °角的终边在第三象限，所以945 °角是第三象限角； (3)因为-950°12'=129°48' +(-3) × 360°，而129°48' 角的终边在第二象限，所以-950°12'角是第二象限角.解：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°和270°角(如图).因此，所有与90°角终边相同的角构成集合 S1={β| β =90°+k·360°，k∈Z}；而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β| β =270°+k·360°，k∈Z}.例2：写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合.于是，终边在y轴上的角的集合 S= S1 ∪ S2={β| β =90°+k·360°，k∈Z} ∪{β| β =270°+k·360°，k∈Z} ={β|β=90°+ 2k·180°,k∈Z} ∪{β| β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z} ={β| β =90°+k·180°，k∈Z}.例3：写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合-360°≤ β ≤720°的元素β写出来.解：S={β | β =60°+k·360°，k∈Z}. S中适合-360° ≤β ＜ 720°的元素应满足 -360° ≤ 60°+k·360° ＜ 720°. 思考交流 已知角α为锐角，那么角α的终边与角α+180°,α-180°,180°-α终边的几何关系分别是什么?如果角α是任意角呢?请画图说明.本课小结