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高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步5 垂直关系5.1 直线与平面垂直课文内容ppt课件
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步5 垂直关系5.1 直线与平面垂直课文内容ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了温故知新，学习目标，课文精讲，直线与平面垂直的性质，典型例题，直线与平面垂直的判定等内容，欢迎下载使用。
1.借助常见几何体了解直线与平面垂直的定义,了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的性质定理,并会用定理证明相关问题.
3.掌握直线与平面垂直的判定定理,并会用定理判定线面垂直.4.会求简单的空间距离问题(点面距离、线面距离、面面距离).
天安门广场上竖立的国旗杆与地面，直立在水平桌面上打开书的书脊与桌面(如图)等都展示了直线与平面垂直的形象.那么，什么是直线与平面垂直呢?
观察立在水平桌面上打开的书，书脊可以抽象成一条直线，书脊与桌面上每一页的下底边所在直线都垂直，就说书脊与桌面垂直.
一般地，如图,如果直线l 与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α. 直线l 称为平面α的垂线，平面α称为直线l 的垂面，它们唯一的公共点 P 称为垂足.
过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直. 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图.
我们知道，在平面内，如果两条直线同垂直于另一条直线，那么这两条直线平行，这个性质能推广到空间吗?
观察如图的长方体，可以看到：直线a 与直线b 都垂直于平面α，这时，a//b.
一般地，如果a⊥α,b⊥α,这时，a和b平行吗?如图,设a⊥α,b⊥α,垂足分别为A,B.假定a和b不平行，则过点B作a的平行线b',b'与b不重合.因b∩b'=B, 故直线b与b'确定一个平面，记为β,且记α∩β=l.
因为b⊥α,a⊥α,所以b⊥l,a⊥l.又因为b'//a,所 以b'⊥l.这样在平面β内，经过直线l 上同 一 点B 就有两条直线b 与 b'都与 l垂直，这与“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.因此a//b.
这样就得到了直线与平面垂直的性质定理. 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 这个定理揭示了“平行”与“垂直”之间的一种联系.利用这个定理可以判定两条直线平行.
思考： 两条异面直线能垂直于同一平面吗？说明理由.
例1：本章1.2节已提到从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离.请证明：如果一条直线平行一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离都相等.
证明：如图,直线与平面分别用l 与α表示，且l//α.要证明直线l上各点到平面α的距离相等，只要证明直线l上任意两点到平面α的距离相等.而点到平面α的距离也就是点到平面α垂线段的长.
过直线l上任意两点A,B分别作平面α的垂线，垂足分别为E,F. 因为AE⊥α,BF⊥α,所以AE//BF. 设过直线AE和BF的平面为β,则β∩α=EF. 由l∥α, 得l//EF. 所以四边形AEFB是平行四边形. 所以AE=BF,即直线l上各点到平面α的距离相等.
因此，如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线 到这个平面的距离.
前面我们讨论了直线与平面垂直的情况，在处理问题中，很多时候直线与平面的位置关系不是垂直关系. 如图,一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点A 称为斜足.
过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角.
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角； 一条直线与平面平行，或在平面内， 就说它们所成的角是0°的角.
例2：如图,已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁.(1)求D₁A与底面ABCD所成的角；(2)设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a, 求D₁B与 底面ABCD所成的角的余弦值.
解：(1)因为DD₁⊥底面ABCD, 所以∠D₁AD是D₁A与底面ABCD所成的角. 因为侧面A₁ADD₁是正方形，所以∠D₁AD=45°. 即D₁A与底面ABCD所成的角为45°.
怎样判定一条直线和一个平面垂直呢? 先观察如图的长方体，可以知道：b,c是平面α内的两条相交直线，a⊥b,a⊥c,这时，a⊥α.
再观察如图的长方体，可以知道：平面α内的两条平行直线b,c虽然都与直线a垂直，但a与α不垂直 . 一般地，有下面的判定定理. 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
思考： 1. 若三条共点的直线两两垂直，那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是什么关系? 2. 过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直?
例3：证明：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：如图, l₁//l₂, l₁⊥α.求证：l₂⊥α.
证明 要证明l₂⊥α,只需证明l₂与平面α内两条相交直线垂直.
例4： 如图,长杆l与地面α相交于点O, 在杆子上距地面2m的点P处挂一根长2.5m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A或点B(A,B,O三点不在同一条直线上).如果A,B两点和点O的距离都是1.5m, 那么长杆l和地面是否垂直?为什么?
解：在△POA和△POB中 ，因为PO=2m,AO=BO=1.5m,PA=PB=2.5m,所以PO²+AO²=2²+1.5²=2.5²=PA²,PO²+BO²=2²+1.5²=2.5²=PB² .根据勾股定理的逆定理得PO⊥AO,PO⊥BO.又A,B,O三点不共线，因此PO⊥平面α,即长杆与地面垂直.
1.借助常见几何体了解直线与平面垂直的定义,了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的性质定理,并会用定理证明相关问题.
3.掌握直线与平面垂直的判定定理,并会用定理判定线面垂直.4.会求简单的空间距离问题(点面距离、线面距离、面面距离).
天安门广场上竖立的国旗杆与地面，直立在水平桌面上打开书的书脊与桌面(如图)等都展示了直线与平面垂直的形象.那么，什么是直线与平面垂直呢?
观察立在水平桌面上打开的书，书脊可以抽象成一条直线，书脊与桌面上每一页的下底边所在直线都垂直，就说书脊与桌面垂直.
一般地，如图,如果直线l 与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α. 直线l 称为平面α的垂线，平面α称为直线l 的垂面，它们唯一的公共点 P 称为垂足.
过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直. 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图.
我们知道，在平面内，如果两条直线同垂直于另一条直线，那么这两条直线平行，这个性质能推广到空间吗?
观察如图的长方体，可以看到：直线a 与直线b 都垂直于平面α，这时，a//b.
一般地，如果a⊥α,b⊥α,这时，a和b平行吗?如图,设a⊥α,b⊥α,垂足分别为A,B.假定a和b不平行，则过点B作a的平行线b',b'与b不重合.因b∩b'=B, 故直线b与b'确定一个平面，记为β,且记α∩β=l.
因为b⊥α,a⊥α,所以b⊥l,a⊥l.又因为b'//a,所 以b'⊥l.这样在平面β内，经过直线l 上同 一 点B 就有两条直线b 与 b'都与 l垂直，这与“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.因此a//b.
这样就得到了直线与平面垂直的性质定理. 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 这个定理揭示了“平行”与“垂直”之间的一种联系.利用这个定理可以判定两条直线平行.
思考： 两条异面直线能垂直于同一平面吗？说明理由.
例1：本章1.2节已提到从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离.请证明：如果一条直线平行一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离都相等.
证明：如图,直线与平面分别用l 与α表示，且l//α.要证明直线l上各点到平面α的距离相等，只要证明直线l上任意两点到平面α的距离相等.而点到平面α的距离也就是点到平面α垂线段的长.
过直线l上任意两点A,B分别作平面α的垂线，垂足分别为E,F. 因为AE⊥α,BF⊥α,所以AE//BF. 设过直线AE和BF的平面为β,则β∩α=EF. 由l∥α, 得l//EF. 所以四边形AEFB是平行四边形. 所以AE=BF,即直线l上各点到平面α的距离相等.
因此，如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线 到这个平面的距离.
前面我们讨论了直线与平面垂直的情况，在处理问题中，很多时候直线与平面的位置关系不是垂直关系. 如图,一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点A 称为斜足.
过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角.
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角； 一条直线与平面平行，或在平面内， 就说它们所成的角是0°的角.
例2：如图,已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁.(1)求D₁A与底面ABCD所成的角；(2)设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a, 求D₁B与 底面ABCD所成的角的余弦值.
解：(1)因为DD₁⊥底面ABCD, 所以∠D₁AD是D₁A与底面ABCD所成的角. 因为侧面A₁ADD₁是正方形，所以∠D₁AD=45°. 即D₁A与底面ABCD所成的角为45°.
怎样判定一条直线和一个平面垂直呢? 先观察如图的长方体，可以知道：b,c是平面α内的两条相交直线，a⊥b,a⊥c,这时，a⊥α.
再观察如图的长方体，可以知道：平面α内的两条平行直线b,c虽然都与直线a垂直，但a与α不垂直 . 一般地，有下面的判定定理. 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
思考： 1. 若三条共点的直线两两垂直，那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是什么关系? 2. 过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直?
例3：证明：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：如图, l₁//l₂, l₁⊥α.求证：l₂⊥α.
证明 要证明l₂⊥α,只需证明l₂与平面α内两条相交直线垂直.
例4： 如图,长杆l与地面α相交于点O, 在杆子上距地面2m的点P处挂一根长2.5m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A或点B(A,B,O三点不在同一条直线上).如果A,B两点和点O的距离都是1.5m, 那么长杆l和地面是否垂直?为什么?
解：在△POA和△POB中 ，因为PO=2m,AO=BO=1.5m,PA=PB=2.5m,所以PO²+AO²=2²+1.5²=2.5²=PA²,PO²+BO²=2²+1.5²=2.5²=PB² .根据勾股定理的逆定理得PO⊥AO,PO⊥BO.又A,B,O三点不共线，因此PO⊥平面α,即长杆与地面垂直.
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