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2023-2024学年福建省龙岩市新罗区七年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省龙岩市新罗区七年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2024的相反数是( )
A. 2024B. −12024C. −2024D. 12024
2.如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是( )
A. B. C. D.
3.如图，若AB=CD，则AC与BD的大小关系为( )
A. AC>BDB. AC4.绝对值不大于4的整数的积是( )
A. 16B. 0C. 576D. −1
5.下列各选项中，说法正确的是( )
A. abc的系数为1B. a2b3c是五次单项式
C. 多项式−a2b+3ab−5的常数项为5D. 2πr2+3是三次二项式
6.下列方程变形正确的是( )
A. 由4x=−1得x=−4B. 由5x+3=0得5x=−3
C. 由x2=x3+1得3x=2x+1D. 由−2(x−1)=4得−2x−1=4
7.若二次三项式2x2−6x+4的值为10，则x2−3x−2024的值为( )
A. 2019B. 2021C. −2019D. −2021
8.如图，点A、B、C、D依次在同一条直线上，点M、N分别是AB、CD的中点，若AB：BC：CD=3：4：5，MN=16，则AD的长为( )
A. 32B. 24C. 21D. 19
9.下列说法中，正确的是( )
A. 40°50′=40.5°
B. 若AB=BC，则点B是线段AC的中点
C. 若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互为余角
D. 两点确定一条直线
10.阅读理解：将一个数a(a不等于0和1)作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，逐一变换可得一组新数.例如：第1次变换得到11−a，记为a1；第2次变换得到11−a1，记为a2；……；第n次变换得到11−an−1，记为an.延伸拓展：将一个数组(a,b,c)(a、b、c均不等于0和1)中的各数分别作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，第1次变换得到(a1,b1,c1)；第2次变换得到(a2,b2,c2)；……；第n次变换得到(an,bn,cn).活学活用：若数组(a,b,c)确定为(−1,12,3)，则a1+b1+c1+a2+b2+c2+……+a19+b19+c19的值为( )
A. 37B. 3823C. 39D. 3912
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若向南走3米记作+3米，则向北走6米记作______米.
12.2023年10月26日上午，神舟十七号载人飞船载着杨洪波、唐胜杰、江新林3名航天员奔赴“天宫”，从2003年的神舟五号到2023年的神舟十七号，20年中国载人航天工程共有20位航天员问鼎苍穹，截止到目前为止，我国航天员在太空的时间已累计达到近21200个小时，其中，数字21200用科学记数法表为______．
13.“x的3倍与2的差”用代数式表示为______．
14.若单项式−x2yb+2与3xa−1y6是同类项，则(a−b)7= ______．
15.若关于y的一元一次方程2y−3a=4y+5的解为y=4，则关于x的方程2(|x|−1)−3a=4(|x|−1)+5的解为x= ______．
16.若关于x的方程(k−1)x=3的解是整数解，则正整数k的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(−3)+2+(−4)；
(2)(−1)2×5−2÷(−12)．
18.(本小题8分)
解方程：
(1)3x+2=x−2；
(2)x+12−2=x4．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：已知x2−(2x2−4y)+2(x2−y)，其中x=−2，y=12．
20.(本小题8分)
如图，平面内有四个点A，B，C，D．
(1)画直线AB和射线CD；
(2)画线段AC，BD相交于点M；
(3)在线段BD上的所有点中，到点A，C的距离之和最小的点是______，理由是______．
21.(本小题8分)
某车间有44名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母.1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
22.(本小题10分)
如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为6(a>6)．
(1)求阴影部分的面积S，(用含a的代数式表示)
(2)当a=15时，求S的值．
23.(本小题10分)
一种蔬菜在某批发市场上的销售价格如下：
已知小明两次购买了此种蔬菜共60千克(第二次购买数量多于第一次)
(1)若第一次购买12千克，则两次的总费用为______元；
(2)若第一次购买的数量超过15千克，且两次购买蔬菜的总费用为400元，求第一次、第二次分别购买此种蔬菜多少千克？
24.(本小题12分)
如图，在平面内的五条射线OA、OB、OC、OD、OE中，射线OB、OC、OD是逆时针方向排列，∠AOB=2∠COD=2θ(0°<θ<90°)，射线OE平分∠AOC．
(1)当射线OC、OD都在∠AOB内部，且θ=72°时，如图1．
①若∠DOE=20°，则∠BOC= ______°；
②若射线OD平分∠AOE，则∠DOE= ______°；
(2)当射线OC、OD分别在∠AOB内、外部时，如图2，求证：∠BOC=2∠DOE；
(3)当射线OC、OD都在∠AOB外部时，如图3，若∠AOD=∠AOB，则∠BOC= ______(用含θ的式子表示)．
25.(本小题14分)
数轴是学习数学的重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合.研究数轴，我们可发现许多重要的结论.下面，例举三个重要结论：
(1)数轴上的点与数的关系及其表示法：一般地，数轴上的点A能对应一个数a，反之，数a能在数轴上找到对应的点A，简记为A：a；
(2)绝对值的几何意义：若点A：a，B：b在数轴上，则A、B两点之间的距离为|b−a|，记作AB=|b−a|.例如，|5−2|的几何意义：数轴上的点A：2与点∴B：5之间的距离，即AB=|5−2|；
因为|4+3|=|4−(−3)|，所以|4+3|的几何意义：数轴上的点A：−3与点B：4之间的距离，即AB=|4+3|；
(3)若数轴上的点A：a，B：b，则线段AB的中点M：a+b2．
请借用数轴和以上结论，解决下列问题：
如图，已知数轴上的点A：−18，B：12，点P、Q在线段AB上运动.点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向点B匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向点A匀速运动，点P、Q同时运动t秒(t>0)，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．
(1)填空：点P运动t秒后所在位置的点P：______，点Q运动t秒后所在位置的点Q：______，线段PQ的中点M：______；(用含t的式子表示)
(2)当点P、Q相距6个单位长度时，求t的值；
(3)在点P、Q运动过程中，若O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点，求满足条件的t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2024的相反数是2024，
故选：A．
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：B．
侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意和图示可知AB=CD，而CB为AB和CD共有线段，故AC=BD．
故选：C．
由题意已知AB=CD，根据等式的基本性质，两边都加上BC，等式仍然成立．
考查了比较线段的长短，注意根据等式的性质进行变形．
4.【答案】B
【解析】解：绝对值不大于4的整数有，0、1、2、3、4、−1、−2、−3、−4，所以它们的乘积为0．
故选：B．
先找出绝对值不大于4的整数，再求它们的乘积．
绝对值的不大于4的整数，除正数外，还有负数．掌握0与任何数相乘的积都是0．
5.【答案】A
【解析】解：A、abc的系数为1，故本选项正确，符合题意；
B、a2b3c是六次单项式，故本选项错误，不符合题意；
C、多项式−a2b+3ab−5的常数项为−5，故本选项错误，不符合题意；
D、2πr2+3是二次二项式，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．几个单项式的和叫做多项式，多项式中最高次次数即是多项式次数．据此分析．
本题考查了单项式和多项式的有关概念，解答本题的关键是掌握：单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数．
6.【答案】B
【解析】解：A、4x=−1两边同时除以4，可得到x=−14，原变形错误，该选项不符合题意；
B、5x+3=0两边同时减去3，可得到5x=−3，原变形正确，该选项符合题意；
C、x2=x3+1每项同时乘以6，可得到3x=2x+6，原变形错误，该选项不符合题意；
D、−2(x−1)=4去括号可得−2x+2=4，原变形错误，该选项不符合题意；
故选：B．
各方程变形得到结果，即可作出判断．
本题考查了解一元一次方程的方法，根据等式的性质逐项判断即可，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵二次三项式2x2−6x+4的值为10，
∴2x2−6x+4=10，
∴x2−3x=3，
∴x2−3x−2024=3−2024=−2021．
故选：D．
由题意知2x2−6x+4=10，则x2−3x=3，然后整体代入求解即可．
本题考查了代数式求值．整体代入是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设AB=6k，(k>0)，
∵AB：BC：CD=3：4：5，
∴BC=8k，CD=10k，
则AD=AB+BC+CD=24k，
∵点M、N分别是AB、CD的中点，
∴MA=MB=12AB=3k，CN=DN=12CD=5k，
∴MN=MB+BC+CN=3k+8k+5k=16k=16，解得k=1，
∴AD=24k=24．
故选：B．
设AB=6k，根据已知可求得BC和CD，以及MB和CN，利用给定MN即可求得AD．
本题主要考查线段和差关系和中点，掌握两点间距离是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、40.5°=40°30′≠40°50′，故本选项错误，不符合题意；
B.若点B是线段AC的一点，且AB=BC，则点B是线段AC的中点，故本选项错误，不符合题意；
C、若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互为余角，故本选项错误，不符合题意；
D、两点确定一条直线，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
角度的单位换算可判断①，由中点的定义可判断②，由互为补角的概念可判断③，两点确定一条直线④，从而可得答案．
本题考查的是角度的单位换算，线段的中点的概念，互为补角的含义，两点确定一条直线．
10.【答案】C
【解析】解：∵数组(a,b,c)确定为(−1,12,3)，将一个数组(a,b,c)(a、b、c均不等于0和1)中的各数分别作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，第1次变换得到(a1,b1,c1)；第2次变换得到(a2,b2,c2)；……；第n次变换得到(an,bn,cn)，依题意得：
(a1,b1,c1)=(11−(−1),11−12,11−3)=(12,2,−12),a1+b1+c1=2，
(a2,b2,c2)=(11−12,11−2,11−(−12))=(2,−1,23),a2+b2+c2=123，
(a3,b3,c3)=(11−2,11−(−1),11−23)=(−1,12,3),a3+b3+c3=212，
(a4,b4,c4)=(11−(−1),11−12,11−3)=(12,2,−12),a4+b4+c4=2，
(a5,b5,c5)=(11−12,11−2,11−(−12))=(2,−1,23)，a5+b5+c5=123，
(a6,b6,c6)=(11−2,11−(−1),11−23)=(−1,12,3)，a6+b6+c6=212，
……
∴k=1，2，3，……，
(a3k−2,b3k−2,c3k−2)=(12,2,−12)，a3k−2+b3k−2+c3k−2=2，
(a3k−1,b3k−1,c3k−1)=(2,−1,23)，a3k−1+b3k−1+c3k−1=123，
(a3k,b3k,c3k)=(−1,12,3)，a3k+b3k+c3k=212，
由规律可得每三次变换为一个循环，
∴a1+b1+c1+a2+b2+c2+⋯+a19+b19+c19
=6×(a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3)+(a19+b19+c19)
=6×(2+123+212)+2=39，
故选：C．
要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果．
本题考查了数字类规律探索、相反数、倒数，准确计算、发现规律是解题的关键．
11.【答案】−6
【解析】解：∵向南走3米记作+3米，
∴向北走6米记作−6米，
故答案为：−6．
根据正数和负数的意义可得到结果．
本题考查了正数和负数，一对具有相反意义的量，正确理解题意是解题的关键．
12.【答案】2.12×104
【解析】解：21200=2.12×104，
故答案为：2.12×104．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是关键．
13.【答案】3x−2
【解析】解：根据题意有：3x−2，
故答案为：3x−2．
根据题意列式即可作答即可．
本题考查了列代数式，能列出代数式是解题的关键．
14.【答案】−1
【解析】解：∵单项式−x2yb+2与3xa−1y6是同类项，
∴a−1=2，b+2=6，
解得：a=3，b=4，
∴(a−b)7=(3−4)7=−1．
故答案为：−1
根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得a、b的值，代入计算即可．
本题考查了同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易错点，因此成了中考的常考点．
15.【答案】±5
【解析】解：∵2y−3a=4y+5的解为y=4，
∴2(|x|−1)−3a=4(|x|−1)+5中|x|−1=4，
∴|x|=5，
∴x=±5，
故答案为：±5．
根据式子得到|x|−1=4，即可得到结果，解题的关键在于看出两个式子之间的关系．
本题考查了一元一次方程与解的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
16.【答案】2或4
【解析】解：由题意得：
∵关于x的方程(k−1)x=3的解是整数解，k为正整数，
∴k−1(或x=3k−1)是质数3的因数有−3、−1、1、3，
①当k−1=−1(或x=−3)时，k=0；
②当k−1=−3(或x=−1)时，k=−2；
③当k−1=3(或x=1)时，k=4；
④当k−1=1(或x=3)时，k=2；
∵k为正整数，
∴k=2或4，
综上所述，k=2或4．
故答案为：2或4．
根据题意可得k−1(或x=3k−1)是质数3的因数有−3、−1、1、3，再逐项分析，即可求解．
本题主要考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
17.【答案】解：(1)(−3)+2+(−4)
=(−1)+(−4)
=−5；
(2)(−1)2×5−2÷(−12)
=1×5−2×(−2)
=5+4
=9．
【解析】(1)有理数加减运算，从左向右计算即可．
(2)先算乘方，再算乘除，最后再算加减．
本题主要考查了有理数的混合运算，按照混合运算法则计算即可．
18.【答案】解：(1)移项得：3x−x=−2−2，
合并同类项得：2x=−4，
解得：x=−2；
(2)去括号得：2(x+1)−2×4=x，
去分母得：2x+2−8=x，
移项得：2x−x=6，
解得：x=6．
【解析】(1)移项，合并同类项，化系数为1即可求解．
(2)去分母，分式两边同时乘以最小公倍数4，然后去括号，移项、化系数为1即可求解．
本题主要考查解一元一次方程．按照解方程步骤求解即可．
19.【答案】解： x2−(2x2−4y)+2(x2−y)
=x2−2x2+4y+2x2−2y =x2+2y
当x=−2，y=12时，
原式=4+1 =5．
【解析】根据整式的运算法则化简，然后代入计算即可求出答案．
本题考查整式的加减求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
20.【答案】M 两点之间线段最短
【解析】解：(1)直线AB和射线CD如图1：
(2)连接线段AC，BD相交于点M如图2：
(3)M，理由：两点之间线段最短．
(1)根据直线是向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，画出直线和射线即可；
(2)根据线段不能向两方无限延伸，画出线段得出交点；
(3)根据线段的性质：两点之间，线段最短，即可解答．
本题主要考查了作图−复杂作图，直线、射线、线段，两点间的距离直线，解答本题的关键是掌握射线以及线段的特征，以及两点之间线段最短．
21.【答案】解：设应安排生产螺柱的工人x名，安排生产螺母的工人(44−x)名，
依题意得：2×1200x=2000(44−x)，
即6x=5(44−x)，
拆括号可得6x=220−5x，
移项得11x=220，
解得：x=20，
∴44−x=24，
答：安排生产螺柱的工人20名，安排生产螺母的工人24名．
【解析】先设应安排生产螺柱的工人x名，安排生产螺母的工人(44−x)名，根据题意列出等量关系，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，建立等量关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得，三角形DGF的底为GF高为DG，三角形GFB的底为GF，高为GC．
S=三角形DGF的面积+三角形GFB的面积
=12⋅GF⋅GD+12⋅GF⋅GC
=12×6⋅(a−6)+12×6×6
=3a；
(2)当a=15时，S=3a=3×15=45．
【解析】(1)根据S=三角形DGF的面积+三角形GFB的面积进行求解即可；
(2)把a=15代入(1)所求式子中求解即可．
本题主要考查了列代数式和代数式求值，能列出代数式是解题的关键．
23.【答案】403.2
【解析】解：(1)总费用为12×8+(60−12)×6.4=96+307.2=403.2元；
故答案为：403.2；
(2)设第一次购买的数量为m千克，第二次购买的数量(60−m)千克：
①若第一次、第二次购买的数量都在15千克以上且不超过35千克的范围内，
得7.2m+7.2(60−m)=400.方程无解，不合题意．
②若第一次购买的数量在15千克以上且不超过35千克内，
第二次购买的数量超过35千克，得7.2m+6.4(60−m)=400．
解得m=20.60−m=40．
③若第一次购买的数量在35千克以上，则第二次购买的数量少于第一次的数量，不合题意．
答：第一次购买此种蔬菜20千克，第二次购买此种蔬菜40千克．
(1)先求出第二次购买的数量，再根据所给的价格与数量的关系进行求解即可；
(2)设第一次购买的数量为m千克，第二次购买的数量(60−m)千克：然后分若第一次、第二次购买的数量都在15千克以上且不超过35千克的范围内；若第一次购买的数量在15千克以上且不超过35千克内．若第一次购买的数量在35千克以上，则第二次购买的数量少于第一次的数量，三种情况根据价格与数量的关系建立方程求解即可．
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
24.【答案】40 24 3θ
【解析】解：(1)∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠2=2(∠3+∠4)，
①∵θ=72°，∠DOE=20°，
∴∠AOB=2∠COD=2θ=144°，∠DOE=∠3=20°，
∴∠2=∠COD−∠DOE=72°−20°=52°，
∴∠AOC=2∠2=104°，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=40°，
故答案为：40；
②∵射线OD平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠3=2∠4，
∴∠COD=∠2+∠3=3∠3=72°，
∴∠DOE=24°；
故答案为：24；
(2)∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠2=2∠3，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=θ−∠2，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=2θ−2∠2=2(θ−∠2)，
∴∠BOC=2∠DOE=2(θ−∠2)；
(3)∵∠AOB=2∠COD=2θ(0°<θ<90°)，
∴∠AOD=∠AOB=2θ，
∴∠AOC=∠AOD−∠COD=θ，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=3θ．
(1)根据角平分线的定义可得∠AOC=2∠2=2(∠3+∠4)，①根据题意可得∠2=∠COD−∠DOE=52°，从而得到∠AOC=2∠2=104°，即可求解；②根据射线OD平分∠AOE，可得∠AOE=2∠3=2∠4，进而得到∠COD=3∠3=72°，即可求解；
(2)根据角平分线的定义可得∠AOC=2∠2=2∠3，从而得到∠DOE=∠COD−∠COE=θ−∠2，∠BOC=∠AOB−∠AOC=2θ−2∠2=2(θ−∠2)，即可求证；
(3)根据∠AOB=2∠COD=2θ(0°<θ<90°)，可得
∠AOD=∠AOB=2θ，从而得到∠AOC=∠AOD−∠COD=θ，即可求解．
本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线定义是解题关键．
25.【答案】−18+2t 12−t 12−t
【解析】解：(1)由题意得：
点P运动t秒后所在位置的点P：−18+2t；
点Q运动t秒后所在位置的点Q：12−t，
由中点公式可得线段PQ的中点M：−18+2t+12−t2=−3+0.5t；
故答案为：−18+2t；12−t，−3+0.5t；
(2)∵由(1)得：点P：−18+2t，点Q：12−t，
∴PQ=|(12−t)−(−18+2t)|=|3t−30|，
∵P、Q两点相距6个单位长度，
∴PQ=|3t−30|=6，
解得：t=8或12，
∴当PQ=6时，t=8或12；
(3)解：∵O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点，
∴①当点O：0是线段PQ的中点−3+0.5t时，
−3+0.5t=0，解得t=6；
②当点P：−18+2t是线段OQ的中点6−0.5t时，
6−0.5t=−18+2t，解得t=9.6；
③当点Q：12−t是线段OP的中点−9+t时，
−9+t=12−t，解得t=10.5．
综上所述：t=6或9.6或10.5．
(1)数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案；
(2)由t秒后，点P表示的数P：−18+2t，点Q表示的数为Q：12−t，表示再构建绝对值方程，再解方程即可；
(3)分三种情况讨论，构建方程，再解方程即可．
本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，熟练的构建方程解题是关键．购买数量
不超过15千克
15千克以上且不超过35千克
35千克以上
价格
8元/千克
7.2元/千克
6.4元/千克
1.−2024的相反数是( )
A. 2024B. −12024C. −2024D. 12024
2.如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是( )
A. B. C. D.
3.如图，若AB=CD，则AC与BD的大小关系为( )
A. AC>BDB. AC
A. 16B. 0C. 576D. −1
5.下列各选项中，说法正确的是( )
A. abc的系数为1B. a2b3c是五次单项式
C. 多项式−a2b+3ab−5的常数项为5D. 2πr2+3是三次二项式
6.下列方程变形正确的是( )
A. 由4x=−1得x=−4B. 由5x+3=0得5x=−3
C. 由x2=x3+1得3x=2x+1D. 由−2(x−1)=4得−2x−1=4
7.若二次三项式2x2−6x+4的值为10，则x2−3x−2024的值为( )
A. 2019B. 2021C. −2019D. −2021
8.如图，点A、B、C、D依次在同一条直线上，点M、N分别是AB、CD的中点，若AB：BC：CD=3：4：5，MN=16，则AD的长为( )
A. 32B. 24C. 21D. 19
9.下列说法中，正确的是( )
A. 40°50′=40.5°
B. 若AB=BC，则点B是线段AC的中点
C. 若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互为余角
D. 两点确定一条直线
10.阅读理解：将一个数a(a不等于0和1)作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，逐一变换可得一组新数.例如：第1次变换得到11−a，记为a1；第2次变换得到11−a1，记为a2；……；第n次变换得到11−an−1，记为an.延伸拓展：将一个数组(a,b,c)(a、b、c均不等于0和1)中的各数分别作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，第1次变换得到(a1,b1,c1)；第2次变换得到(a2,b2,c2)；……；第n次变换得到(an,bn,cn).活学活用：若数组(a,b,c)确定为(−1,12,3)，则a1+b1+c1+a2+b2+c2+……+a19+b19+c19的值为( )
A. 37B. 3823C. 39D. 3912
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若向南走3米记作+3米，则向北走6米记作______米.
12.2023年10月26日上午，神舟十七号载人飞船载着杨洪波、唐胜杰、江新林3名航天员奔赴“天宫”，从2003年的神舟五号到2023年的神舟十七号，20年中国载人航天工程共有20位航天员问鼎苍穹，截止到目前为止，我国航天员在太空的时间已累计达到近21200个小时，其中，数字21200用科学记数法表为______．
13.“x的3倍与2的差”用代数式表示为______．
14.若单项式−x2yb+2与3xa−1y6是同类项，则(a−b)7= ______．
15.若关于y的一元一次方程2y−3a=4y+5的解为y=4，则关于x的方程2(|x|−1)−3a=4(|x|−1)+5的解为x= ______．
16.若关于x的方程(k−1)x=3的解是整数解，则正整数k的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(−3)+2+(−4)；
(2)(−1)2×5−2÷(−12)．
18.(本小题8分)
解方程：
(1)3x+2=x−2；
(2)x+12−2=x4．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：已知x2−(2x2−4y)+2(x2−y)，其中x=−2，y=12．
20.(本小题8分)
如图，平面内有四个点A，B，C，D．
(1)画直线AB和射线CD；
(2)画线段AC，BD相交于点M；
(3)在线段BD上的所有点中，到点A，C的距离之和最小的点是______，理由是______．
21.(本小题8分)
某车间有44名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母.1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
22.(本小题10分)
如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为6(a>6)．
(1)求阴影部分的面积S，(用含a的代数式表示)
(2)当a=15时，求S的值．
23.(本小题10分)
一种蔬菜在某批发市场上的销售价格如下：
已知小明两次购买了此种蔬菜共60千克(第二次购买数量多于第一次)
(1)若第一次购买12千克，则两次的总费用为______元；
(2)若第一次购买的数量超过15千克，且两次购买蔬菜的总费用为400元，求第一次、第二次分别购买此种蔬菜多少千克？
24.(本小题12分)
如图，在平面内的五条射线OA、OB、OC、OD、OE中，射线OB、OC、OD是逆时针方向排列，∠AOB=2∠COD=2θ(0°<θ<90°)，射线OE平分∠AOC．
(1)当射线OC、OD都在∠AOB内部，且θ=72°时，如图1．
①若∠DOE=20°，则∠BOC= ______°；
②若射线OD平分∠AOE，则∠DOE= ______°；
(2)当射线OC、OD分别在∠AOB内、外部时，如图2，求证：∠BOC=2∠DOE；
(3)当射线OC、OD都在∠AOB外部时，如图3，若∠AOD=∠AOB，则∠BOC= ______(用含θ的式子表示)．
25.(本小题14分)
数轴是学习数学的重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合.研究数轴，我们可发现许多重要的结论.下面，例举三个重要结论：
(1)数轴上的点与数的关系及其表示法：一般地，数轴上的点A能对应一个数a，反之，数a能在数轴上找到对应的点A，简记为A：a；
(2)绝对值的几何意义：若点A：a，B：b在数轴上，则A、B两点之间的距离为|b−a|，记作AB=|b−a|.例如，|5−2|的几何意义：数轴上的点A：2与点∴B：5之间的距离，即AB=|5−2|；
因为|4+3|=|4−(−3)|，所以|4+3|的几何意义：数轴上的点A：−3与点B：4之间的距离，即AB=|4+3|；
(3)若数轴上的点A：a，B：b，则线段AB的中点M：a+b2．
请借用数轴和以上结论，解决下列问题：
如图，已知数轴上的点A：−18，B：12，点P、Q在线段AB上运动.点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向点B匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向点A匀速运动，点P、Q同时运动t秒(t>0)，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．
(1)填空：点P运动t秒后所在位置的点P：______，点Q运动t秒后所在位置的点Q：______，线段PQ的中点M：______；(用含t的式子表示)
(2)当点P、Q相距6个单位长度时，求t的值；
(3)在点P、Q运动过程中，若O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点，求满足条件的t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2024的相反数是2024，
故选：A．
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：B．
侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意和图示可知AB=CD，而CB为AB和CD共有线段，故AC=BD．
故选：C．
由题意已知AB=CD，根据等式的基本性质，两边都加上BC，等式仍然成立．
考查了比较线段的长短，注意根据等式的性质进行变形．
4.【答案】B
【解析】解：绝对值不大于4的整数有，0、1、2、3、4、−1、−2、−3、−4，所以它们的乘积为0．
故选：B．
先找出绝对值不大于4的整数，再求它们的乘积．
绝对值的不大于4的整数，除正数外，还有负数．掌握0与任何数相乘的积都是0．
5.【答案】A
【解析】解：A、abc的系数为1，故本选项正确，符合题意；
B、a2b3c是六次单项式，故本选项错误，不符合题意；
C、多项式−a2b+3ab−5的常数项为−5，故本选项错误，不符合题意；
D、2πr2+3是二次二项式，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．几个单项式的和叫做多项式，多项式中最高次次数即是多项式次数．据此分析．
本题考查了单项式和多项式的有关概念，解答本题的关键是掌握：单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数．
6.【答案】B
【解析】解：A、4x=−1两边同时除以4，可得到x=−14，原变形错误，该选项不符合题意；
B、5x+3=0两边同时减去3，可得到5x=−3，原变形正确，该选项符合题意；
C、x2=x3+1每项同时乘以6，可得到3x=2x+6，原变形错误，该选项不符合题意；
D、−2(x−1)=4去括号可得−2x+2=4，原变形错误，该选项不符合题意；
故选：B．
各方程变形得到结果，即可作出判断．
本题考查了解一元一次方程的方法，根据等式的性质逐项判断即可，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵二次三项式2x2−6x+4的值为10，
∴2x2−6x+4=10，
∴x2−3x=3，
∴x2−3x−2024=3−2024=−2021．
故选：D．
由题意知2x2−6x+4=10，则x2−3x=3，然后整体代入求解即可．
本题考查了代数式求值．整体代入是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设AB=6k，(k>0)，
∵AB：BC：CD=3：4：5，
∴BC=8k，CD=10k，
则AD=AB+BC+CD=24k，
∵点M、N分别是AB、CD的中点，
∴MA=MB=12AB=3k，CN=DN=12CD=5k，
∴MN=MB+BC+CN=3k+8k+5k=16k=16，解得k=1，
∴AD=24k=24．
故选：B．
设AB=6k，根据已知可求得BC和CD，以及MB和CN，利用给定MN即可求得AD．
本题主要考查线段和差关系和中点，掌握两点间距离是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、40.5°=40°30′≠40°50′，故本选项错误，不符合题意；
B.若点B是线段AC的一点，且AB=BC，则点B是线段AC的中点，故本选项错误，不符合题意；
C、若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互为余角，故本选项错误，不符合题意；
D、两点确定一条直线，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
角度的单位换算可判断①，由中点的定义可判断②，由互为补角的概念可判断③，两点确定一条直线④，从而可得答案．
本题考查的是角度的单位换算，线段的中点的概念，互为补角的含义，两点确定一条直线．
10.【答案】C
【解析】解：∵数组(a,b,c)确定为(−1,12,3)，将一个数组(a,b,c)(a、b、c均不等于0和1)中的各数分别作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，第1次变换得到(a1,b1,c1)；第2次变换得到(a2,b2,c2)；……；第n次变换得到(an,bn,cn)，依题意得：
(a1,b1,c1)=(11−(−1),11−12,11−3)=(12,2,−12),a1+b1+c1=2，
(a2,b2,c2)=(11−12,11−2,11−(−12))=(2,−1,23),a2+b2+c2=123，
(a3,b3,c3)=(11−2,11−(−1),11−23)=(−1,12,3),a3+b3+c3=212，
(a4,b4,c4)=(11−(−1),11−12,11−3)=(12,2,−12),a4+b4+c4=2，
(a5,b5,c5)=(11−12,11−2,11−(−12))=(2,−1,23)，a5+b5+c5=123，
(a6,b6,c6)=(11−2,11−(−1),11−23)=(−1,12,3)，a6+b6+c6=212，
……
∴k=1，2，3，……，
(a3k−2,b3k−2,c3k−2)=(12,2,−12)，a3k−2+b3k−2+c3k−2=2，
(a3k−1,b3k−1,c3k−1)=(2,−1,23)，a3k−1+b3k−1+c3k−1=123，
(a3k,b3k,c3k)=(−1,12,3)，a3k+b3k+c3k=212，
由规律可得每三次变换为一个循环，
∴a1+b1+c1+a2+b2+c2+⋯+a19+b19+c19
=6×(a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3)+(a19+b19+c19)
=6×(2+123+212)+2=39，
故选：C．
要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果．
本题考查了数字类规律探索、相反数、倒数，准确计算、发现规律是解题的关键．
11.【答案】−6
【解析】解：∵向南走3米记作+3米，
∴向北走6米记作−6米，
故答案为：−6．
根据正数和负数的意义可得到结果．
本题考查了正数和负数，一对具有相反意义的量，正确理解题意是解题的关键．
12.【答案】2.12×104
【解析】解：21200=2.12×104，
故答案为：2.12×104．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是关键．
13.【答案】3x−2
【解析】解：根据题意有：3x−2，
故答案为：3x−2．
根据题意列式即可作答即可．
本题考查了列代数式，能列出代数式是解题的关键．
14.【答案】−1
【解析】解：∵单项式−x2yb+2与3xa−1y6是同类项，
∴a−1=2，b+2=6，
解得：a=3，b=4，
∴(a−b)7=(3−4)7=−1．
故答案为：−1
根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得a、b的值，代入计算即可．
本题考查了同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易错点，因此成了中考的常考点．
15.【答案】±5
【解析】解：∵2y−3a=4y+5的解为y=4，
∴2(|x|−1)−3a=4(|x|−1)+5中|x|−1=4，
∴|x|=5，
∴x=±5，
故答案为：±5．
根据式子得到|x|−1=4，即可得到结果，解题的关键在于看出两个式子之间的关系．
本题考查了一元一次方程与解的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
16.【答案】2或4
【解析】解：由题意得：
∵关于x的方程(k−1)x=3的解是整数解，k为正整数，
∴k−1(或x=3k−1)是质数3的因数有−3、−1、1、3，
①当k−1=−1(或x=−3)时，k=0；
②当k−1=−3(或x=−1)时，k=−2；
③当k−1=3(或x=1)时，k=4；
④当k−1=1(或x=3)时，k=2；
∵k为正整数，
∴k=2或4，
综上所述，k=2或4．
故答案为：2或4．
根据题意可得k−1(或x=3k−1)是质数3的因数有−3、−1、1、3，再逐项分析，即可求解．
本题主要考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
17.【答案】解：(1)(−3)+2+(−4)
=(−1)+(−4)
=−5；
(2)(−1)2×5−2÷(−12)
=1×5−2×(−2)
=5+4
=9．
【解析】(1)有理数加减运算，从左向右计算即可．
(2)先算乘方，再算乘除，最后再算加减．
本题主要考查了有理数的混合运算，按照混合运算法则计算即可．
18.【答案】解：(1)移项得：3x−x=−2−2，
合并同类项得：2x=−4，
解得：x=−2；
(2)去括号得：2(x+1)−2×4=x，
去分母得：2x+2−8=x，
移项得：2x−x=6，
解得：x=6．
【解析】(1)移项，合并同类项，化系数为1即可求解．
(2)去分母，分式两边同时乘以最小公倍数4，然后去括号，移项、化系数为1即可求解．
本题主要考查解一元一次方程．按照解方程步骤求解即可．
19.【答案】解： x2−(2x2−4y)+2(x2−y)
=x2−2x2+4y+2x2−2y =x2+2y
当x=−2，y=12时，
原式=4+1 =5．
【解析】根据整式的运算法则化简，然后代入计算即可求出答案．
本题考查整式的加减求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
20.【答案】M 两点之间线段最短
【解析】解：(1)直线AB和射线CD如图1：
(2)连接线段AC，BD相交于点M如图2：
(3)M，理由：两点之间线段最短．
(1)根据直线是向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，画出直线和射线即可；
(2)根据线段不能向两方无限延伸，画出线段得出交点；
(3)根据线段的性质：两点之间，线段最短，即可解答．
本题主要考查了作图−复杂作图，直线、射线、线段，两点间的距离直线，解答本题的关键是掌握射线以及线段的特征，以及两点之间线段最短．
21.【答案】解：设应安排生产螺柱的工人x名，安排生产螺母的工人(44−x)名，
依题意得：2×1200x=2000(44−x)，
即6x=5(44−x)，
拆括号可得6x=220−5x，
移项得11x=220，
解得：x=20，
∴44−x=24，
答：安排生产螺柱的工人20名，安排生产螺母的工人24名．
【解析】先设应安排生产螺柱的工人x名，安排生产螺母的工人(44−x)名，根据题意列出等量关系，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，建立等量关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得，三角形DGF的底为GF高为DG，三角形GFB的底为GF，高为GC．
S=三角形DGF的面积+三角形GFB的面积
=12⋅GF⋅GD+12⋅GF⋅GC
=12×6⋅(a−6)+12×6×6
=3a；
(2)当a=15时，S=3a=3×15=45．
【解析】(1)根据S=三角形DGF的面积+三角形GFB的面积进行求解即可；
(2)把a=15代入(1)所求式子中求解即可．
本题主要考查了列代数式和代数式求值，能列出代数式是解题的关键．
23.【答案】403.2
【解析】解：(1)总费用为12×8+(60−12)×6.4=96+307.2=403.2元；
故答案为：403.2；
(2)设第一次购买的数量为m千克，第二次购买的数量(60−m)千克：
①若第一次、第二次购买的数量都在15千克以上且不超过35千克的范围内，
得7.2m+7.2(60−m)=400.方程无解，不合题意．
②若第一次购买的数量在15千克以上且不超过35千克内，
第二次购买的数量超过35千克，得7.2m+6.4(60−m)=400．
解得m=20.60−m=40．
③若第一次购买的数量在35千克以上，则第二次购买的数量少于第一次的数量，不合题意．
答：第一次购买此种蔬菜20千克，第二次购买此种蔬菜40千克．
(1)先求出第二次购买的数量，再根据所给的价格与数量的关系进行求解即可；
(2)设第一次购买的数量为m千克，第二次购买的数量(60−m)千克：然后分若第一次、第二次购买的数量都在15千克以上且不超过35千克的范围内；若第一次购买的数量在15千克以上且不超过35千克内．若第一次购买的数量在35千克以上，则第二次购买的数量少于第一次的数量，三种情况根据价格与数量的关系建立方程求解即可．
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
24.【答案】40 24 3θ
【解析】解：(1)∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠2=2(∠3+∠4)，
①∵θ=72°，∠DOE=20°，
∴∠AOB=2∠COD=2θ=144°，∠DOE=∠3=20°，
∴∠2=∠COD−∠DOE=72°−20°=52°，
∴∠AOC=2∠2=104°，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=40°，
故答案为：40；
②∵射线OD平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠3=2∠4，
∴∠COD=∠2+∠3=3∠3=72°，
∴∠DOE=24°；
故答案为：24；
(2)∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠2=2∠3，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=θ−∠2，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=2θ−2∠2=2(θ−∠2)，
∴∠BOC=2∠DOE=2(θ−∠2)；
(3)∵∠AOB=2∠COD=2θ(0°<θ<90°)，
∴∠AOD=∠AOB=2θ，
∴∠AOC=∠AOD−∠COD=θ，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=3θ．
(1)根据角平分线的定义可得∠AOC=2∠2=2(∠3+∠4)，①根据题意可得∠2=∠COD−∠DOE=52°，从而得到∠AOC=2∠2=104°，即可求解；②根据射线OD平分∠AOE，可得∠AOE=2∠3=2∠4，进而得到∠COD=3∠3=72°，即可求解；
(2)根据角平分线的定义可得∠AOC=2∠2=2∠3，从而得到∠DOE=∠COD−∠COE=θ−∠2，∠BOC=∠AOB−∠AOC=2θ−2∠2=2(θ−∠2)，即可求证；
(3)根据∠AOB=2∠COD=2θ(0°<θ<90°)，可得
∠AOD=∠AOB=2θ，从而得到∠AOC=∠AOD−∠COD=θ，即可求解．
本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线定义是解题关键．
25.【答案】−18+2t 12−t 12−t
【解析】解：(1)由题意得：
点P运动t秒后所在位置的点P：−18+2t；
点Q运动t秒后所在位置的点Q：12−t，
由中点公式可得线段PQ的中点M：−18+2t+12−t2=−3+0.5t；
故答案为：−18+2t；12−t，−3+0.5t；
(2)∵由(1)得：点P：−18+2t，点Q：12−t，
∴PQ=|(12−t)−(−18+2t)|=|3t−30|，
∵P、Q两点相距6个单位长度，
∴PQ=|3t−30|=6，
解得：t=8或12，
∴当PQ=6时，t=8或12；
(3)解：∵O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点，
∴①当点O：0是线段PQ的中点−3+0.5t时，
−3+0.5t=0，解得t=6；
②当点P：−18+2t是线段OQ的中点6−0.5t时，
6−0.5t=−18+2t，解得t=9.6；
③当点Q：12−t是线段OP的中点−9+t时，
−9+t=12−t，解得t=10.5．
综上所述：t=6或9.6或10.5．
(1)数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案；
(2)由t秒后，点P表示的数P：−18+2t，点Q表示的数为Q：12−t，表示再构建绝对值方程，再解方程即可；
(3)分三种情况讨论，构建方程，再解方程即可．
本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，熟练的构建方程解题是关键．购买数量
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