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2023-2024学年贵州省铜仁市九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年贵州省铜仁市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.把一元二次方程3x2=4x−1化为一般式，当二次项为3x2时，一次项和常数项分别为( )
A. 4x，−1B. 4x，1C. −4x，−1D. −4x，1
2.当a>b时，反比例函数y=a−bx的图象大致是( )
A. B.
C. D.
3.近期有300人参加了某地举办的非遗传承项目一仡佬族印染的培训活动，活动结束，每位学员必须提交一件用所学技法制作的印染作品.组织方从中抽查的30名学员作品通过专家组评判，不合格率仅为2%.根据抽查结果可以预测，这300名学员作品合格率是( )
A. 20%B. 80%C. 2%D. 98%
4.如图是某景区大门部分建筑，已知AD//BE//CF，AC=16m，当DF：DE=4：3时，则AB的长是( )
A. 10m
B. 11m
C. 12m
D. 13m
5.德江某板鸭加工厂，为调查一批旱鸭的品质，从中随机选取了4只，以斤为计量单位(1斤等于500克)，记录其质量分别为6斤、7斤、8斤、7斤，则估计这批旱鸭质量的方差是( )
A. 1.5B. 0.5C. 7D. 4
6.如图，在平面直角坐标系中，两个大小不一的铜仁城市标识图案是位似图形，原点O是位似中心，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点A的坐标是(12,6)，ABCD=3，则点C的坐标为( )
A. (4,2)B. (2,4)C. (6,3)D. (3,6)
7.小明看完“上刀山”表演后，被表演艺人精湛技艺所震撼，他发现，艺人在如图大刀的AB段表演时最精彩，他想利用所学知识测量一下B点的高度，已知点P、A、B在一条直线上，点P、C、D也在一条直线上，AC⊥PD，BD⊥PD，AC=CD=2m，大刀的坡度(即∠APC的坡度)为i=12，则BD为( )
A. 2mB. 3mC. 4mD. 5m
8.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点E，交AC于点F，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点G，作射线AG交BC于点D.若AC=4，tan∠BAD=13，则CD的长是( )
A. 34B. 1C. 43D. 2
9.“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品.实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点P大致是AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长为4cm，那么AB的长约为( )
A. (2 5+2)cm
B. (2 5−2)cm
C. (2 5+1)cm
D. (2 5−1)cm
10.得天独厚的自然条件和生态资源，已让铜仁这片黔东沃土孕育出33个地理标志产品.在2023梵净山国际地理标志研讨会议召开之际，某区举行地理标志产品知识竞赛，如图使用S矩形ABCO、S矩DEFO、S矩形GHIO、S矩形JKLO分别描述了甲、乙、丙、丁四个社区居民竞赛成绩的优秀人数，已知y表示社区居民竞赛成绩的优秀率，x表示该社区参赛居民人数，点B和点K在同一条反比例函数图象上，则这四个社区在这次知识竞赛中优秀人数最多的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
11.某城市为增加绿植面积，改造部分室外停车位，如图①所示，6个车位拼成的矩形阴影部分全部为绿色草坪，当所有的车位分割线及停车方向线等标线粗细全部忽略不计时，可以看成图②，已知绿色草坪横条和竖条均为矩形，且宽度都为a m，AB=12m，BC=7.2m，当草坪面积(图中阴影部分面积)等于40.2m2时，则a的值是( )
A. 0.75mB. 1mC. 1.2mD. 1.5m
12.已知如图，反比例函数y=−4x，y=6x的图象分别经过正方形DEOF、正方形ACOB的顶点D、A，连接EF、AE、AF，则△AEF的面积等于( )
A. 2
B. 3
C. 1
D. 5
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知点(2,−3)和点(1,m)都在同一个反比例函数图象上，则m的值为______．
14.关于x的一元二次方程ax2−8x+b=0有两个相等的实数根，a与b的乘积是______．
15.如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为1.8米，这两个参照点到地面BE的距离AC=FD=1.2米，若驾驶员的眼睛点P到地面BE的距离PG=1.5米，则驾驶员的视野盲区BE的长度为______米.
16.如图，正方形纸片ABCD的边长为6，点E是边CD上一定点，sin∠DAE= 55，点F是边AD的中点，点M是线段AF(除点A外)任意一个动点，连接BM，把△ABM沿BM折叠，点A落在A′处，连接A′E，则A′E的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)根据个人爱好，从sin30°，cs45°和tan60°中任取两个，然后求选取的两个三角函数的平方和；
(2)采用配方法或公式法解一元二次方程x2+4x−5=0．
18.(本小题12分)
为了让初中生更加直观的体验非遗手工技艺，感受非遗文化的独特魅力，培养他们对优秀传统文化的兴趣，积极参与到非物质文化遗产的保护和传承中来，某校举办了非遗知识进课堂活动，选定木偶戏、四面花鼓、说春、船工号子四类非遗项目，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的非遗项目，将抽查结果绘制成如下统计图(不完整)．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)被抽查的学生人数为______，并将条形统计图补充完整.(温馨提醒：请画在答题卡相对应的图上)；
(2)若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“木偶戏”的学生人数；
(3)该学校计划选定其中一个非遗项目创建特色课堂，你对具体选择什么项目有没有建议，请写出1条合理性的建议．
19.(本小题10分)
石阡是“中国苔茶之乡”，是茶树的原产地之一，有千年的茶叶栽种历史.某次茶艺比赛中指定使用的饮水机4分钟就可以将20℃的饮用水加热到100℃.此后停止加热，水温开始下降.如图所示，已知整个下降过程中水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．
(1)在水温下降过程中，求y与x的函数解析式；
(2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的20℃的饮用水用该款饮水机加热到100℃，然后降温到80℃方可使用.求从饮水机加热开始，到可以使用需要等待多长时间？
20.(本小题10分)
已知如图，在△ABC中，点D是AB边上一个动点，连接CD，在CD的右侧作∠CDE，DE边交BC于点E，当点D在AB边上运动时(点D不与点A、点B重合)，始终保持∠A=∠CDE．
(1)你能否再添加一个条件，使△ACD∽△BDE；
(2)在(1)的条件下，当AC=4，BE=3，AB=8时，求A、D两点之间的距离．
21.(本小题10分)
大白将如图某个棱长为8cm正方体木块固定于水平木板OB上，OA=20cm，将木板OB绕端点O旋转36°至OB′(即∠BOB′=36°)，B′E⊥OB于点E，交CD于点F，C′G⊥EB′延长线于点G．
(1)求点B′到OB的距离；
(2)在(1)问的基础上求点C竖直方向上抬升的高度.(参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73. (1)(2)题中结果精确到个位)
22.(本小题10分)
如图①，一次函数y=12x+2的图象与y轴交于点A，点B是反比例函数y=6x的图象与一次函数y=12x+2的图象在第一象限的交点．
(1)求点B的坐标；
(2)点C是反比例函数y=6x在第一象限内的图象上有别于B的另外一点，过点C作CD//AB交x轴于点D.在x轴正半轴上是否存在一点D，使四边形ABCD是平行四边形，如果存在，请确定AD的长度，如果不存在，请说明理由．
23.(本小题12分)
已知如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20cm，sinB=35，E、F分别是边AB、BC上的动点，点E从A向B匀速运动，点F从B向C匀速运动，E、F运动速度均为1cm/s，连接EF、CE．
(1)求AB的长；
(2)当点E与点F同时开始运动，t秒后，△BEF∽△BCA(点E与点C是对应点)，请求出t的值．
24.(本小题12分)
近年来，某文创团队充分利用铜仁非遗项目种类繁多的资源优势，用心打造的A商品一投入市场，就深受广大游客喜爱.已知A商品每件成本60元，经调查发现，定价为每件100元时，一天可以卖出120件，每降价1元，就多卖出5件．
(1)设A商品降价x元，则一天可以卖出______件(用含x的式子表示)；
(2)该文创团队一天能获得5100元利润吗？如果能，则需要降价多少元？如果不能，请说明理由．
25.(本小题12分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点C逆时针旋一个角度α得到Rt△A′B′C，连接AA′，BB′．
(1)如图①，当0°<α<90°时，求证：△AA′C∽△BB′C；
(2)如图②，当α=90°时，点A′在BC上，AA′的延长线交BB′于点P，请确定AA′与BB′的位置关系，并说明理由；
(3)如图③，当90°<α<180°时，如果A′C//AB，连接A′B，求A′B的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：移项得3x2−4x+1=0，
所以二次项为3x2，一次项为−4x，常数项为1．
故选：D．
先移项，把4x和−1移到方程左边，然后根据一次项和常数项的定义进行判断．
本题考查了一元二次方程的一般式形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
2.【答案】C
【解析】解：∵a>b，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=a−bx的图象在第一、三象限，
故C选项符合题意．
故选：C．
根据反比例函数k的取值分析即可．
本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵组织方从中抽查的30名学员作品通过专家组评判，不合格率仅为2%，
∴合格率为1−2%=98%，
∴估计300名学员作品合格率是98%．
故选：D．
计算样本的合格率，然后用样本估计总体．
本题考查了用样本估计总体，解题的关键是正确计算样本的合格率．
4.【答案】C
【解析】解：∵AD//BE//CF，
∴ABAC=DEDF，即AB16=34，
∴AB=12m．
故选：C．
由AD//BE//CF，利用平行线分线段成比例，即可求出AB的长．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：这批旱鸭质量的平均数为：6+7+8+74=7(斤)，
方差：14×[(6−7)2+2×(7−7)2+(8−7)2]=0.5(斤 2).
故选：B．
先计算平均数，然后根据方差的计算公式计算即可．
本题考查了方差，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
6.【答案】A
【解析】解：∵两个大小不一的铜仁城市标识图案是位似图形，ABCD=3，
∴两个大小不一的铜仁城市标识图案的相似比为3：1，
∵点A的坐标是(12,6)，
∴点C的坐标为(12×13,6×13)，即(4,2)，
故选：A．
先确定两个图形的相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
7.【答案】B
【解析】解：∵大刀的坡度i=12，
∴ACCP=12，BDDP=12，
∵AC=2m，
∴CP=2AC=4m，
∵CD=2m，
∴DP=CD+CP=6(m)，
∴BD=3m，
故选：B．
先根据坡度的概念求出CP，进而求出DP，再根据坡度的概念计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由作图可知∠BAD=∠CAD，
∴tan∠CAD=tan∠BAD=13，
∵∠C=90°，
∴CDAC=13，
∵AC=4，
∴CD=43．
故选：C．
由题意tan∠CAD=tan∠BAD=13，由此求解即可．
本题考查作图−基本作图，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】A
【解析】解：∵点P大致是AB的黄金分割点(AP>PB)，AP=4cm，
∴APAB= 5−12，
∴AB=2 5+2，
∴AB的长约为(2 5+2)cm，
故选：A．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设DE，GH的延长线分别交反比例函数图象于点M，P，过点M作MN⊥x轴于点N，过点P作PQ⊥x轴于点Q，如图，
则S矩形ABCO=S矩形DMNO=S矩形GPQO=S矩形JKLO，
∵S矩形DEFO>S矩形DMNO，S矩形DHIO且S矩形ABCO、S矩DEFO、S矩形GHIO、S矩形JKLO 分别描述了甲、乙、丙、丁四个社区居民竞赛成绩的优秀人数，
∴乙社区在这次知识竞赛中优秀人数最多．
故选：B．
根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可
本题考查反比例函数的应用，理解题意，掌握反比例函数比例系数k的几何意义时解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：根据题意得：3×12a+7.2a−3a2=40.2，
整理得：a2+14.4+13.4=0，
解得：a1=1，a2=13.4(不符合题意，舍去)，
∴a的值是1．
故选：B．
根据草坪面积(图中阴影部分面积)等于40.2m2，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：连接AO，
∵DEOF和ACOB都是正方形，
∴∠FEO=∠AOB=45°，
∴EF//AO，
∴S△AEF=S△OEF=12×4=2，
故选：A．
连接AO，DEOF和ACOB都是正方形，∠FEO=∠AOB=45°，EF//AO，S△AEF=S△OEF=12×4=2．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图象上的点与坐标轴围成的矩形面积等于k的绝对值是解答本题的关键．
13.【答案】−6
【解析】解：∵点(2,−3)和点(1,m)都在同一个反比例函数图象上，
∴2×(−3)=1×m，
解得，m=−6．
故答案为：−6．
根据反比例函数的解析式可知xy=k，然后根据反比例函数上点的特点可求得m的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数中xy=k．
14.【答案】16
【解析】解：根据题意得Δ=(−8)2−4ab=0，
所以ab=16，
即a与b的乘积是16．
故答案为：16．
利用根的判别式的意义得到Δ=(−8)2−4ab=0，然后利用等式性质求出ab的值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
15.【答案】9
【解析】解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，∴DF//AC，
∵DF=AC，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴AF//EB，
∴△PAF∽△PBE，
∴AFBE=PHPG，
∴1.8BE=0.31.5，
∴BE=9．
故答案为：9．
证明△PAF∽△PBE，推出AFBE=PHPG，由此求解即可．
本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
16.【答案】3 55
【解析】解：连接AA′交BM于N，
∵AA′+A′E≥AE，
∴当点A′落在线段AE上时，A′E最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°，AB=AD=CD=6，
∵sin∠DAE= 55，
∴DEAE= 55，
∴AE= 5DE，
∵AD2+DE2=AE2，
∴62+DE2=( 5DE)2，
∴DE=3，
∴AE=3 5，
由折叠得AA′⊥BM，AA′=2AN，A′M=AM，
∴∠DAA′+∠BAA′=90°，∠ABM+∠BAA′=90°，
∴∠DAA′=∠ABM，
当点A′落在线段AE上时，
∴∠DAA′=∠DAE，
∴∠ABM=∠DAE，
在△ABM和△DAE中，
∠BAM=∠DAB=AD∠ABM=∠DAE，
∴△ABM≌△DAE(ASA)，
∴AM=DE=3，即点M是AD的中点，
∴点M与点F重合，
∵ANAB=sin∠ABM=sin∠DAE= 55，
∴AN= 55AB=6 55，
∴AA′=2AN=12 55，
∴A′E=AE−AA′=3 5−12 55=3 55，
∴A′E的最小值是3 55，
故答案为：3 55．
连接AA′交BM于N，当点A′落在线段AE上时，A′E最小，运用解直角三角形和勾股定理可得AE=3 5，再证得△ABM≌△DAE(ASA)，可得AM=DE=3，即点M是AD的中点，再由解直角三角形即可求得答案．
本题考查了四边形的综合应用，主要考查了正方形的性质，解直角三角形，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17.【答案】解：(1)若选取sin30°和cs45°，
∴sin230°+cs245°=(12)2+( 22)2=14+12=34；
若选取tan60°和cs45°，
∴tan260°+cs245°=( 3)2+( 22)2=3+12=72；
若选取sin30°和tan60°，
∴sin230°+tan260°=(12)2+( 3)2=14+3=134；
(2)配方法：x2+4x−5=0，
x2+4x=5，
x2+4x+4=5+4，
(x+2)2=9，
x+2=±3，
x1=1，x2=−5；
公式法：x2+4x−5=0，
∵Δ=42−4×1×(−5)=16+20=36，
∴x=−4± 362=−4±62=−2±3，
∴x1=1，x2=−5．
【解析】(1)把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
(2)分别利用解一元二次方程−配方法和公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，公式法，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】200
【解析】解：(1)40×20%=200(人)，
∴喜欢“说春”的人数为：200−60−80−40=20(人)，
补全条形统计图：
故答案为：200；
(2)1200×60200=360(人)，
估计全校最喜欢“木偶戏”的学生人数为360人；
(3)∵喜欢“四面花鼓”的人数最多，
∴学校可选定“四面花鼓”项目创建特色课堂．
(1)用喜欢“船工号子”的人数除以它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出喜欢“说春”的人数，然后补全条形统计图；
(2)用样本估计总体即可；
(3)学生喜欢“四面花鼓”的人数最多，可选择“四面花鼓”项目．
本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19.【答案】解：(1)∵整个下降过程中水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系，
∴可设整个下降过程中水温y=kx，
∵其图象过点(4,100)，
∴100=k4，
解得k=400，
∴在水温下降过程中，y=400x；
(2)令y=80，得80=400x，
解得x=5，
答：从饮水机加热开始，到可以使用需要等待5min．
【解析】(1)利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式；
(2)令(1)中求得的函数解析式y=80，求出x的值即为需要等待的时间．
本题考查反比例函数的应用，理解题意，掌握待定系数法时解题的关键．
20.【答案】解：(1)添加AC=BC，使△ACD∽△BDE，理由如下：
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠A=∠CDE，∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，
∴∠BDE=∠ACD，
∴△ACD∽△BDE；
(2)∵△ACD∽△BDE，
∴ACBD=ADBE，
∴48−AD=AD3，
∴AD=2或6，
∴A、D两点之间的距离为2或6．
【解析】(1)由相似三角形的判定可得结论；
(2)由相似三角形的性质可得ACBD=ADBE，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)在Rt△OB′E中，
∵∠EOB′=36°，OB′=OB=OA+AB=20+8=28(cm)，
∴B′E=OB′⋅sin∠EOB′=28×sin36°≈28×0.59≈17(cm)，
答：点B′到OB的距离约为17cm；
(2)在Rt△C′B′G中，
∵∠C′B′G=180°−90°−∠OB′E=90°−∠OB′E=∠EOB′=36°，B′C′=8cm，
∴GB′=B′C′⋅cs∠C′B′G=8×cs36°≈8×0.81≈6(cm)，
∴GF=GB′+B′E−EF=6+17−8=15(cm)，
答：点C竖直方向上抬升的高度为15cm．
【解析】(1)在Rt△OB′E中，利用三角函数定义可求出B′E的长，即点B′到OB的距离；
(2)在Rt△C′B′G中，利用三角函数定义可求出B′G的长，进而求出GF的长，即点C竖直方向上抬升的高度．
本题考查解直角三角形的应用，熟悉直角三角形中边角关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)联立反比例函数y=6x与一次函数y=12x+2，
则y=6xy=12x+2，
解得x=2或x=−6(舍)，
∴B(2,3)；
(2)存在，理由如下：
对于y=12x+2，
令x=0，则y=2，
∴A(0,2)；
∵CD//AB，
∴可设直线CD的解析式为：y=12x+b，
∴D(−2b,0)；
若四边形ABCD是平行四边形，
∵点A(0,2)向右平移−2b个单位，向下平移2个单位得到点D(−2b,0)，
∴点B(2,3)向右平移−2b个单位，向下平移2个单位得到点E，
∴E(2−2b,1)，
将点E(2−2b,1)代入反比例函数y=6x解析式中，
∴2−2b=6，
解得b=−2；
∴D(4,0)，
∴AD= 22+42=2 5．
∴存在点D(4,0)，使得四边形ABCD是平行四边形，此时AD=2 5．
【解析】(1)联立反比例函数与一次函数的解析式，求解可得点B的坐标；
(2)设直线CD的解析式为y=12x+b，由此可得点D的坐标，若四边形ABCD是平行四边形，则AD//BC，由平移可表示出点C的坐标，待入反比例函数的解析式，可得b的值，进而求出点D的坐标，即可得出AD的长度．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形存在性问题，由b表达出点C的坐标是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，sinB=ACAB=35，
∴令AC=3x cm，AB=5x cm，
∴BC= AB2−AC2=4x=20cm，
∴x=5，
∴AB=5x=25cm；
(2)由题意得：BE=AB−AE=(25−t)cm，BF=t cm，
∵∠EBF=∠CBA，
∴当BE：BC=BF：BA时，△BEF∽△BCA，
∴(25−t)：20=t：25，
∴t=1259．
【解析】(1)由锐角的正弦定义得到sinB=ACAB=35，令AC=3x cm，AB=5xcm，由勾股定理得到BC= AB2−AC2=4x=20cm，求出x=5，即可求出AB=25cm；
(2)求出BE=AB−AE=(25−t)cm，BF=t cm，当BE：BC=BF：BA时，△BEF∽△BCA，得到(25−t)：20=t：25，即可求出t的值．
本题考查相似三角形的判定，解直角三角形，关键是由锐角的正弦定义，勾股定理求出x的值；由BE：BC=BF：BA，得到(25−t)：20=t：25，即可求出t的值．
24.【答案】(120+5x)
【解析】解：(1)∵定价为每件100元时，一天可以卖出120件，每降价1元，就多卖出5件，
∴当A商品降价x元时，一天可以卖出(120+5x)件．
故答案为：(120+5x)；
(2)假设该文创团队一天能获得5100元利润，根据题意得：(100−x−60)(120+5x)=5100，
整理得：x2−16x+60=0，
解得：x1=6，x2=10，
∴假设成立，
即该文创团队一天能获得5100元利润，需要降价6或10元．
(1)利用一天的销售量=120+5×每件A商品降低的钱数，即可用含x的代数式表示出一天的销售量；
(2)假设该文创团队一天能获得5100元利润，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，进而可得出假设成立，即该文创团队一天能获得5100元利润．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出一天的销售量；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】(1)证明：由旋转的性质得：∠A′CB′=∠ACB=90°，A′C=AC=3，B′C=BC=4，
∴ACBC=A′CB′C，∠ACB−∠A′CB=∠A′CB′−∠A′CB，
即∠ACA′=∠BCB′，
∴△AA′C∽△BB′C；
(2)解：AA′⊥BB′，理由如下：
同(1)得：△AA′C∽△BB′C，
∴∠A′AC=∠B′BC，
∵∠AA′C=∠BA′P，
∴∠BPA′=∠ACA′=90°，
∴AA′⊥BB′；
(3)解：如图③，延长B′C交AB于点D，过A′作A′E⊥AB于点E，
则四边形A′CDE是矩形，
∴A′E=CD，DE=A′C=3，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∵A′C//AB，∠A′CB′=90°，
∴∠CDB=∠A′CB′=90°，
∴CD⊥AB，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125，
∴A′E=CD=125，
∵∠CDB=∠ACB=90°，∠CBD=∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
∴BDBC=BCBA，
即BD4=45，
∴BD=165，
∴BE=BD−DE=165−3=15，
在Rt△A′BE中，由勾股定理得：A′B= A′E2+BE2= (125)2+(15)2= 1455，
即A′B的长为 1455．
【解析】(1)由旋转的性质得∠A′CB′=∠ACB=90°，A′C=AC=3，B′C=BC=4，得ACBC=A′CB′C，再证∠ACA′=∠BCB′，然后由相似三角形的判定即可得出结论；
(2)同(1)得△AA′C∽△BB′C，则∠A′AC=∠B′BC，再由对顶角∠AA′C=∠BA′P，得∠BPA′=∠ACA′=90°，即可得出结论；
(3)延长B′C交AB于点D，过A′作A′E⊥AB于点E，则四边形A′CDE是矩形，得A′E=CD，DE=A′C=3，由勾股定理得AB=5，再由三角形面积得CD=125，则A′E=CD=125，然后证△CBD∽△ABC，求出BD=165，则BE=BD−DE=15，进而由勾股定理求出A′B的长即可．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、平行线的性质、矩形的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
1.把一元二次方程3x2=4x−1化为一般式，当二次项为3x2时，一次项和常数项分别为( )
A. 4x，−1B. 4x，1C. −4x，−1D. −4x，1
2.当a>b时，反比例函数y=a−bx的图象大致是( )
A. B.
C. D.
3.近期有300人参加了某地举办的非遗传承项目一仡佬族印染的培训活动，活动结束，每位学员必须提交一件用所学技法制作的印染作品.组织方从中抽查的30名学员作品通过专家组评判，不合格率仅为2%.根据抽查结果可以预测，这300名学员作品合格率是( )
A. 20%B. 80%C. 2%D. 98%
4.如图是某景区大门部分建筑，已知AD//BE//CF，AC=16m，当DF：DE=4：3时，则AB的长是( )
A. 10m
B. 11m
C. 12m
D. 13m
5.德江某板鸭加工厂，为调查一批旱鸭的品质，从中随机选取了4只，以斤为计量单位(1斤等于500克)，记录其质量分别为6斤、7斤、8斤、7斤，则估计这批旱鸭质量的方差是( )
A. 1.5B. 0.5C. 7D. 4
6.如图，在平面直角坐标系中，两个大小不一的铜仁城市标识图案是位似图形，原点O是位似中心，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点A的坐标是(12,6)，ABCD=3，则点C的坐标为( )
A. (4,2)B. (2,4)C. (6,3)D. (3,6)
7.小明看完“上刀山”表演后，被表演艺人精湛技艺所震撼，他发现，艺人在如图大刀的AB段表演时最精彩，他想利用所学知识测量一下B点的高度，已知点P、A、B在一条直线上，点P、C、D也在一条直线上，AC⊥PD，BD⊥PD，AC=CD=2m，大刀的坡度(即∠APC的坡度)为i=12，则BD为( )
A. 2mB. 3mC. 4mD. 5m
8.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点E，交AC于点F，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点G，作射线AG交BC于点D.若AC=4，tan∠BAD=13，则CD的长是( )
A. 34B. 1C. 43D. 2
9.“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品.实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点P大致是AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长为4cm，那么AB的长约为( )
A. (2 5+2)cm
B. (2 5−2)cm
C. (2 5+1)cm
D. (2 5−1)cm
10.得天独厚的自然条件和生态资源，已让铜仁这片黔东沃土孕育出33个地理标志产品.在2023梵净山国际地理标志研讨会议召开之际，某区举行地理标志产品知识竞赛，如图使用S矩形ABCO、S矩DEFO、S矩形GHIO、S矩形JKLO分别描述了甲、乙、丙、丁四个社区居民竞赛成绩的优秀人数，已知y表示社区居民竞赛成绩的优秀率，x表示该社区参赛居民人数，点B和点K在同一条反比例函数图象上，则这四个社区在这次知识竞赛中优秀人数最多的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
11.某城市为增加绿植面积，改造部分室外停车位，如图①所示，6个车位拼成的矩形阴影部分全部为绿色草坪，当所有的车位分割线及停车方向线等标线粗细全部忽略不计时，可以看成图②，已知绿色草坪横条和竖条均为矩形，且宽度都为a m，AB=12m，BC=7.2m，当草坪面积(图中阴影部分面积)等于40.2m2时，则a的值是( )
A. 0.75mB. 1mC. 1.2mD. 1.5m
12.已知如图，反比例函数y=−4x，y=6x的图象分别经过正方形DEOF、正方形ACOB的顶点D、A，连接EF、AE、AF，则△AEF的面积等于( )
A. 2
B. 3
C. 1
D. 5
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知点(2,−3)和点(1,m)都在同一个反比例函数图象上，则m的值为______．
14.关于x的一元二次方程ax2−8x+b=0有两个相等的实数根，a与b的乘积是______．
15.如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为1.8米，这两个参照点到地面BE的距离AC=FD=1.2米，若驾驶员的眼睛点P到地面BE的距离PG=1.5米，则驾驶员的视野盲区BE的长度为______米.
16.如图，正方形纸片ABCD的边长为6，点E是边CD上一定点，sin∠DAE= 55，点F是边AD的中点，点M是线段AF(除点A外)任意一个动点，连接BM，把△ABM沿BM折叠，点A落在A′处，连接A′E，则A′E的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)根据个人爱好，从sin30°，cs45°和tan60°中任取两个，然后求选取的两个三角函数的平方和；
(2)采用配方法或公式法解一元二次方程x2+4x−5=0．
18.(本小题12分)
为了让初中生更加直观的体验非遗手工技艺，感受非遗文化的独特魅力，培养他们对优秀传统文化的兴趣，积极参与到非物质文化遗产的保护和传承中来，某校举办了非遗知识进课堂活动，选定木偶戏、四面花鼓、说春、船工号子四类非遗项目，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的非遗项目，将抽查结果绘制成如下统计图(不完整)．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)被抽查的学生人数为______，并将条形统计图补充完整.(温馨提醒：请画在答题卡相对应的图上)；
(2)若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“木偶戏”的学生人数；
(3)该学校计划选定其中一个非遗项目创建特色课堂，你对具体选择什么项目有没有建议，请写出1条合理性的建议．
19.(本小题10分)
石阡是“中国苔茶之乡”，是茶树的原产地之一，有千年的茶叶栽种历史.某次茶艺比赛中指定使用的饮水机4分钟就可以将20℃的饮用水加热到100℃.此后停止加热，水温开始下降.如图所示，已知整个下降过程中水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．
(1)在水温下降过程中，求y与x的函数解析式；
(2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的20℃的饮用水用该款饮水机加热到100℃，然后降温到80℃方可使用.求从饮水机加热开始，到可以使用需要等待多长时间？
20.(本小题10分)
已知如图，在△ABC中，点D是AB边上一个动点，连接CD，在CD的右侧作∠CDE，DE边交BC于点E，当点D在AB边上运动时(点D不与点A、点B重合)，始终保持∠A=∠CDE．
(1)你能否再添加一个条件，使△ACD∽△BDE；
(2)在(1)的条件下，当AC=4，BE=3，AB=8时，求A、D两点之间的距离．
21.(本小题10分)
大白将如图某个棱长为8cm正方体木块固定于水平木板OB上，OA=20cm，将木板OB绕端点O旋转36°至OB′(即∠BOB′=36°)，B′E⊥OB于点E，交CD于点F，C′G⊥EB′延长线于点G．
(1)求点B′到OB的距离；
(2)在(1)问的基础上求点C竖直方向上抬升的高度.(参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73. (1)(2)题中结果精确到个位)
22.(本小题10分)
如图①，一次函数y=12x+2的图象与y轴交于点A，点B是反比例函数y=6x的图象与一次函数y=12x+2的图象在第一象限的交点．
(1)求点B的坐标；
(2)点C是反比例函数y=6x在第一象限内的图象上有别于B的另外一点，过点C作CD//AB交x轴于点D.在x轴正半轴上是否存在一点D，使四边形ABCD是平行四边形，如果存在，请确定AD的长度，如果不存在，请说明理由．
23.(本小题12分)
已知如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20cm，sinB=35，E、F分别是边AB、BC上的动点，点E从A向B匀速运动，点F从B向C匀速运动，E、F运动速度均为1cm/s，连接EF、CE．
(1)求AB的长；
(2)当点E与点F同时开始运动，t秒后，△BEF∽△BCA(点E与点C是对应点)，请求出t的值．
24.(本小题12分)
近年来，某文创团队充分利用铜仁非遗项目种类繁多的资源优势，用心打造的A商品一投入市场，就深受广大游客喜爱.已知A商品每件成本60元，经调查发现，定价为每件100元时，一天可以卖出120件，每降价1元，就多卖出5件．
(1)设A商品降价x元，则一天可以卖出______件(用含x的式子表示)；
(2)该文创团队一天能获得5100元利润吗？如果能，则需要降价多少元？如果不能，请说明理由．
25.(本小题12分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点C逆时针旋一个角度α得到Rt△A′B′C，连接AA′，BB′．
(1)如图①，当0°<α<90°时，求证：△AA′C∽△BB′C；
(2)如图②，当α=90°时，点A′在BC上，AA′的延长线交BB′于点P，请确定AA′与BB′的位置关系，并说明理由；
(3)如图③，当90°<α<180°时，如果A′C//AB，连接A′B，求A′B的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：移项得3x2−4x+1=0，
所以二次项为3x2，一次项为−4x，常数项为1．
故选：D．
先移项，把4x和−1移到方程左边，然后根据一次项和常数项的定义进行判断．
本题考查了一元二次方程的一般式形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
2.【答案】C
【解析】解：∵a>b，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=a−bx的图象在第一、三象限，
故C选项符合题意．
故选：C．
根据反比例函数k的取值分析即可．
本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵组织方从中抽查的30名学员作品通过专家组评判，不合格率仅为2%，
∴合格率为1−2%=98%，
∴估计300名学员作品合格率是98%．
故选：D．
计算样本的合格率，然后用样本估计总体．
本题考查了用样本估计总体，解题的关键是正确计算样本的合格率．
4.【答案】C
【解析】解：∵AD//BE//CF，
∴ABAC=DEDF，即AB16=34，
∴AB=12m．
故选：C．
由AD//BE//CF，利用平行线分线段成比例，即可求出AB的长．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：这批旱鸭质量的平均数为：6+7+8+74=7(斤)，
方差：14×[(6−7)2+2×(7−7)2+(8−7)2]=0.5(斤 2).
故选：B．
先计算平均数，然后根据方差的计算公式计算即可．
本题考查了方差，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
6.【答案】A
【解析】解：∵两个大小不一的铜仁城市标识图案是位似图形，ABCD=3，
∴两个大小不一的铜仁城市标识图案的相似比为3：1，
∵点A的坐标是(12,6)，
∴点C的坐标为(12×13,6×13)，即(4,2)，
故选：A．
先确定两个图形的相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
7.【答案】B
【解析】解：∵大刀的坡度i=12，
∴ACCP=12，BDDP=12，
∵AC=2m，
∴CP=2AC=4m，
∵CD=2m，
∴DP=CD+CP=6(m)，
∴BD=3m，
故选：B．
先根据坡度的概念求出CP，进而求出DP，再根据坡度的概念计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由作图可知∠BAD=∠CAD，
∴tan∠CAD=tan∠BAD=13，
∵∠C=90°，
∴CDAC=13，
∵AC=4，
∴CD=43．
故选：C．
由题意tan∠CAD=tan∠BAD=13，由此求解即可．
本题考查作图−基本作图，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】A
【解析】解：∵点P大致是AB的黄金分割点(AP>PB)，AP=4cm，
∴APAB= 5−12，
∴AB=2 5+2，
∴AB的长约为(2 5+2)cm，
故选：A．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设DE，GH的延长线分别交反比例函数图象于点M，P，过点M作MN⊥x轴于点N，过点P作PQ⊥x轴于点Q，如图，
则S矩形ABCO=S矩形DMNO=S矩形GPQO=S矩形JKLO，
∵S矩形DEFO>S矩形DMNO，S矩形DHIO
∴乙社区在这次知识竞赛中优秀人数最多．
故选：B．
根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可
本题考查反比例函数的应用，理解题意，掌握反比例函数比例系数k的几何意义时解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：根据题意得：3×12a+7.2a−3a2=40.2，
整理得：a2+14.4+13.4=0，
解得：a1=1，a2=13.4(不符合题意，舍去)，
∴a的值是1．
故选：B．
根据草坪面积(图中阴影部分面积)等于40.2m2，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：连接AO，
∵DEOF和ACOB都是正方形，
∴∠FEO=∠AOB=45°，
∴EF//AO，
∴S△AEF=S△OEF=12×4=2，
故选：A．
连接AO，DEOF和ACOB都是正方形，∠FEO=∠AOB=45°，EF//AO，S△AEF=S△OEF=12×4=2．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图象上的点与坐标轴围成的矩形面积等于k的绝对值是解答本题的关键．
13.【答案】−6
【解析】解：∵点(2,−3)和点(1,m)都在同一个反比例函数图象上，
∴2×(−3)=1×m，
解得，m=−6．
故答案为：−6．
根据反比例函数的解析式可知xy=k，然后根据反比例函数上点的特点可求得m的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数中xy=k．
14.【答案】16
【解析】解：根据题意得Δ=(−8)2−4ab=0，
所以ab=16，
即a与b的乘积是16．
故答案为：16．
利用根的判别式的意义得到Δ=(−8)2−4ab=0，然后利用等式性质求出ab的值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
15.【答案】9
【解析】解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，∴DF//AC，
∵DF=AC，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴AF//EB，
∴△PAF∽△PBE，
∴AFBE=PHPG，
∴1.8BE=0.31.5，
∴BE=9．
故答案为：9．
证明△PAF∽△PBE，推出AFBE=PHPG，由此求解即可．
本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
16.【答案】3 55
【解析】解：连接AA′交BM于N，
∵AA′+A′E≥AE，
∴当点A′落在线段AE上时，A′E最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°，AB=AD=CD=6，
∵sin∠DAE= 55，
∴DEAE= 55，
∴AE= 5DE，
∵AD2+DE2=AE2，
∴62+DE2=( 5DE)2，
∴DE=3，
∴AE=3 5，
由折叠得AA′⊥BM，AA′=2AN，A′M=AM，
∴∠DAA′+∠BAA′=90°，∠ABM+∠BAA′=90°，
∴∠DAA′=∠ABM，
当点A′落在线段AE上时，
∴∠DAA′=∠DAE，
∴∠ABM=∠DAE，
在△ABM和△DAE中，
∠BAM=∠DAB=AD∠ABM=∠DAE，
∴△ABM≌△DAE(ASA)，
∴AM=DE=3，即点M是AD的中点，
∴点M与点F重合，
∵ANAB=sin∠ABM=sin∠DAE= 55，
∴AN= 55AB=6 55，
∴AA′=2AN=12 55，
∴A′E=AE−AA′=3 5−12 55=3 55，
∴A′E的最小值是3 55，
故答案为：3 55．
连接AA′交BM于N，当点A′落在线段AE上时，A′E最小，运用解直角三角形和勾股定理可得AE=3 5，再证得△ABM≌△DAE(ASA)，可得AM=DE=3，即点M是AD的中点，再由解直角三角形即可求得答案．
本题考查了四边形的综合应用，主要考查了正方形的性质，解直角三角形，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17.【答案】解：(1)若选取sin30°和cs45°，
∴sin230°+cs245°=(12)2+( 22)2=14+12=34；
若选取tan60°和cs45°，
∴tan260°+cs245°=( 3)2+( 22)2=3+12=72；
若选取sin30°和tan60°，
∴sin230°+tan260°=(12)2+( 3)2=14+3=134；
(2)配方法：x2+4x−5=0，
x2+4x=5，
x2+4x+4=5+4，
(x+2)2=9，
x+2=±3，
x1=1，x2=−5；
公式法：x2+4x−5=0，
∵Δ=42−4×1×(−5)=16+20=36，
∴x=−4± 362=−4±62=−2±3，
∴x1=1，x2=−5．
【解析】(1)把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
(2)分别利用解一元二次方程−配方法和公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，公式法，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】200
【解析】解：(1)40×20%=200(人)，
∴喜欢“说春”的人数为：200−60−80−40=20(人)，
补全条形统计图：
故答案为：200；
(2)1200×60200=360(人)，
估计全校最喜欢“木偶戏”的学生人数为360人；
(3)∵喜欢“四面花鼓”的人数最多，
∴学校可选定“四面花鼓”项目创建特色课堂．
(1)用喜欢“船工号子”的人数除以它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出喜欢“说春”的人数，然后补全条形统计图；
(2)用样本估计总体即可；
(3)学生喜欢“四面花鼓”的人数最多，可选择“四面花鼓”项目．
本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19.【答案】解：(1)∵整个下降过程中水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系，
∴可设整个下降过程中水温y=kx，
∵其图象过点(4,100)，
∴100=k4，
解得k=400，
∴在水温下降过程中，y=400x；
(2)令y=80，得80=400x，
解得x=5，
答：从饮水机加热开始，到可以使用需要等待5min．
【解析】(1)利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式；
(2)令(1)中求得的函数解析式y=80，求出x的值即为需要等待的时间．
本题考查反比例函数的应用，理解题意，掌握待定系数法时解题的关键．
20.【答案】解：(1)添加AC=BC，使△ACD∽△BDE，理由如下：
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠A=∠CDE，∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，
∴∠BDE=∠ACD，
∴△ACD∽△BDE；
(2)∵△ACD∽△BDE，
∴ACBD=ADBE，
∴48−AD=AD3，
∴AD=2或6，
∴A、D两点之间的距离为2或6．
【解析】(1)由相似三角形的判定可得结论；
(2)由相似三角形的性质可得ACBD=ADBE，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)在Rt△OB′E中，
∵∠EOB′=36°，OB′=OB=OA+AB=20+8=28(cm)，
∴B′E=OB′⋅sin∠EOB′=28×sin36°≈28×0.59≈17(cm)，
答：点B′到OB的距离约为17cm；
(2)在Rt△C′B′G中，
∵∠C′B′G=180°−90°−∠OB′E=90°−∠OB′E=∠EOB′=36°，B′C′=8cm，
∴GB′=B′C′⋅cs∠C′B′G=8×cs36°≈8×0.81≈6(cm)，
∴GF=GB′+B′E−EF=6+17−8=15(cm)，
答：点C竖直方向上抬升的高度为15cm．
【解析】(1)在Rt△OB′E中，利用三角函数定义可求出B′E的长，即点B′到OB的距离；
(2)在Rt△C′B′G中，利用三角函数定义可求出B′G的长，进而求出GF的长，即点C竖直方向上抬升的高度．
本题考查解直角三角形的应用，熟悉直角三角形中边角关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)联立反比例函数y=6x与一次函数y=12x+2，
则y=6xy=12x+2，
解得x=2或x=−6(舍)，
∴B(2,3)；
(2)存在，理由如下：
对于y=12x+2，
令x=0，则y=2，
∴A(0,2)；
∵CD//AB，
∴可设直线CD的解析式为：y=12x+b，
∴D(−2b,0)；
若四边形ABCD是平行四边形，
∵点A(0,2)向右平移−2b个单位，向下平移2个单位得到点D(−2b,0)，
∴点B(2,3)向右平移−2b个单位，向下平移2个单位得到点E，
∴E(2−2b,1)，
将点E(2−2b,1)代入反比例函数y=6x解析式中，
∴2−2b=6，
解得b=−2；
∴D(4,0)，
∴AD= 22+42=2 5．
∴存在点D(4,0)，使得四边形ABCD是平行四边形，此时AD=2 5．
【解析】(1)联立反比例函数与一次函数的解析式，求解可得点B的坐标；
(2)设直线CD的解析式为y=12x+b，由此可得点D的坐标，若四边形ABCD是平行四边形，则AD//BC，由平移可表示出点C的坐标，待入反比例函数的解析式，可得b的值，进而求出点D的坐标，即可得出AD的长度．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形存在性问题，由b表达出点C的坐标是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，sinB=ACAB=35，
∴令AC=3x cm，AB=5x cm，
∴BC= AB2−AC2=4x=20cm，
∴x=5，
∴AB=5x=25cm；
(2)由题意得：BE=AB−AE=(25−t)cm，BF=t cm，
∵∠EBF=∠CBA，
∴当BE：BC=BF：BA时，△BEF∽△BCA，
∴(25−t)：20=t：25，
∴t=1259．
【解析】(1)由锐角的正弦定义得到sinB=ACAB=35，令AC=3x cm，AB=5xcm，由勾股定理得到BC= AB2−AC2=4x=20cm，求出x=5，即可求出AB=25cm；
(2)求出BE=AB−AE=(25−t)cm，BF=t cm，当BE：BC=BF：BA时，△BEF∽△BCA，得到(25−t)：20=t：25，即可求出t的值．
本题考查相似三角形的判定，解直角三角形，关键是由锐角的正弦定义，勾股定理求出x的值；由BE：BC=BF：BA，得到(25−t)：20=t：25，即可求出t的值．
24.【答案】(120+5x)
【解析】解：(1)∵定价为每件100元时，一天可以卖出120件，每降价1元，就多卖出5件，
∴当A商品降价x元时，一天可以卖出(120+5x)件．
故答案为：(120+5x)；
(2)假设该文创团队一天能获得5100元利润，根据题意得：(100−x−60)(120+5x)=5100，
整理得：x2−16x+60=0，
解得：x1=6，x2=10，
∴假设成立，
即该文创团队一天能获得5100元利润，需要降价6或10元．
(1)利用一天的销售量=120+5×每件A商品降低的钱数，即可用含x的代数式表示出一天的销售量；
(2)假设该文创团队一天能获得5100元利润，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，进而可得出假设成立，即该文创团队一天能获得5100元利润．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出一天的销售量；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】(1)证明：由旋转的性质得：∠A′CB′=∠ACB=90°，A′C=AC=3，B′C=BC=4，
∴ACBC=A′CB′C，∠ACB−∠A′CB=∠A′CB′−∠A′CB，
即∠ACA′=∠BCB′，
∴△AA′C∽△BB′C；
(2)解：AA′⊥BB′，理由如下：
同(1)得：△AA′C∽△BB′C，
∴∠A′AC=∠B′BC，
∵∠AA′C=∠BA′P，
∴∠BPA′=∠ACA′=90°，
∴AA′⊥BB′；
(3)解：如图③，延长B′C交AB于点D，过A′作A′E⊥AB于点E，
则四边形A′CDE是矩形，
∴A′E=CD，DE=A′C=3，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∵A′C//AB，∠A′CB′=90°，
∴∠CDB=∠A′CB′=90°，
∴CD⊥AB，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125，
∴A′E=CD=125，
∵∠CDB=∠ACB=90°，∠CBD=∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
∴BDBC=BCBA，
即BD4=45，
∴BD=165，
∴BE=BD−DE=165−3=15，
在Rt△A′BE中，由勾股定理得：A′B= A′E2+BE2= (125)2+(15)2= 1455，
即A′B的长为 1455．
【解析】(1)由旋转的性质得∠A′CB′=∠ACB=90°，A′C=AC=3，B′C=BC=4，得ACBC=A′CB′C，再证∠ACA′=∠BCB′，然后由相似三角形的判定即可得出结论；
(2)同(1)得△AA′C∽△BB′C，则∠A′AC=∠B′BC，再由对顶角∠AA′C=∠BA′P，得∠BPA′=∠ACA′=90°，即可得出结论；
(3)延长B′C交AB于点D，过A′作A′E⊥AB于点E，则四边形A′CDE是矩形，得A′E=CD，DE=A′C=3，由勾股定理得AB=5，再由三角形面积得CD=125，则A′E=CD=125，然后证△CBD∽△ABC，求出BD=165，则BE=BD−DE=15，进而由勾股定理求出A′B的长即可．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、平行线的性质、矩形的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
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