2023-2024学年河北省保定市阜平县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市阜平县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“我爱中国”这四个汉字拼音的首字母如图所示，其中属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方104m3，则土石方日运送量V(m3/天)与完成运送任务所需时间t(天)满足( )
A. 反比例函数关系B. 正比例函数关系C. 一次函数关系D. 二次函数关系
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列比值中等于sinB的是( )
A. ABAC
B. ACAB
C. BCAB
D. ACBC
4.将抛物线y=x2向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是( )
A. y=(x+1)2B. y=(x−1)2C. y=x2+1D. y=x2−1
5.已知事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：明天下雨，下列说法正确的是( )
A. 事件①和②都是随机事件B. 事件①和②都是必然事件
C. 事件①是随机事件，事件②是必然事件D. 事件①是必然事件，事件②是随机事件
6.如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况( )
A. 横坐标和纵坐标都加2
B. 横坐标和纵坐标都乘以2
C. 横坐标和纵坐标都除以2
D. 横坐标和纵坐标都减2
7.如图，在⊙O中，点C在AD上．若AB=BD,∠AOB=110°，则∠BCD的度数为( )
A. 55°
B. 70°
C. 110°
D. 250°
8.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是( )
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
9.2021年以来，某厂生产的电子产品处于高速增长上升期，该厂生产一件产品起初的成本为125元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了19.2元.设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是( )
A. 125(1−2x)=125−19.2B. 19.2(1+x)2=125
C. 125(1−x)2=19.2D. 125(1−x)2=125−19.2
10.关于x的方程x2−kx+9=0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A. 9B. 6C. ±9D. ±6
11.一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y(米)与时间x(秒)的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当x=2时，该乒乓球所经过的路程为( )
A. 5米B. 163米C. 83米D. 23米
12.已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c与反比例函数y=bcx的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
13.如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为 3，则切线长PC为( )
A. 3
B. 2
C. 2 3
D. 3 3
14.图是由8个小正方形组成的网格，则在△ABD，△ACD，△EBD，△EAF中，与△ABC相似的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，点A、B的坐标分别为(1,5)、(1,2)，∠B=90°，点C在点B的右侧．动点D从点A出发，沿AB−BC运动到点C，反比例函数y=kx(x>0)的图象L经过点D.则在点D的运动过程中，图象L经过两次的点是( )
A. (1,2)B. (3,1)C. (2,2)D. (3,3)
16.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在边BC上.关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是( )
结论Ⅰ：若⊙O的半径为2，P是边BC的中点，则PE的长为 13；
结论Ⅱ：连接PF.若S△PEF= 32，则EF的长为π3．
A. 只有结论Ⅰ对
B. 只有结论Ⅱ对
C. 结论Ⅰ、Ⅱ都对
D. 结论Ⅰ、Ⅱ都不对
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.已知反比例函数y=kx，若当x<0时y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的整数值：______．
18.如图，在△ABC中，D，F是AB的三等分点，DE//FG//BC．
(1)若DE=2，则BC= ______；
(2)S△ADE：S△AFG：S△ABC= ______．
19.已知函数y=(x−2)2+m．
(1)若m=1，则该函数图象与y轴的交点坐标为______；
(2)当x≤m时，函数y=(x−2)2+m的最小值为4，则m的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题9分)
解下列方程．
(1)x2−4x=12；
(2)2x2−7x+3=0．
21.(本小题9分)
如图1、图2，△ABO的顶点都在平面直角坐标系中的网格点上．

(1)在图1中画出与△ABO关于点O对称的△A′B′O，点A′的坐标为______；
(2)在图2的网格中找一格点C，使得以A，B，O，C为顶点的四边形是中心对称图形．
22.(本小题9分)
如图，已知点B(4,4)，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(1,3).(1)求反比例函数的解析式，并在图中画出该反比例函数的图象；
(2)当x≥3时，求函数值y的取值范围；
(3)若关于x的一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过点B，且与图中的反比例函数的图象交于点P，当a>0时，直接写出点P的横坐标xp的取值范围．
23.(本小题10分)
现有四张不透明且质地相同的数字卡片，卡片正面分别写有数字1，1，3，4，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
(1)随机抽取一张卡片，恰好得到数字1的概率为______；
(2)班级图书角新加一本《西游记》，嘉嘉和淇淇都想看，张红用以上四张卡片设计了游戏：随机抽取一张卡片，记下数字后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张记下数字，将抽取的第一张、第二张卡片上的数字相加.若两数之和为奇数，则嘉嘉先看；若两数之和为偶数，则淇淇先看，但嘉嘉却认为这个游戏设计得不公平，请你画树状图求出嘉嘉先看《西游记》的概率，再判断嘉嘉的说法是否正确．
24.(本小题10分)
小明对他击羽毛球的路线进行分析.如图13，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上.若小明选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=−0.4x+2.8；若小明选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x−1)2+3.2．
(1)求点P的坐标和a的值；
(2)通过分析发现，上面两种击球方式均能使球过球网AB.要使球的落地点到点C的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式；
(3)小明在点P处再次以吊球的方式击球，此次羽毛球飞行路线的形状与y=a(x−1)2+3.2的相同，且恰好落到点C处，则此次羽毛球飞行到最高点时与y轴的水平距离比1m ______(填“大”或“小”)．
25.(本小题12分)
如图1，将Rt△ABC的顶点C放在⊙O上，边BC与⊙O相切于点C，边AC与⊙O交于点D.已知∠BCA=60°，∠B=90°，BC=6，⊙O的直径为8．
(1)如图1，过点O作OM⊥CD于点M，求CM的长度；
(2)从图1的位置开始，将△ABC绕点C顺时针旋转，设旋转角为α(0°≤α≤360°)．
①如图2，当α=20°时，边BC与⊙O的另一交点为E，求CE的长度；
②如图3，当AC经过圆心O时，试判断AB与⊙O之间的位置关系，并说明理由；
③在旋转过程中，直接写出点O到边AB的距离h的取值范围．
26.(本小题13分)
在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.点Q在线段AC上运动，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P．
(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
(2)当点P与点B重合时，求AQ的长；
(3)若点Q从点A以每秒2个单位长的速度向点C运动，求点P与点B的距离不大于1时，点Q的运动时间；
(4)当△BPQ为等腰三角形时，直接写出AP的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在英文字母W，A，Z，G中，是中心对称图形的是Z．
故选：C．
根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意得：Vt=104，
∴V=104t，
∴V与t满足反比例函数关系；
故选：A．
列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．
3.【答案】B
【解析】解：Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinB=ACAB．
故选：B．
直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦，由此即可得到答案．
本题考查锐角三角函数定义，关键是掌握锐角的正弦定义．
4.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=x2向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是y=(x−1)2．
故选：B．
直接利用二次函数图象的平移规律：左加右减进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°是必然事件；
事件②：明天下雨是随机事件．
故选：D．
根据随机事件的定义解答即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵A1(2,1)，A(4,2)；B1(1,3)，B(2,6)，
∴各顶点变化情况为：横坐标和纵坐标都除以2．
故选：C．
直接利用对应点横纵坐标的关系进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确利用已知点坐标的变化规律分析是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵AB=BD,∠AOB=110°，
∴∠BCD=12∠AOB=12×110°=55°．
故选：A．
利用AB=BD及等弧所对圆周角圆心角关系可以得到结果．
此题主要考查了等弧所对的圆周角圆心角的关系，解题的关键会识别圆周角圆心角是否对着等弧或同弧．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB=∠DCE=30°、AC=DC，继而可得答案．
【解答】
解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC=180°−∠DCA2=180°−30°2=75°，
故选D．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得：125(1−x)2=125−19.2．
故选：D．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=125−19.2，把相应数值代入即可列出方程．
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
10.【答案】D
【解析】解：∵关于x的方程x2−kx+9=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−k)2−4×9=0，
解得：k=±6．
故选：D．
利用一元二次方程的根的判别式即可得求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握：对于一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2−4ac>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0，方程没有实数根．
11.【答案】C
【解析】解：设y=ax2，
将(1.5,3)代入上式得：3=2.25a，
解得：a=43，
则函数的表达式为：y=43x2，
当x=2时，y=43×2=83，
即乒乓球所经过的路程是83米，
故选：C．
先由待定系数法求出函数关系式，再代入x=2即可求出结论．
本题考查的是二次函数的应用，确定函数表达式是本题解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：由抛物线y=ax2+bx+c图象可知，a>0，b>0，c>0，
∴bc>0，
∴一次函数y=bx+c的图象在第一、二、三象限，反比例函数y=bcx的图象在一、三象限，
故选：B．
根据抛物线，可以得到a、b、c的正负情况，从而可以得到一次函数y=bx+c反比例函数y=bcx的图象所在的位置，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】B
【解析】解：设钟表的中心为点O，连接BC，OD，
由题意得：点O在BC上，∠DOC=2×30°=60°，
∴∠DBC=12∠DOC=30°，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠BCP=90°，
∵BC=2 3，
∴CP=tan30°BC= 33×2 3=2，
故选：B．
设钟表的中心为点O，连接BC，OD，根据题意可得：点O在BC上，∠DOC=60°，然后利用圆周角定理可得∠DBC=30°，再利用切线的性质可得∠BCP=90°，最后在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：由题意可得：∠ABC=∠EAF=135°，
设小正方形的边长为a，则AE=AB= 2a，CD=BC=a，BD=2a，AF=3a，
∴AC/​/DE，
∴△ABC∽△EBD，
∵ABBC= 2=BDAB，∠ABC=∠ABC，
∴△ABC∽△DBA，
故选：B．
由三角形中位线定理可得AC/​/DE，可证△ABC∽△EBD，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△DBA，即可求解．
本题考查相似三角形判定，三角形中位线定理，掌握三角形的判定方法是解题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：∵△ABC为等腰直角三角形，点A、B的坐标分别为(1,5)、(1,2)，∠B=90°，
∴AB⊥x轴，BC/​/x轴，
∴C(4,2)，
∵点(1,4)、(2,2)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴图象L经过两次的点是(1,4)、(2,2)，
故选：C．
根据题意得到C(4,2)，由点(1,4)、(2,2)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，即可得出正确选项．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：结论Ⅰ：连接OB，OC，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠BOC=360°6=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=OB=2，
连接CE，过D作DH⊥CE于H，
∵DE=CD，∠EDC=∠BCD=(6−2)×180°6=120°，
∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴DH=12CD=1，∠ECP=90°，
∴CE=2CH=2× 22−12=2 3，
∵P是边BC的中点，
∴CP=12BC=1，
∴PE= (2 3)2+12= 13；故结论Ⅰ正确；
结论Ⅱ：连接BF，BE，设正六边形ABCDEF的边长为a，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴BE过点O，
连接OF，
则△EOF是等边三角形，
∴∠EOF=60°，
过点A作AT⊥BF于T，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴CB/​/EF，AB=AF，∠BAF=120°，
∴S△PEF=S△BEF，
∵AT⊥BF，AB=AF，
∴BT=FT，∠BAT=∠FAT=60°，
∴BT=FT=AB⋅sin60°= 3a2，
∴BF=2BT= 3a，
∵∠AFE=120°，∠AFB=∠ABF=30°，
∴∠BFE=90°，
∴∠EBF=12∠EOF=30°，
∵EF=a，
∴△PEF的面积=△BEF的面积=12a⋅ 3a= 32，
∴a=1(负值舍去)，
∴EF的长=60π×1180=13π，故结论Ⅱ正确．
故选：C．
结论Ⅰ：连接OB，OC，根据等边三角形的性质得到△BOC是等边三角形，求得BC=OB=2，连接CE，过D作DH⊥CE于H，得到∠DEC=∠DCE=30°，根据直角三角形的性质得到DH=12CD=1，∠ECP=90°，求得CE=2CH=2× 22−12=2 3，根据勾股定理得到PE= (2 3)2+12= 13；
结论Ⅱ：连接BF，BE，设正六边形ABCDEF的边长为a，连接OF，求得∠EOF=60°，过点A作AT⊥BF于T，得到S△PEF=S△BEF，根据三角形的面积列方程求得a=2(负值舍去)，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
17.【答案】−1(答案不唯一)
【解析】解：∵反比例函数y=kx，当x<0时y随x的增大而增大，
∴k<0，
∴k的值可以为−1(答案不唯一)．
故答案为：−1(答案不唯一)．
先根据反比例函数的性质判断出k的符号，再写出符合条件的函数关系式即可．
本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数y=kx(k≠0)，当k<0时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大是解决问题的关键．
18.【答案】6 1：4：9
【解析】解：(1)∵D，F是AB的三等分点，
∴ADAB=13，
∵DE/​/BC．
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13，
∵DE=2，
∴BC=6；
故答案为：6；
(2)∵D，F是AB的三等分点，
∴AD：AF：AB=1：2：3，
∵DE//FG//BC．
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴S△ADE：S△AFG：S△ABC=1：4：9．
故答案为：1：4：9．
(1)先由三等分点可得ADAB=13，然后证明△ADE∽△ABC，根据对应边成比例即可求解；
(2)先求出AD：AF：AB=1：2：3，然后证明△ADE∽△AFG∽△ABC，再根据面积之比等于相似比的平方即可解答．
本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
19.【答案】(0,5) 0或4
【解析】解：(1)若m=1，则y=(x−2)2+1，
当x=0时，y=4+1=5，
∴该函数图象与y轴交点坐标为(0,5)．
故答案为：(0,5)；
(2)由y=(x−2)2+m可知，当x=2时，函数有最小值m，
∵当x≤m时，函数y=(x−2)2+m的最小值为4，
∴当m≥2时，函数y=(x−2)2+m的最小值为m，
∴此时m=4时符合题意；
当m<2时，则x=m时，函数y=(x−2)2+m的最小值为4，
∴(m−2)2+m=4，
解得m=0或m=3(不合题意，舍去)，
∴m=0，
综上所述：m=0或4．
故答案为：0或4．
(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数图象与y轴的交点坐标；
(2)分两种情形：当m≥2时，则函数y=(x−2)2+m的最小值为m，得到m=4.当m<2时，则x=m时，函数y=(x−2)2+m的最小值为4，列出方程即可解决．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题的关键是：(1)牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b”；(2)利用分类讨论解决问题．
20.【答案】解：(1)x2−4x=12，
x2−4x−12=0，
(x−6)(x+2)=0，
∴x−6=0或x+2=0，
∴x1=6，x2=−2．
(2)2x2−7x+3=0，
(2x−1)(x−3)=0，
∴2x−1=0或x−3=0，
∴x1=12，x2=3．
【解析】(1)利用因式分解法求解即可．
(2)利用因式分解法求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
21.【答案】(2,2)
【解析】解：(1)分别延长AO和BO到点A′和点B′，使OA′=OA，OB′=OB，连接A′B′，
如图所示，
点A′的坐标为(2,2)．
故答案为：(2,2)．
(2)如图所示，
点C即为所求作的点．
(1)根据成中心对称的两个图形之间的关系即可解决问题．
(2)根据中心对称图形的性质即可解决问题．
本题考查作图−旋转变换，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵反比例函数图象过A(1,3)，
∴将点4代入y=kx得：3=k1，
∴k=3，
∴反比例函数解析式为：y=3x；
图象如图：
(2)∵k=3>0，
∴在第一象限，y随x的增大而减小，
∴当x≥3时，最大值为当x=3时，y=1，
∴当x≥3时，函数值y的取值范围为：0(3)当直线y=ax+b与y轴平行时，
把x=4代入y=3x，得y=34，
当直线y=ax+b与x轴平行时，
把y=4代入y=3x，得x=34，
∴P的横坐标xp的取值范围为：34【解析】(1)用待定系数法即可求解出反比例函数解析式，再画出图象即可；
(2)根据反比例函数图象的性质，采用数形结合的方法，即可判断出函数值的取值范围；
(3)根据一次函数和反比例函数的性质，过点B分别作坐标轴的垂线，即可求出xp的取值范围．
本题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数图象和性质，熟练掌握函数的相关性质是解决本题的关键．
23.【答案】12
【解析】解：(1)随机抽取一张卡片，恰好得到数字1的概率=24=12；
故答案为：12；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两数之和为奇数的结果数为6种，两数之和为偶数的结果数为6种，
所以嘉嘉先看《西游记》的概率=612=12，
因为淇淇先看《西游记》的概率=612=12，
而12=12，
所以这个游戏设计公平，
所以嘉嘉的说法不正确．
(1)直接根据概率公式求解；
(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出两数之和为奇数的结果数和两数之和为偶数的结果数，则可计算出嘉嘉先看《西游记》的概率=12，淇淇先看《西游记》的概率为12，于是可判断这个游戏设计公平，从而判断嘉嘉的说法不正确．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
24.【答案】大
【解析】解：(1)对于一次函数y=−0.4x+2.8，令x=0，则y=2.8，即P(0,2.8)，
将P点坐标代入二次函数y=a(x−1)2+3.2中，
a(0−1)2+3.2=2.8，
解得：a=−0.4；
(2)对于一次函数y=−0.4x+2.8，令y=0，则x=7，
对于二次函数y=−0.4(x−1)2+3.2，令y=0，(x>0)，则x=2 2+1，
∵OA=3m，CA=2m，
∴OC=5cm，
∵7−5>5−(2 2+1)，
∴应选择吊球；
(3)∵在点P处再次以吊球的方式击球，此次羽毛球飞行路线的形状与y=a(x−1)2+3.2的相同，
∴设此时y=−0.4x2+bx+2.8，
代入C点得，−0.4×52+5b+2.8=0，
解得：b=1.44，
y=−0.4x2+1.44x+2.8，
x=−b2a=1.8>1，
故答案为：大．
(1)对于一次函数y=−0.4x+2.8，令x=0，可求得y值，即为P点坐标，将P点坐标代入二次函数y=a(x−1)2+3.2中，可解得a的值；
(2)分别计算一次函数y=−0.4x+2.8、二次函数y=a(x−1)2+3.2与x轴的交点，比较两点到C点的距离，可得选择哪种击球方式使球的落地点到点C的距离更近；
(3)因为小明在点P处再次以吊球的方式击球，此次羽毛球飞行路线的形状与y=a(x−1)2+3.2的相同，所以设此时y=−0.4x2+bx+2.8，代入C点可得该二次函数解析式，即得此次羽毛球飞行到最高点时x的值．
本题考查了二次函数的实际应用，关键是掌握二次函数的性质．
25.【答案】解：(1)如图，连接OC．

∵边BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
∴∠OCB=90°，
∵∠BCA=60°，
∴∠OCM=30°，
∴OM=12OC，CM= 3OM，
∵⊙O的直径为8．
∴OC=4，
∴OM=12OC=2，CM= 3OM=2 3；
(2)①连接OC，OE，

当α=20°时，∠OCE=90°−α=70°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC=70°，
∴∠COE=40°，
∴CE的长=40×π×4180=8π9；
②AB与⊙O之间的位置关系是相切．
理由：如图，作OG⊥AB于点G．

∵∠BCA=60°，∠B=90°，BC=6，
∴AC=12，
∵⊙O的直径为8，
∴CO=4，
∴AO=8，
∵OG⊥AB，∠B=90°，
∴OG/​/BC，
∴OGCB=AOAC，即OG6=812，
解得OG=4，
即OG等于⊙O的半径，
∴AB与⊙O相切；

③∵∠ABC=90°，
∴当点B在直径CD上时，点O到边AB的距离最小为h=6−4=2；
当点C在DC的延长线上时，点O到边AB的距离最大为h=6+4=10，
∴点O到边AB的距离h的取值范围为2≤x≤10．
【解析】(1)连接OC，根据切线的性质得∠OCB=90°，可得∠OCM=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解；
(2)①连接OC，OE，当α=20°时，可得∠OCE=∠OEC=70°，则∠COE=40°，根据弧长公式即可求解；
②作OG⊥AB于点G，根据平行线的判定，以及平行线分线段成比例得到OG的长即可作出判断；
③当点B在直径CD上时，点O到边AB的距离h最小为h=6−4=2；当点B在DC的延长线上时，点O到边AB的距离h最大为h=6+4=10，从而确定取值范围．
本题是圆的综合题，考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，平行线分线段成比例，综合性较强，有一定的难度．
26.【答案】(1)证明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP=90°=∠ABC，
在△APQ与△ABC中，
∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，
∴△AQP∽△ABC；
(2)在Rt△ABC中，
AC= AB2+BC2= 32+42=5，
由(1)知△AQP∽△ABC，
当点P与点B重合时，△AQB∽△ABC，
∴ABAC=AQAB，
∴AQ=AB2AC=325=95；
(3)解：设点Q的运动时间为t秒，由题意知AQ=2t.当点P与点B重合时，
由(2)知AQ=95，
∴2t=95，
∴t=910
①当点P在线段AB上时，
由(1)可知，△AQP∽△ABC，
∴PAAC=PQBC=AQAB，
∴2t3=PA5，
∴PA=103t，
∴PB=3−103t，
∴3−103t≤1，
∴0≤t≤35；
②当点P在线段AB的延长线上时，PB=103t−3，
∴103t−3≤1，
∴35综上所述：点P与点B的距离不大于1时，点Q的运动时间为0≤t≤35或35(4)解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
①当点P在线段AB上时，如题图1所示．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，
由(1)可知，△AQP∽△ABC，
∴PAAC=PQBC，即3−PB5=PB4，
解得PB=43，
∴AP=AB−PB=3−43=53；
②当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ．
∵BP=BQ，
∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，点B为线段AP中点，
∴AP=2AB=2×3=6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为53或6．
【解析】(1)根据垂直的定义得到∠AQP=90°=∠ABC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到AC= AB2+BC2= 32+42=5，由(1)知△AQP∽△ABC，当点P与点B重合时，根据相似三角形的性质即可得到结论；
(3)设点Q的运动时间为t秒，由题意知AQ=2t.当点P与点B重合时，由(2)知AQ=95，得到t=910①当点P在线段AB上时，②当点P在线段AB的延长线上时，PB=103t−3，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
(4)当△PQB为等腰三角形时，①当点P在线段AB上时，如题图1所示．得到当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，由(1)可知根据相似三角形的性质得到AP=AB−PB=3−43=53；②当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ.根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．