2023-2024学年河南省南阳市西峡县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市西峡县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 18B. 13C. 10D. 0.3
2.一元二次方程x2=2x的两根分别为( )
A. x1=x2=0B. x1=x2=4
C. x1=2，x2=−2D. x1=0，x2=2
3.下列说法中正确的是( )
A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的一定是10次
C. “概率为0.00001的事件”是不可能事件
D. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是随机事件
4.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=55°，则∠AOB的度数为( )
A. 95°
B. 100°
C. 105°
D. 110°
5.围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同.从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是( )
A. 49B. 12C. 59D. 23
6.如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若A(3,0)，C(6,0)，D(4,−2)，则点D的对应点B的坐标为( )
A. (2,−1)
B. (1,−2)
C. (−2,1)
D. (−1,2)
7.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百步，一只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为800平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多步？( )
A. 15B. 12C. 20D. 6
8.设A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−(x+1)2+k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y2>y3>y1D. y3>y1>y2
9.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是( )
A. 6011cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 7cm
10.如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B−E−D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是0.5cm/s，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y cm2，y与x的对应关系图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为( )
A. 16cm2B. 12cm2C. 21cm2D. 18cm2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若代数式2 2x−6有意义，则实数x的取值范围是 ．
12.将抛物线y=x2+2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到新抛物线的解析式为______．
13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=14AC，连接EF.若AC=10，则EF=______．
14.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为______cm．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC、PD.若△DPC为直角三角形，则BE的长______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)( 3+ 2)( 3− 2)− 6× 32；
(2)tan45°−cs30°⋅tan60°+sin30°+sin45°．
17.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程2x2−5x−m=0(m为常数)．
(1)当m=3时，求该方程的实数根；
(2)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
18.(本小题9分)
已知二次函数y=x2−4x+5．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=(x−h)2+k的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当019.(本小题9分)
商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯.如图，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，且坡角∠ABD=45°，改造后的斜坡式扶梯的坡角∠ACB=17°，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度BC.(结果精确到1m，参考数据：sin17°≈0.29,cs17°≈0.96,tan17°≈0.30, 2≈1.41)
20.(本小题10分)
如图，二次函数y1=x2−2x−3的图象与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与一次函数y2=−x+b的图象交于A，C两点．
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积；
(3)根据图象，直接写出当y1>y2时x的取值范围．
21.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，D为AB上一点，C为⊙O上一点，且AD=AC，延长CD交⊙O于E，连CB．
(1)求证：∠CAB=2∠BCD；
(2)若∠BCE=15°，AB=6，求CE的长．
22.(本小题10分)
在一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以O为原点，建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算判断球能否进球门；
(3)若抛物线的形状、最大高度均保持不变，且抛物线恰好经过点O正上方2.25m处，则该抛物线应向右平移几个单位？
23.(本小题11分)
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．

(1)问题背景
如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A′处，当∠BEF=25°时，∠FEA′= ______；
如图2，连接DF，当点A′恰好落在DF上时，其他条件不变，则AEA′F= ______；
(2)探究迁移
如图3，在(1)的条件下，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD=mAB，其他条件不变，请写出AE与A′F之间的数量关系式(用含m的式子表示)，并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在(1)的条件下，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B=60°，∠DEF=120°，其他条件不变，当AE=2 6时，请直接写出A′F的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A： 18=3 2，故A错误；
选项B和选项D，一个有分母，一个有小数，都不是最简二次根式，故B和D错误；
选项C：是最简二次根式．
故选：C．
根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，逐个选项分析即可．
本题考查了最简二次根式的定义，明确定义，是解题的关键．本题属于基础知识的考查，比较简单．
2.【答案】D
【解析】解：x2=2x，
x2−2x=0，
∴x(x−2)=0，
∴x=0或x−2=0，
解得x1=0，x2=2．
故选：D．
利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，正确；
B、任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的一定是10次，错误；
C、“概率为0.00001的事件”是不可能事件，错误；
D、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，故此选项错误．
故选：A．
直接利用概率的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了概率的意义以及事件的确定方法，正确把握定义是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠AOB=2∠C，∠C=55°，
∴∠AOB=110°，
故选：D．
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．
本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
5.【答案】C
【解析】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，
所以两次摸到相同颜色的棋子的概率=59．
故选：C．
先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
6.【答案】A
【解析】解：∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，
∴点B的坐标为(4÷2,−2÷2)，即(2,−1)，
故选：A．
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7.【答案】C
【解析】解：设该矩形田地的长为x步，则该矩形田地的宽为(60−x)步，
由题意得，x(60−x)=800，
解得x=40或x=20(舍去)，
∴该矩形田地的长为40步，则该矩形田地的宽为20步，
∴它的长比宽多40−20=20步，
故选：C．
设该矩形田地的长为x步，则该矩形田地的宽为(60−x)步，根据矩形面积公式建立方程x(60−x)=800，解方程即可得到答案．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出一元二次方程是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵二次函数线y=−(x+1)2+k，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x=−1．
∵A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−(x+1)2+k上的三点，
而三点横坐标离对称轴x=3的距离按由近到远为：
(−2,y1)、(1,y2)、(2,y3)，
∴y1>y2>y3
故选：A．
由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为x=−1.根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形EFHG是正方形，
∴EF/​/BC，
∴△AEF∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴EFBC=AKAD，
设正方形零件EFHG的边长为x cm，则AK=(10−x)cm，
∴x12=10−x10，
解得：x=6011，
即这个正方形零件的边长为6011cm．
故选：A．
证明△AEF∽△ABC，则EFBC=AKAD，设正方形零件EFHG的边长为x，则AK=10−x，根据相似三角形的性质得到x12=10−x10，解方程即可．
本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由图象可知，10s时，P、E重合，BQ=BE=5cm，根据题意，得：
12BQ×AB=7.5，
∴12×5×AB=7.5，
解得AB=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴AE= 52−32=4(cm)，
由图象可知BE+DE=0.5×14=7(cm)，
∴DE=2cm，
∴AD=6cm，
∴矩形的面积为：6×3=18(cm2).
故选：D．
由题意知，运动分三段完成，运动10秒，P到点E，继续运动点Q到点C，点P自己运动到点D，结合图象信息求解即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点的函数图象．熟练掌握矩形性质，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．
11.【答案】x>3
【解析】解：由题意得，2x−6>0，
解得，x>3，
故答案为：x>3．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．
12.【答案】y=x2
【解析】解：抛物线y=x2+2x+3=(x+1)2+2，它的顶点坐标是(−1,2)．
将其向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是(0,0)，
所以新抛物线的解析式是：y=x2．
故答案为：y=x2．
根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可．
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
13.【答案】52
【解析】解：在矩形ABCD中，AO=OC=12AC，AC=BD=10，
∵AF=14AC，
∴AF=12AO，
∴点F为AO中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF=12OD=14BD=52．
故答案为：52．
由AF=14AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．
本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．
14.【答案】5
【解析】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD=12AB=12×8=4cm，
设OA=r，则OD=r−2，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=(r−2)2+42，
解得r=5cm．
∴该输水管的半径为5cm；
故答案为：5．
先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=12AB，设OA=r，则OD=r−2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15.【答案】3或7+ 174
【解析】解：①如图1中，当∠PDC=90°时，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠PDC=180°，
∴A、D、P共线，
∵EA=EP，∠AEP=90°，
∴∠EAP=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=45°，
∵∠B=90°
∴∠BAE=∠BEA=45°，
∴BE=AB=3．
②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x，
∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠PEF，
在△ABE和△EFP中，
∠BAE=∠PEF∠B=∠F=90°AE=EP，
∴△ABE≌△EFP，
∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，
∴CF=3−(5−x)=x−2，
∵∠DPH+∠CPH+90°，∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠DPH=∠PCH，
∵∠DHP=∠PHC，
∴△PHD∽△CHP，
∴PH2=DH⋅CH，
∴(x−2)2=x(3−x)，
∴x=7+ 174或7− 174(舍)，
∴BE=7+ 174，
综上所述，当△PDC是直角三角形时，BE的值为3或7+ 174．
故答案为：3或7+ 174．
分两种情形讨论：①如图1中，当∠PDC=90°时．②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x.分别求解即可．
本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1)( 3+ 2)( 3− 2)− 6× 32
=( 3)2−( 2)2− 182
=3−2− 9
=3−2−3
=−2；
(2)tan45°−cs30°⋅tan60°+sin30°+sin45°
=1− 32× 3+12+ 22
=1−32+12+ 22
= 22．
【解析】(1)进行平方差公式计算和二次根式的乘法，最后计算加减法即可；
(2)将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可．
本题考查特殊三角函数值和二次根式的混合运算，熟练掌握特殊三角函数值的运算和掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵m=3，
∴原方程可化为2x2−5x−3=0，
∵Δ=(−5)2−4×2×(−3)=49，
∴x=5±72×2=5±74，
∴x1=−12，x2=3，
∴当m=3时，该方程的实数根为x1=−12，x2=3；
(2)∵关于x的一元二次方程2x2−5x−m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−5)2−4×2×(−m)>0，
解得：m>−258，
∴m的取值范围为m>−258．
【解析】(1)将m=3代入方程，利用因式分解法可求出方程的实数根；
(2)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程，牢记“当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
18.【答案】1≤y<5
【解析】解：(1)∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，
∴抛物线顶点坐标为(2,1)；
(2)列表：
如图，
(3)当x=0时，y=x2−4x+5=5，
当x=3时，y=x2−4x+5=2，
而x=2时，y有最小值1，
∴当0故答案为：1≤y<5．
(1)利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标；
(2)利用描点法画出二次函数图象；
(3)先计算出自变量为0和3对应的函数值，再根据二次函数的性质得到x=2时，y有最小值1，从而得到当0本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
19.【答案】解：在Rt△ABD中，∠ABD=45°，AB=10m，
∴AD=BD=AB⋅sin45°=5 2≈7.05m，
在Rt△ACD中，∠ACB=17°，
∴CD=ADtan17∘≈23.5m，
∴BC=CD−BD=16.45≈16m．
【解析】由题意易得AD=BD=AB⋅sin45°=5 2，然后利用三角函数可进行求解．
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
20.【答案】解：(1)当y1=0时，
x2−2x−3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴抛物线与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)．
∵直线y2=−x+b经过A点，
∴0=−(−1)+b，
∴b=−1；
(2)由(1)知y2=−x−1，
联立得：x2−2x−3=−x−1，
整理得x2−x−2=0
解得：x=−1(舍)，x=2，
把x=2代入y=−x−1，得y=−3，
∴C(2,−3)，
∴S△ABC=12×[3−(−1)]×|−3|=6；
(3)A(−1,0)，C(2,−3)，
当x<−1或x>2时，抛物线在直线的上方，
∴当y1>y2时，x<−1或x>2．
【解析】(1)根据函数与方程的关系，当y1=0时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值；
(2)先求两个函数的交点C的坐标，把y2=−x−1代入y1=x2−2x−3中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可；
(3)根据A(−1,0)，C(2,−3)，结合图象，即可确定x的取值范围．
本题主要考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式，结合图象求不等式解集等，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
21.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°−∠BCD，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠A+90°−∠BCD+90°−∠BCD=180°，
∴∠A=2∠BCD；
(2)解：连接OC、OE，如图，

由(1)得∠A=2∠BCE=2×15°=30°，
∵∠BOE=2∠BCE=2×15°=30°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=∠A+∠ACO=2∠A=60°，
∵∠COE=∠COB+∠BOE=60°+30°=90°，
而OC=OE=12AB=12×6=3，
∴CE= OC2+OE2= 32+32=3 2．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则∠ACD=90°−∠BCD，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠A+90°−∠BCD+90°−∠BCD=180°，从而得到结论；
(2)连接OC、OE，如图，利用(1)的结论和圆周角定理得到∠A=∠BOE=30°，则∠COB=60°，所以∠COE=90°，然后利用勾股定理计算CE的长．
本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，三角形外角的性质．熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设抛物线为y=−a(x−2)2+3，
把A(8,0)代入得0=36a+3
解得a=−112，
∴抛物线表达式为：y=−112(x−2)2+3；
(2)当x=0时，y=−112×4+3≈2.67>2.44，
∴球不能进球门；
(3)设平移后抛物线为y=−112(x+m)2+3，
把点(0,2.25)代入得，−112m2+3=2.25，
整理得，m2=9，
解得 m=3(舍去)或m=−3，
∴平移后抛物线顶点为(3,3)，
∴抛物线应向右平移1个单位．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)令x=0，得到y=−112×4+3≈2.67>2.44即可判断；
(3)设平移后抛物线为y=−112(x+m)2+3，把点(0,2.25)代入求出m=−3，得到平移后抛物线顶点为(3,3)，进而求解即可．
此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23.【答案】25° 2
【解析】解：(1)∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEA+∠BEF=90°，∠DEA′+∠FEA′=90°，
由翻折的性质可知，∠DEA=∠DEA′，
∴∠FEA′=∠BEF=25°，
∵∠BEF=∠FEA′，
又∵∠B=∠A=∠EA′D=90°，
∴∠EFB=∠EFA′，
又∵EF=EF，
∴△BEF≌△A′EF(ASA)，
∴BE=A′E，
由翻折的性质可知，AE=A′E，∠ADE=∠FDE，
∴AE=BE，
∴AB=2AE=2A′E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∴AD=2A′E，
∵∠EFA′+∠EFD=90°，∠EFD+∠FDE=90°，
∴∠EFA′=∠FDE=∠ADE，
∴△DAE∽△EA′F，
∴AD：A′E=AE：A′F，
∴AE=2A′F，即AEA′F=2，
故答案为：25°，2；
(2)AE=2mA′F，理由如下：
由(1)可知，AB=2AE=2A′E，AD：A′E=AE：A′F，
∵AD=mAB，
∴AE=2mA′F，即AEA′F=m；
(3)过E作EH⊥AD，交DA延长线于H，作∠FED的平分线，交DF于G，如图，
∴∠FEG=∠DEG=60°，
∵∠BEF+∠AED=180°−∠DEF=60°，∠DEA′+∠GEA′=60°，∠AED=∠A′ED，
∴∠BEF=∠GEA′，
又∵∠B=∠EA′G=60°，
∴△BEF∽△A′EG，
∴BEA′E=EFEG，
∵∠FEG=∠EA′F=60°，∠EFG=∠EFG，
∴△EFG∽△A′EF，
∴EFA′F=EGA′E，
∴BE=A′F，
∵∠ADE=∠EDF，∠EAD=∠FED=120°，
∴△AED∽△EFD，
∴ADDE=DEDF，
∴DE2=AD⋅DF，
设BE=A′F=x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=AE+BE=2 6+x，
∴DF=A′D+A′F=AD+BE=2 6+2x，
∴DE2=(2 6+x)(2 6+2x)，
∵EH⊥AD，∠EAH=60°，
∴AH= 6，HE=3 2，
由勾股定理可得：DE2=DH2+HE2=(3 6+x)2+18，
∴(3 6+x)2+18=(2 6+x)(2 6+2x)，
解得：x=4 3，即 A′F的长为4 3．
(1)根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出AE=BE，再根据相似三角形的性质，得出AE和A′F的关系即可求解；
(2)根据(1)中三角形的全等与相似条件不变，得出AB=BE不变，再根据AD和AB的关系，AE和A′F的关系即可；
(3)构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出BE和A′F相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出BE的长，即为A′F的长．
本题主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解题的关键．x
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0
1
2
3
4
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y
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5
2
1
2
5
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