2023-2024学年江西省宜春市高安市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省宜春市高安市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若分式1x+2有意义，则x的取值范围是( )
A. x>−2B. x≠2C. x≠0D. x≠−2
2.下列计算中，正确的是( )
A. (x2)3=x5B. x3+x2=x5
C. −x⋅(−x)2=−x3D. x6÷x3=x2
3.利用直角三角板，作△ABC的高线，下列作法正确的是( )
A. B.
C. D.
4.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为( )
A. 900x+3=2×900x−1B. 900x−3=2×900x+1
C. 900x−1=2×900x+3D. 900x+1=2×900x−3
5.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠ACD的度数为( )
A. 70°
B. 100°
C. 110°
D. 140°
6.如图，△AOB≌△ADC，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当BC/​/OA时，α与β之间的数量关系为( )
A. α=β
B. α=2β
C. α+β=90°
D. α+2β=180°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.因式分解：4a−a3=______．
8.2023年5月17日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第五十六颗北斗导航卫星，顺利完成全球组网.其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺一体化导航定位芯片，已实现规模化应用.22纳米=0.000000022米，数据0.000000022用科学记数法应记作______．
9.已知1a+2b=1，且a≠−b，则ab−aa+b的值为______．
10.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是______．
11.如图所示，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，且PM=PN，若MN=4，则OM的长为______．
12.已知△ABC的边AB=6，周长为16，当△ABC为等腰三角形时，则边BC的长度是______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算：
(1)化简计算：(x−1)(x+3)+(x−1)2；
(2)分解因式：x2y−2xy2+y3；
14.(本小题6分)
已知(x+y)2=19，(x−y)2=3，请你求出xy的值．
15.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°．
(1)求∠AFB的度数；
(2)若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数．
16.(本小题6分)
如图，在△ABE中，AE=BE，请你仅用无刻度的直尺按要求作图(不写作法，保留作图痕迹)．
(1)如图1，点C，D分别为AE，BE的中点，请你作出AB的垂直平分线；
(2)如图2，EF⊥AB于点F，点G为AE上任意一点，请你在BE上找出一点H，使EH=EG．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：x2+xx2−2x+1÷(1x−2x−1)，在−1，0，2这三个数中选一个你喜欢的代入求值．
18.(本小题8分)
已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3．
(1)若这个方程的解是正数，请求出m取值范围；
(2)若这个方程无解，请你直接写出m的值．
19.(本小题8分)
如图，已知△ABC≌△DEB，点E在边AB上，DE与AC相交于点F．
(1)若AE=2，BC=3，求线段DE的长；
(2)若∠C=50°，∠D=35°，求∠AFD的度数．
20.(本小题8分)
幸福超市“元旦”期间用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克；如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克全部按售价的8折销售完．
(1)求幸福超市第一次购进该种干果的单价；
(2)幸福超市这次销售这种干果能否盈利，请通过计算说明(不考虑其他因素)．
21.(本小题9分)
在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，点E在AD的右侧，且AE=AD，∠DAE=∠BAC=α．
(1)如图1，若α=60°，连接CE，DE．
①求∠ADE的度数；
②请你判断BD与CE的数量关系，并证明．
(2)如图2，若α=90°，连接EC、BE.试判断△BCE的形状，并说明理由．
22.(本小题9分)
定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“美好分式”．
(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；(只填序号)
①2x6+5x3；②3x+2x2；③3xx+3；④4x2+32x−1．
(2)将“美好分式”x2−2x+2x−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)判断5xx+1−x−1x÷x2−1x2−7x的结果是否为“美好分式”，并说明理由．
23.(本小题12分)
已知在△ABC中，AB=AC，点D为△ABC左侧一动点，如图所示，点E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
(1)求证：∠ABD=∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．(说明：三边相等的三角形的每个内角均为60°)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得：x+2≠0，
解得：x≠−2．
故选：D．
根据分式有意义的条件可得x+2≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．
2.【答案】C
【解析】解：A、(x2)3=x6，选项错误；
B、x3，x2不是同类项，不能合并，选项错误；
C、−x⋅(−x)2=−x3，选项正确；
D、x6÷x3=x3，选项错误；
故选：C．
根据相关运算法则，逐一进行判断即可．
本题考查幂的运算，合并同类项，掌握同底数幂运算是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、B、D均不是高线．
故选：C．
根据高线的定义即可得出结论．
本题考查的是作图−基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴900x−3=2×900x+1．
故选：B．
根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，再利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的感觉．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠B=∠ACB=180°−∠A2=180°−40°2=70°，
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠B=40°+70°=110°，
故选：C．
根据等边对等角得到∠B=∠ACB，利用三角形内角和定理求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质：等边对等角．
6.【答案】B
【解析】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，
∴∠BAC=∠OAD=α，
在△ABC中，∠ABC=12(180°−α)，
∵BC/​/OA，
∴∠OBC=180°−∠O=180°−90°=90°，
∴β+12(180°−α)=90°，
整理得，α=2β．
故选：B．
根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解题的关键是熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系．
7.【答案】a(2−a)(2+a)
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式分解因式是解题关键．直接提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】
解：原式=a(4−a2)
=a(2−a)(2+a)．
故答案为：a(2−a)(2+a)．
8.【答案】2.2×10−8
【解析】解：0.000000022=2.2×10−8．
故答案为：2.2×10−8．
根据科学记数法的概念解答即可．
本题主要考查科学记数法，熟知科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数是解题的关键．
9.【答案】1
【解析】解：∵1a+2b=1，
∴bab+2aab=2a+bab=1，
∴ab=2a+b，
∴ab−aa+b=2a+b−aa+b=a+ba+b=1．
故答案为：1．
根据1a+2b=1，可得ab=2a+b，再代入ab−aa+b即可求出答案．
本题考查了分式的加减法和分式的值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
10.【答案】3cm
【解析】解：过P作PN⊥OB于N，
由题意得：PM=PN，
∵PM⊥OA，
∴PO平分∠AOB，
∴∠COP=∠NOP，
∵PC/​/OB，
∴∠CPO=∠NOP，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=PC，
∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴PC=5−2=3(cm)，
∴OC的长度是3cm．
故答案为：3cm．
过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP=∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO=∠NOP，得到∠COP=∠CPO，因此OC=PC，由PC=5−2=3(cm)，即可得到OC的长度是3cm．
本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，关键是角平分线性质定理的逆定理证明PO平分∠AOB．
11.【答案】4
【解析】解：作PH⊥MN于H，
∵PM=PN，
∴MH=NH=12MN=2，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPH=30°，
∴OH=12OP=6，
∴OM=OH−MH=4，
故答案为：4．
作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
12.【答案】6或4或5
【解析】解：当AB为腰时，若BC为腰，则BC=AB=6；若BC为底，则BC=16−6−6=4；
当AB为底时，则BC=16−62=5，
综上，BC的长度是：6或4或5．
故答案为：6或4或5．
分AB为腰和底两种情况，分别根据等腰三角形的定义即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题的关键．
13.【答案】解：(1)原式=x2+2x−3+x2−2x+1
=2x2−2；
(2)x2y−2xy2+y3
=y(x2−2xy+y2)
=y(x−y)2．
【解析】(1)先用多项式乘以多项式法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可；
(2)先提公因式y，再用完全平方公式分解即可．
本题考查整式混合运算，因式分解，掌握其运算法则是解决此题的关键．
14.【答案】解：∵(x+y)2=19，(x−y)2=3，
∴(x+y)2−(x−y)2=19−3=16，
∴x2+2xy+y2−x2+2xy−y2=16，
则4xy=16，
∴xy=4．
【解析】将两式作差运算后即可求得答案．
本题考查完全平方公式，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看作一项后，也可以用完全平方公式．
15.【答案】解：(1)∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=42°，∠CAE=18°，
∴∠AEB=60°，
∵∠CBD=27°，
∴∠BFE=180°−27°−60°=93°，
∴∠AFB=180°−∠BFE=87°；
(2)∵∠BAF=2∠ABF，∠BFE=93°，
∴3∠ABF=93°，
∴∠ABF=31°，
∴∠BAF=62°．
【解析】(1)利用三角形外角的性质即可得出答案；
(2)利用三角形外角的性质得3∠ABF=93°，从而得出答案．
本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图1，直线EM即为所求；

(2)如图2，点H即为所求．

【解析】(1)连接AD、BC，交于点O，作直线EO，与AB交于点M，则EM即为所求；
(2)连接BG，交EF于点P，作射线AP，交BE于点H，即为所求．
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、线段中垂线的性质等知识点．
17.【答案】解：x2+xx2−2x+1÷(1x−2x−1)
=x(x+1)(x−1)2÷x−1−2xx(x−1)
=x(x+1)(x−1)2÷−x−1x(x−1)
=x(x+1)(x−1)2⋅x(x−1)−(x+1)
=−x2x−1，
要使分式x2+xx2−2x+1÷(1x−2x−1)有意义，必须x−1≠0且x≠0且x+1≠0，
所以x不能为1，0，−1，
取x=2，
当x=2时，原式=−222−1=−4．
【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件得出x不能为0，1，−1，取，x=2，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】解：(1)方程两边同乘以(x+3)(x−3)
得：2(x+3)+mx=5(x−3)，
解得：x=213−m
由题意得：213−m>0,213−m≠±3
∴m<3且x≠−4；
(2)由(1)得：2(x+3)+mx=5(x−3)，
由题意得：m−3=0或213−m=±3，
解得：m=3或m=10或m=−4，
故答案为：3或10或−4．
【解析】(1)先解分式方程，根据方程的解是正数，列出不等式，即可求解；
(2)由题意得：m−3=0或213−m=±3，解关于m的方程，即可求解．
本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
19.【答案】解：(1)∵△ABC≌△DEB，
∴BE=BC=3，DE=AB，
∵AB=AE+BE=2+3=5，
∴DE=AB=5；
(2)∵△ABC≌△DEB，
∴∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=50°，
∵∠AFD=∠A+∠AEF，∠AEF=∠D+∠DBE，
∴∠AFD=∠A+∠D+∠DBE=35°+35°+50°=120°．
【解析】(1)由全等三角形的对应边相等得到BE=BC=3，DE=AB，而AB=AE+BE=5，即可求出DE的长；
(2)由全等三角形的对应角相等得到∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=50°，由三角形外角的性质得到∠AFD=∠A+∠D+∠DBE=35°+35°+50°=120°．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边、对应角相等．
20.【答案】解：(1)设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克1.2x元，
根据题意得：90001.2x=2×3000x+300，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
(2)解：能盈利，理由如下：
第一次购进3000÷5=600(千克)，第二次购进9000÷(1.2×5)=1500(千克)．
9×(600+1500−600)+9×0.8×600−3000−9000
=9×1500+9×0.8×600−3000−9000
=13500+4320−3000−9000
=5820(元)．
∴幸福超市销售这种干果共盈利5820元．
【解析】(1)设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克1.2x元，根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克列出方程求解即可；
(2)先求出第一次和第二次购进的干果数量，再分别求出第一次和第二次的营业额，再用综营业额减去总进价即可得到结论．
本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
21.【答案】解：(1)①当∠DAE=∠BAC=α=60°时，
∵AE=AD，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°；
②BD=CE，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAE−∠DAC=∠BAC−∠DAC，即∠CAE=∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)△BCE是直角三角形，理由如下：
当∠DAE=∠BAC=α=90°时，
∴△ABC，△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE−∠CAD=∠BAC−∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴△BCE是直角三角形．
【解析】(1)①根据已知条件证明△ADE是等边三角形，进而得解；
②证明△ABD≌△ACE(SAS)，即可解决问题；
(2)根据已知条件证明△ABC，△ADE是等腰直角三角形，然后证明△ABD≌△ACE(SAS)，可得∠ABD=∠ACE=45°，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明△ABD≌△ACE．
22.【答案】①③④
【解析】解：(1)①由2x6+5x3=2x3+5x3，则①属于“美好分式”；
②分式3x+2x2分子的次数低于分母次数，不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则②不属于“美好分式”；
③由3xx+3=3(x+3)−9x+3=3−9x+3，则③属于“美好分式”；
④4x2+32x−1=(2x+1)(2x−1)+42x−1=2x+1+42x−1，则④属于“美好分式”；
故答案为：①③④；
(2)x2−2x+2x−1=x2−2x+1+1x−1=(x−1)2+1x−1=x−1+1x−1；
(3)5xx+1−x−1x÷x2−1x2−7x的化简结果是“美好分式”，
理由：∵5xx+1−x−1x÷x2−1x2−7x
=5xx+1−x−1x×x(x−7)(x+1)(x−1)
=5xx+1−x−7x+1
=4x+7x+1
=4(x+1)+3x+1
=4+3x+1，
∴5xx+1−x−1x÷x2−1x2−7x的化简结果是“美好分式”．
(1)根据“美好分式”的意义逐个判断即可；
(2)依先对分子进而变形，然后根据题意化简即可；
(3)首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据“美好分式”的定义判断即可．
本题主要考查了分式的混合运算、新定义等知识点，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵∠BDC=∠BAC，∠BFD=∠AFC，
∴∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
(2)如图1，过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC=∠ANB=90°，
在△AMC和△ANB中
∵∠AMC=∠ANB∠ACM=∠ABNAC=AB
∴△AMC≌△ANB (AAS)
∴AM=AN．
∴AD平分∠CDE(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
(3)如图2，∠BAC的度数不变化；
在CD上截取CP=DB，连接AP．
∵CD=DA+DB=PD+CP，
∴AD=PD，
在△ABD和△ACP中
AB=AC∠ABD=∠ACPBD=CP
∴△ABD≌△ACP(SAS)．
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【解析】此题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理，综合性较强．
(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．
(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N.运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN.根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP.证明△ACP≌△ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．