2023-2024学年上海市长宁区高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市长宁区高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若lna与lnb互为相反数，则有( )
A. a+b=1B. a−b=1C. ab=1D. ab=1
2.设函数f(x)=2x+x−2的零点为x0，则x0∈( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
3.了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义.科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x(单位：min)，菌落的覆盖面积为y(单位：mm2).团队提出如下假设：①当x≥0时，y≥0；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快.则下列选项中，符合团队假设的模型是( )
A. y=kax(k>0,a>1)B. y=lgbx+c(b>1,c>0)
C. y=kx+b(k>0,b>0)D. y=p x+q(p>0,q>0)
4.已知函数y=f(x)的定义域为R．
q：y=f(x)是R上的严格增函数；
p1：任意x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>0时，恒有f(x)>0；
p2：当f(x1)下列关于q的充分条件的判断中，正确的是( )
A. p1、p2都是B. p1是，p2不是C. p1不是，p2是D. p1、p2都不是
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知集合A={1,2,3,4}，集合B={2,4,6}，则A∩B=______．
6.若lg2x=3，则x= ______．
7.不等式x2−2x−3<0的解集为 ．
8.根式 x x(x>0)的指数幂形式为______．
9.陈述句“x>1或y>1”的否定形式是______．
10.若幂函数f(x)=xa的图像经过点(3, 3)，则函数y=f(x)的定义域为______．
11.若x<0时，指数函数y=(a−1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是______．
12.已知f(x)=x+2,x≤−1x2,−12，若f(x)=1，则x= ______．
13.若关于x的方程lg2x−a+1=0在区间(0,1]上有解，则实数a的取值范围是______．
14.已知x∈R，方程|x+1|+|2−x|=3的解集为______．
15.已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−3x，则不等式f(x)≤0的解集为______．
16.已知f(x)=x2,x>mx+2,x≤m，若对于任意实数b，均存在x0，使得f(x0)=b，则实数m的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知a，b∈R．
(1)求证：a2+b2≥2a−2b−2，并指出等号成立的条件；
(2)若ab=1，求a2+4b2的最小值．
18.(本小题10分)
设集合A={x|x−a|<2}，B={x|x+4x+2>2}．
(1)若a=1，试用区间表示集合A、B；
(2)若A∪B−=R，求实数a的取值范围．
19.(本小题10分)
为了鼓励消费，某地发放了以“爱购**”为主题的消费券，一张消费券价值50元，使用方式为：消费满100元后，结账时该券抵50元．
(1)A商家在中秋节期间举行促销活动，每件商品按原价6折销售.若买一件原价为300元的商品，则在结账时使用了一张消费券后，还应付多少元？
(2)小明在B商家选购时看中了一件88元的商品和一件打5折的特价商品，但特价商品的折扣不能与消费券同时使用，若该特价商品原价的范围在(100,150)元，试判断小明是否会使用消费券？并说明理由．
20.(本小题10分)
已知函数y=f(x)，其中f(x)=x+ax．
(1)判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数在区间[1,+∞)上是严格增函数，求实数a的取值范围．
21.(本小题14分)
设函数y=f(x)在区间D上有定义，若对任意x1∈D，都存在x2∈D使得：x1+f(x2)2=m，则称函数y=f(x)在区间D上具有性质p(m)．
(1)判断函数f(x)=2x在R上是否具有性质p(0)，并说明理由；
(2)若函数f(x)=3x−1在区间[0,a](a>0)上具有性质p(1)，求实数a的取值范围；
(3)设t∈[0,2]，若存在唯一的实数m，使得函数f(x)=−x2+2tx+3在[0,2]上具有性质p(m)，求t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵lna=−lnb，
∴lna+lnb=0，
∴ln(ab)=0，
∴ab=1．
故选：D．
由已知条件列出方程，利用对数的积的法则求出ab=1．
本题考查对数的四则运算法则、考查当真数互为倒数时，对数互为相反数，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=2x+x−2的零点为x0，f(0)=1+0−2=−1<0，f(1)=2+1−2=1>0，
∴f(0)⋅f(1)<0，
又∵数f(x)=2x+x−2在[0,1]上连续，
∴函数f(x)=2x+x−2的零点在区间(0,1)内．
故选：C．
通过f(0)<0，f(1)>0，可得 f(0)⋅f(1)<0，故函数f(x)=2x+x−2的零点在区间(0,1)内，得到结果．
本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，对于①x≥0，y≥0，即函数的定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞)，A、B、C、D均符合；
对于②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快，即函数为增函数，且增加的速度越来越快，A符合，B、C、D均不符合．
故选：A．
通过分析不同函数的增减性快慢，即可进行得到结果．
本题主要考查了根据实际问题选择函数模型，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，对于P1：任意x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，
令x1=x2=0，则有f(x1)=f(x2)=0，
再令x1=−x2，有f(0)=f(x1)+f(−x1)，变形可得f(x1)=−f(−x1)，
则函数f(x)为奇函数；
设x1>x2，有x1−x2，
则有f(x1−x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1)−f(x2)>0，
必有f(x1)−f(x2)>0，
故函数y=f(x)是R上的严格增函数，
则P1是q的充分条件；
对于P2，由于该命题不能表示任意性，不符合单调性的定义，故P2不是q的充分条件；
故选：B．
根据题意，对于P1：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得P1是的充分条件；对于P2，利用单调性的定义可得P2不是的充分条件；综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
5.【答案】{2,4}
【解析】解：∵A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，
∴A∩B={2,4}，
故答案为：{2,4}．
由集合交集的定义直接写出答案即可．
本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
6.【答案】8
【解析】【解答】
解：∵lg2x=3，则x=23=8．
故答案为：8．
【分析】
本题考查了对数式化为指数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
把对数式化为指数式即可得出．
7.【答案】{x|−1【解析】【分析】
本题考查了求一元二次不等式的解集问题，属于基础题．
先求对应方程x2−2x−3=0的实数根，再写出不等式的解集．
【解答】
解：∵方程x2−2x−3=0的实数根是x1=−1，x2=3；
∴不等式x2−2x−3<0的解集为{x|−1故答案为：{x|−18.【答案】x34
【解析】解：∵x>0，
∴ x x= x⋅x12= x32=x34．
故答案为：x34．
根据有理数指数幂的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
9.【答案】x≤1且y≤1
【解析】解：命题为全称命题，则“x>1或y>1”的否定形式为x≤1且y≤1，
故答案为：x≤1且y≤1．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
10.【答案】[0,+∞)
【解析】解：∵幂函数f(x)=xa的图像经过点(3, 3)，
∴3a= 3，
解得a=12，
∴f(x)=x12= x，
∴函数y=f(x)的定义域为[0,+∞)．
故答案为：[0,+∞)．
把点的坐标代入幂函数f(x)的解析式，求出a的值，进而求出函数f(x)的定义域．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
11.【答案】(1,2)
【解析】解：依题意，(a−1)x>1在(−∞,0)上恒成立，
则0故答案为：(1,2)．
由指数函数的性质可知0本题考查指数函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】1或−1
【解析】解：∵函数f(x)=x+2,x≤−1x2,−1∴当x≤−1时，f(x)=x+2=1，解得x=−1，合题意；
当−1当x≥2时，f(x)=2x=1，解得x=12，不舍题意．
综上，x=1或−1．
故答案为：1或−1．
当x≤−1时，f(x)=x+2=3；当−1本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
13.【答案】(−∞,1]
【解析】解：方程可变形为lg2x=a−1，由于方程lg2x=a−1在(0,1]上有解，
而当x∈(0,1]时，lg2x≤0，
所以a−1≤0，
解得a≤1，
即实数a的取值范围是(−∞,1]．
故答案为：(−∞,1]．
先将方程变形为变形为lg2x=a−1，再利用程lg2x=a−1在(0,1]上有解，可得a的不等式，从而可确定实数a的取值范围．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了对数函数的图象和性质，属于中档题．
14.【答案】[−1,2]
【解析】解：当x<−1时，则|x+1|+|2−x|=−x−1+2−x=1−2x>3；
当−1≤x≤2时，则|x+1|+|2−x|=x+1+2−x=3；
当x>2时，则|x+1|+|2−x|=x+1+x−2=2x−1>3．
综上所述，原方程的解集为[−1,2]．
故答案为：[−1,2]．
分x<−1、−1≤x≤2、x>2三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可．
本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】{x|0⩽x⩽3或x≤−3}
【解析】解：∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，
∴函数y=f(x)的图象关于原点对称，
∵当x>0时，f(x)=x2−3x，
由题意得y=f(x)的图象如图：
由图知不等式f(x)≤0的解集为{x|0⩽x⩽3或x≤−3}．
故答案为：{x|0⩽x⩽3或x≤−3}．
由题意画简图，由图易得结果．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用，属于中档题．
16.【答案】[−2,2]
【解析】解：因为函数y=x+2在定义域R上单调递增，
函数y=x2在(−∞.0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
要使对任意实数b，总存在实数x0，使得f(x0)=b，即函数f(x)的值域为R，
当m<0时，f(x)在(0,+∞)，(−∞,m)上单调递增，在(m,0)上单调递减，
当x>m时，f(x)≥0，x≤m时，f(x)≤m+2，
则只需m+2≥0，解得−2≤m<0；
当m≥0时，f(x)在(m,+∞)，(−∞,m)上单调递增，
当x>m时，f(x)>m2，x≤m时，f(x)≤m+2，
则只需要m+2≥m2，解得−1≤m≤2，
又m≥0，所以0≤m≤2．
综上可得−2≤m≤2，即实数a的取值范围是[−2,2]．
故答案为：[−2,2]．
首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数f(x)的值域为R，分m≥0和m<0两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大(小)值，即可得到不等式，解得即可．
本题主要考查分段函数的性质，属中档题．
17.【答案】(1)证明：因为a2+b2−(2a−2b−2)=a2+b2−2a+2b+2=(a−1)2+(b+1)2≥0，
所以a2+b2≥2a−2b−2，
当且仅当a=1，b=−1时，不等式中等号成立．
(2)解：a2+4b2=a2+(2b)2≥2⋅a⋅(2b)=4ab=4，
当且仅当a=2b，即a= 2b= 22或a=− 2b=− 22时，不等式中等号成立．
所以a2+4b2的最小值为4．
【解析】(1)作差法证明即可；
(2)构造基本不等式，利用基本不等式解决即可．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)当a=1时，由|x−1|<2得−2由x+4x+2>2得2−x+4x+2=xx+2<0，则有x(x+2)<0，解得−2(2)由|x−a|<2得−2所以A=(a−2,a+2)，
由(1)得B=(−2,0)，则B−={x|x≥0或x≤−2}，
由于A∪B−=R，
所以a+2≥0a−2≤−2，解得−2≤a≤0．
所以实数a的取值范围是[−2,0]．
【解析】(1)当a=1时，解出集合A、B；
(2)求出集合A，根据已知，得出关于实数a的不等式组，即可解得实数a的取值范围．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意原价为300元的商品打6折后本应付300×0.6=180元，
若在结账时使用了一张消费券后，则还应付180−50=130元；
(2)设特价商品原价为x，x∈(100,150)，小明按特价商品打折方式购买、使用优惠券购买所花费的钱分别为y1，y2，
则y1=88+0.5x，y2=(88+x)−50=38+x，
所以y1−y2=88+0.5x−(38+x)=50−0.5x=0.5(100−x)<0，
即y1所以小明不会使用消费券，而会选择按特价商品打折方式购买．
【解析】(1)由题意直接打折、优惠券叠加使用计算即可；
(2)分别计算出小明按特价商品打折方式购买、使用优惠券购买所花费的钱，通过作差比较大小即可判断．
本题主要考查了函数的实际应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=x+ax为奇函数，理由如下：
当a=0时，f(x)定义域为R，f(−x)=−x=−f(x)，
当a≠0时，f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=−x−ax=−f(x)，
综上，f(x)为奇函数；
(2)当a≤0时，y=x，y=ax在区间[1,+∞)上是严格增函数，即f(x)单调递增，符合题意；
当a>0时，根据对勾函数单调性可知，若函数在区间[1,+∞)上是严格增函数，
则 a≤1，即0综上，a的取值范围为{a|a≤1}．
【解析】(1)结合函数奇偶性的定义对a是否为0进行分类讨论即可求解；
(2)由已知结合基本初等函数的单调性对a进行分类讨论即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性的判断及由单调性求解参数范围，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由已知得对任意x1∈D，都存在x2∈D使得f(x2)=−x1+2m，即函数y=−x+2m，x∈D的值域为y=f(x)，x∈D值域的子集，
(1)因为f(x)=2x的值域为R+，y=−x的值域为R，显然R不是R+的子集，即函数f(x)=2x在R上不具有性质p(0)；
(2)函数f(x)=3x−1在区间[0,a](a>0)的值域为[−1,3a−1]，函数y=−x+2在[0,a]上的值域为[−a+2,2]，
要使函数f(x)具有性质p(1)，只需−a+2≥−12≤3a−1，解得1≤a≤3，即a的取值范围为[1,3]；
(3)由题意y=−x+2m的值域为[2m−2,2m]，
因为t∈[0,2]，所以f(x)=−x2+2tx+3的对称轴x=t∈[0,2]，且开口向下，
所以f(x)的最大值为f(t)=t2+3，又f(0)=3，f(2)=4t−1，
当3≤4t−1，即2≥t≥1时，f(x)的值域为[3,t2+3]，要满足题意，只需2m−2=32m=t2+3，解得m=52，t= 2>1，符合题意；
当4t−1<3，即0≤t<1时，f(x)的值域为[4t−1,t2+3]，要满足题意，只需2m−2=4t−12m=t2+3，解得t=2± 2，所以t=2− 2符合题意，
综上，t的取值为2− 2， 2．
【解析】原式可化为对任意x1∈D，都存在x2∈D使得f(x2)=−x1+2m，即函数y=−x+2m的值域为y=f(x)值域的子集即可，据此逐问求解．
本题考查新定义问题，以及函数的单调性、最值等性质的应用，属于中档题．