2023-2024学年新疆克州高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆克州高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={0,1,2,3,4}，设集合A={0,3,4}，则∁UA=( )
A. {3}B. ⌀C. {1,2}D. {0}
2.“x>1”是“x2>x”的条件．( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
3.sin72°cs42°−cs72°sin42°的值为( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
4.命题“∀x>0,csx>−12x2+1”的否定是( )
A. ∀x>0,csx≤−12x2+1B. ∀x≤0,csx>−12x2+1
C. ∃x>0,csx≤−12x2+1D. ∃x≤0,csx≤−12x2+1
5.设扇形周长为20，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为( )
A. 12B. 16C. 18D. 24
6.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A. y=x+7B. y=1−x2C. y=−2xD. y=x|x|
7.设a=lg23，b=lg123，c=3−2，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>b>a
8.已知f(x)=x−5x2,(x≤5),f(x−2),(x>5),则f(6)的函数值为( )
A. −312B. −174C. −76D. 174
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y=at(a>0且a≠1)，以下叙述中正确的是( )
A. 这个指数函数的底数是2
B. 第5个月时，浮萍的面积就会超过35m2
C. 浮萍从4m2蔓延到16m2需要经过2个月
D. 浮萍每个月增加的面积都相等
10.下列各组函数中，是相同函数的是( )
A. f(x)=x2，x∈{−1,0,1}与g(x)=0,x=0,1,x=±1
B. f(x)=x⋅|x|与g(x)=x2
C. f(x)=x与g(x)= x2
D. f(x)=1x(x>0)与g(x)=x+1x2+x(x>0)
11.函数f(x)=tan(2x−π4)，则( )
A. f(x)的一个周期为π2
B. f(x)是增函数
C. f(x)的图象关于点(3π8,0)对称
D. 将函数y=tan2x的图象向右平移π4个单位长度可得到f(x)的图象
12.已知函数f(x)=ax+b(x+c)2的图像，则下列结论成立的是( )
A. a>0，b>0
B. a<0，b>0
C. ac<0
D. ac>0
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若x，y∈(0,+∞)，且x+y=3，则xy的最大值为______．
14.已知tanα=5，则sinα+csα2sinα−csα= ______．
15.函数f(x)=lga(x−2)+2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点______．
16.函数f(x)=lg12(x2−6x+8)的单调递增区间是______．
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(lg5)2+(lg2)⋅(lg5)+12lg4−lg34⋅lg23．
(2)计算： 614−(π−1)0−(338)13+(164)−23．
18.(本小题8分)
已知函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)．
(Ⅰ)求函数的f(x)定义域；
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性，并用定义证明你的结论．
19.(本小题8分)
如图，某物业需要在一块矩形空地(记为矩形ABCD)上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设AB=xm．
(1)用x表示绿化带的面积；
(2)求绿化带面积的最大值．
20.(本小题8分)
已知函数f(x)=x2+ax，且f(1)=2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明函数f(x)在(1,+∞)上是增函数．
21.(本小题10分)
已知函数f(x)=12sin(2x−π3)+1，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最大值和最小值．
22.(本小题10分)
已知函数f(x)=ex+aex+1为定义在R上的奇函数．
(1)求a的值，并猜想函数的单调性；
(2)若f(2mt2−1)+f(−mt)<0对任意实数t恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,3,4}，所以∁UA={1,2}．
故选：C．
根据给定条件，利用补集的定义直接求解即得．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由x2>x得x<0或x>1，
故“x>1”是“x2>x”的充分不必要条件．
故选：A．
根据x2>x得x<0或x>1，故“x>1”是“x2>x”的充分不必要条件．
本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
逆用两角差的正弦公式即可求得答案．
本题考查两角差的正弦公式，掌握公式是关键，属于基础题．
【解答】
解：∵sin72°cs42°−cs72°sin42°=sin(72°−42°)=sin30°=12，
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，命题“∀x>0,csx>−12x2+1”的否定是∃x>0,csx≤−12x2+1．
故选：C．
根据题意，由全称命题的否定方法，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设扇形的半径为r，则弧长为l=3r，
因为扇形的周长为20，
所以2r+3r=20，解得r=4，
则l=12，
故扇形的面积为12rl=12×4×12=24．
故选：D．
根据弧长公式以及周长得出半径，再由公式得出面积．
本题主要考查了扇形的面积公式以及弧长公式的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：y=x+7不是奇函数，y=1−x2是偶函数，y=−2x在定义域上不是增函数，
又f(x)=x|x|=x2,x≥0−x2,x<0，定义域为(−∞,+∞)且关于原点对称，
当x≥0时，f(−x)=−(−x)2=−x2=−f(x)，
当x<0时，f(−x)=(−x)2=x2=−f(x)，
所以y=x|x|为奇函数，又可知x≥0时y=x|x|为增函数，
所以y=x|x|是增函数且为奇函数．
故选：D．
直接判断一次函数、二次函数、反比例函数的单调性和奇偶性，先将y=x|x|写成分段函数的形式，然后利用定义判断函数性质．
本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：a=lg23>1，b=lg123<0，0∴a>c>b．
故选：B．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，可得f(6)=f(4)=4−5×42=−76．
故选：C．
由分段函数，f(6)=f(4)，代入运算可得解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，将点(1,2)代入y=at中，得a=2，则y=2t，故A正确；
对于B，当t=5时，y=25=32<35，故B错误；
对于C，当y=4时，t=2，当y=16时，t=4，所以浮萍从4m2蔓延到16m2需要经过2个月，故C正确；
对于D，由指数函数y=2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，故D错误．
故选：AC．
根据图中数据求出函数关系，然后逐个分析即可．
本题考查了指数函数在解决实际问题上的应用，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，函数f(x)=x2，x∈{−1,0,1}与函数g(x)=0,x=01,x=±1的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一个函数，故A正确；
对于B，函数f(x)=x2,x≥0−x2,x<0，与函数g(x)=x2的对应关系不同，所以是同一个函数，故B错误；
对于C，g(x)= x2=|x|，与函数f(x)=x的对应关系不同，所以是同一个函数，故C错误；
对于D，g(x)=x+1x(x+1)=1x(x>0)，与函数f(x)=1x(x>0)的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一个函数，故D正确．
故选：AD．
判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．
本题主要考查了判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A：f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2，故A正确；
对于B：f(x)的单调递增区间满足：kπ−π2<2x−π4对于C：f(x)的对称中心满足：2x−π4=π2+kπ2，即中心为(3π8+kπ4,0)，k∈Z，故C正确；
对于D：将函数y=tan2x的图象向右平移π4个单位长度可得到y=tan2(x−π4)≠tan(2x−π4)，故D错误．
故选：AC．
根据f(x)的周期性，单调区间，对称中心，及平移逐项判断．
本题考查的知识要点：正切函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：因为f(0)=bc2>0，
所以b>0，
因为函数图象在x=−c处没有意义，
结合图象可知，−c>0，即c<0，
因为x→+∞时，f(x)<0，
所以a<0，
所以a<0，b>0，ac>0，
故选：BD．
分解就x=0时函数值的正负，函数没有意义的x及x→+∞时函数值的正负分别判断a，b，c的正负即可判断．
本题主要考查了由部分函数的图象确定参数的取值范围，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
13.【答案】94
【解析】解：由x，y∈(0,+∞)，且x+y=3，得xy≤(x+y2)2=94，
当且仅当x=y=32时取等号．
故答案为：94．
根据给定条件，利用基本不等式求出最大值即得．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】23
【解析】解：∵tanα=5，∴sinα+csα2sinα−csα=tanα+12tanα−1=23．
故答案为：23．
利用同角函数关系即可得．
本题考查同角三角函数关系，属于基础题．
15.【答案】(3,2)
【解析】解：对于函数f(x)=lga(x−2)+2(a>0，且a≠1)，令x−2=1，求得x=3，y=2，
可得它的图象恒过定点(3,2)．
故答案为：(3,2)．
令真数等于1，求得x、y的值，可得恒过定点的坐标．
本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．
16.【答案】(−∞,2)
【解析】解：根据题意，函数f(x)=lg12(x2−6x+8)分解成两部分：f(t)=lg12t外层函数，t=x2−6x+8是内层函数．
根据复合函数的单调性，可得函数y=lg 12t单调减函数，
则函数f(x)=lg12(x2−6x+8)单调递增区间就是函数t=x2−6x+8单调递减区间(−∞,3)，
由x2−6x+8>0可得x>4或x<2，则可得函数的单调递增区间(−∞,2)
故答案为(−∞,2)．
欲求得函数f(x)=lg12(x2−6x+8)的单调递增区间，由于f(t)=lg12t是减函数，故要求内层函数t=x2−6x+8是减函数时，原函数才为增函数．问题转化为求t=x2−6x+8的单调减区间，但要注意要保证t>0．
本小题主要考查对数函数单调性的应用、二次函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
17.【答案】解：(1)原式=lg5(lg5+lg2)+lg412−2lg2lg3×lg3lg2=lg5+lg2−2=1−2=−1；
(2)解：原式= 254−1−(278)13+6423=52−1−32+(43)23=32−32+16=16．
【解析】(1)结合对数的运算性质即可求解；
(2)结合指数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)．
则有1−x>01+x>0，解得x>−1x<1，解可得−1则函数f(x)的定义域(−1,1)．
(Ⅱ)函数f(x)是奇函数．
证明：由(Ⅰ)知定义域关于原点对称．因为函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)．
∵f(−x)=lg(1+x)−lg(1−x)=−f(x)．
所以函数f(x)是奇函数．
【解析】(1)根据题意，由函数的解析式可得1−x>01+x>0，解可得x的取值范围，即可得答案；
(2)根据题意，先分析函数的定义域，进而分析可得f(−x)与f(x)的关系，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的判断，涉及函数的定义域的计算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)已知AB=xm．
则梯形的高为(800x−10)m，
设梯形的上底为a(m)，下底为b(m)，
由题意可得：a+b=x−15，
则绿化带的面积为S=(a+b)×(800x−10)=(x−15)(800x−10)(m2)，
其中800x−10>0x−15>0，
即15(2)由(1)可得S=(x−15)(800x−10)=950−(10x+12000x)≤950−2 10x×12000x=950−200 3，
当且仅当10x=12000x，即x=20 3(m)时取等号，
即绿化带面积的最大值为950−200 3(m2).
【解析】(1)先阅读题意，然后结合矩形的面积公式求解；
(2)结合基本不等式的应用求解，特别要强调取等的条件．
本题考查了函数解析式的求法，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
∵f(1)=2，∴1+a=2，即a=1，
∵f(x)=x2+1x=x+1x；
证明：(2)任取x1，x2∈(1,+∞)且x1∴f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)
=(x1−x2)⋅x1x2−1x1x2．
∵x1∴x1−x2<0，x1x2>1，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(1,+∞)上为增函数．
【解析】(1)由已知f(1)=2代入可求a，进而可求函数解析式；
(2)根据函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论，进行证明即可．
本题考查函数解析式的求解，还考查了函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论的应用，考查化简、变形能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=12sin(2x−π3)+1，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；
由2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12(k∈Z)．
即函数f(x)的单调递减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z)；
(2)因为−π4≤x≤π4，所以−5π6≤2x−π3≤π6，
当2x−π3=−π2，即x=−π12时，函数f(x)取最小值，f(x)min=12sin(−π2)+1=12；
当2x−π3=π6，即x=π4时，函数f(x)取最大值，f(x)max=12sinπ6+1=54．
【解析】(1)利用正弦型函数的周期公式可求得函数f(x)的最小正周期；解不等式2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，可得出函数f(x)的单调递减区间；
(2)由−π4≤x≤π4求出2x−π3的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数f(x)的最小值和最大值．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=ex+aex+1为定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0，得a=−1，
经检验符合题意，所以a=−1；
所以f(x)=ex−1ex+1=1−2ex+1，
猜想函数f(x)为R上单调递增的奇函数；
(2)根据(1)知f(x)=ex−1ex+1=1−2ex+1，
∀x1，x2∈R且x1则f(x1)−f(x2)=2(ex1−ex2)(ex2+1)(ex1+1)，
因为x10，ex2+1>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在R上单调递增，
即函数f(x)为R上单调递增的奇函数，
所以f(2mt2−1)+f(−mt)<0，即f(−mt)<−f(2mt2−1)，
即f(−mt)则−mt<−2mt2+1，
所以2mt2−mt−1<0对任意实数t恒成立，
当m=0时，2mt2−mt−1=−1<0，显然成立；
当m≠0时，m<0Δ=m2+8m<0，解得−8综上可知，实数m的取值范围是(−8,0]．
【解析】(1)由f(0)=0求解后，再验证即可得f(x)的解析式，再根据解析式猜想单调性即可；
(2)将问题转化为2mt2−mt−1<0对任意实数t恒成立，分m=0和m≠0求解即可．
本题考查了奇函数的性质、二次函数的性质，考查了转化思想及分类讨论思想，属于中档题．