还剩14页未读，
继续阅读
2023-2024学年重庆市万州中学高一（下）入学数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年重庆市万州中学高一（下）入学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|−1≤x<3}，B={x|2≤x<3}，则A∩(∁RB)=( )
A. {x|−1≤x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|22.命题“∃x∈(0,+∞)，sinx=1+x”的否定是( )
A. ∀x∉(0,+∞)，sinx=1+xB. ∀x∈(0,+∞)，sinx≠1+x
C. ∃x∉(0,+∞)，sinx=1+xD. ∃x∈(0,+∞)，sinx≠1+x
3.sin70°sin10°+sin20°cs10°=( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
4.函数f(x)=3kx+1在(−1,1)上存在零点，则k的取值范围是( )
A. (−13,13)B. (−∞,−13)
C. (13,+∞)D. (−∞,−13)∪(13,+∞)
5.“a>2”是“函数f(x)=lga(ax2−3x+a)在区间(1,+∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)=cs(2x−φ)，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后与函数g(x)=sin(2x−π3)的图象重合，则φ的值可以是( )
A. −5π3B. −11π6C. π4D. 5π12
7.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)( )
A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减
C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减
8.已知函数f(x)=x2+2x+2,x≤0ln(x+1),x>0的图像与直线y=k−x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. (−14,+∞)B. (0,+∞)C. (−14,2]D. (0,2]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(− 2,4)，则( )
A. cs(−α)=13B. sin(3π2−α)=13
C. cs2α=−89D. sin2α1+cs2α=−2 2
10.已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是( )
A. 1x+1y的最小值是2B. xy的最大值是1
C. x2+y2的最小值是1D. x(y+1)的最大值是94
11.已知函数f(x)=−2sin2ωx+sin2ωx+1(ω>0)的最小正周期为π，则( )
A. f(x)的图像关于直线x=13π8对称B. f(x)在(−π2,−π4)上单调递增
C. f(x)在[0,3π2]内有4个零点D. f(x)在[−π4,π4]上的值域为[−1, 2]
12.定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2∈(−∞,2]，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0，且函数y=f(x+2)为偶函数，则下列说法正确的是( )
A. y=f(x−2)关于直线x=4对称
B. y=f(x)在x∈(2,+∞)上单调递增
C. f(1)>f(π)
D. 若f(0)=0，则(x−1)f(x)>0的解集为(−∞,0)∪(1,4)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=x3+3x，若f(a)+f(a−6)=0，则实数a= ______．
14.已知函数f(x)=ax+2−3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx−n的图象上，其中实数m，n满足mn>0，则1m+2n的最小值为 ．
15.已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,−π<φ<0)的图象与y轴的交点为(0, 32)，且在区间(−π3,π3)上有且仅有一个零点，则ω的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则满足条件[f(x)−f(−7π4)][f(x)−f(4π3)]>0的最小正整数x为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求值：已知f(α)=sin(π−α)cs(−α)cs(−α+3π2)cs(π2−α)sin(−π−α)
(1)化简f(α)
(2)若α是第二象限角，且cs(α−5π2)=15，求f(α)的值．
18.(本小题12分)
已知cs(α+π3)=3 314，tan(α+β)=5 311，α∈(0,π2)，β∈(0,π2)．
(1)求tan(α+π3)的值；
(2)求β的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2ωx−π6)−2cs2ωx+1,0<ω<3，满足∀x∈R,f(x)≤f(5π12)．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)将f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在[−π6,5π3]上的值域．
20.(本小题12分)
如图为某市拟建的一块运动场地的平面图，其中有一条运动赛道由三部分构成：赛道的前一部分为曲线段BCD，该曲线段为函数y=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)在x∈[−4,0]的图象，且图象的最高点为C(−1,4 3)；赛道的中间部分为长度是2 3的水平跑道DE；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧EF．
(1)求ω，φ和∠EOF的值；
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪PQMN，如图所示.记∠POF=θ，求矩形草坪PQMN面积的最大值及此时θ的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)对于任意实数x，y，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x<0时，f(x)<0，f(1)=3．
(1)求f(x)在区间[−4,2]上的最大值和最小值；
(2)若在区间[1,3]上不存在实数x，满足f(x2)>f(ax)−3，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数y=f(x)，若对于其定义域D中任意给定的实数x，都有f(x)+f(1x)=0，就称函数y=f(x)满足性质P．
(1)已知f(x)=2x+1，判断y=f(x)是否满足性质P，并说明理由；
(2)若y=f(x)满足性质P，且定义域为(0,+∞)．
①已知x∈(0,1)时，f(x)=lg3x−3x2，求函数f(x)的解析式并指出方程f(x)=255是否有正整数解？请说明理由；
②若f(x)在(0,1)上单调递增，判定并证明f(x)在(1,+∞)上的单调性．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得∁RB={x|x<2或x≥3}，
则A∩∁RB={x|−1≤x<2}．
故选：A．
先求出B的补集，然后结合集合交集运算可求．
本题主要考查了集合补集及交集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，命题“∃x∈(0,+∞)，sinx=1+x”为存在量词命题，
其否定是“∀x∈(0,+∞)，sinx≠1+x”．
故选：B．
根据题意，由于存在量词命题的否定是全称量词命题，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意存在量词命题和全称量词命题的关系，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：原式=sin70°sin10°+cs70°cs10°=cs(70°−10°)=cs60°=12．
故选：B．
可得出：原式=sin70°sin10°+cs70°cs10°，然后根据两角差的余弦公式即可求出答案．
本题考查了三角函数的诱导公式，两角差的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据条件可知f(−1)f(1)=(−3k+1)(3k+1)<0，
解得k>13或k<−13，
故选：D．
根据函数零点判定定理可得f(−1)f(1)<0，解出不等式即可
本题考查函数零点判定定理，考查不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题知a>0，且a≠1，设t=ax2−3x+a，
则函数t=ax2−3x+a开口向上且对称轴为x=32a，
所以t=ax2−3x+a在(32a,+∞)上单调递增，y=lgat为增函数，
所以a>1．
要使f(x)在(1,+∞)上单调递增，则(1,+∞)⊆(32a,+∞)，即32a≤1，
所以32≤a，要使ax2−3x+a>0对x∈(1,+∞)恒成立，
所以a−3+a≥0，
所以a≥32．
综上，a≥32．
所以“a>2”是“函数f(x)在(1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A．
根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定a的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断．
本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了复合函数单调性的应用，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=cs(2x−φ)，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到h(x)=cs(2x−2π3−φ)=sin(2x−2π3+π2−φ)=g(x)=sin(2x−π3)，
所以π6+φ=2kπ+π3(k∈Z)，
整理得φ=2kπ+π6，
当k=−1时，φ=−11π6．
故选：B．
直接利用三角函数关系式的平移变换和诱导公式的应用求出等量关系式，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．
求出x的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数t=|2x+12x−1|的单调性，由复合函数的单调性得答案．
【解答】
解：由2x+1≠02x−1≠0，得x≠±12．
又f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|
=−(ln|2x+1|−ln|2x−1|)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数；
由f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|
=ln|2x+1||2x−1|=ln|2x+12x−1|，
∵2x+12x−1=2x−1+22x−1=1+22x−1
=1+22(x−12)=1+1x−12．
可得内层函数t=|2x+12x−1|的图象如图，
在(−∞,−12)上单调递减，在(−12,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减．
又对数函数y=lnt是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f(x)在(−∞,−12)上单调递减．
故选：D．
8.【答案】D
【解析】解：如图，作函数f(x)的大致图像(实线)，
平移直线y=k−x，由k−x=x2+2x+2可得，x2+3x+2−k=0，
Δ=9−8+4k=0,k=14，
故当k=−14时，直线y=−14−x与曲线y=x2+2x+2(x≤0)相切；
当k=0时，直线y=−x经过点(0,0)，且与曲线y=x2+2x+2(x≤0)有2个不同的交点；
当k=2时，直线y=2−x经过点(0,2)，且与f(x)的图像有3个不同的交点．
由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x)的图像与直线y=k−x有3个不同的交点．
故选：D．
作函数f(x)的大致图像(实线)，平移直线y=k−x，数形结合得出实数k的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(− 2,4)，
则csα=− 2 (− 2)2+42=−13，
故cs(−α)=csα=−13，故A错误；
sin(3π2−α)=−csα=13，故B正确；
cs2α=2cs2α−1=2×(−13)2−1=−79，故C错误；
sin2α1+cs2α=2sinαcsα2cs2α=tanα=4− 2=−2 2，故D正确．
故选：BD．
由已知利用任意角的三角函数的定义可求csα的值，进而利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A：∵x>0，y>0，x+y=2，
则1x+1y=12(x+y)(1x+1y)=12(2+yx+xy)≥12(2+2 yx⋅xy)=2，当且仅当yx=xy，即x=y=1时，等号成立，故A正确；
对于B：∵x>0，y>0，x+y=2，∴2=x+y⩾2 xy，当且仅当x=y=1时等号成立，
∴ xy⩽1，即0对于C：∵x>0，y>0，x+y=2，即y=2−x，∴0∴x2+y2=x2+(2−x)2=2x2−4x+4=2(x−1)2+2，
∴当x=1时，x2+y2的最小值为2，故C错误；
对于D：x>0，y>0，x+y=2，即 y=2−x，∴0∴x(y+1)=−x2+3x=−(x−32)2+94，
∴当x=32时，x(y+1)的最大值为94，故D正确．
故选：ABD．
利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查基本不等式的应用和二次函数的图象与性质，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：f(x)=−2sin2ωx+sin2ωx+1=cs2ωx+sin2ωx= 2sin(2ωx+π4)(ω>0)，
因为f(x)的最小正周期为π，
所以ω=1，
故f(x)= 2sin(2x+π4)，
对于A，令2x+π4=kπ+π2(k∈Z)，
则函数对称轴方程为x=kπ2+π8(k∈Z)，
当k=3时，x=13π8，故A正确；
对于B，令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，解得−3π8+kπ≤x≤kπ+π8，k∈Z，
则函数单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)，
所以f(x)在(−3π8,π8)上单调递增，又−π2<−3π8<−π4，故B错误；
对于C，令f(x)=0，得2x+π4=kπ(k∈Z)，得x=kπ2−π8(k∈Z)，
若x∈[0,3π2]，则x可取3π8，7π8，11π8，即此时函数有3个零点，故C错误；
对于D，由x∈[−π4,π4]，得2x+π4∈[−π4,3π4]，sin(2x+π4)∈[− 22,1]，
所以f(x)∈[−1, 2]，故D正确．
故选：AD．
利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦型函数的性质解决选项中的相关问题．
本题主要考查三角函数的周期性，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为对任意的x1，x2∈(−∞,2]，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，
所以函数f(x)在(−∞,2]上单调递增，又因为函数y=f(x+2)为偶函数，
所以函数f(x)关于直线x=2对称，所以函数y=f(x−2)关于直线x=4对称，A正确；
根据函数f(x)在(−∞,2]上单调递增，且关于直线x=2对称，
可得函数y=f(x)在x∈(2,+∞)上单调递减，B错误；
因为函数y=f(x)在x∈(2,+∞)上单调递减，
所以f(π)f(π)，C正确；
由f(0)=0可得，f(4)=0，则结合函数的单调性和对称性可得，
x∈(−∞,0)时，f(x)<0，x∈(0,4)时，f(x)>0，x∈(4,+∞)时，f(x)<0，
所以由(x−1)f(x)>0，可得x−1>0f(x)>0或x−1<0f(x)<0，
解得1故选：ACD．
先根据单调性的定义判断函数单调性，再结合对称性得出单调性，从而判断A，B，C选项，结合函数值及不等式解法判断D选项．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：因为f(x)=x3+3x，
所以f(−x)=−x3−3x=−f(x)，即f(x)为奇函数，
因为y=x3+3x在R上单调递增，
若f(a)+f(a−6)=0，则f(a)=−f(a−6)=f(6−a)，
所以a=6−a，即a=3．
故答案为：3．
先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查了指数型函数过定点问题，考查了基本不等式的应用，是中档题．
先令x+2=0，求出点A的坐标，代入一次函数y=mx−n得2m+n=2，由题意可知m>0，n>0，所以1m+2n=12(1m+2n)⋅(2m+n)，再利用基本不等式即可求出结果．
【解答】
解：函数f(x)=ax+2−3，
令x+2=0，得：x=−2，此时f−2=1−3=−2，
所以函数f(x)的图象恒过定点A(−2,−2)，
又∵点A在一次函数y=mx−n的图象上，
∴−2=−2m−n，即2m+n=2，
又∵实数m，n满足mn>0，
∴m>0，n>0，
∴1m+2n=12(1m+2n)⋅(2m+n)
=12(4+nm+4mn)
≥12(4+2 nm×4mn)=4，
当且仅当nm=4mn即n=2m时，等号成立，
即m=12，n=1时，1m+2n取得最小值4，
故答案为：4．
15.【答案】(1,2]
【解析】解：依题意得，f(0)= 32，
得csφ= 32，
因为−π<φ<0，
所以φ=−π6，
则f(x)=cs(ωx−π6)，
因为−π3所以−π3ω−π6<ωx−π6<π3ω−π6，
要使函数f(x)=cs(ωx−π6)在区间(−π3,π3)上有且仅有一个零点，
则−3π2≤−π3ω−π6<−π2−π2<π3ω−π6≤π2ω>0,或−π2≤−π3ω−π6<π2π2<π3ω−π6≤3π2ω>0，
解得1<ω≤2，
则ω的取值范围是(1,2]．
故答案为：(1,2]．
由f(0)= 32，求出φ=−π6，再结合余弦型函数的零点个数进行列不等式即可．
本题考查了余弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】解：由图知，最小正周期T=43(13π12−π3)=π，
所以ω=2πT=2ππ=2，
将点(13π12,2)代入f(x)=2cs(2x+φ)，有2cs(2⋅13π12+φ)=2，
所以13π6+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ−13π6，k∈Z，
取k=2，则φ=−π6，所以f(x)=2cs(2x−π6)，
所以f(−7π4)=2sinπ6=1，f(4π3)=2csπ2=0，
所以不等式[f(x)−f(−7π4)][f(x)−f(4π3)]>0可化为[f(x)−1]⋅f(x)>0，
所以f(x)>1或f(x)<0，
即2cs(2x−π6)>1或2cs(2x−π6)<0，
所以2kπ−π3<2x−π6<2kπ+π3，k∈Z或2kπ+π2<2x−π6<2kπ+3π2，k∈Z，
解得kπ−π12取k=0，因为x>0，所以有0所以最小正整数x为2．
故答案为：2．
结合函数图象及ω，φ的几何意义，求得其值，从而知f(x)的解析式，原不等式可化为[f(x)−1]⋅f(x)>0，即f(x)>1或f(x)<0，再结合余弦函数的图象与性质，解之即可．
本题考查三角函数的图象与性质，理解ω和φ的含义，熟练掌握余弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)化简，得f(α)=sin(α−π2)cs(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=−csα；
(2)∵cs(α−3π2)=15，∴−sinα=15,sinα=−15
∴cs2α=2425，∵α是第三象限角，∴csα=−2 65．
∴−csα=2 65．
【解析】(1)利用诱导公式化简函数的解析式即可．
(2)然后正弦函数值，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．
本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
18.【答案】解：(1)因为0<α<π2，
所以π3<α+π3<5π6，
又cs(α+π3)=3 314，
所以sin(α+π3)=1314，tan(α+π3)=133 3=13 39；
(2)因为csα=cs[(α+π3)−π3]=cs(α+π3)csπ3+sin(α+π3)sinπ3=3 314×12+1314× 32=4 37，
所以sinα= 1−cs2α= 1−(4 37)2=17，
所以tanα=sinαcsα=174 37= 312，
又tan(α+β)=5 311，
所以tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=5 311− 3121+5 311× 312= 33，
又β∈(0,π2)，
所以β=π6．
【解析】(1)由已知结合同角基本关系即可求解；
(2)由已知先利用同角基本关系求出tanα，再由已知结合两角差的正切公式可求tanβ，进而可求．
本题主要考查了和差角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin(2ωx−π6)−2cs2ωx+1,0<ω<3，
即f(x)=sin(2ωx−π6)−cs2ωx= 32sinωx−12cs2ωx−cs2ωx= 3(12sin2ωx− 32cs2ωx)= 3sin(2ωx−π3).
由于f(x)满足∀x∈R,f(x)≤f(5π12)，故sin(2ω×5π12--π3)=1，
故有2ω×5π12−π3=2kπ+π2，k∈Z，∴ω=1，f(x)= 3sin(2x−π3).
(Ⅱ)将f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍(纵坐标不变)，可得y= 3sin(12x−π3)的图象；
将得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)= 3sin(12x+π6−π3)= 3sin(12x−π6)的图象．
在[−π6,5π3]上，x2−π6∈[−π4,2π3]，sin(12x−π6)∈[− 22,1]，f(x)∈[− 62, 3].
故g(x)在[−π6,5π3]上的值域为[− 62, 3].
【解析】(Ⅰ)由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式．
(Ⅱ)由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得A=4 3,T4=−1−(−4)=3，
则T=12，故ω=2π12=π6，
将点(−1,4 3)代入，得cs(−π6+φ)=1，
所以φ=π6+2kπ,k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π6，
从而可得曲线段BCD的解析式为y=4 3cs(π6x+π6)．
令x=0，可得y=6，所以E(2 3,6)，
所以tan∠EOD=DEOD=2 36= 33，则∠EOD=π6，
∠EOF=π2−∠EOD=π2−π6=π3，
由(1)，可知OE= 12+36=4 3，
又易知当矩形草坪PQMN的面积最大时，点P在弧EF上，故OP=4 3，
由∠POE=θ.0<θ<π3，
则PQ=4 3sinθ，OQ=4 3csθOM=MNtanπ3=4sinθ，
所以矩形草坪PQMN的面积为S=PQ⋅(OQ−OM)=4 3sinθ(4 3csθ−4sinθ)=16(3sinθcsθ− 3sin2θ)
=16 3( 32sin2θ+12cs2θ)=16 3sin(2θ+π6)−8 3，
又0<θ<π3，所以π6<2θ+π6<5π6，
故当2θ+π6=π2，即θ=π6时，S=16 3−8 3=8 3，
矩形草坪PQMN面积取得最大值8 3．
【解析】(1)根据三角形函数的图像性质求值；
(2)由题意，表示出PQ=4 3sinθ，OQ=4 3csθ，OM=4sinθ，从而得到矩形草坪PQMN面积的表达式，由三角恒等变形求最值．
本题考查三角函数性质应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题可知函数f(x)的定义域为R，令x=y=0，得f(0)=2f(0)，解得f(0)=0，
令y=−x，得f(x)+f(−x)=f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，
任取x1，x2∈R，且x1因为当x<0时，f(x)<0，所以f(x1−x2)<0，即f(x1)+f(−x2)<0，
因为f(x)为奇函数，所以f(−x2)=−f(x2)，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在R上单调递增，
所以f(x)在[−4,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(−4)，
因为f(1)=3，令x=y=1，得f(2)=f(1)+f(1)=6，
因为f(x)为奇函数，所以f(−4)=−f(4)=−f(2+2)=−[f(2)+f(2)]=−12，
所以f(x)在[−4,2]上的最大值为6，最小值为−12．
(2)由(1)知f(x)为奇函数，所以f(−1)=−f(1)=−3，
由f(x2)>f(ax)−3得f(x2)>f(ax)+f(−1)，即f(x2)>f(ax−1)，
又f(x)在R上单调递增，所以x2>ax−1，即x2−ax+1>0，
因为不存在x∈[1,3]，使得f(x2)>f(ax)−3，所以∀x∈[1,3]，x2−ax+1≤0，
因为抛物线y=x2−ax+1开口向上，所以12−a+1≤032−3a+1≤0，解得a≥103，
所以a的取值范围是[103,+∞)．
【解析】(1)通过赋值法证明函数为奇函数且单调递增，可求函数在区间[−4,2]上的最大值和最小值；
(2)利用(1)中的结论，不等式f(x2)>f(ax)−3等价于x2−ax+1>0，在区间[1,3]上无解，即x2−ax+1≤0在区间[1,3]上恒成立，利用二次函数性质求解．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)+f(1x)=2x+1+2x+1=2x+2x+2=0不恒成立，
所以y=f(x)不满足性质P；
(2)①当x>1时，0<1x<1，
此时f(x)=−f(1x)=−(lg31x−3x2)=3x2+lg3x，
又当x=1时，f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，
所以f(x)=lg3x−3x2,01；
假设方程f(x)=255有正整数解n，
则3n2+lg3n=255，
要使上式能成立，则必有n=3k，k≥1，k∈N，
所以3×32k+lg33k=32k+1+k=255，
明显y=32k+1+k为单调递增函数，
又当k=2时，32k+1+k=35+2=245<255，
当k=3时，32k+1+k=37+3=2190>255，
故方程f(x)=255没有正整数解；
②证明：任取x1>x2>1，则0<1x1<1x2<1，
则f(x1)−f(x2)=−f(1x1)−[−f(1x2)]=f(1x2)−f(1x1)，
因为f(x)在(0,1)上单调递增，且0<1x1<1x2<1，
所以f(1x2)>f(1x1)，
所以f(x1)−f(x2)=f(1x2)−f(1x1)>0，
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增．
【解析】(1)直接根据性质P列式计算验证即可；
(2)①通过f(x)=−f(1x)可求得函数的解析式，先假设方程f(x)=255有正整数解，然后列方程找到矛盾即可；
②任取x1>x2>1，计算判断f(x1)−f(x2)的正负即可证明．
本题考查函数的单调性的性质以及应用，注意性质P的含义，属于中档题．
1.设集合A={x|−1≤x<3}，B={x|2≤x<3}，则A∩(∁RB)=( )
A. {x|−1≤x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|2
A. ∀x∉(0,+∞)，sinx=1+xB. ∀x∈(0,+∞)，sinx≠1+x
C. ∃x∉(0,+∞)，sinx=1+xD. ∃x∈(0,+∞)，sinx≠1+x
3.sin70°sin10°+sin20°cs10°=( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
4.函数f(x)=3kx+1在(−1,1)上存在零点，则k的取值范围是( )
A. (−13,13)B. (−∞,−13)
C. (13,+∞)D. (−∞,−13)∪(13,+∞)
5.“a>2”是“函数f(x)=lga(ax2−3x+a)在区间(1,+∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)=cs(2x−φ)，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后与函数g(x)=sin(2x−π3)的图象重合，则φ的值可以是( )
A. −5π3B. −11π6C. π4D. 5π12
7.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)( )
A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减
C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减
8.已知函数f(x)=x2+2x+2,x≤0ln(x+1),x>0的图像与直线y=k−x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. (−14,+∞)B. (0,+∞)C. (−14,2]D. (0,2]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(− 2,4)，则( )
A. cs(−α)=13B. sin(3π2−α)=13
C. cs2α=−89D. sin2α1+cs2α=−2 2
10.已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是( )
A. 1x+1y的最小值是2B. xy的最大值是1
C. x2+y2的最小值是1D. x(y+1)的最大值是94
11.已知函数f(x)=−2sin2ωx+sin2ωx+1(ω>0)的最小正周期为π，则( )
A. f(x)的图像关于直线x=13π8对称B. f(x)在(−π2,−π4)上单调递增
C. f(x)在[0,3π2]内有4个零点D. f(x)在[−π4,π4]上的值域为[−1, 2]
12.定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2∈(−∞,2]，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0，且函数y=f(x+2)为偶函数，则下列说法正确的是( )
A. y=f(x−2)关于直线x=4对称
B. y=f(x)在x∈(2,+∞)上单调递增
C. f(1)>f(π)
D. 若f(0)=0，则(x−1)f(x)>0的解集为(−∞,0)∪(1,4)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=x3+3x，若f(a)+f(a−6)=0，则实数a= ______．
14.已知函数f(x)=ax+2−3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx−n的图象上，其中实数m，n满足mn>0，则1m+2n的最小值为 ．
15.已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,−π<φ<0)的图象与y轴的交点为(0, 32)，且在区间(−π3,π3)上有且仅有一个零点，则ω的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则满足条件[f(x)−f(−7π4)][f(x)−f(4π3)]>0的最小正整数x为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求值：已知f(α)=sin(π−α)cs(−α)cs(−α+3π2)cs(π2−α)sin(−π−α)
(1)化简f(α)
(2)若α是第二象限角，且cs(α−5π2)=15，求f(α)的值．
18.(本小题12分)
已知cs(α+π3)=3 314，tan(α+β)=5 311，α∈(0,π2)，β∈(0,π2)．
(1)求tan(α+π3)的值；
(2)求β的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2ωx−π6)−2cs2ωx+1,0<ω<3，满足∀x∈R,f(x)≤f(5π12)．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)将f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在[−π6,5π3]上的值域．
20.(本小题12分)
如图为某市拟建的一块运动场地的平面图，其中有一条运动赛道由三部分构成：赛道的前一部分为曲线段BCD，该曲线段为函数y=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)在x∈[−4,0]的图象，且图象的最高点为C(−1,4 3)；赛道的中间部分为长度是2 3的水平跑道DE；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧EF．
(1)求ω，φ和∠EOF的值；
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪PQMN，如图所示.记∠POF=θ，求矩形草坪PQMN面积的最大值及此时θ的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)对于任意实数x，y，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x<0时，f(x)<0，f(1)=3．
(1)求f(x)在区间[−4,2]上的最大值和最小值；
(2)若在区间[1,3]上不存在实数x，满足f(x2)>f(ax)−3，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数y=f(x)，若对于其定义域D中任意给定的实数x，都有f(x)+f(1x)=0，就称函数y=f(x)满足性质P．
(1)已知f(x)=2x+1，判断y=f(x)是否满足性质P，并说明理由；
(2)若y=f(x)满足性质P，且定义域为(0,+∞)．
①已知x∈(0,1)时，f(x)=lg3x−3x2，求函数f(x)的解析式并指出方程f(x)=255是否有正整数解？请说明理由；
②若f(x)在(0,1)上单调递增，判定并证明f(x)在(1,+∞)上的单调性．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得∁RB={x|x<2或x≥3}，
则A∩∁RB={x|−1≤x<2}．
故选：A．
先求出B的补集，然后结合集合交集运算可求．
本题主要考查了集合补集及交集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，命题“∃x∈(0,+∞)，sinx=1+x”为存在量词命题，
其否定是“∀x∈(0,+∞)，sinx≠1+x”．
故选：B．
根据题意，由于存在量词命题的否定是全称量词命题，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意存在量词命题和全称量词命题的关系，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：原式=sin70°sin10°+cs70°cs10°=cs(70°−10°)=cs60°=12．
故选：B．
可得出：原式=sin70°sin10°+cs70°cs10°，然后根据两角差的余弦公式即可求出答案．
本题考查了三角函数的诱导公式，两角差的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据条件可知f(−1)f(1)=(−3k+1)(3k+1)<0，
解得k>13或k<−13，
故选：D．
根据函数零点判定定理可得f(−1)f(1)<0，解出不等式即可
本题考查函数零点判定定理，考查不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题知a>0，且a≠1，设t=ax2−3x+a，
则函数t=ax2−3x+a开口向上且对称轴为x=32a，
所以t=ax2−3x+a在(32a,+∞)上单调递增，y=lgat为增函数，
所以a>1．
要使f(x)在(1,+∞)上单调递增，则(1,+∞)⊆(32a,+∞)，即32a≤1，
所以32≤a，要使ax2−3x+a>0对x∈(1,+∞)恒成立，
所以a−3+a≥0，
所以a≥32．
综上，a≥32．
所以“a>2”是“函数f(x)在(1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A．
根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定a的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断．
本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了复合函数单调性的应用，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=cs(2x−φ)，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到h(x)=cs(2x−2π3−φ)=sin(2x−2π3+π2−φ)=g(x)=sin(2x−π3)，
所以π6+φ=2kπ+π3(k∈Z)，
整理得φ=2kπ+π6，
当k=−1时，φ=−11π6．
故选：B．
直接利用三角函数关系式的平移变换和诱导公式的应用求出等量关系式，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．
求出x的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数t=|2x+12x−1|的单调性，由复合函数的单调性得答案．
【解答】
解：由2x+1≠02x−1≠0，得x≠±12．
又f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|
=−(ln|2x+1|−ln|2x−1|)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数；
由f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|
=ln|2x+1||2x−1|=ln|2x+12x−1|，
∵2x+12x−1=2x−1+22x−1=1+22x−1
=1+22(x−12)=1+1x−12．
可得内层函数t=|2x+12x−1|的图象如图，
在(−∞,−12)上单调递减，在(−12,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减．
又对数函数y=lnt是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f(x)在(−∞,−12)上单调递减．
故选：D．
8.【答案】D
【解析】解：如图，作函数f(x)的大致图像(实线)，
平移直线y=k−x，由k−x=x2+2x+2可得，x2+3x+2−k=0，
Δ=9−8+4k=0,k=14，
故当k=−14时，直线y=−14−x与曲线y=x2+2x+2(x≤0)相切；
当k=0时，直线y=−x经过点(0,0)，且与曲线y=x2+2x+2(x≤0)有2个不同的交点；
当k=2时，直线y=2−x经过点(0,2)，且与f(x)的图像有3个不同的交点．
由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x)的图像与直线y=k−x有3个不同的交点．
故选：D．
作函数f(x)的大致图像(实线)，平移直线y=k−x，数形结合得出实数k的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(− 2,4)，
则csα=− 2 (− 2)2+42=−13，
故cs(−α)=csα=−13，故A错误；
sin(3π2−α)=−csα=13，故B正确；
cs2α=2cs2α−1=2×(−13)2−1=−79，故C错误；
sin2α1+cs2α=2sinαcsα2cs2α=tanα=4− 2=−2 2，故D正确．
故选：BD．
由已知利用任意角的三角函数的定义可求csα的值，进而利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A：∵x>0，y>0，x+y=2，
则1x+1y=12(x+y)(1x+1y)=12(2+yx+xy)≥12(2+2 yx⋅xy)=2，当且仅当yx=xy，即x=y=1时，等号成立，故A正确；
对于B：∵x>0，y>0，x+y=2，∴2=x+y⩾2 xy，当且仅当x=y=1时等号成立，
∴ xy⩽1，即0
∴当x=1时，x2+y2的最小值为2，故C错误；
对于D：x>0，y>0，x+y=2，即 y=2−x，∴0
∴当x=32时，x(y+1)的最大值为94，故D正确．
故选：ABD．
利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查基本不等式的应用和二次函数的图象与性质，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：f(x)=−2sin2ωx+sin2ωx+1=cs2ωx+sin2ωx= 2sin(2ωx+π4)(ω>0)，
因为f(x)的最小正周期为π，
所以ω=1，
故f(x)= 2sin(2x+π4)，
对于A，令2x+π4=kπ+π2(k∈Z)，
则函数对称轴方程为x=kπ2+π8(k∈Z)，
当k=3时，x=13π8，故A正确；
对于B，令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，解得−3π8+kπ≤x≤kπ+π8，k∈Z，
则函数单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)，
所以f(x)在(−3π8,π8)上单调递增，又−π2<−3π8<−π4，故B错误；
对于C，令f(x)=0，得2x+π4=kπ(k∈Z)，得x=kπ2−π8(k∈Z)，
若x∈[0,3π2]，则x可取3π8，7π8，11π8，即此时函数有3个零点，故C错误；
对于D，由x∈[−π4,π4]，得2x+π4∈[−π4,3π4]，sin(2x+π4)∈[− 22,1]，
所以f(x)∈[−1, 2]，故D正确．
故选：AD．
利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦型函数的性质解决选项中的相关问题．
本题主要考查三角函数的周期性，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为对任意的x1，x2∈(−∞,2]，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，
所以函数f(x)在(−∞,2]上单调递增，又因为函数y=f(x+2)为偶函数，
所以函数f(x)关于直线x=2对称，所以函数y=f(x−2)关于直线x=4对称，A正确；
根据函数f(x)在(−∞,2]上单调递增，且关于直线x=2对称，
可得函数y=f(x)在x∈(2,+∞)上单调递减，B错误；
因为函数y=f(x)在x∈(2,+∞)上单调递减，
所以f(π)
由f(0)=0可得，f(4)=0，则结合函数的单调性和对称性可得，
x∈(−∞,0)时，f(x)<0，x∈(0,4)时，f(x)>0，x∈(4,+∞)时，f(x)<0，
所以由(x−1)f(x)>0，可得x−1>0f(x)>0或x−1<0f(x)<0，
解得1
先根据单调性的定义判断函数单调性，再结合对称性得出单调性，从而判断A，B，C选项，结合函数值及不等式解法判断D选项．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：因为f(x)=x3+3x，
所以f(−x)=−x3−3x=−f(x)，即f(x)为奇函数，
因为y=x3+3x在R上单调递增，
若f(a)+f(a−6)=0，则f(a)=−f(a−6)=f(6−a)，
所以a=6−a，即a=3．
故答案为：3．
先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查了指数型函数过定点问题，考查了基本不等式的应用，是中档题．
先令x+2=0，求出点A的坐标，代入一次函数y=mx−n得2m+n=2，由题意可知m>0，n>0，所以1m+2n=12(1m+2n)⋅(2m+n)，再利用基本不等式即可求出结果．
【解答】
解：函数f(x)=ax+2−3，
令x+2=0，得：x=−2，此时f−2=1−3=−2，
所以函数f(x)的图象恒过定点A(−2,−2)，
又∵点A在一次函数y=mx−n的图象上，
∴−2=−2m−n，即2m+n=2，
又∵实数m，n满足mn>0，
∴m>0，n>0，
∴1m+2n=12(1m+2n)⋅(2m+n)
=12(4+nm+4mn)
≥12(4+2 nm×4mn)=4，
当且仅当nm=4mn即n=2m时，等号成立，
即m=12，n=1时，1m+2n取得最小值4，
故答案为：4．
15.【答案】(1,2]
【解析】解：依题意得，f(0)= 32，
得csφ= 32，
因为−π<φ<0，
所以φ=−π6，
则f(x)=cs(ωx−π6)，
因为−π3
要使函数f(x)=cs(ωx−π6)在区间(−π3,π3)上有且仅有一个零点，
则−3π2≤−π3ω−π6<−π2−π2<π3ω−π6≤π2ω>0,或−π2≤−π3ω−π6<π2π2<π3ω−π6≤3π2ω>0，
解得1<ω≤2，
则ω的取值范围是(1,2]．
故答案为：(1,2]．
由f(0)= 32，求出φ=−π6，再结合余弦型函数的零点个数进行列不等式即可．
本题考查了余弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】解：由图知，最小正周期T=43(13π12−π3)=π，
所以ω=2πT=2ππ=2，
将点(13π12,2)代入f(x)=2cs(2x+φ)，有2cs(2⋅13π12+φ)=2，
所以13π6+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ−13π6，k∈Z，
取k=2，则φ=−π6，所以f(x)=2cs(2x−π6)，
所以f(−7π4)=2sinπ6=1，f(4π3)=2csπ2=0，
所以不等式[f(x)−f(−7π4)][f(x)−f(4π3)]>0可化为[f(x)−1]⋅f(x)>0，
所以f(x)>1或f(x)<0，
即2cs(2x−π6)>1或2cs(2x−π6)<0，
所以2kπ−π3<2x−π6<2kπ+π3，k∈Z或2kπ+π2<2x−π6<2kπ+3π2，k∈Z，
解得kπ−π12
故答案为：2．
结合函数图象及ω，φ的几何意义，求得其值，从而知f(x)的解析式，原不等式可化为[f(x)−1]⋅f(x)>0，即f(x)>1或f(x)<0，再结合余弦函数的图象与性质，解之即可．
本题考查三角函数的图象与性质，理解ω和φ的含义，熟练掌握余弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)化简，得f(α)=sin(α−π2)cs(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=−csα；
(2)∵cs(α−3π2)=15，∴−sinα=15,sinα=−15
∴cs2α=2425，∵α是第三象限角，∴csα=−2 65．
∴−csα=2 65．
【解析】(1)利用诱导公式化简函数的解析式即可．
(2)然后正弦函数值，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．
本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
18.【答案】解：(1)因为0<α<π2，
所以π3<α+π3<5π6，
又cs(α+π3)=3 314，
所以sin(α+π3)=1314，tan(α+π3)=133 3=13 39；
(2)因为csα=cs[(α+π3)−π3]=cs(α+π3)csπ3+sin(α+π3)sinπ3=3 314×12+1314× 32=4 37，
所以sinα= 1−cs2α= 1−(4 37)2=17，
所以tanα=sinαcsα=174 37= 312，
又tan(α+β)=5 311，
所以tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=5 311− 3121+5 311× 312= 33，
又β∈(0,π2)，
所以β=π6．
【解析】(1)由已知结合同角基本关系即可求解；
(2)由已知先利用同角基本关系求出tanα，再由已知结合两角差的正切公式可求tanβ，进而可求．
本题主要考查了和差角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin(2ωx−π6)−2cs2ωx+1,0<ω<3，
即f(x)=sin(2ωx−π6)−cs2ωx= 32sinωx−12cs2ωx−cs2ωx= 3(12sin2ωx− 32cs2ωx)= 3sin(2ωx−π3).
由于f(x)满足∀x∈R,f(x)≤f(5π12)，故sin(2ω×5π12--π3)=1，
故有2ω×5π12−π3=2kπ+π2，k∈Z，∴ω=1，f(x)= 3sin(2x−π3).
(Ⅱ)将f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍(纵坐标不变)，可得y= 3sin(12x−π3)的图象；
将得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)= 3sin(12x+π6−π3)= 3sin(12x−π6)的图象．
在[−π6,5π3]上，x2−π6∈[−π4,2π3]，sin(12x−π6)∈[− 22,1]，f(x)∈[− 62, 3].
故g(x)在[−π6,5π3]上的值域为[− 62, 3].
【解析】(Ⅰ)由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式．
(Ⅱ)由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得A=4 3,T4=−1−(−4)=3，
则T=12，故ω=2π12=π6，
将点(−1,4 3)代入，得cs(−π6+φ)=1，
所以φ=π6+2kπ,k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π6，
从而可得曲线段BCD的解析式为y=4 3cs(π6x+π6)．
令x=0，可得y=6，所以E(2 3,6)，
所以tan∠EOD=DEOD=2 36= 33，则∠EOD=π6，
∠EOF=π2−∠EOD=π2−π6=π3，
由(1)，可知OE= 12+36=4 3，
又易知当矩形草坪PQMN的面积最大时，点P在弧EF上，故OP=4 3，
由∠POE=θ.0<θ<π3，
则PQ=4 3sinθ，OQ=4 3csθOM=MNtanπ3=4sinθ，
所以矩形草坪PQMN的面积为S=PQ⋅(OQ−OM)=4 3sinθ(4 3csθ−4sinθ)=16(3sinθcsθ− 3sin2θ)
=16 3( 32sin2θ+12cs2θ)=16 3sin(2θ+π6)−8 3，
又0<θ<π3，所以π6<2θ+π6<5π6，
故当2θ+π6=π2，即θ=π6时，S=16 3−8 3=8 3，
矩形草坪PQMN面积取得最大值8 3．
【解析】(1)根据三角形函数的图像性质求值；
(2)由题意，表示出PQ=4 3sinθ，OQ=4 3csθ，OM=4sinθ，从而得到矩形草坪PQMN面积的表达式，由三角恒等变形求最值．
本题考查三角函数性质应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题可知函数f(x)的定义域为R，令x=y=0，得f(0)=2f(0)，解得f(0)=0，
令y=−x，得f(x)+f(−x)=f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，
任取x1，x2∈R，且x1
因为f(x)为奇函数，所以f(−x2)=−f(x2)，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)
所以f(x)在[−4,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(−4)，
因为f(1)=3，令x=y=1，得f(2)=f(1)+f(1)=6，
因为f(x)为奇函数，所以f(−4)=−f(4)=−f(2+2)=−[f(2)+f(2)]=−12，
所以f(x)在[−4,2]上的最大值为6，最小值为−12．
(2)由(1)知f(x)为奇函数，所以f(−1)=−f(1)=−3，
由f(x2)>f(ax)−3得f(x2)>f(ax)+f(−1)，即f(x2)>f(ax−1)，
又f(x)在R上单调递增，所以x2>ax−1，即x2−ax+1>0，
因为不存在x∈[1,3]，使得f(x2)>f(ax)−3，所以∀x∈[1,3]，x2−ax+1≤0，
因为抛物线y=x2−ax+1开口向上，所以12−a+1≤032−3a+1≤0，解得a≥103，
所以a的取值范围是[103,+∞)．
【解析】(1)通过赋值法证明函数为奇函数且单调递增，可求函数在区间[−4,2]上的最大值和最小值；
(2)利用(1)中的结论，不等式f(x2)>f(ax)−3等价于x2−ax+1>0，在区间[1,3]上无解，即x2−ax+1≤0在区间[1,3]上恒成立，利用二次函数性质求解．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)+f(1x)=2x+1+2x+1=2x+2x+2=0不恒成立，
所以y=f(x)不满足性质P；
(2)①当x>1时，0<1x<1，
此时f(x)=−f(1x)=−(lg31x−3x2)=3x2+lg3x，
又当x=1时，f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，
所以f(x)=lg3x−3x2,0
假设方程f(x)=255有正整数解n，
则3n2+lg3n=255，
要使上式能成立，则必有n=3k，k≥1，k∈N，
所以3×32k+lg33k=32k+1+k=255，
明显y=32k+1+k为单调递增函数，
又当k=2时，32k+1+k=35+2=245<255，
当k=3时，32k+1+k=37+3=2190>255，
故方程f(x)=255没有正整数解；
②证明：任取x1>x2>1，则0<1x1<1x2<1，
则f(x1)−f(x2)=−f(1x1)−[−f(1x2)]=f(1x2)−f(1x1)，
因为f(x)在(0,1)上单调递增，且0<1x1<1x2<1，
所以f(1x2)>f(1x1)，
所以f(x1)−f(x2)=f(1x2)−f(1x1)>0，
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增．
【解析】(1)直接根据性质P列式计算验证即可；
(2)①通过f(x)=−f(1x)可求得函数的解析式，先假设方程f(x)=255有正整数解，然后列方程找到矛盾即可；
②任取x1>x2>1，计算判断f(x1)−f(x2)的正负即可证明．
本题考查函数的单调性的性质以及应用，注意性质P的含义，属于中档题．
相关试卷
2023-2024学年四川省成都市石室中学高一（下）入学数学试卷（理科）（含解析）： 这是一份2023-2024学年四川省成都市石室中学高一（下）入学数学试卷（理科）（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖北省恩施州利川一中高二（下）入学数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年湖北省恩施州利川一中高二（下）入学数学试卷(含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年重庆市万州三中高二（下）入学数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年重庆市万州三中高二（下）入学数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
