2023-2024学年云南省昭通市教研联盟高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年云南省昭通市教研联盟高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x||x−2|≥0}，B={x|1−x2≥0}，则A∩B=( )
A. {x|0≤x≤1}B. {x|x≥2或x≤1}
C. {x|−1≤x≤1}D. {x|−1≤x≤0}
2.−1640°的终边在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.函数f(x)=lgπ(2x+3x−1−1)的定义域为( )
A. {x|x>1或x<−4}B. {x|−4C. {x|x≠1}D. {x|x>−4且x≠1}
4.设a∈N*，则“a是合数”是“a>3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.不等式ax2+bx−3<0的解集是(−∞,1)∪(3,+∞)，则b−a的值是( )
A. −3B. 3C. −5D. 5
6.2021年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列人第五批国家级非遗代表性项目名录.如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为60cm，内弧长为21cm，则连接外弧与内弧的两端的线段长均为( )
A. 7cm
B. 8cm
C. 13cm
D. 15cm
7.已知函数f(x)=2x−1,x≥1,lga(x+1),−10且a≠1)的图象在(−1,+∞)上连续，则|f(x)|≤2的解集为( )
A. [1,lg23]B. [−34,lg23]C. [−34,lg32]D. [−34,1)
8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足f(xy)+1=f(x)+f(y)，且f(12)=0，则f(211)=( )
A. 1B. 11C. 12D. −1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>0，cA. −1a<−1bB. c2b+cD. ac2>bc2
10.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2x−5，则( )
A. f(0)=0B. 当x<0时，f(x)=2−x−5
C. f(−1)=−3D. f(x)≤3的解集为[−3,3]
11.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1A. x1f(x1)C. f(x2)−f(x1)x2−x1>0D. f(x1+x22)>f(x2)+f(x1)2
12.对于任意两个正数u，v(uA. L(110,15)=L(92,9)B. L(440,380)=80L(2,3)
C. 2L(u,v)>vu−uvD. L(uu,vu)>v−u
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“∃x∈(−1,1)，x2+2x≤1”的否定是______．
14.已知实数x，y>0，且y=1−1x，则x+12y的最小值是______．
15.艾宾浩斯遗忘曲线是1885年由艾宾浩斯(H.Ebbinghaus)提出的，其描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响.设初次记忆后经过了x小时，那么记忆率y近似的满足y=1−axb(a,b∈R).某学生学习一段课文，若在学习后不复习，1天后记忆率为0.36，6天后记忆率为0.19，则该学生在学习后不复习，4小时后记忆率约为______(保留两位小数)．
16.若集合{x|x>0,f(x)=f(−x)}中恰有k个元素，则称函数f(x)是“k阶准偶函数”.已知函数f(x)=−3x+2,x≤a2x2+3,x>a是“2阶准偶函数”，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算(827)−13+lg14+(π−1)0−lg25+tan3π4；
(2)已知x−2+x2=6，求x−3+x3的值．
18.(本小题12分)
(1)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(−3,−4)，求sin(α+3π2)+cs(π2+α)+tan(2π−α)的值；
(2)若tanα=2，求sin2α+sin(π2−α)+2sin(π−α)cs(3π2−α)+cs(−α)−2cs2α值.
19.(本小题12分)
已知一次函数f(x)满足f(f(x))=x+3．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)=xf(x)−12，求g(1)+g(2)+⋯+g(2023)+g(12023)+g(12022)+⋯+g(12)的值．
20.(本小题12分)
已知定义域为R的函数f(x)=a−2xb+2x是奇函数．
(1)求a，b的值．
(2)判断f(x)的单调性(不必证明)．
(3)若存在t∈[0,4]，使f(k+t2)+f(4t−2t2)<0成立，求k的取值范围．
21.(本小题12分)
《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展.为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路.某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量t(单位：kg)与肥料费用x(单位：元)满足如下关系：t(x)=15(x2+43),0≤x≤3,20−1445x,3(1)求f(x)的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(13)ax2−4x+2，其中a为常数．
(1)若f(x)在区间[2,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)已知a≤1，若函数y=lg3f(x)+lg2x8在x∈[1,2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x||x−2|≥0}=R，B={x|1−x2≥0}={x|−1≤x≤1}，
所以A∩B={x|−1≤x≤1}．
故选：C．
求出集合A，B，根据交集的定义计算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：−1640°=−5×360°+160°，
160°的终边在第二象限，
所以−1640°的终边在第二象限．
故选：B．
根据终边相同的角的定义，化简即可．
本题考查了终边相同的角的定义应用问题，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题知2x+3x−1−1>0，解得x>1或x<−4，
即函数f(x)的定义域为{x|x>1或x<−4}．
故选：A．
由题意得2x+3x−1−1>0，解不等式可得解．
本题考查函数的定义域，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为最小的合数是4，
但a>3时，a不一定是合数，
故a∈N*，则“a是合数”是“a>3”的充分不必要条件．
故选：A．
由已知结合合数的概念检验充分必要条件即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为不等式ax2+bx−3<0的解集是(−∞,1)∪(3,+∞)，
所以a<0，x=1和x=3是方程ax2+bx−3=0的根，
所以1+3=−ba1×3=−3a，即a=−1，b=4，
则b−a=4−(−1)=5．
故选：D．
由题意得，a<0，x=1和x=3是方程ax2+bx−3=0的根，然后结合方程的根与系数关系即可求解．
本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题知，内弧对应扇形的半径为r=213=7，
设连接外弧与内弧的两端的线段长均为a，则60a+7=3，所以a=13，
连接外弧与内弧的两端的线段长均为13cm．
故选：C．
由扇形的弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题知，f(1)=21−1=lga2，
解得a=2，
所以f(x)=2x−1,x≥1lg2(x+1),−1易知f(x)单调递增，
所以|f(x)|≤2，即−2≤f(x)≤2，
令−2≤2x−1≤2x≥1得1≤x≤lg23，
令−2≤lg2(x+1)≤2−1所以−34≤x≤lg23，
即|f(x)|≤2的解集为[−34,lg23]．
故选：B．
首先由分段函数的图象在(−1,+∞)上连续可得a=2，再分类讨论解不等式即可．
本题主要考查了分段函数的单调性，考查了对数不等式的解法，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：令x=y=1，则f(1)+1=2f(1)，解得f(1)=1；
令x=2,y=12，则f(1)+1=f(2)+f(12)，解得f(2)=2，
令x=y=2，则f(22)+1=2f(2)，解得f(22)=3，
令x=22，y=2，则f(23)+1=f(22)+f(2)，解得f(23)=4，
令x=23，y=2，则f(24)+1=f(23)+f(2)，解得f(24)=5，
……
观察可知，f(211)=12．
故选：C．
先求出f(1)，f(2)的值，进而可得f(22)，f(23)，f(24)的值，观察即可得解．
本题考查抽象函数及其运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：因为a>b>0，
所以1a<1b，
所以−1a>−1b，A错误；
由ccd，B错误；
由a>b，d>c可得a+d>b+c，C正确；
由c<0可知，c2>0，
故ac2>bc2，D正确．
故选：AB．
由已知结合不等式性质检验选项A，B，D，举出反例检验检验选项C．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：∵f(x)是R上的偶函数，
当 x≥0时，f(x)=2x−5，所以f(0)=1−5=−4，故A错误；
当x<0时，−x>0，f(−x)=2−x−5=f(x)，故B正确；
f(−1)=2−5=−3，故C正确；
当x≥0时，由f(x)=2x−5≤3，得0≤x≤3，
又函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)≤3的解集为[−3,3]，故D正确．
故选：BCD．
由x≥0时，f(x)=2x−5可得f(0)，则A可判断；当x<0时，−x>0，f(−x)=2−x−5，再结合奇偶性可得f(x)的解析式，则B可判断；结合B选项的解析即可求f(−1)，则C可判断；当x≥0时，由f(x)=2x−5≤3，得0≤x≤3，再由奇偶性可得f(x)≤3的解集，则D可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值，不等式求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1幂函数f(x)=x12的定义域为[0,+∞)，
对于A，x1f(x1)=x1⋅(x1)12=(x1)32，x2f(x2)=x2⋅(x2)12=(x2)32，
∵函数y=x32在[0,+∞)单调递增，0≤x1∴(x1)32<(x2)32，即x1f(x1)对于B，f(x1)x1=(x1)12x1=(x1)−12，f(x2)x2=(x2)12x2=(x2)−12，
∵函数y=x−12在(0,+∞)单调递减，x1，x2≠0，x1∴(x1)−12>(x2)−12，即f(x1)x1>f(x2)x2，故B错误；
对于C，∵幂函数f(x)=x12在[0,+∞)上单调递增，0≤x1∴x2−x1>0，f(x1)0，∴f(x2)−f(x1)x2−x1>0，故C正确；
对于D，f(x1+x22)= x1+x22，f(x2)+f(x1)2= x2+ x12，
由于( x2+ x12)2=x1+x2+2 x1x24则有f(x1+x22)>f(x2)+f(x1)2，故D正确．
故选：ACD．
利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D．
本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及不等式的性质，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】AB
【解析】解：由题意L(1,x)=−L(x,1)=lnx，所以L(x,1)=−lnx，
当u>1时，L(u,v)=L(1,v)−L(1,u)=lnv−lnu，
当v<1时，L(u,v)=L(u,1)−L(v,1)=L(1,v)−L(1,u)=lnv−lnu，
当u<1当v=1或u=1时，L(u,v)=lnv−lnu也成立，
综上所述，L(u,v)=lnv−lnu；
对于A：L(110,15)=ln15−ln110=ln2,L(92,9)=ln9−ln92=ln2，
所以L(110,15)=L(92,9)，故A正确；
对于B：L(440,380)=ln380−ln440=ln380−ln280=80(ln3−ln2)，
且L(2,3)=ln3−ln2，所以L(440,330)=80L(2,3)，故B正确；
对于C：如图，因为曲边梯形的面积总小于对应梯形的面积，
所以L(u,v)=lnv−lnu<12(v−u)(1v+1u)=v2−u22vu=12(vu−uv)，
即2L(u,v)对于D：取u=1，v=2，则L(uu,vu)=L(1,2)=ln2<2−1=1，故D错误．
故选：AB．
根据L(1,x)=lnx确定出L(x,1)的结果，然后分类讨论u>1、v<1、u<1本题考查函数新定义，对学生分析与总结问题的能力要求较高，所以难题．
13.【答案】∀x∈(−1,1)，x2+2x>1
【解析】解：命题“∃x∈(−1,1)，x2+2x≤1”的否定是：∀x∈(−1,1)，x2+2x>1．
故答案为：∀x∈(−1,1)，x2+2x>1．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
14.【答案】 2+32
【解析】解：因为实数x，y>0，且y=1−1x，即y+1x=1，
则x+12y=(x+12y)(y+1x)=xy+12xy+32≥2 xy⋅12xy+32= 2+32，
当且仅当xy=12xy，即x=1+ 22，y= 2−1时取等号．
故答案为： 2+32．
由已知利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】0.49
【解析】解：由题可 1−a⋅24b=0.361−a⋅24b⋅6b=0.19⇒a⋅24b=1−0.36=0.64a⋅24b⋅6b=1−0.19=0.81⇒6b=8164，
所以a⋅4b=a⋅24b6b=0.648164，
故4小时后的记忆率约为 1−a⋅4b=1−0.64×6481≈1−0.506=0.494≈0.49．
故答案为：0.49．
根据已知条件确定a，b满足的条件，再求目标函数的值．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
16.【答案】[0,12)
【解析】解：根据题意，函数f(x)=−3x+2,x≤a2x2+3,x>a是“2阶准偶函数”，
则集合{x|x>0,f(x)=f(−x)}中恰有2个元素，
当a<0时，函f(x)=−3x+2,x≤a2x2+3,x>a一段部分为y=2x2+3，x>a，
注意到函数y=2x2+3本身具有偶函数性质，
故集合{x|x>0,f(x)=f(−x)}中不止有两个元素；
当a>0时，根据“2阶准偶函数”的定义得f(x)的可能取值为2x2+3或−3x+2，
f(−x)为3x+2，3x+2=−3x+2，故x=0，方程无解，
当 2x2+3=3x+2，解得x=12或x=1，
故要使得集合{x|x>0,f(x)=f(−x)}中恰有2个元素，
则需要满足a<12，即0当a=0时，函数f(x)=−3x+2,x≤02x2+3,x>0，f(x)的取值为2x2+3，f(−x)为3x+2，
根据题意得：2x2+3=3x+2，
解得x=12或x=1，满足恰有两个元素，故a=0满足条件．
综上，实数a的取值范围是[0,12)．
故答案为：[0,12)．
根据题意分类讨论，a<0时，其中f(x)=2x2+3(x>a)有部分具有偶函数性质，不符合题意；a≥0时，根据分段函数的解析式通过方程f(x)=f(−x)(x>0)的解，确定a的范围．
本题属于新概念题，考查了函数的奇偶性及分类讨论思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=[(23)3]−13−lg4+1−lg25−1
=32−lg100+1−1
=32−2=−12；
(2)因为x−2+x2=6，
所以(x−1+x)2=x−2+x2+2=8，
所以x−1+x=±2 2，
所以x−3+x3=(x−1+x)(x−2+x2−1)=±2 2×5=±10 2．
【解析】(1)根据分数指数幂的运算、对数运算，特殊角的三角函数值求解出结果；
(2)先计算出x−1+x的值，然后通过立方和公式求解出结果．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意知sinα=−45,csα=−35,tanα=43，
∴sin(α+3π2)+cs(π2+α)+tan(2π−α)=−csα−sinα−tanα=35+45−43=115；
(2)原式=sin2α−2cs2αsin2α+cs2α+csα+2sinα−sinα+csα=tan2α−2tan2α+1+1+2tanα−tanα+1，
又tanα=2，
∴原式=4−24+1+1+4−2+1=25−5=−235．
【解析】(1)先根据三角函数定义求解出sinα，csα，tanα的值，然后利用诱导公式化简原式并求解出结果；
(2)先根据诱导公式化简原式，然后根据齐次式的运算结合tanα的值求解出结果．
本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式，同角基本关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设f(x)=ax+b(a≠0)．
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=x+3，
于是有a2=1ab+b=3，解得a=1b=32，∴f(x)=x+32．
(2)(1)知g(x)=xx+1，则g(1x)=1x1x+1=1x+1，g(x)+g(1x)=1．
∴g(2)+g(12)=g(3)+g(13)=⋯=g(2023)+g(12023)=1，g(1)=12，
∴g(1)+g(2)+⋯+g(2023)+g(12023)+⋯+g(12)=12+2022×1=40452．
【解析】(1)设f(x)=ax+b(a≠0)，利用比较系数方法即可；(2)g(x)+g(1x)=1，由此即可求值．
本题考查函数的性质，函数解析式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0，即a−1b+1=0，所以a=1，又因为f(−x)=−f(x)，
所以a−12xb+12x=−a−2xb+2x，将a=1代入，整理得2x−1b⋅2x+1=2x−1b+2x，
当x≠0时，有b⋅2x+1=b+2x，即(b−1)⋅(2x−1)=0，
又因为当x≠0时，有2x−1≠0，所以b−1=0，所以b=1．
经检验符合题意，所以a=1，b=1．
(2)由(1)知：函数f(x)=1−2x1+2x=(−1+2x)+21+2x=−1+21+2x，
函数f(x)在R上是减函数．
(3)因为存在t∈[0,4]，使f(k+t2)+f(4t−2t2)<0成立，
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以不等式可转化为f(k+t2)所以k+t2>2t2−4t，所以k>t2−4t，令g(t)=t2−4t=(t−2)2−4，
由题意可知：问题等价转化为k>g(t)min，又因为g(t)min=g(2)=−4，
所以k>−4，即k的取值范围为(−4,+∞)．
【解析】(1)首先由f(x)是奇函数可知f(0)=0，得出a=1，后面再根据当x≠0时，有恒等式(b−1)⋅(2x−1)=0成立即可求出b=1．
(2)将f(x)表达式变形为f(x)=1−2x1+2x=(−1+2x)+21+2x=−1+21+2x，根据复合函数单调性即可判断．
(3)结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为k>t2−4t，由题意问题等价于k>g(t)min，由此即可得解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的综合应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得，f(x)=5t(x)−x−3x=(x2+43)−4x,0≤x≤3100−144x−4x,3所以函数f(x)的函数关系式为f(x)=x2−4x+43,0≤x≤3100−4(36x+x),3(2)当0≤x≤3时，f(x)=x2−4x+43在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，
又f(0)=43，f(3)=40，所以f(x)max=43，
当3当且仅当36x=x，即x=6时等号成立，此时f(x)max=52，
综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元．
【解析】(1)根据利润=毛收入−成本可得结果；
(2)分段求出最大值，在两者中的更大的为最大值．
本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了二次函数的性质、基本不等式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)令y=(13)u,u=ax2−4x+2，因为y=(13)u为定义域内的单调递减函数，
若满足f(x)在区间[2,+∞)上单调递减，则u=ax2−4x+2在[2,+∞)上单调递增即可，
当a=0时，u=−4x+2在[2,+∞)上单调递减，不符合题意；
当a<0时，u=ax2−4x+2为开口向下的二次函数，所以不可能在[2,+∞)上单调递增；
当a>0时，只需满足42a≤2，解得a≥1，
综上所述，实数a的取值范围为[1,+∞)；
(2)因为y=lg3f(x)+lg2x8=−ax2+4x−2+lg2x−3在x∈[1,2]上有且仅有一个零点，
所以y=−ax2+4x−5+lg2x在x∈[1,2]上有且仅有一个零点，
记g(x)=−ax2+4x−5+lg2x，
当a=0时，g(x)=4x−5+lg2x，且y=4x−5，y=lg2x均在x∈[1,2]上单调递增，
所以g(x)=4x−5+lg2x在x∈[1,2]上单调递增，
所以g(1)=−1，g(2)=4，所以g(1)⋅g(2)<0，
所以g(x)在x∈[1,2]上有唯一零点，符合条件；
当0y=−ax2+4x−5的对称轴为x=2a≥2，所以y=−ax2+4x−5在x∈[1,2]上单调递增，
所以g(x)=−ax2+4x−5+lg2x在x∈[1,2]上单调递增，
若满足题意只需g(1)⋅g(2)≤0，所以(−a−1)(4−4a)≤0，解得0当a<0时，g(x)=−ax2+4x−5+lg2x，
y=−ax2+4x−5的对称轴为x=2a<0，所以y=−ax2+4x−5在x∈[1,2]上单调递增，
所以g(x)=−ax2+4x−5+lg2x在x∈[1,2]上单调递增，
若满足题意只需g(1)⋅g(2)≤0，所以(−a−1)(4−4a)≤0，解得−1≤a<0；
综上所述，a的取值范围是[−1,1]．
【解析】(1)根据复合函数单调性的判断方法确定出u=ax2−4x+2的单调性，由此列出不等式求解出结果；
(2)先化简函数得到g(x)=−ax2+4x−5+lg2x，然后根据a的范围进行分类讨论，结合函数的单调性以及零点的存在性定理求解出a的取值范围．
本题主要考查了复合函数单调性的应用，还考查了由函数的零点个数求解参数范围，属于中档题．

2023-2024学年云南省昭通市教研联盟高一（上）期末数学试卷（含解析）

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