2023-2024学年四川省成都市石室中学高一（下）入学数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市石室中学高一（下）入学数学试卷（理科）（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U=R，能表示集合A={x∈N|x2−3x⩽0}与B={1,2}关系的Venn图是( )
A. B.
C. D.
2.已知向量a=(−1,2)，b=(3,2)，则a+b在a−b方向上投影为( )
A. 4B. −2C. 2D. −4
3.5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如表所示：
若y与x线性相关，且线性回归方程为y =0.24x+a ，则下列说法不正确的是( )
A. 由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数r<1
B. 线性回归方程y =0.24x+a 中a =0.26
C. 残差e i(i=1,2,3,4,5)的最大值与最小值之和为0
D. 可以预测x=6时该商场5G手机销量约为1.72(千只)
4.方程x2m+3+y2m−1=1表示双曲线的必要不充分条件可以是( )
A. m∈(−3,1)B. m∈(−3,−1)∪(−1,1)
C. m∈(−3,+∞)D. m∈(−3,−1)
5.执行如图所示的程序框图，若依次输入m=ln22，n=ln33，p=ln55，则输出的结果为( )
A. ln22
B. ln33
C. ln55
D. 以上都不对
6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积S△ABC= 3，S△ABC= 34(a2+c2−b2)，则AB⋅BC=( )
A. 3B. − 3C. 2D. −2
7.设等差数列的前n项和为Sn，已知S6=36，Sn−6=144，Sn=324，则n的值为( )
A. 15B. 16C. 17D. 18
8.如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为( )
A. 1
B. 2
C. 2 55
D. 4 55
9.抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AF⊥BF，P为线段AB的中点，设P在l上的射影为Q，则|PQ||AB|的最大值是( )
A. 23B. 33C. 22D. 32
10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段CD1上有两个动点E，F，且EF=12，点P，Q分别为A1B1，BB1的中点，G在侧面CDD1C1上运动，且满足B1G//平面CD1PQ，以下命题错误的是( )
A. AB1⊥EF
B. 多面体AEFB1的体积为定值
C. 侧面CDD1C1上存在点G，使得B1G⊥CD1
D. 直线B1G与直线BC所成的角可能为π6
11.已知直线l1：x+y−4=0与圆心为M(0,1)且半径为3的圆相交于A，B两点，直线l2：2mx+2y−3m−5=0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD的面积的最大值是( )
A. 9 3B. 9 2C. 6 2D. 9( 2+1)
12.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：
①f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；
②f(x)的最小正周期可能是π2；
③ω的取值范围是(134,174]；
④f(x)在区间(π23,π19)上单调递增．
其中正确结论的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若(2−i)⋅z=3i，则z的共轭复数为______．
14.在x(x+1)(x−1)3的展开式中，含x2的项的系数是______.(用数字作答)
15.已知△ABC为等腰三角形，其中AB=AC，点D为边AC上一点，csB=13.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为______．
16.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)与g(x)=x2的图像在实数集R上有且只有3个交点，则实数a的取值范围为______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知数列{an}的首项为a1=1，且满足nan+1=(n+1)an，数列{bn}满足bn=13n−1．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{2anbn}的前n项和为Tn，求Tn．
18.(本小题12分)
某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工A隶属于甲部门.现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为12，且每个人血检是否呈阳性相互独立．
(1)现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工A被抽到的概率；
(2)将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验.记X为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求X的分布列和期望．
19.(本小题12分)
如图，已知梯形CDEF与△ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB/​/CD/​/EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．
(Ⅰ)若G为AD边上一点，DG=13DA，求证：EG/​/平面BCF；
(Ⅱ)求二面角E−BF−C的余弦值．
20.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A、B两点，与直线x=−2相交于点M．
(1)若M(−2,−1)，求证：|MA|⋅|BF|=|MB|⋅|AF|；
(2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C、D两点，与直线x=−2相交于点N.求1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−ax+1，g(x)=lnx+a(a∈R)．
(1)若a=1，f(x)>g(x)在区间(0,t)上恒成立，求实数t的取值范围；
(2)若函数f(x)和g(x)有公切线，求实数a的取值范围．
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2(1−t2)1+t2y=2 3t1+t2(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程 3ρcsθ−ρsinθ− 3=0．
(Ⅰ)求C和l的直角坐标方程；
(Ⅱ)θ∈[0,2π)，直线l与C交于M，N两点，其中N点在第一象限，求M点的极坐标及N点的极径．
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|2x+3|+|2x−2|，g(x)=sin2x．
(1)求函数f(x)+g(x)的最小值；
(2)设a，b∈(−1,1)，求证：|2a+1|−|1−2b|<|2ab+2|．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：全集U=R，集合A={x∈N|x2−3x⩽0}={x∈N|0⩽x⩽3}={0,1,2,3}，B={1,2}，
所以B⫋A，所以能表示集合A、B关系的Venn图是选项B．
故选：B．
解不等式得出集合A，由此判断集合A、B关系即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：a=(−1,2)，b=(3,2)，
则a+b=(2,4)，a−b=(−4,0)，
故a+b在a−b方向上的投影向量为：(a−b)⋅(a+b)|a−b|=a2−b2|a−b|=−84=−2．
故选：B．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：从数据看y随x的增加而增加，故变量y与x正相关，由于各增量并不相等，故相关系数r<1，故A正确；
由已知数据易得x−=3,y−=1，代入y =0.24x+a 中得到a =1−3×0.24=1−0.72=0.28，故B错误；
y =0.24x+0.28，y 1=0.24+0.28=0.52，y 2=0.24×2+0.28=0.76，
y 3=0.24×3+0.28=1.00，y 4=0.24×4+0.28=1.24，y 5=0.24×5+0.28=1.48，
e 1=0.5−0.52=−0.02，e 2=0.8−0.76=0.04，e 3=1−1=0，e 4=1.2−1.24=−0.04，e 5=1.5−1.48=0.02，
残差e i(i=1,2,3,4,5)的最大值e 2=0.04与最小值e 4=−0.04之和为0，故C正确；
x=6时该商场5G手机销量约为y =0.24×6+0.28=1.72，故D正确．
故选：B．
根据已知数据，分析总体单调性，并注意到增量不相等，不是严格在一条直线上，从而判定A；求得样本中心点坐标，代入已给出的回归方程，求解，从而判定B；根据残差定义求得各个残差，进而得到残差的最大值与最小值，从而判定C；利用回归方程预测计算即可判定D．
本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：如果方程x2m+3+y2m−1=1表示双曲线，
则(m+3)(m−1)<0，解得：−3则：方程x2m+3+y2m−1=1表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含{m|−3只有选项C满足题意．
故选：C．
利用双曲线方程，求解m的范围，然后判断充要条件，推出选项．
本题考查双曲线的简单性质的应用，充要条件的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，
25>52⇔ln25>ln52⇔5ln2>2ln5⇔ln22>ln55，
32>23⇔ln32>ln23⇔2ln3>3ln2⇔ln33>ln22，
∴p即输出的结果为ln55．
故选：C．
根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，再结合对数的运算性质比较出m，n，p的大小关系即可．
本题主要考查了程序框图的应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC的面积S△ABC= 3=12acsinB，
∴acsinB=2 3，
S△ABC= 34(a2+c2−b2)，
则 34(a2+c2−b2)=12acsinB，
∴tanB=sinBcsB= 3，
∵B∈(0,π)，
∴B=π3，sinB= 32，
∴ac=4
∴AB⋅BC=accs(π−B)=−2．
故选：D．
根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为等差数列中，S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=36，Sn−6=144，Sn=324，
则Sn−Sn−6=an+an−1+an−2+an−3+an−4+an−5=180，
两式相加得，6(a1+an)=216，即a1+an=36，
因为Sn=n(a1+an)2=18n=324，
所以n=18．
故选：D．
由已知可求出a1+a2+a3+a4+a5+a6，an+an−1+an−2+an−3+an−4+an−5，然后结合等差数列的性质可求a1+an，再由等差数列的求和公式可求．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意几何体是四棱锥P−ABCD，过P作PE⊥AD于E，
在正方体中有CD⊥平面PAD，所以CD⊥PE，
又因为AD∩CD=D，所以PE⊥平面ABCD，
所以四棱锥的高为PE，
由三视图可知 5，PE× 5=2×2，解得PE=4 55．
所以该四棱锥的高为：4 55．
故选：D．
画出几何体的直观图，利用三视图的数据转化求解即可．
本题考查三视图求解几何体的高，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．
9.【答案】C
【解析】解：设|AF|=a，|BF|=b，A，B在l上的射影分别为M，N，则|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，
故|PQ|=|AM|+|BN|2=a+b2．
又AF⊥BF，所以|AB|= |AF|2+|BF|2= a2+b2，
因为a2+b2=(a+b)2−2ab≥(a+b)2−(a+b)22=(a+b)22，
所以 a2+b2≥ 2(a+b)2，
当且仅当a=b时等号成立，
故|PQ||AB|=a+b2 a2+b2≤a+b2× 2(a+b)2= 22．
故选：C．
设|AF|=a，|BF|=b，A，B在l上的射影分别为M，N，则|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，求出|PQ|，求出|AB|，然后得到比例关系，利用基本不等式转化求解最值即可．
本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】解：对于A，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB1⊥A1B，A1B/​/CD1，E、F是线段CD1上有两个动点，∴AB1⊥EF，故A正确；
对于B，∵EF=12，B1到EF的距离为定值，∴S△B1EF是定值，
∵点A到平面B1EF的距离为定值，∴多面体AEFB1的体积为定值，故B正确；
对于C，∵B1C=B1D1，∴当G为CD1中点时，B1G⊥CD1，故C正确；
对于D，取C1D1中点M，CC1中点N，当G与M或N重合时，
直线B1G与直线BC所成的角∠MB1C1最大，
tan∠MB1C1=12< 33=tanπ6，故D错误．
故选：D．
利用线线垂直的定义判断AC；利用多面体的体积判断B；利用异面直线所成角判断D．
本题以命题的真假判断为载体，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
11.【答案】B
【解析】解：根据题意，圆M的圆心为M(0,1)且半径为3，
所以圆M的方程为x2+(y−1)2=9，即x2+y2−2y−8=0，
直线l1：x+y−4=0与圆M相交于A，B两点，
则有x2+y2−2y−8=0x+y−4=0，解得x=3y=1或x=0y=4，所以A、B的坐标为(3,1)，(0,4)，
则|AB|= 9+9=3 2，且AB的中点为(32,52)，
直线l2：2mx+2y−3m−5=0，变形可得m(2x−3)+2y−5=0，直线l2恒过定点N(32,52)，
当CD与AB垂直时，四边形ACBD的面积最大，
此时CD的方程为y−52=x−32，变形可得y=x+1，经过点M(0,1)，
所以|CD|=2r=6，
故S四边形ACBD的最大值=S△ACB+S△ADB=12×6×3 2=9 2，
故S四边形ACBD⩽9 2，
所以四边形ACBD的面积的最大值为9 2．
故选：B．
由已知可得圆M的方程，求得交点A，B坐标，进而可得|AB|与中点坐标，求得直线l2恒过定点N，当CD与AB垂直时，四边形ACBD的面积最大，可求得四边形ACBD的面积的最大值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】B
【解析】解：根据题意，函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)，
令ωx+π4=π2+kπ，k∈Z，解可得x=π+4kπ4ω，k∈Z，
因为f(x)在区间[0,π]上有且仅有4个极值点，即不等式0≤π+4kπ4ω≤π有且仅有4个整数解符合题意，
解得0≤1+4k4ω≤1，即0≤1+4k≤4ω，可得k=0，1，2，3，
即1+4×3≤4ω<1+4×4，解得ω∈[134,174)，即③错误；
对于①，当x∈(0,π)时，ωx+π4∈(π4,ωπ+π4)，即可得ωπ+π4∈[7π2,9π2),
显然当ωπ+π4∈(π4,7π2]时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；
当ωπ+π4∈(π4,9π2)时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有4个不同的零点；即①错误；
对于②，f(x)的最小正周期为T=2πω∈(8π17,8π13]，易知π2∈(8π17,8π13],
所以f(x)的最小正周期可能是π2，即②正确；
对于④，当x∈(π23,π19)时，ωx+π4∈(ωπ23+π4,ωπ19+π4)；
由ω∈[134,174)可知(ωπ23+π4,ωπ19+π4)∈(9π23,9π19)，
由三角函数图象性质可知f(x)在区间(π23,π19)上单调递增，即④正确；
即可得②④正确．
故选：B．
根据题意，令ωx+π4=π2+kπ，k∈Z，则x=π+4kπ4ω，k∈Z，结合条件可得0≤π+4kπ4ω≤π有4个整数k符合题意，可求出ω的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论．
本题考查三角函数的图象、性质以及应用，注意求解三角函数中ω的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，属于基础题．
13.【答案】−35−65i
【解析】解：依题意，z=3i2−i=3i(2+i)(2−i)(2+i)=−35+65i.
所以z的共轭复数为−35−65i.
故答案为：−35−65i.
化简复数z，可得z的共轭复数．
本题考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：因为(x−1)3展开式的通项为Tr+1=C3r⋅x3−r⋅(−1)r，所以令r=3，则其常数项为T4=−1；
令r=2，则其含x的项为T3=C32⋅x=3x，
又因为x(x+1)(x−1)3=(x2+x)(x−1)3，
所以原展开式中含x2的项的系数为：1×(−1)+1×3=2．
故答案为：2．
首先得出(x−1)3展开式的通项为Tr+1=C3r⋅x3−r⋅(−1)r，然后分别令r=3和r=2得出其展开式的常数项和含x的项，分两类情形即可得出所求的答案．
本题考查二项式定理的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
15.【答案】 33
【解析】解：如图，设|AD|=x，则|AB|=2a−x=|AC|，
∴|CD|=2a−2x，∴|CB|=2x，
∴cs∠ABC=12|BC||AB|=x2a−x=13，∴x=a2，
∴|AB|=2a−x=3a2，|AD|=x=a2，
∴|CD|=2a−2x=a，∴|CB|=2x=a，
∴C为椭圆的短轴上的顶点，
∴cs∠BCA=∠ABC=13，
∴a2+a2−4c22a2=13，
∴a2=3c2，∴a= 3c，
∴椭圆E的离心率的值为ca= 33．
故答案为： 33．
画出图形，根据椭圆的几何性质，余弦定理，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，余弦定理的应用，属中档题．
16.【答案】(e−2e,1)∪(1,e2e)
【解析】解：依题意，ax=x2仅有3个解，
x=0显然不是该方程的解，则lnax=lnx2，即lna=lnx2x仅有3个解，
设h(x)=lnx2x,(x≠0)，定义域关于原点对称，且满足h(−x)=lnx2−x=−h(x)．
即h(x)为奇函数，
考虑x>0时的情况，h(x)=2lnxx，h′(x)=2(1−lnx)x2，
当x>e时，h′(x)<0，即h(x)在(e,+∞)上单调递减，
当00，即h(x)在(0,e)上单调递增，
则函数极大值为h(e)=2e，且当x>1时，h(x)>0；当0作出函数h(x)的大致图像如图所示：
由于lna=lnx2x仅有3个解，
故y=lna与函数h(x)=lnx2x的图像仅有3个交点，
结合图像可得−2e解得e−2e故答案为：(e−2e,1)∪(1,e2e)．
问题等价于ax=x2仅有3个解，进一步可等价于lna=lnx2x仅有3个解，设h(x)=lnx2x,(x≠0)，利用导数研究函数h(x)的性质，作出其图像，利用图像即可得解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵nan+1=(n+1)an，
∴an+1n+1=ann=an−1n−1=，
∴an=n(n∈N*)；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得2anbn=2n×(3n−1)，
∴Tn=2×21+5×22+8×23+⋯+(3n−4)×2n−1+(3n−1)×2n①，
∴2Tn=2×22+5×23+8×24+⋯+(3n−4)×2n+(3n−1)×2n+1②，
∴①−②得，−Tn=4+3×(22+23+24+⋯+2n)−(3n−1)×2n+1=4+3×22×(1−2n−1)1−2−(3n−1)×2n+1=−8−(3n−4)×2n+1，
∴Tn=8+(3n−4)⋅2n+1．
【解析】(Ⅰ)由数列的递推式推得{ann}为常数列，可得所求通项公式；
(Ⅱ)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为6：9：12=2：3：4，
所以分层抽样抽取的9人中，甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为2人，3人，4人，
记事件M为“员工A被抽到”，则P(A)=26=13．
(2)甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，
记“每组血样化验结果呈阴性”为事件B，则P(B)=(1−12)3=18，
所以X的所有可能取值为2，5，8，
P(X=2)=(P(B))2=164，
P(X=5)=C21P(B−)⋅P(B)=2×(1−18)×18=1464=732，
P(X=8)=C22(P(B−))2=(1−18)2=4964，
所以X的分布列如下，
所以数学期望E(X)=2×164+5×732+8×4964=294．
【解析】(1)根据分层抽样的特点，可得抽取的9人中，甲、乙、丙三个部门的员工人数；再由古典概型，得解；
(2)记“每组血样化验结果呈阴性”为事件B，则P(B)=18，而X的所有可能取值为2，5，8，再由独立事件的概率公式，求得每个X的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解．
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，分层抽样，独立事件和对立事件的概率，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
19.【答案】(Ⅰ)证明：如图，作GM/​/CD，交BC于点M，连接MF，作BH//AD，交GM于点N，交DC于点H．
∵AB/​/CD，
∴GM//AB．
∴GN=DH=AB=3，HC=9，
∵AB/​/GM//DC，
∴NMHC=BMBC=AGAD=23．
∴NM=6．
∴GM=GN+NM=9．
∵EF/​/CD，GM/​/CD，
∴GM//EF，
∴GM= //EF．
∴四边形GMFE为平行四边形．
∴EG//MF．
又MF⊂平面BCF，⧸EG⊄平面BCF，
∴EG//平面BCF．
(Ⅱ)解：∵平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF=DE，AD⊥DE，AD⊂平面ADE，
∴AD⊥平面CDEF．
以D为坐标原点，DC，DE，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz．
则E(0,4,0)，F(9,4,0)，C(12,0,0)，B(3,0,4 3).
∴EF=(9,0,0)，EB=(3,−4,4 3).
设平面EBF的法向量为n1=(x1,y1,z1).
由n1⋅EF=0,n1⋅EB=0,得9x1=0,3x1−4y1+4 3z1=0,
取y1= 3，得n1=(0, 3,1)．
FC=(3,−4,0)，FB=(−6,−4,4 3).
设平面BCF的法向量为n2=(x2,y2,z2).
由n2⋅FC=0,n2⋅FB=0,得3x2−4y2=0,−6x2−4y2+4 3z2=0,
取x2=4，得n2=(4,3,3 3).
∴csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=0×4+ 3×3+1×3 32× 16+9+27=6 32×2 13=3 3926．
∵二面角E−BF−C为钝二面角，
∴二面角E−BF−C的余弦值为−3 3926．
【解析】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
(Ⅰ)作GM/​/CD，交BC于点M，连接MF，作BH//AD，交GM于点N，交DC于点H，证得EG//MF，利用线面平行的判定定理可得结果；
(Ⅱ)求出平面BEF的法向量和平面BFC的法向量，利用向量法能求出二面角E−BF−C的余弦值．
20.【答案】解：(1)证明：设F1(−c,0)、F2(c,0)，因为椭圆E的焦距为2，所以2c=2，解得c=1．
又因为椭圆E的离心率e=ca= 22，所以a= 2，所以b2=a2−c2=2−1=1，
所以椭圆E的方程为x22+y2=1．
因为直线l经过M(−2,−1)、F(−1,0)，kMF=−1−0−2−(−1)=1，
所以，直线l的方程为y=x+1，
设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，联立y=x+1lx2+2y2=2l可得3x2+4x=0，
由3x2+4x=0，得x1=−43，x2=0．
所以|MA|⋅|BF|= 2|x1+2|⋅ 2|x2+1|=2×23×1=43，|MB|⋅|AF|= 2|x2+2|⋅ 2|x1+1|=2×2×13=43，
因此，|MA|⋅|BF|=|MB|⋅|AF|．
(2)若直线l、m中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线x=−2平行，不合乎题意，
所以，直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为y=k(x+1)，
则直线m方程为y=−1k(x+1)，其中k≠0．
联立y=k(x+1)x2+2y2=2，可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2−2=0，
设A1(x1,y1)、B(x2,y2)，则Δ=16k4−8(2k2+1)(k2−1)=8(k2+1)>0，
由韦达定理可得x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，
易知x1>−2且x2>−2，将x=−2代入直线l的方程可得y=−k，即点M(−2,−k)，
所以1|MA|+1|MB|= 1 1+k2|x1+2|+ 1 1+k2|x2+2|= 1 1+k2(1x1+2+1x2+2)= 1 1+k2⋅x1+x2+4x1x2+2(x1+x2)+4
= 1 1+k2⋅−4k21+2k2+42k2−21+2k2+−8k21+2k2+4= 1 1+k2⋅4k2+42k2+2= 2 1+k2，
同理可得1|NC|+1|ND|= 2 1+(−1k)2= 2|k| 1+k2，
所以1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|= 2(1+|k|) 1+k2=2 k2+1+2|k|k2+1 =2 1+2|k|+1|k|≤2 1+22 |k|⋅1|k|=2 2，
当且仅当k=±1时，等号成立，
因此，1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值为2 2．
【解析】(1)根据已知条件求出直线l的方程，将直线l的方程与椭圆E的方程联立，求出点A、B的横坐标，再利用弦长公式可证得|MA|⋅|BF|=|MB|⋅|AF|成立；
(2)分析可知直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为y=k(x+1)，则直线m方程为y=−1k(x+1)，其中k≠0，将直线l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出1|MA|+1|MB|的表达式，同理可得出1|NC|+ 1|ND|的表达式，利用基本不等式可求得1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值．
本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意，当a=1时，设h(x)=f(x)−g(x)，
则h(x)=x2−x+1−lnx−1=x2−x−1lnx(x>0)，h′(x)=2x−1−1x=2x2−x−1x=(2x+1)(x−1)x，
令h′(x)=0，得x=1(舍负)h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴h(x)min=h(1)=0．
根据题意t的取值范围为(0,1]．
(2)设函数f(x)在点(x1,f(x1))处与函数g(x)在点(x2,g(x2))处有相同的切线，
则f′(x1)=g′(x2)=f(x1)−g(x2)x1−x2，∴2x1−a=1x2=x12−ax1+1−lnx2−ax1−x2，
∴x1=12x2+a2，代入x1−x2x2=x12−ax1+1−lnx2−a，
得14x22+a2x2+lnx2+a24+a−2=0.∴问题转化为：关于x的方程14x2+a2x+lnx+a24+a−2=0有解，
设F(x)=14x2+a2x+lnx+a24+a−2(x>0)，则函数F(x)有零点，
∵F(x)=14(1x+a)2+lnx+a−2，当x=e2−a时，lnx+a−2=0，∴F(e2−a)>0，
∴问题转化为：F(x)的最小值小于或等于0．F′(x)=−12x3−a2x2+1x=2x2−ax−12x3，
设2x02−ax0−1=0(x0>0)，
则当0x0时，F′(x)>0，
∴F(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
∴F(x)的最小值为F(x0)=14x02+a2x0+lnx0+a24+a−2，
由2x02−ax0−1=0知a=2x0−1x0，
故F(x0)=x02+2x0−1x0+lnx0−2，
设φ(x)=x2+2x−1x+lnx−2(x>0)，
则φ′(x)=2x+2+1x2+1x>0，
故φ(x)在(0,+∞)上单调递增，
∵φ(1)=0，∴当x∈(0,1]时，φ(x)≤0，∴F(x)的最小值F(x0)≤0等价于0≤x0≤1．
又∵函数y=2x−1x在(0,1]上单调递增，∴a=2x0−1x0∈(−∞,1]．
【解析】(1)设h(x)=f(x)−g(x)，用导数法解h(x)min>0即可；
(2)设函数f(x)在点(x1,f(x1))处与函数g(x)在点(x2,g(x2))处有相同的切线，由f′(x1)=g′(x2)=f(x1)−g(x2)x1−x2，可得2x1−a=1x2=x12−ax1+1−lnx2−ax1−x2，化简得到14x22+a2x2+lnx2+a24+a−2=0，然后将问题转化为关于x的方程14x2+a2x+lnx+a24+a−2=0有解求解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数求曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．
22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C的参数方程为x=2(1−t2)1+t2y=2 3t1+t2(t为参数)，
则x=−2+41+t2，即x+2=41+t2①，
故t=2 3⋅yx+2②，
联立①②，解得x24+y23=1(x≠−2)；
直线l的极坐标方程 3ρcsθ−ρsinθ− 3=0．
x=ρcsθ，y=ρsinθ，
则 3x−y− 3=0，
故直线l的直角坐标方程为 3x−y− 3=0；
(Ⅱ)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x24+y23=1 3x−y− 3=0，解得x1=0y1=− 3或x2=85y2=3 35，
N点在第一象限，
则M点的坐标为(0,− 3)，N点的坐标为(85,3 35)，
故点M的极坐标为( 3,3π2)，
N点的极径为 (85)2+(3 35)2= 915．
【解析】(Ⅰ)根据已知条件，消去参数t，即可求出曲线C的直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可求解；
(Ⅱ)联立两个直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可求解．
本题主要考查参数方程的应用，以及极坐标公式，属于中档题．
23.【答案】解：(1)由题设f(x)=−4x−1,x≤−325,−321，
而g(x)=sih2x在(−∞,−32]，(−32,1]，(1,+∞)上均能取到最小值−1，
∵f(x)在(−∞,−32]上递减，在(−32,1]上为常数，在(1,+∞)上递增，
所以f(x)+g(x)的最小值在(−32,1]上取得，即x=−π4时，最小值为4；
(2)由|2a+1|−|1−2b|≤|2a+1−1+2b|=2|a+b|，仅当(2a+1)(1−2b)≥0取等号，
要证|2a+1|−|1−2b|<|2ab+2|，即证|a+b|<|ab+1|，即(a+b)²<(ab+1)²，
需证(ab)²−a²−b²+1=(a²−1)(b²−1)>0，而a，b∈(−1,1)，即a²，b²∈[0,1)，
所以(a²−1)(b²−1)>0恒成立，故|2a+1|−|1−2b|<|2ab+2|得证．
【解析】(1)写出f(x)分段函数形式，分析f(x)、g(x)的性质及最值，即可确定最小值；
(2)利用分析法，将问题化为证明|a+b|<|ab+1|，进一步转化为证(a²−1)(b²−1)>0即可．
本题考查函数和不等式的综合应用，熟练掌握函数最值的求法、不等式的证明方法及反证法的应用是解题关键．时间x
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