备战2024高考数学艺体生一轮复习40天突破90分讲义专题39 等差数列、等比数列基本量 （原卷版+解析版）

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一、基本概念
1、数列
(1)定义.
按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.
(2)数列与函数的关系.
从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决.
2、等差数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即.
(2)等差数列的通项公式.
若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)().
(3)等差中项.
若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.
(4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上.
3、等比数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即.
(2)等比数列的通项公式.
等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数.
(3).
(4)等比中项
如果成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个).
(5)等比数列的前项和
二、基本性质
1、等差数列的性质
(1)等差中项的推广.
当时,则有,特别地,当时,则有.
(2)等差数列线性组合.
①设是等差数列,则也是等差数列.
②设是等差数列,则也是等差数列.
(3)等差数列的单调性及前项和的最值.
公差为递增等差数列,有最小值;
公差为递减等差数列,有最大值;
公差为常数列.
特别地
若,则有最大值(所有正项或非负项之和);
若,则有最小值(所有负项或非正项之和).
(4)其他衍生等差数列.
若已知等差数列,公差为,前项和为,则为等差数列,公差为.
2、等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若时,则,特别地,当时,.
(2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列.
②设与为等比数列,则也为等比数列.
(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定).
当或时,为递增数列;
当或时,为递减数列.
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列,公比为,前项和为,则为等比数列,公比为(当时,不为偶数).
3、等差数列与等比数列的转化
(1)若为正项等比数列,则为等差数列.
(2)若为等差数列,则为等比数列.
(3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.
【典型例题】
例1．（2023·内蒙古包头·一模）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．2B．C．4D．
例2．（2023·四川巴中·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．33B．66C．22D．44
例3．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（ ）
A．7里B．8里C．9里D．10里
例5．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列的通项公式为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·青海西宁·统考一模）已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．5C．D．
例7．（2023·福建漳州·统考三模）已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．或B．4C．D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，则Sn＝________.
例11．（2023·广东湛江·统考一模）已知为等差数列的前项和，若，则______．
例12．（2023·陕西商洛·统考一模）公比的等比数列满足，，则__________．
例13．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．
例14．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）记为等比数列的前项和，若则______．
例15．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列是等比数列，且，则__________．
例16．（2023·全国·高三专题练习）求数列的通项公式为；设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.
例17．（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.求和的通项公式.
例18．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，
(1)求的通项公式；
(2)记，若数列的前项和.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考阶段练习）1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年､1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（ ）
A．2042B．2062C．2082D．2092
2．（2023·河北邯郸·统考一模）在等差数列中，“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知等差数列满足，，则的公差为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（ ）
A．58.5尺B．59.5尺C．60尺D．60.5尺
5．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在等差数列中，若，，则（ ）
A．16B．18C．20D．22
6．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知是各项不相等的等差数列，若，且成等比数列，则数列的前6项和（ ）
A．84B．144C．288D．110
7．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）在递增等比数列中，，且是和的等差中项，则（ ）
A．256B．512C．1024D．2048
8．（2023·河北石家庄·统考一模）已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江西赣州·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和，若，则（ ）
A．150B．160C．170D．与和公差有关
11．（2023·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走的路程是（ ）
A．224里B．214里C．112里D．107里
12．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．5C．D．
14．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知是等比数列的前n项和，若，且，则（ ）
A．96B．C．72D．
15．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（ ）
A．81B．63C．41D．32
16．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知等比数列的前三项和84，，则（ ）
A．3B．6C．12D．24
17．（2023·河南·校联考模拟预测）记公差不为0的等差数列的前项和为.若成等比数列，，则（ ）
A．17B．19C．21D．23
18．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
19．（2023·全国·模拟预测）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ）
A．B．当时，
C．D．
20．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）等比数列的公比为，前项和为，且，以下结论正确的是（ ）
A．是等比数列
B．数列，，成等比数列
C．若，则是递增数列
D．若，则是递增数列
21．（2023·全国·高三专题练习）若数列是等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
22．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
23．（2023·全国·高三专题练习）记是数列的前n项和，且，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列B．数列是递减数列
C．D．当 时，取得最大值
24．（2023·全国·高三专题练习）公差为d的等差数列满足，，则下面结论正确的有（ ）
A．d＝2B．
C．D．的前n项和为
三、填空题
25．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，则________．
26．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）在数列中，，，则______．
27．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S3=4，S6=12，则S9=______.
28．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）记等差数列的前n项和为，已知，，则的通项公式为______.
29．（2023春·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）设等比数列的公比，前项和为，则______.
30．（2023春·北京海淀·高三101中学校考开学考试）已知数列为等差数列．为等比数列，且成等差数列．则___________．
31．（2023春·江西·高三校联考开学考试）已知正项等比数列的前项积为，若是中唯一的最小项，则满足条件的的通项公式可以是_________（写出一个即可）.
32．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）记为等比数列的前项和.，，则______.
33．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）公比的等比数列的前n项和为，且，，则______．
34．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）若等比数列的各项均为正数，且，则__________.
35．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于___________
36．（2023·高三课时练习）若等比数列的前n项和，则常数k的值为______．
四、解答题
37．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的公差d不为0，其中a3=7，a1，a2，a6成等比数列，求数列{an}的通项公式.
38．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．
39．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知正项等比数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和的值．
40．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，，
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列与中的所有项分别构成集合，，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成新数列，求数列的前20项和
41．（2023·四川·校联考一模）已知等差数列与正项等比数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，比较与的大小．
42．（2023·上海黄浦·统考一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和.
43．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）设等差数列的前项和为，，数列为等比数列，其中，，.
(1)求，的通项公式；
(2)若，求的前项和.
44．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项的和为且满足，数列是两个等差数列与的公共项组成的新数列.求出数列，的通项公式；
专题39 等差数列、等比数列基本量
【知识点总结】
一、基本概念
1、数列
(1)定义.
按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.
(2)数列与函数的关系.
从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决.
2、等差数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即.
(2)等差数列的通项公式.
若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)().
(3)等差中项.
若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.
(4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上.
3、等比数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即.
(2)等比数列的通项公式.
等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数.
(3).
(4)等比中项
如果成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个).
(5)等比数列的前项和
二、基本性质
1、等差数列的性质
(1)等差中项的推广.
当时,则有,特别地,当时,则有.
(2)等差数列线性组合.
①设是等差数列,则也是等差数列.
②设是等差数列,则也是等差数列.
(3)等差数列的单调性及前项和的最值.
公差为递增等差数列,有最小值;
公差为递减等差数列,有最大值;
公差为常数列.
特别地
若,则有最大值(所有正项或非负项之和);
若,则有最小值(所有负项或非正项之和).
(4)其他衍生等差数列.
若已知等差数列,公差为,前项和为,则为等差数列,公差为.
2、等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若时,则,特别地,当时,.
(2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列.
②设与为等比数列,则也为等比数列.
(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定).
当或时,为递增数列;
当或时,为递减数列.
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列,公比为,前项和为,则为等比数列,公比为(当时,不为偶数).
3、等差数列与等比数列的转化
(1)若为正项等比数列,则为等差数列.
(2)若为等差数列,则为等比数列.
(3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.
【典型例题】
例1．（2023·内蒙古包头·一模）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】设公差为，
则有整理得，
又由可得，
所以解得，
故选:B.
例2．（2023·四川巴中·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．33B．66C．22D．44
【答案】A
【解析】由题意知：，则，则.
故选：A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为成等比数列，则，
即，
因为，所以，整理得，解得或（舍去），
所以．
故选：A．
例4．（2023·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（ ）
A．7里B．8里C．9里D．10里
【答案】A
【解析】设第六天走的路程为，第五天走的路程为……第一天走的路程记为，
根据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比，且，，所以，从而解得，
故选：A.
例5．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列的通项公式为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，，数列是首项为2，公比为的等比数列，
所以.
故选：D
例6．（2023·青海西宁·统考一模）已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】C
【解析】由题意得：，，，
即，，，
因为数列是等比数列，所以，
即，解得：，
故选：C.
例7．（2023·福建漳州·统考三模）已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】为递减的等比数列，，解得：（舍）或，
的公比.
故选：A.
例8．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．或B．4C．D．
【答案】A
【解析】由题设，若等比数列的公比为，
所以，而，则，
解得或，
所以，
当时，当时.
故选：A
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设数列的公比为，
由可得：，又，，
由可得：，，解得：，
，，
，解得：，
，
（当且仅当，即时取等号），
（当且仅当时取等号），
即的最小值为.
故选：A
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，则Sn＝________.
【答案】3n2－2n.
【解析】设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn.
由已知可得，化简得，解得，
所以Sn＝3n2－2n.
故答案为：3n2－2n
例11．（2023·广东湛江·统考一模）已知为等差数列的前项和，若，则______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
又因为，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：
例12．（2023·陕西商洛·统考一模）公比的等比数列满足，，则__________．
【答案】
【解析】由等比数列性质知：，解得：或，
又，，，.
故答案为：.
例13．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．
【答案】
【解析】由题意令，即2不是数列与的公共项；
令，即4是数列与的公共项；
令，即8不是数列与的公共项；
令，即16是数列与的公共项；
依次类推，可得数列：，
即是首项为4，公比为4的等比数列，
故数列的前n项的和为 ，
故答案为：
例14．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）记为等比数列的前项和，若则______．
【答案】
【解析】等比数列的前项和为，设其公比为，
由得：，因此，
于是，
所以.
故答案为：52
例15．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列是等比数列，且，则__________．
【答案】4
【解析】根据等比数列的性质，有，
则，解得，
所以．
故答案为：4．
例16．（2023·全国·高三专题练习）求数列的通项公式为；设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.
【解析】由知：，且数列为等差数列，
所以，
由得：，即，解得，
所以的取值集合为.
例17．（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.求和的通项公式.
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，得，
解得，或（舍去），故，，
的通项公式为，的通项公式为.
例18．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，
(1)求的通项公式；
(2)记，若数列的前项和.
【解析】（1）由题知
即解得，
所以.
（2）
.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考阶段练习）1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年､1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（ ）
A．2042B．2062C．2082D．2092
【答案】B
【解析】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，
则等差数列的通项公式为，
∴，.
∴可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年.
故选：B.
2．（2023·河北邯郸·统考一模）在等差数列中，“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当的公差时，由，得m是任意的正整数，
由，得，
则“”是“”的必要不充分条件．
故选:A.
3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知等差数列满足，，则的公差为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】设的公差为d，
因为，解得.
故选:C.
4．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（ ）
A．58.5尺B．59.5尺C．60尺D．60.5尺
【答案】C
【解析】设冬至日晷长为，小寒日晷长为，以此类推芒种日晷长为，
因此，，设从冬至日到夏至日过程中，晷长的变化量为，
所以有，立春日晷长为，
夏至的日晷长为，
所以一年中立春到夏至的日晷长的和为，
故选：C
5．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在等差数列中，若，，则（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】B
【解析】因为是等差数列，设其公差为，
所以，解得，
所以.
故选：B．
6．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知是各项不相等的等差数列，若，且成等比数列，则数列的前6项和（ ）
A．84B．144C．288D．110
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由成等比数列，则，
即，整理可得，
由数列各项不相等，解得，即，，
故.
故选：A.
7．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）在递增等比数列中，，且是和的等差中项，则（ ）
A．256B．512C．1024D．2048
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q，
因为是和的等差中项，所以，即．
又因为，所以，解得或．
又因为等比数列是递增数列，所以．
又因为，所以．
故选：B.
8．（2023·河北石家庄·统考一模）已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，，
整理可得，解得，所以，，
所以，.
故选：B.
9．（2023·江西赣州·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
由成等差数列，得，
由余弦定理，得，
即，
整理，得，由得，
由得.
故选：C.
10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和，若，则（ ）
A．150B．160C．170D．与和公差有关
【答案】B
【解析】因为是等差数列，所以，
所以，所以.
故选：B
11．（2023·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走的路程是（ ）
A．224里B．214里C．112里D．107里
【答案】A
【解析】由题设，每天行程是公比为的等比数列，
所以，可得，则第一天走的路程224里.
故选：A
12．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，设数列的前项和为，即，
当时，，
当时，由得，
两式相减得，
也符合上式，所以，
，所以数列是等比数列，首项为，公比为.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的前项和为.
故选：D
13．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【解析】因为，
当时，，
当时，，则，
当时，，则，
因为是等比数列，所以，则，
所以，解得，
则，
则.
故选：B.
14．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知是等比数列的前n项和，若，且，则（ ）
A．96B．C．72D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q，
因为，且由题可得，所以，
因为，解得，所以，
故．
故选：B.
15．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（ ）
A．81B．63C．41D．32
【答案】C
【解析】因为，
所以，故，
设等差数列的公差为，则，
所以，
因为，，，，依次成等比数列，，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
16．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知等比数列的前三项和84，，则（ ）
A．3B．6C．12D．24
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
等比数列的前三项和84，
则当时，，不满足题意，
当时，，
，则，
令，即，解得，则，
则，
故选：B.
17．（2023·河南·校联考模拟预测）记公差不为0的等差数列的前项和为.若成等比数列，，则（ ）
A．17B．19C．21D．23
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，即，整理得①.
又，即，所以②.
由①②得，故.
故选：A
18．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
由，得：，即，解得：.
故选：B.
二、多选题
19．（2023·全国·模拟预测）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ）
A．B．当时，
C．D．
【答案】BC
【解析】A选项：因为，所以，所以A不正确；
B选项：因为，，则，
所以，所以，所以B正确；
C选项：因为，所以，
所以，所以C正确；
D选项：，
当且仅当时，等号成立．所以D不正确．
故选:BC.
20．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）等比数列的公比为，前项和为，且，以下结论正确的是（ ）
A．是等比数列
B．数列，，成等比数列
C．若，则是递增数列
D．若，则是递增数列
【答案】AB
【解析】由题意， ， ；
对于A， ，所以是首项为 ，公比为 的等比数列，正确；
对于B，因为， ，
，
， ,它们成等比数列，正确；
对于C，若 ， ，则 ，为递减数列，错误；
对于D， ，若 ， ，则 ， ，是递减数列，错误.
故选：AB.
21．（2023·全国·高三专题练习）若数列是等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
【答案】AD
【解析】设等比数列的公比为，
，则是以为公比的等比数列，A对；
时，，则不是等比数列，B错；
，时，，
此时不是等比数列，C错；
，所以，是公比为的等比数列，D对.
故选：AD．
22．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
【答案】ACD
【解析】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，.
对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对；
对于B选项，令，可得，B错；
对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对；
对于D选项，，则，
所以，，
故数列为等差数列，D对.
故选：ACD.
23．（2023·全国·高三专题练习）记是数列的前n项和，且，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列B．数列是递减数列
C．D．当 时，取得最大值
【答案】ACD
【解析】∵，∴数列是等差数列，故A正确；
，
∵，从而，可知数列不是递减数列，故B错误，C正确；
∵，，∴当 时，取得最大值，故D正确.
故选：ACD.
24．（2023·全国·高三专题练习）公差为d的等差数列满足，，则下面结论正确的有（ ）
A．d＝2B．
C．D．的前n项和为
【答案】ABD
【解析】由题意得，
，即，
解得，所以，故A、B正确；
得，
故，故C错误；
所以数列的前n项和为
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
25．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，则________．
【答案】
【解析】，即，又由，即，
所以等差数列的公差为，
又由，解得，
所以数列的通项公式为.
故答案为：
26．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）在数列中，，，则______．
【答案】2021
【解析】因为，且，所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列.，则.
故答案为：2021
27．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S3=4，S6=12，则S9=______.
【答案】28
【解析】因为{an}为等比数列，所以数列,也为等比数列，所以有,得，所以，
故答案为：28
28．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）记等差数列的前n项和为，已知，，则的通项公式为______.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为d，则，，
，
所以.
故答案为：.
29．（2023春·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）设等比数列的公比，前项和为，则______.
【答案】
【解析】由等比数列求和公式以及通项公式可得.
故答案为：.
30．（2023春·北京海淀·高三101中学校考开学考试）已知数列为等差数列．为等比数列，且成等差数列．则___________．
【答案】
【解析】设的公比为，则由成等差数列，
可得，
而为等差数列．则，
所以，即，解得，
故，
故答案为：
31．（2023春·江西·高三校联考开学考试）已知正项等比数列的前项积为，若是中唯一的最小项，则满足条件的的通项公式可以是_________（写出一个即可）.
【答案】（答案不唯一）
【解析】令，则数列单调递增，且，，，，，，
所以，，，，即，
当时，即，
所以，所以是中唯一的最小项，故符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
32．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）记为等比数列的前项和.，，则______.
【答案】
【解析】由等比数列的性质可得，，结合题意，
得，又，所以，
所以.
故答案为：
33．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）公比的等比数列的前n项和为，且，，则______．
【答案】
【解析】因为，，所以，
又，所以或（舍），
所以.
故答案为：.
34．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）若等比数列的各项均为正数，且，则__________.
【答案】21
【解析】由等比数列的下标和性质有，所以.
因为数列的各项均为正数，所以，
因为，所以.
故答案为：21.
35．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于___________
【答案】
【解析】在等比数列中，满足，
由等比数列的性质可得，即，所以，
又由，所以
所以数列的前项和，
故答案为：.
36．（2023·高三课时练习）若等比数列的前n项和，则常数k的值为______．
【答案】
【解析】当时，.
时，，
因为是等比数列，所以，即，解得．
故答案为：．
四、解答题
37．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的公差d不为0，其中a3=7，a1，a2，a6成等比数列，求数列{an}的通项公式.
【解析】由已知得，设公差为d，则有 ，即 ，
， ，
；
综上， 的通项公式为： ， .
38．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．
【解析】（1），，，
即，，，
故为等差数列，设公差为，
故，，
解得：，，
所以，
设等比数列的公比为，，
因为，成等差数列，所以，
即，与联立得：或0（舍去），
且，故，
（2）由题意得：为中的整数个数，
故，
所以
.
39．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知正项等比数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和的值．
【解析】（1）,
,
或，
，
.
（2）由（1）知，
故，
∴.
40．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，，
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列与中的所有项分别构成集合，，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成新数列，求数列的前20项和
【解析】（1）∵数列为等差数列，且，,
∴，即，∴，即,
∵数列是公比为2的等比数列，，∴,
即.
（2）由（1）知，∴数列的元素是由数列中去除数列
∴数列中去掉2，4，8，16，
,.
41．（2023·四川·校联考一模）已知等差数列与正项等比数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，比较与的大小．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，正项等比数列的公比为,
由，,
得,
解得，
所以，数列的通项公式为，
数列的通项公式为．
（2）由（1）得，，
所以.
42．（2023·上海黄浦·统考一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则，，，
又，可得，
所以.
（2）由（1）可得，
故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，
所以，
所以数列的前2n项和为：.
即: 数列的前2n项和为.
43．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）设等差数列的前项和为，，数列为等比数列，其中，，.
(1)求，的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【解析】（1）设数列的公差为，则，，，
由得，，∴，或.
当时，， ；
当时，，，
所以当时，，；
当时，，；
（2）若，即，
∴，，又，
∴，
∴.
44．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项的和为且满足，数列是两个等差数列与的公共项组成的新数列.求出数列，的通项公式；
【解析】当时，，；
当时，，，即，
，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，；
数列是两个等差数列与的公共项组成的新数列，
数列的首项为，因为等差数列，的公差为，等差数列的公差为，所以数列是等差数列，且公差为，
.