备战2024高考数学艺体生一轮复习40天突破90分讲义专题42 数列求和（原卷版+解析版）

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求数列前项和的常见方法如下：
（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式.
（2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列.
（3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式.常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.
（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.
（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.
【典型例题】
例1．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．
例2．（2023·四川凉山·二模）已知对于任意函数在点处切线斜率为，正项等比数列的公比，且，又与的等比中项为2．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
例3．（2023·四川巴中·统考一模）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和．
例4．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
例5．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知是等差数列的前n项和，，．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和.
例6．（2023·上海黄浦·统考一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和.
例7．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知数列满足：.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和的表达式.
例8．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，
(1)求的通项公式；
(2)记，若数列的前项和.
例9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知数列的前项和为，且满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式及.
例10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例11．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·内蒙古通辽·校考二模）若数列的首项为且满足数列的前4项和=（ ）
A．33B．45C．48D．78
2．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）在数列中，已知且，则其前项和的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项的和为，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．数列的前和为
二、填空题
5．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）对于正整数，将其各位数字之和记为，如，，则______.
6．（2023·广西·校联考模拟预测）数列的前10项和为__________.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知正整数n满足：则n＝______
8．（2023秋·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______.
三、解答题
9．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，的前项和为，求的值域.
11．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的前20项和.
13．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求；
(2)若是与的等比中项，且，求数列的前项和．
14．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
15．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知为等差数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，的前n项和为，证明：．
16．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知正项数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和．
17．（2023·全国·校联考模拟预测）在数列中，，点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
18．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．
19．（2023·山西·统考模拟预测）已知数列是正项等比数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和.
①；②.
20．（2023·云南昆明·统考一模）已知数列的前项和为，，且满足
(1)设，证明：是等比数列
(2)设，数列的前项和为，证明：
21．（2023·广东湛江·统考一模）已知，为数列的前n项和，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
22．（2023·贵州黔东南·统考一模）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)已知求数列的前20项和．
23．（2023·山东泰安·统考一模）已知等差数列是递增数列，为数列的前n项和，，，，成等比数列.
(1)求；
(2)求.
24．（2023·河南郑州·统考一模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列前项和．
25．（2023·广西·统考模拟预测）记为等比数列的前项和.已知.
(1)求；
(2)设求数列的前项和.
26．（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
27．（2023·河北石家庄·统考一模）已知等差数列的前n项和记为（），满足．
(1)若数列为单调递减数列，求的取值范围；
(2)若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求．
28．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
专题42 数列求和
【知识点总结】
求数列前项和的常见方法如下：
（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式.
（2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列.
（3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式.常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.
（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.
（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.
【典型例题】
例1．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．
【答案】2022
【解析】由，
令，
则，
两式相加得：，
∴．
故答案为：2022
例2．（2023·四川凉山·二模）已知对于任意函数在点处切线斜率为，正项等比数列的公比，且，又与的等比中项为2．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）由题意，
∴；
由题可得，
所以或（舍）
所以，；
（2）由题可知，
所以，
，
所以，
，即.
例3．（2023·四川巴中·统考一模）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】（1）由等比数列求解，进而根据错位相减法即可求和.
【详解】
（1）由得：
由知：
∴，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）方法一
由（1）得：，∴
∴ ①
②
②-①得：
∴．
方法二
由（1）得：，∴
∴ ①
②
①-②得：
∴．
例4．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）由，得，
所以，
累乘得，又，所以时，，
当时，，符合上式，
所以.
（2）由（1），得，
所以.
例5．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知是等差数列的前n项和，，．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和.
【解析】（1）由，则，故，
所以.
（2）由（1）知：，
.
例6．（2023·上海黄浦·统考一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则，，，
又，可得，
所以.
（2）由（1）可得，
故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，
所以，
所以数列的前2n项和为：.
即: 数列的前2n项和为.
例7．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知数列满足：.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和的表达式.
【解析】（1）由题意可知，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知，，即
前项和.
例8．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，
(1)求的通项公式；
(2)记，若数列的前项和.
【解析】（1）由题知
即解得，
所以.
（2）
.
例9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知数列的前项和为，且满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式及.
【解析】（1）依题意，，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，所以，
所以
.
例10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）∵，∴.
又∵，∴，即，
∴数列是公比为2的等比数列.又∵，，成等差数列，
∴，即，解得.∴；
（2）由（1）可知，∴
∴
.
例11．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）因为在数列中，，，
所以，，
所以，等式两边同加上得，
因为，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
（2）因为，即
所以，为单调递减数列，
因为，，
所以，时，，时，，
记的前项和为，则，
所以，当时，，；
当时，，，①
，②
所以，①②得：，即，
综上，
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·内蒙古通辽·校考二模）若数列的首项为且满足数列的前4项和=（ ）
A．33B．45C．48D．78
【答案】D
【解析】由，得，
故是首项为，公比为2的等比数列，
故，则，
所以数列的前4项和为.
故选：D.
2．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，当时，，
当时，，当时，也满足，
∴ 数列的通项公式为，
，



故选：C
3．（2023秋·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）在数列中，已知且，则其前项和的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意得
．
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项的和为，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．数列的前和为
【答案】C
【解析】对于A，设等差数列 的公差为 , 前 项和为 ,
由 ,
可得 ,
解得 2 ,
则 ,
故选项A正确;
由得，
, 11,
，
故选项B正确；
=n=,
故选项C错误；
由 可得 ,
即数列 的前 项 和 为 .故选项D正确.
故选：C.
二、填空题
5．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）对于正整数，将其各位数字之和记为，如，，则______.
【答案】
【解析】方法一：由定义易知，
，
由此可知，，
进而有，，
进而有，，
而，
故.
方法二：考虑每一位上的数字出现次数，
千位数字仅有1和2，之和为：，
百位数字之和为：，
十位数字之和为；，
个位数字之和为：，
综上可知，.
故答案为：.
6．（2023·广西·校联考模拟预测）数列的前10项和为__________.
【答案】
【解析】，故.
故答案为：.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知正整数n满足：则n＝______
【答案】6
【解析】依题意，
，
解得.
故答案为：6.
8．（2023秋·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______.
【答案】
【解析】，①
，②
两式相加，又因为，
故，所以，
所以的前16项的和为
故答案为：
三、解答题
9．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）由知数列是以为公差的等差数列.
又，所以，即
解得或（舍去），所以.
（2）因为，
所以①，
②，
①②得：
，
所以，.
10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，的前项和为，求的值域.
【解析】（1）因为，所以，即
当时，，则，
整理得（），
则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故，
也满足 所以.
（2）由（1）得
所以
；
显然
又因为，单调递增（），所以，
所以的值域是.
11．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【解析】（1）∵为等比数列，则，
且，可得，
设数列的公比为，则．
∵，则，可得，
∴．
（2）由（1）知，则，，
∴，①
，②
得
，
∴．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的前20项和.
【解析】由题意知数列满足，可得；
所以
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理由知
数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而由等差数列前项和公式可得数列的前20项和为：
13．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求；
(2)若是与的等比中项，且，求数列的前项和．
【解析】（1）解法一：当为偶数时，设，
，
，
所以．
当为奇数时，设，
则，
，
所以．
综上，．
解法二： 因为，，
所以，得，
当时，，
所以，
所以数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，
偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，所以．
（2）由题意可得，，
因为，所以，
所以，
所以．
14．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
【解析】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由.所以，
又，所以前40项中有34项来自.
故
.
15．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知为等差数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，的前n项和为，证明：．
【解析】（1）由设数列的公差为，则
解得，，
所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以；
（2）由，可得，
所以
,
又，故.
16．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知正项数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和．
【解析】（1）当时，，
解得，
由当时，，
得当时，，
两式相减得，即，
又，所以，
又适合上式，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
（2），
则，
，
两式相减得
，
所以.
17．（2023·全国·校联考模拟预测）在数列中，，点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【解析】（1）依题意，，即，因此数列是公差为3的等差数列，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，
则，
于是，
两式相减得，
所以.
18．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．
【解析】（1）由题意可得：，
则，可得，
故数列是以首项，公差的等差数列.
（2）由（1）可得：，
则，
∵，故.
19．（2023·山西·统考模拟预测）已知数列是正项等比数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和.
①；②.
【解析】（1）由等比数列的性质可得，
由题意可得，解得，所以，等比数列的公比为，
所以，.
（2）若选①，.
所以，，①
则，②
①②得
，
因此，；
若选②，，
所以，.
20．（2023·云南昆明·统考一模）已知数列的前项和为，，且满足
(1)设，证明：是等比数列
(2)设，数列的前项和为，证明：
【解析】（1）由题设，，则，
所以，即，而，
故是首项与公比都为的等比数列.
（2）由（1），即，
当时，，
显然满足上式，
所以，则，
则，又时，
所以且，故.
21．（2023·广东湛江·统考一模）已知，为数列的前n项和，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1），，．
由，得，
，
所以，故，
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．
（2），
故，
所以
．
22．（2023·贵州黔东南·统考一模）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)已知求数列的前20项和．
【解析】（1）当时，可得，
当时，，
，
上述两式作差可得，
因为满足，所以的通项公式为.
（2）因为，
所以，
.
所以数列的前20项和为.
23．（2023·山东泰安·统考一模）已知等差数列是递增数列，为数列的前n项和，，，，成等比数列.
(1)求；
(2)求.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，，
，即
整理得，
解得，或（舍）
所以
故，
（2）由（1）知，，所以，
所以，
则，
.
24．（2023·河南郑州·统考一模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列前项和．
【解析】（1）由题意
当时，；
当时，
两式相减得，
所以，当时也成立．
所以数列的通项公式.
（2）根据题意，得
所以
所以
25．（2023·广西·统考模拟预测）记为等比数列的前项和.已知.
(1)求；
(2)设求数列的前项和.
【解析】（1）设等比数列的公比为.由题意，可知
，解得：，
.
（2）由题设及（1）可知：
当为奇数时，，
当为偶数时，，
故，
26．（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）因为，所以时，，所以.
又由数列为等比数列，所以.又因为，所以，
综上.
（2）由（1）知，
当时，，
当时，
所以.
27．（2023·河北石家庄·统考一模）已知等差数列的前n项和记为（），满足．
(1)若数列为单调递减数列，求的取值范围；
(2)若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求．
【解析】（1）设等差数列的公差为，由于，
所以，解得，
所以，
若数列为单调递减数列，则对于恒成立，
所以在上恒成立，
则，所以，又数列为递增数列，所以，即，
故的取值范围为；
（2）若，则，
根据题意数列为：
第一组为：1，；
第二组为：，，；
第三组为：，，，；
……
第组为：，，，，…，；
则前组一共有项，当时，项数为.
故相当于是前组的和再加上这五项，即：
设，则可看成是数列的前项和
所以.
28．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）∵，∴.
又∵，∴，即，
∴数列是公比为2的等比数列.又∵，，成等差数列，
∴，即，解得.∴；
（2）由（1）可知，∴
∴
.