2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 3.6 三角函数的专题综合运用（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 3.6 三角函数的专题综合运用（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了正余弦定理的实际应用，正余弦定理的几何应用，三角函数与正余弦定理，最值问题等内容，欢迎下载使用。


例题剖析
考点一 正余弦定理的实际应用
【例1】 (2023·甘肃平凉·二模）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考数据：）
A．49米B．51米C．54米D．57米
【一隅三反】
1． (2023·四川泸州·二模）如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（，）（ ）
A．7350B．2650C．3650D．4650
2． (2023·四川）某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，则此山的高度BC约为（ ）
A．B．
C．D．
3 (2023·河南·鹤壁）魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（ ）
A．60米B．61米C．62米D．63米
考点二 正余弦定理的几何应用
【例2】 (2023·湖南·高考真题）如图，在中，，点D在BC边上，且，，
（1）求AC的长；
（2）求的值.
【一隅三反】
1． (2023·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
2． (2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，.
(1)若角为锐角，求的取值范围；
(2)在中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.
3． (2023·黑龙江·哈九中三模（理））在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)设b＝c，N是△ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若BN＝6，CN＝3，求四边形ABNC面积的最大值．
考点三 三角函数与正余弦定理
【例3】 (2023·浙江省义乌中学模拟预测）已知函数.
(1)求函数的周期及对称轴:
(2)在锐角中，分别是角的对边.若，求的面积.
【一隅三反】
1． (2023·天津市宁河区芦台）在中，角 所对边分别为 ,且.
(1)求角的大小;
(2)若.
(i) 求 的值;
(ii) 求的值.
2． (2023·重庆·二模）已知角，（，）的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点，分别在角，的终边上.
(1)设函数，，求函数的值域；
(2)若点在角的终边上，且线段的长度为，求的面积.
3． (2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数，其中，．
(1)求的单调增区间；
(2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值．
考点四 最值问题
【例4-1】 (2023·宁夏·银川二中一模（理））在中，分别为内角的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
【例4-2】 (2023·江西九江·二模）在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角B；
(2)若D为AC的中点，且，求 ABC面积的最大值.
【一隅三反】
1． (2023·四川·仁寿一中二模（理））在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在△中，角的对边分别为，且___________
(1)求角B的大小；
(2)，求△周长的取值范围.
2． (2023·河南省杞县高中模拟预测（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若，A为的最小角，求周长的取值范围．
3． (2023·江西·二模）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知①，②，③，从这三个条件中任选一个，回答下列问题，
(1)求角C；
(2)若，求面积的取值范围．
3.6 三角函数的专题综合运用（精讲）（基础版）
考点呈现
例题剖析
考点一 正余弦定理的实际应用
【例1】 (2023·甘肃平凉·二模）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考数据：）
A．49米B．51米C．54米D．57米
【答案】D
【解析】设滕王阁的高度为，由题设知：，
所以，则，又，可得米.
故选：D
【一隅三反】
1． (2023·四川泸州·二模）如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（，）（ ）
A．7350B．2650C．3650D．4650
【答案】B
【解析】如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，
则，所以，
在中，，由正弦定理得，
则，
因为所以，
所以山顶的海拔高度大约为.故选：B.
2． (2023·四川）某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，则此山的高度BC约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】过点D作，交BC于E，
因为，所以，则．
又因为，所以．
在中，由正弦定理，得，
在中，，故山高度约为．
故选：B.
3 (2023·河南·鹤壁）魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（ ）
A．60米B．61米C．62米D．63米
【答案】D
【解析】根据题意，，，所以，解得．
故选：D.
考点二 正余弦定理的几何应用
【例2】 (2023·湖南·高考真题）如图，在中，，点D在BC边上，且，，
（1）求AC的长；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1），，，
在中，由余弦定理得，
（2），所以，又由题意可得，
【一隅三反】
1． (2023·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
2． (2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，.
(1)若角为锐角，求的取值范围；
(2)在中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由三角函数定义知，
由角为锐角知， ∴
∴ ∴的取值范围是
(2)由得∵ ∴
由 得，由余弦定理得：.
3． (2023·黑龙江·哈九中三模（理））在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)设b＝c，N是△ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若BN＝6，CN＝3，求四边形ABNC面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)．由正弦定理得，∵sinC≠0，
∴，
即．∴，即．
∵0(2)在△BCN中，由余弦定理得，∵BN＝6，CN＝3，
∴
由（1）和b＝c，得△ABC是等腰直角三角形，于是，
∴四边形ABCD的面积
∴当时，S取最大值，
即四边形ABCD的面积的最大值是．
考点三 三角函数与正余弦定理
【例3】 (2023·浙江省义乌中学模拟预测）已知函数.
(1)求函数的周期及对称轴:
(2)在锐角中，分别是角的对边.若，求的面积.
【答案】(1)周期为，对称轴为，.(2)
【解析】（1），
，∴.
由得：，故函数的对称轴为，.
（2），得，
∵，∴，∴，，.
由余弦定理可得.
所以，∴或.
当时，，舍去.
当时，满足，所以
【一隅三反】
1． (2023·天津市宁河区芦台）在中，角 所对边分别为 ,且.
(1)求角的大小;
(2)若.
(i) 求 的值;
(ii) 求的值.
【答案】(1)(2)(i) ，(ii)
【解析】(1)由及正弦定理，可得， ， 由余弦定理可得，
，.
(2)(i) 及正弦定理，可得，
，即
(ii)因为，且 可得为锐角，
所以,
，
，
由（1），知，所以
2． (2023·重庆·二模）已知角，（，）的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点，分别在角，的终边上.
(1)设函数，，求函数的值域；
(2)若点在角的终边上，且线段的长度为，求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵的终边过点，∴，.
∵，∴.则，
∵，∴，∴，∴，即的值域是.
(2)∵的终边过点，∴，.
∵，∴，∴.
由余弦定理可得，，
∴，解得.∵，∴为的中点，
∴则的面积
3． (2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数，其中，．
(1)求的单调增区间；
(2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)
令，得，
所以的单调增区间为，．
(2)∵，∴，
又，∴，∴
∵，∴．
∴
考点四 最值问题
【例4-1】 (2023·宁夏·银川二中一模（理））在中，分别为内角的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)解：由及正弦定理得：，又，所以，所以，又，所以，
(2)解：由正弦定理可得，所以，，
所以的周长
，
因为，所以，所以
所以，即，所以周长的取值范围为．
【例4-2】 (2023·江西九江·二模）在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角B；
(2)若D为AC的中点，且，求 ABC面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因为，所以即，
由余弦定理，得∵，∴∵，∴；
(2)解法一：∵，∴，
∴，即，
∵，∴，
∴，当且仅当时取等号，
故ABC面积的最大值为；
解法二：在ABD中，由余弦定理，得，
即①
在CBD中，由余弦定理，得，
即
∵，
∴②
①+②得③
在ABC中，由余弦定理，得，即，
代入③中，整理得，
∵，∴
∴，当且仅当时取等号
故ABC面积的最大值为4
解法三：如图，
过C作AB的平行线交BD的延长线于点E，
∵，D为AC的中点，
∴，，，，
在BCE中，由余弦定理，得，
即，整理得，
∵，∴，
∴，当且仅当时取等号
故ABC面积的最大值为4.
【一隅三反】
1． (2023·四川·仁寿一中二模（理））在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在△中，角的对边分别为，且___________
(1)求角B的大小；
(2)，求△周长的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)
若选①：在△ABC中，因为，
故由可得，
由正弦定理得：，即，
则，又，故.
若选②：，
则，故，
，则，
解得.
若选③：由及正弦定理，，
又，所以，
即，因为，所以，
又，得.
综上所述：选择①②③，都有.
(2)
根据（1）中所求，，又，
故由余弦定理可得
则，即，
当且仅当时取得等号，又，
△周长的取值范围为.
2． (2023·河南省杞县高中模拟预测（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若，A为的最小角，求周长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由正弦定理可得，
又因为，得，则．
因为，得，
因为，所以．
(2)由（1）知，又，所以．
由正弦定理，得，
则，，
则．
由，得，可得．
故周长的取值范围为．
3． (2023·江西·二模）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知①，②，③，从这三个条件中任选一个，回答下列问题，
(1)求角C；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)若选①，由，得，即，
∴．
又∵锐角，∴，∴．
若选②，由，，
∴，∴．
又∵锐角，∴，∴．
若选③，∵，
由正弦定理，得，
即，由余弦定理，得．
又∵锐角，∴，∴．
(2)
由正弦定理，得．
∴
．
∵锐角，∴且，∴，
∴，∴，
∴，
∴面积的取值范围为