2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 3.6 三角函数的专题综合运用（精练）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 3.6 三角函数的专题综合运用（精练）（基础版）（原卷版+解析版），共46页。


A．B．C．D．
2． (2023·河南驻马店）如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·北京·101中学模拟预测）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A．米B．米C．米D．米
4． (2023·青海西宁·一模（理））某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是.已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为（ ）
A．元B．元C．元D．元
5． (2023·河南·模拟预测（理））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，，，则蜚英塔的高度是（ ）
A．30米B．米C．35米D．米
6． (2023·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（ ）米
（参考数据：，，）
A．11B．20.8C．25.4D．31.8
7． (2023·全国·高三开学考试（理））如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
8． (2023·河南·模拟预测（文））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，，，则蜚英塔的高度是_______米．
9． (2023·广西南宁·一模（理））2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D是垂直下落于点C，某时刻地面上点观测点观测到点D的仰角分别为，若间距离为10千米（其中向量与同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离约为___________千米（结果保留整数，参考数据：）.
10． (2023·四川省叙永第一中学校模拟预测（文））海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则两点的距离为______.
11． (2023·广西广西）从某建筑物的正南方向的处测得该建筑物的顶部的仰角是，从该建筑物的北偏东的处测得该建筑物的顶部的仰角是，，之间的距离是35米，则该建筑物的高为______米.
12． (2023·内蒙古赤峰）如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是___________.
题组二 正余弦定理的几何应用
1． (2023·山东·潍坊一中模拟预测）如图，在梯形ABCD中，，点E在边CD上，，，．
(1)求BE，CE；
(2)若，求．
2． (2023·湖北·模拟预测）如图，在平面四边形中，对角线平分，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求B；
(2)若，的面积为2，求
3． (2023·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．
①O为的内心；②O为的外心．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
(1)求A；
(2)若，________，求的面积．
4． (2023·安徽合肥·二模）在中，内角，，所对边的长分别为，，，满足______．
从①是，的等差中项，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
(1)求的大小；
(2)若是的角平分线，且，，求的面积．
5． (2023·陕西渭南·二模（理））如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，
求：
(1)的值；
(2)边的长.
6． (2023·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为，角B的平分线交AC于D，且，求b．
7． (2023·山东潍坊·模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，且的面积为．
(1)求；
(2)若，的角平分线与边相交于点，延长至点，使得，求．
8． (2023·江西·二模（理））如图，在四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求．
9． (2023·安徽滁州·二模（理））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， ．
在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求的面积S；
(2)求角A的平分线的长．
10． (2023·重庆·二模）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.
(1)证明：
(2)若，，求的最大值.
题组三 三角函数与正余弦定理
1． (2023·江西·临川一中模拟预测（文））已知向量，，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值.
2． (2023·北京石景山·一模）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数的最大值为2；
②函数的图象可由的图象平移得到；
③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；
(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值．
3． (2023·四川雅安·二模）已知向量，，设函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设的内角，，所对的边分别为，，，且______，求的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．
①；②；③，，成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．
4． (2023·陕西宝鸡·二模（理））函数图像过点，且相邻对称轴间的距离为．
(1)求的值；
(2)已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，求面积的最大值．
题组四 最值问题
1． (2023·河南·模拟预测（理））在△ABC中，角所对的边分别为，已知.
(1)求的大小；
(2)的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.
2． (2023·新疆石河子一中模拟预测（理））已知.
(1)求的最小正周期和单调减区间；
(2)在△中，，D为BC中点，，求△面积的最大值.
3． (2023·河南平顶山·模拟预测（理））在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)求角A的大小；
(2)若，求△ABC周长的最大值．
4． (2023·甘肃·二模（文））如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.
(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
5． (2023·湖南益阳·一模）在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若，求的中线长度的最小值.
6． (2023·江苏无锡·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
(1)求；
(2)若，是外的一点，且，，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值．
7． (2023·山西·一模（理））如图，圆内接四边形中，，，.
(1)求；
(2)求面积的最大值.
8． (2023·江苏·金陵中学二模）已知四边形，A，B，C，D四点共圆，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
9． (2023·全国·模拟预测（理））在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且．
(1)求角B的大小；
(2)若是锐角三角形，求面积的取值范围．
10． (2023·江西）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在中，内角所对的边分别为，且_．
(1)求B的大小；
(2)若，求的最大值．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
11． (2023·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若M是AC的中点，且，在下面两个问题中选择一个进行解答．
①求△ABM面积的最大值；
②求BM的最大值．
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
12． (2023·辽宁·一模）在平面五边形ABCDE中，已知，，，，，
(1)当时，求DC；
(2)当五边形ABCDE的面积时，求BC的取值范围．
3.6 三角函数的专题综合运用（精练）（基础版）
题组一 正余弦定理的实际应用
1． (2023·全国·模拟预测）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（ ）.（仰角为直线与平面所成的角）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
由勾股定理知，，
过点作交于，连结，则，
设，
若在线段上，则，
由，得，
在直角中，，
，
令，则函数在，单调递减，
时，取得最大值为；
若在的延长线上，，
在直角中，，
，
令，则可得时，函数取得最大值.
故答案为：．
2． (2023·河南驻马店）如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：依题意知，
在中，由余弦定理知．
即灯塔与灯塔的距离为．故选：．
3． (2023·北京·101中学模拟预测）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【解析】Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，
由AC-BC=AB得，约为米.故选：B
4． (2023·青海西宁·一模（理））某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是.已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【解析】由题意，三角形空地的面积为，
改造费用为50元，这块三角形空地的改造费用为：元.故选：C.
5． (2023·河南·模拟预测（理））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，，，则蜚英塔的高度是（ ）
A．30米B．米C．35米D．米
【答案】C
【解析】设，在中，，则，
在中，，则，
因为，所以由余弦定理得：
整理得：，解得.故选：C
6． (2023·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（ ）米
（参考数据：，，）
A．11B．20.8C．25.4D．31.8
【答案】C
【解析】由题意可得，则，
在中，，在中，因为，
所以，所以，
又，所以（米）.故选：C.
7． (2023·全国·高三开学考试（理））如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
【答案】B
【解析】设塔高的高度为，在中，因为，所以；
在中，因为，所以；
在中，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得或（舍去）.
故选：B.
8． (2023·河南·模拟预测（文））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，，，则蜚英塔的高度是_______米．
【答案】35
【解析】设米，因为，，，所以，
在中，，，则由余弦定理得,
，解得，
所以蜚英塔的高度是35米，故答案为：35
9． (2023·广西南宁·一模（理））2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D是垂直下落于点C，某时刻地面上点观测点观测到点D的仰角分别为，若间距离为10千米（其中向量与同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离约为___________千米（结果保留整数，参考数据：）.
【答案】
【解析】在三角形中，，
由正弦定理得，
，
所以千米.故答案为：
10． (2023·四川省叙永第一中学校模拟预测（文））海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则两点的距离为______.
【答案】
【解析】因为，，所以，，
所以，
又因为，所以，
由正弦定理得：，即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得.故答案为：
11． (2023·广西广西）从某建筑物的正南方向的处测得该建筑物的顶部的仰角是，从该建筑物的北偏东的处测得该建筑物的顶部的仰角是，，之间的距离是35米，则该建筑物的高为______米.
【答案】
【解析】设该建筑物的高（为该建筑物的底部），由题意可得，，，，则，即，解得.
12． (2023·内蒙古赤峰）如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是___________.
【答案】30
【解析】由题意知：，设，则，
，即，解得或（舍去）.
故答案为：30.
题组二 正余弦定理的几何应用
1． (2023·山东·潍坊一中模拟预测）如图，在梯形ABCD中，，点E在边CD上，，，．
(1)求BE，CE；
(2)若，求．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)因为，，，所以．
在中，由正弦定理可得，
可得，．
(2)因为，所以．
在中，由余弦定理可得
，所以．
因为，所以．
2． (2023·湖北·模拟预测）如图，在平面四边形中，对角线平分，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求B；
(2)若，的面积为2，求
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因为，由正弦定理得，
所以，所以，
因为，所以所以所以
(2)解：因为的面积，所以，即，所以，
由余弦定理得，
所以，
因为平分，所以，
所以，
所以，所以，
所以
3． (2023·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．
①O为的内心；②O为的外心．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
(1)求A；
(2)若，________，求的面积．
【答案】(1)(2)选①，；选②，．
【解析】(1)因为，
由正弦定理得，
，
，
三角形中，，所以，
，则，所以，；
(2)
选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点，
，
，
设内切圆半径为，则，，
所以；
选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上，
由（1），所以，
又，
，，
．
4． (2023·安徽合肥·二模）在中，内角，，所对边的长分别为，，，满足______．
从①是，的等差中项，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
(1)求的大小；
(2)若是的角平分线，且，，求的面积．
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【解析】(1)
若选①：
是，的等差中项，，即．
由正弦定理得，
即
，
，
注意到，所以，即．
，，，即．
若选②；
由题设及正弦定理得．
，，①．
，，∴①可化为．
，，，，．
(2)
是的角平分线，．
，即，
即，，，
．
5． (2023·陕西渭南·二模（理））如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，
求：
(1)的值；
(2)边的长.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)在中, 由余弦定理的推论得,
,,
,
(2),,
,
,
在中, 由正弦定理得,
6． (2023·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为，角B的平分线交AC于D，且，求b．
【答案】(1)；(2)﹒
【解析】(1)由正弦定理及，得，∴，
∵，∴；
(2)∵，∴，即．
又，∴．由余弦定理得：，∴．
7． (2023·山东潍坊·模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，且的面积为．
(1)求；
(2)若，的角平分线与边相交于点，延长至点，使得，求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由题可知，所以，
由余弦定理，所以，可得，
因为，所以.
(2)解：不妨令，因为，可得，，
又因为为的角平分线，所以，，得，
所以在中，由余弦定理可得，即，
在中，可得，，所以，为等边三角形，所以，
在中，由余弦定理可得，得．
8． (2023·江西·二模（理））如图，在四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)中，；
(2)，，
所以，所以．
9． (2023·安徽滁州·二模（理））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， ．
在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求的面积S；
(2)求角A的平分线的长．
【答案】(1)条件选择见解析，(2)条件选择见解析，
【解析】(1)选①：因为，所以，
又，，所以，所以，
所以．
选②：因为，，所以由正弦定理可得，
所以，，
由正弦定理可得，所以，
由余弦定理可得，，
由，所以，所以．
选③：因为，所以，
由，，所以，．
由余弦定理可得，，所以．
所以．
(2)
选①：
由余弦定理可得，，所以．
所以，由，所以．
因为，所以可解得．
选②：
因为，
所以可解得．
选③：
因为，
所以可解得．
10． (2023·重庆·二模）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.
(1)证明：
(2)若，，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：设，
由余弦定理知：，，
由是外心知，
而，
所以，
即，
而，因此，
同理可知，
因此，
所以；
(2)
解：由（1）知，
由余弦定理知：，，
代入得，
设，则，
因此，
当且仅当时取到等号，
因此的最大值为.
题组三 三角函数与正余弦定理
1． (2023·江西·临川一中模拟预测（文））已知向量，，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：，，
则其最小正周期；
(2)由，且，所以，
由余弦定理得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积，
所以该三角形面积的最大值为.
2． (2023·北京石景山·一模）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数的最大值为2；
②函数的图象可由的图象平移得到；
③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；
(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值．
【答案】(1)满足①③，(2)
【解析】(1)分析条件知①②矛盾，②③矛盾，故满足的条件为①③，
由③知，则故
(2)，由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立
又，故面积最大值为
3． (2023·四川雅安·二模）已知向量，，设函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设的内角，，所对的边分别为，，，且______，求的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．
①；②；③，，成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为，，
所以
由，得，
即函数的单调递增区间.
(2)若选①，
由正弦定理可得，
即，即，
由于，所以，解得，
由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
若选②，
由正弦定理可得，即，
由于，所以，由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
若选③，，成等比数列，即，
由余弦定理可得，
所以，
所以，得，
即的取值范围是.
4． (2023·陕西宝鸡·二模（理））函数图像过点，且相邻对称轴间的距离为．
(1)求的值；
(2)已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，求面积的最大值．
【答案】(1)，；(2)
【解析】(1)
由题意得：的最小正周期，由于，故，解得：，又，所以，即，又，所以，解得：，，故，此时，综上：，；
(2)，所以，因为，所以，则，解得：，又，所以由余弦定理得：
，则，由基本不等式得：，即，解得：，当且仅当时等号成立，故面积最大值为.
题组四 最值问题
1． (2023·河南·模拟预测（理））在△ABC中，角所对的边分别为，已知.
(1)求的大小；
(2)的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.
【答案】(1)；
【解析】(1)可得，
即，因为
从而，而，
所以.
(2)，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
故.
2． (2023·新疆石河子一中模拟预测（理））已知.
(1)求的最小正周期和单调减区间；
(2)在△中，，D为BC中点，，求△面积的最大值.
【答案】(1)最小正周期为，单调减区间为，；(2).
【解析】(1)由，则，
令且，可得且，
所以单调减区间为，.
综上，最小正周期为，单调减区间为，.
(2)由题设，，即，
又，则，故，可得，
而，故，
令，则，
所以，当且仅当时等号成立，则△面积，
综上，△面积的最大值为.
3． (2023·河南平顶山·模拟预测（理））在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)求角A的大小；
(2)若，求△ABC周长的最大值．
【答案】(1);(2)
【解析】(1)因为所以由正弦定理可得，
即，由余弦定理知，，因为， 所以.
(2)由和（1）可知，
则，
得，即，
所以（当且仅当时，取得等号），
所以周长的最大值为.
4． (2023·甘肃·二模（文））如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.
(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
【答案】(1)(2)10
【解析】(1)因为依次成等差数列，
所以，又，所以,
又，则由余弦定理得:
，所以.
(2)由圆内接四边形性质及，知，
在中，由余弦定理得
，
又因为（当且仅当时“=”成立），
所以，即，
则四边形ABCD周长最大值.
5． (2023·湖南益阳·一模）在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若，求的中线长度的最小值.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】(1)选择条件①：由及正弦定理，得：，
即，由余弦定理，得,
因为，所以；
选择条件②：由及正弦定理，
得：，
即.
即.
在中，，所以，
即，因为，所以，所以,
因为，所以；
选择条件③：由及正弦定理，
得：，
因为,，所以.
在中，，则，
故.
因为，所以，则，
故；
(2)
因为，所以，
整理得，
在三角形中，由余弦定理得.
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，即，
即长度的最小值为.
6． (2023·江苏无锡·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
(1)求；
(2)若，是外的一点，且，，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值．
【答案】(1)(2)时，S最大值为
【解析】（1）在中，内角所对的边分别是，已知．
由正弦定理得：，又，
，
，，
，，．
(2)，，是等边三角形，设，，
，，，，
由余弦定理得，
，
，，当，即时，
平面四边形的面积取最大值．
7． (2023·山西·一模（理））如图，圆内接四边形中，，，.
(1)求；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)在中，由正弦定理得，即.所以.
(2)因为四边形内接于圆，故.
设，，在中，由余弦定理得：
.
因为，所以，即，当且仅当时等号成立.
所以
所以面积的最大值是.
8． (2023·江苏·金陵中学二模）已知四边形，A，B，C，D四点共圆，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
【答案】(1)5(2)
【解析】(1)在中，由余弦定理得
，得.
因为，所以.
因为四点共圆，所以与角互补，
所以，，
在，由正弦定理得：，
所以.
(2)
因为四边形的周长为，
在中，由余弦定理得：，
即

，
当且仅当时，，
所以四边形周长的最大值为.
9． (2023·全国·模拟预测（理））在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且．
(1)求角B的大小；
(2)若是锐角三角形，求面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由余弦定理可得，整理得，
又由，
因为，所以．
(2)解：由（1）可知：，所以，，
故，
，
因为是锐角三角形，，解得，
可得，所以，故，
又由的面积，所以．
10． (2023·江西）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在中，内角所对的边分别为，且_．
(1)求B的大小；
(2)若，求的最大值．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)(2)8
【解析】(1)解：选①，因为，所以，即，所以，
又，所以；
选②，因为，所以，即，
因为，所以，所以，所以；
选③，因为，所以，
则，
则有，
即，所以，
因为，所以，所以，又，所以；
(2)解：由（1）得，即，
解得，当且仅当时，取等号，所以的最大值为8．
11． (2023·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若M是AC的中点，且，在下面两个问题中选择一个进行解答．
①求△ABM面积的最大值；
②求BM的最大值．
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
【答案】(1)(2)①；②
【解析】(1)在△ABC中，．
又因为，所以，
化简得，所以．又因为，所以．
(2)若选①．因为M是AC的中点，所以．
在△ABC中，由余弦定理，得，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以△ABM的面积的最大值是．
若选②．在△ABC中，由余弦定理，得，
所以，
所以．
因为M是AC的中点，所以，
所以．
因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以BM的最大值是．
12． (2023·辽宁·一模）在平面五边形ABCDE中，已知，，，，，
(1)当时，求DC；
(2)当五边形ABCDE的面积时，求BC的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)连结EB，在中，，
由余弦定理可得，
，所以
同时可得，,又由五边形内角和可求得
所以，进而四边形BCDE为等腰梯形
过点C作CM⊥BE于M，可求得
进而
(2)，
又，所以，
设边长为x，则
化简整理得，解得或
又，
所以BC的取值范围是.