2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 4.1 等差数列（精练）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 4.1 等差数列（精练）（基础版）（原卷版+解析版），共29页。

A．72B．75C．60D．100
2． (2023·内蒙古呼和浩特）记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·贵州）记为等差数列的前n项和，若，，则的公差为（ ）
A．2B．3C．D．
4． (2023·全国·高三阶段练习（理））若数列是等差数列，，，则（ ）
A．B．1C．D．2
5． (2023·上海杨浦·二模）数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（ ）
A．1gdB．1g2dC．lgD．1g
6 (2023·江西宜春·模拟预测（理））设为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．12D．4
7． (2023·全国·高三专题练习）设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（ ）
A．0B．37
C．100D．－37
8． (2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列， 是其前 项和， 若 ， 则数列 的公差是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9． (2023·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，且，，则_____________．
10． (2023·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知等差数列的各项均为正数，记为的前n项和，若数列是等差数列，则________．
11． (2023·河南）记等差数列的前n项和为 ，若 ，则____________．
12． (2023·新疆石河子一中）等差数列的公差为2，前n项和为，若，，构成等比数列，则___________.
题组二 等差中项
1． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．38B．50C．36D．45
2.已知数列{an}是等差数列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝( )
A．84 B．70 C．49D．42
3.已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则lg2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A．10 B．20 C．40 D．2＋lg25
4.设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0 B．37 C．100D．－37
5． (2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．74B．81C．162D．148
6． (2023·安徽合肥·二模）设等差数列的前项和为，，则的值为（ ）
A．10B．12C．13D．14
题组三 前n项和的性质
1． (2023·浙江）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（ ）.
A．70B．130C．140D．210
2． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）设数列，都是正项等比数列，，分别为数列与的前n项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若等差数列的公差为，前项和为，则“”是“有最大值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5． (2023·重庆·二模）等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
6． (2023·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））在数列中，，（，），则数列的前n项和取最大值时，n的值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
7． (2023·江西·二模）已知等差数列中，，，则等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
8． (2023·云南师大附中）已知是等差数列，是的前n项和，则“对任意的且，”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．充要条件
9． (2023·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（ ）
A．8B．8或9C．9D．17
10． (2023·四川南充）设等差数列的前项和为，满足，则（ ）
A．B．的最小值为
C．D．满足的最大自然数的值为25
11． (2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
12． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（ ）
A．B．C．最小D．
13． (2023·全国·高三专题练习）（多选）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
14． (2023·全国·高三专题练习）（多选）等差数列与的前项和分别为与，且，则（ ）
A．B．当时，
C．D．，
15． (2023·全国·高三专题练习）（多选设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．与均为的最大值
16． (2023·云南昭通）等差数列的前n项和分别为，则的公差为____.
17． (2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则_________.
18． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______．
19． (2023·全国·高三专题练习（文））在等差数列中，，，求____
20． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为__________．
21． (2023·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））在数列中，为的前n项和，则的最小值为______．
22． (2023·浙江台州·二模）已知等差数列的各项均为正数，且数列的前项和为，则数列的最大项为___________.（用数字作答）
23． (2023·辽宁丹东·一模）在等差数列中，已知，则___________.
24． (2023·安徽蚌埠·三模（文））设等差数列的前项和为，已知，，则___________.
题组四 等差数列定义及其运用
1． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则（ ）
A．数列为等差数列，公差B．数列为等差数列，公差
C．数列为等比数列，公比D．数列为等比数列，公比
2． (2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的个数是
①若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列；
②若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列；
③若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列；
④若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列
A．1个B．2个C．3个D．4个
3． (2023·全国·高二课时练习）对于数列，“”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；
C．充要条件；D．既非充分又非必要条件.
4． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是递增数列
C．，，成等差数列 D．，，成等差数列
5． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，成等差数列，则（ ）
A．，，一定成等差数列
B．，，可能成等差数列
C．，，（为常数）一定成等差数列
D．，，可能成等差数列
6． (2023·黑龙江·哈九中二模）已知数列满足，．证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
7． (2023·辽宁丹东·高三期末）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列.
证明：是等差数列.
8． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．求证：是等差数列；
9． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，设数列
(1)求证数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
10． (2023·福建泉州·高三开学考试）已知数列的通项公式为，数列的首项为.
(1)若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列；
(2)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和.
12． (2023·全国·高二单元测试）记数列的前项和为，，，.
证明数列为等差数列，并求通项公式；
题组五 等差数列的实际应用
1． (2023·四川省广汉中学高一阶段练习（理））新广中上月开展植树活动以来，学校环境愈发美丽.尤其是黄花风铃木，金黄的花朵挂满枝头，好不烂漫，俨然成了师生的热门打卡景点.书院数学兴趣小组的同学们通过调查发现：我校的黄花风铃树主要分布在孔子行教像旁（处）、一食堂旁（处）、高二教学楼旁（C处），如果把处的5株移到处，则A，B，C三处的株数刚好构成等差数列，已知处现有11株，那么这三处共有黄花风铃树（ ）
A．36株B．41株C．48株D．51株
2． (2023·陕西西安·二模（理））《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行里，之后每天比前一天多行里，驽马第一天行里，之后每天比前一天少行里，若良马和驽马第天相遇，则的最小整数值为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·江西）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫，倒计时依次为：大寒､小寒､冬至､大雪､小雪､立冬､霜降､寒露､秋分､白露､处暑､立秋､大暑､小暑､夏至､芒种､小满､立夏､谷雨､清明､春分､惊蛰､雨水､立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至､立冬､秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问夏至的日影长为（ ）
A．4.5寸B．3.5寸C．2.5寸D．1.5寸
4． (2023·全国·高三专题练习（理））某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（ ）
A．160片B．170片C．180片D．190片
5． (2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）对于一个给定的数列，从第二项开始，每一项减去前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做下去，假如减了次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为阶等差数列，即为高阶等差数列．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》和《算法通变本末》中研究了高阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A．99B．131C．139D．141
6． (2023·全国·高三专题练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是､､､､､､､､､､…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第项是 B．此数列的第项是
C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为
4.1 等差数列（精练）（基础版）
题组一 等差数列基本量的计算
1． (2023·安徽·芜湖一中）等差数列的前项和为，满足：，则（ ）
A．72B．75C．60D．100
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则由，得，
化简得，所以，选：B
2． (2023·内蒙古呼和浩特）记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，由可得：，即；
由可得：，即；解得.故选：C.
3． (2023·贵州）记为等差数列的前n项和，若，，则的公差为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【解析】设公差为d，由题意知，解得.故选：A.
4． (2023·全国·高三阶段练习（理））若数列是等差数列，，，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】令.因为，，所以，，所以.
所以.所以.故选：A.
5． (2023·上海杨浦·二模）数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（ ）
A．1gdB．1g2dC．lgD．1g
【答案】D
【解析】因为，，是等差数列，所以，
所以，又因为且公差，所以，可得，
所以公差，故选：D.
6 (2023·江西宜春·模拟预测（理））设为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．12D．4
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以
故选：A.
7． (2023·全国·高三专题练习）设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（ ）
A．0B．37
C．100D．－37
【答案】C
【解析】设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.
又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
故选：C.
8． (2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列， 是其前 项和， 若 ， 则数列 的公差是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为数列 是等差数列，所以，解得，
则，解得.选：B
9． (2023·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，且，，则_____________．
【答案】770
【解析】由题意得，解得故．故答案为：770
10． (2023·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知等差数列的各项均为正数，记为的前n项和，若数列是等差数列，则________．
【答案】8
【解析】等差数列的前n项和
若数列是等差数列，则故答案为：8
11． (2023·河南）记等差数列的前n项和为 ，若 ，则____________．
【答案】0
【解析】设等差数列的公差为，
， ，化为：，则，故答案为：0．
12． (2023·新疆石河子一中）等差数列的公差为2，前n项和为，若，，构成等比数列，则___________.
【答案】
【解析】由题设，，则，可得，
所以，故.故答案为：
题组二 等差中项
1． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．38B．50C．36D．45
【答案】D
【解析】．故选：D
2.已知数列{an}是等差数列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝( )
A．84 B．70 C．49D．42
【答案】D
【解析】因为a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝4，所以S14＝eq \f(14×a1＋a14,2)＝7(a6＋a9)＝42.选D.
3.已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则lg2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A．10 B．20 C．40 D．2＋lg25
【答案】B
【解析】lg2(2a1·2a2·…·2a10)＝lg22a1＋lg22a2＋…＋lg22a10＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20.
故选B.
4.设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0 B．37 C．100D．－37
【答案】C
【解析】设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.
5． (2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．74B．81C．162D．148
【答案】B
【解析】因为是等差数列，所以，即，
所以.故选：B
6． (2023·安徽合肥·二模）设等差数列的前项和为，，则的值为（ ）
A．10B．12C．13D．14
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，由已知有，解得，故选：C
题组三 前n项和的性质
1． (2023·浙江）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（ ）.
A．70B．130C．140D．210
【答案】D
【解析】设等差数列的前项和为，则成等差数列，
故，解得，故选：D.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由等差数列的前项和性质，得：，，也成等差数列，即，
又因，，则解得，因此.故选：C.
3． (2023·全国·高三专题练习）设数列，都是正项等比数列，，分别为数列与的前n项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设正项等比数列的公比为q，正项等比数列的公比为p，
数列为等差数列，公差为，为等差数列，公差为，
，，
，，故选D．
4． (2023·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若等差数列的公差为，前项和为，则“”是“有最大值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由等差数列前n项和：，
当时，由对应的二次函数性质：开口向下，即有最大值；
若等差数列是各项为0的常数列，最大值也为0，此时；
所以“”是“有最大值”的充分不必要条件.故选：A
5． (2023·重庆·二模）等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【解析】因为，且，所以，解得，
则，即取最大值为9.故选：C.
6． (2023·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））在数列中，，（，），则数列的前n项和取最大值时，n的值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】由得，又因为，所以数列是以20为首项，以-3为公差的等差数列，所以，
令，解得：，又，所以数列的前n项和取最大值时，n的值是7，
故选：A.
7． (2023·江西·二模）已知等差数列中，，，则等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】在等差数列中，由等差中项的定义可得：，，
所以．故选：C
8． (2023·云南师大附中）已知是等差数列，是的前n项和，则“对任意的且，”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．充要条件
【答案】B
【解析】因为对任意的且，，当时，，当时，，所以成立；充分性成立
当成立时，可推出等差数列的公差大于零，但“对任意的且，”未必恒成立，例如，，当时，不成立，必要性不成立故选：B．
9． (2023·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（ ）
A．8B．8或9C．9D．17
【答案】B
【解析】依题意，所以
所以是首项为，公差为的等差数列，所以，
由，所以取最大值时，n的值为或.故选：B
10． (2023·四川南充）设等差数列的前项和为，满足，则（ ）
A．B．的最小值为
C．D．满足的最大自然数的值为25
【答案】C
【解析】由于 ， ，
∴上式中等差中项， ，即 ，故A错误；
由等差数列的性质可知 ， ，即 ，故B错误；
由以上分析可知C正确，D错误；故选：C.
11． (2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设公差为，因为，，可知：，且，，所以，从而，不确定正负，，故选：B
12． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（ ）
A．B．C．最小D．
【答案】AB
【解析】因为{an}是等差数列，设公差为，由，
可得，即，即选项A正确，
又，即选项B正确，
当时，则或最小，当时，则或最大，即选项C错误，
又，，所以，即选项D错误，故选AB.
13． (2023·全国·高三专题练习）（多选）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
【答案】ABC
【解析】对于C选项，由且，可知，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为，，所以，满足的的最大值为，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；
当且时，，所以，当且时，，
当且时，，当且时，.
由题意可知单调递减，所以当且时，，
由题意可知单调递减，即有， 所以，
由不等式的性质可得，从而可得，
因此，数列的最小项为第 项，故A正确.故选：ABC.
14． (2023·全国·高三专题练习）（多选）等差数列与的前项和分别为与，且，则（ ）
A．B．当时，
C．D．，
【答案】AB
【解析】由，知：，即，故A正确.
同理可得：，故C错误.
当，有，则，易得，故B正确.
当，有，则，则不存在，使，故D错误.故选：AB
15． (2023·全国·高三专题练习）（多选设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．与均为的最大值
【答案】BD
【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A错误；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的.
∵，，∴与均为的最大值，故D正确；故选：BD.
16． (2023·云南昭通）等差数列的前n项和分别为，则的公差为____.
【答案】8
【解析】可得，
又，，，，
，所以，，即的公差为8.故答案为：8.
17． (2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则_________.
【答案】设等差数列的首项为，公差为，等差数列的首项为，公差为，
则，故
又已知不妨令且解得且故
故答案为：.
18． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______．
【答案】
【解析】因为等差数列，的前项和分别为，，且，
所以，，又，，
所以，，
所以．故答案为：
19． (2023·全国·高三专题练习（文））在等差数列中，，，求____
【答案】
【解析】由等差数列片段和的性质有，
∴.故答案为：
20． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为__________．
【答案】
【解析】因为为等差数列，则有，．，
所以．故答案为：
21． (2023·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））在数列中，为的前n项和，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，所以是以为首项，2为公差的等差数列，是以为首项，2为公差的等差数列.
当为奇数时，，当为偶数时，，
所以，
当为偶数时，
，故当时，的最小值为；
当为奇数时，，
故当或时，取最小值.综上，的最小值为.故答案为：.
22． (2023·浙江台州·二模）已知等差数列的各项均为正数，且数列的前项和为，则数列的最大项为___________.（用数字作答）
【答案】1
【解析】由题，等差数列的各项均为正数，所以，，且，
所以数列是递增数列，
又，所以，即是递减数列，
所以当时，得到数列的最大项为，故答案为：1
23． (2023·辽宁丹东·一模）在等差数列中，已知，则___________.
【答案】
【解析】由题意在等差数列中，设公差为d,则所以，于是，故答案为：10
24． (2023·安徽蚌埠·三模（文））设等差数列的前项和为，已知，，则___________.
【答案】48
【解析】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列，
所以，
因为，，所以，解得，故答案为：48
题组四 等差数列定义及其运用
1． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则（ ）
A．数列为等差数列，公差B．数列为等差数列，公差
C．数列为等比数列，公比D．数列为等比数列，公比
【答案】B
【解析】∵数列的通项公式为，
∴，故数列为等差数列，且公差.故选：B.
2． (2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的个数是
①若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列；
②若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列；
③若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列；
④若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】对于选项①：取，
由等差数列的定义可知，选项①错误；
对于选项②：例如，即与a，b，c都是公差为的等差数列，故选项②正确；
对于选项③：，b，c成等差数列，，即一定成等差数列，故选项③正确；
对于选项④：，即是公差为等差数列，故选项④正确.故选：C
3． (2023·全国·高二课时练习）对于数列，“”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；
C．充要条件；D．既非充分又非必要条件.
【答案】C
【解析】若数列的通项公式为，则(为常数)，由等差数列的定义可得数列为等差数列；
若数列为等差数列，设首项为，公差为，则通项公式为，
令，则数列的通项公式可写为，为常数，.
所以对于数列，“”是“数列为等差数列”的充要条件.故选：C.
4． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是递增数列
C．，，成等差数列 D．，，成等差数列
【答案】D
【解析】，
∴时，
时，．时，不满足∴数列不是等差数列；
，因此数列不是单调递增数列；
，因此，，不成等差数列．
．．∴成等差数列．故选：D
5． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，成等差数列，则（ ）
A．，，一定成等差数列
B．，，可能成等差数列
C．，，（为常数）一定成等差数列
D．，，可能成等差数列
【答案】BCD
【解析】对于A，取，，，则，，，
此时，，不成等差数列，故A错误；
对于B，令，则，
此时，，是公差为0的等差数列，故B正确；
对于C，∵，，成等差数列，∴（为常数）．
又，，
∴（为常数），
∴，，（为常数）为等差数列，故C正确；
对于D，令，则，
此时，，是公差为0的等差数列，故D正确．故选：BCD
6． (2023·黑龙江·哈九中二模）已知数列满足，．证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】当时，，得，
当时，有，，相除得
整理为：，即，
∴为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为：.
7． (2023·辽宁丹东·高三期末）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列.
证明：是等差数列.
【答案】证明见解析；
【解析】设数列的公差为（为常数）. 是等差数列，当时，，①， 当时，②，由①②得③，经检验，当时也满足③，，当时，，是等差数列.
8． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．求证：是等差数列；
【答案】证明见解析；
【解析】由，又，
∴，故，且，
∴是首项、公差均为的等差数列.
9． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，设数列
(1)求证数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为，所以，所以
又因为，所以， ， ，
（为常数）所以数列是公差为的等差数列；
(2)由（1）知：，所以，所以，.
10． (2023·福建泉州·高三开学考试）已知数列的通项公式为，数列的首项为.
(1)若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列；
(2)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析.(2).
【解析】(1)因为数列的首项为，是公差为3的等差数列，所以，
所以，
所以，所以数列是以6为公差的等差数列；
(2)因为是公比为2的等比数列，又数列的首项为，，所以，
所以，
又因为，所以，所以，解得，
所以
，所以数列的前项和为.
12． (2023·全国·高二单元测试）记数列的前项和为，，，.
证明数列为等差数列，并求通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】证明：，，，则，即，解得，
所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.
题组五 等差数列的实际应用
1． (2023·四川省广汉中学高一阶段练习（理））新广中上月开展植树活动以来，学校环境愈发美丽.尤其是黄花风铃木，金黄的花朵挂满枝头，好不烂漫，俨然成了师生的热门打卡景点.书院数学兴趣小组的同学们通过调查发现：我校的黄花风铃树主要分布在孔子行教像旁（处）、一食堂旁（处）、高二教学楼旁（C处），如果把处的5株移到处，则A，B，C三处的株数刚好构成等差数列，已知处现有11株，那么这三处共有黄花风铃树（ ）
A．36株B．41株C．48株D．51株
【答案】C
【解析】设A，B，C三处的株数刚好构成等差数列为，则
由题意可知，，由等差中项，知，.
所以三处共有黄花风铃树为株.故选：C.
2． (2023·陕西西安·二模（理））《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行里，之后每天比前一天多行里，驽马第一天行里，之后每天比前一天少行里，若良马和驽马第天相遇，则的最小整数值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设驽马、良马第天分别行、里，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
由题意可得，
整理可得，解得（舍）或，
而，故的最小整数值为.故选：D.
3． (2023·江西）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫，倒计时依次为：大寒､小寒､冬至､大雪､小雪､立冬､霜降､寒露､秋分､白露､处暑､立秋､大暑､小暑､夏至､芒种､小满､立夏､谷雨､清明､春分､惊蛰､雨水､立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至､立冬､秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问夏至的日影长为（ ）
A．4.5寸B．3.5寸C．2.5寸D．1.5寸
【答案】D
【解析】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列，
由题意得：，则，，则，
所以公差为，所以，故选：D
4． (2023·全国·高三专题练习（理））某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（ ）
A．160片B．170片C．180片D．190片
【答案】B
【解析】因为这10排大理石片数构成一个首项为8，公差为2的等差数列，所以．
故选：B．
5． (2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）对于一个给定的数列，从第二项开始，每一项减去前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做下去，假如减了次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为阶等差数列，即为高阶等差数列．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》和《算法通变本末》中研究了高阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A．99B．131C．139D．141
【答案】D
【解析】由题意知，如图，
可得：，解得，，解得，故选：D．
6． (2023·全国·高三专题练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是､､､､､､､､､､…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第项是 B．此数列的第项是
C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为
【答案】B
【解析】观察此数列，偶数项通项公式为，
奇数项是后一项减去后一项的项数，即，
由此可得，，
∴A错误，B正确，C错误，
是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，
不可能有，D错误，故选：B.