2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 4.3 利用递推公式求通项（精练）（基础版）（原卷版+解析版）

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A．2B．3C．D．
2． (2023·四川·树德中学）已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）数列满足，且（），则（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，则通项公式an＝________．
6． (2023·全国·高三专题练习）已知，求通项= .
7． (2023·重庆·模拟预测）已知数列满足.
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求的通项公式.
题组二 累乘法
1． (2023·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
3． (2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，求的通项公式 .
4． (2023·全国·高三专题练习）在数列中，，求数列的通项公式 .
5． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.
题组三 公式法
1． (2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（ ）
A．3-2nB．3+2nC．1+2nD．1-2n
2． (2023·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）(多选）数列的前项为，已知，下列说法中正确的是（ ）
A．为等差数列B．可能为等比数列
C．为等差数列或等比数列D．可能既不是等差数列也不是等比数列
3． (2023·全国·高三专题练习）若数列满足,,则______ ．
4． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.数列的通项公式 .
5． (2023·四川·什邡中学）数列的前项和，则它的通项公式是_______．
6． (2023·安徽宿州）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为______．
7． (2023·北京交通大学附属中学高二期中）已知数列满足，则____.
8． (2023·山西太原·二模（文））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
题组四 构造等差数列
1． (2023·全国·课时练习）在数列中，若，则________.
2． (2023·湖北·荆州中学）已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______．
3． (2023·全国·课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式 ；
4． (2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，．求数列的通项公式 ；
5． (2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式 .
题组五 构造等比数列
1． (2023·四川师范大学附属中学二模）已知数列满足，且前8项和为761，则______．
2．（2022·山西）已知数列满足，，则___________.
3． (2023·全国·专题练习）已知数列满足：，，则( )
A．B．C．D．
4． (2023·黑龙江）已知数列的通项公式为，求数列的通项公式 .
4.3 利用递推公式求通项（精练）（基础版）
题组一 累加法
1． (2023·陕西·无高三阶段练习）若数列满足且，则数列的第100项为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【解析】由题意，因为，
所以，

，
，
以上99个式子累加得，
．
故选：B．
2． (2023·四川·树德中学）已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，，，，式相加可得，
所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.
故选：C
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故选：B.
4． (2023·全国·高三专题练习）数列满足，且（），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，，…，，
∴，即，
∴，．
∵符合上式，
∴．
∴，
，
，
．
故选：A．
5． (2023·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，则通项公式an＝________．
【答案】2n－1
【解析】由题意得an＋1－an＝2n，把n＝1，2，3，…，n－1(n≥2)代入，得到(n－1)个式子，累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以，即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1．当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1．故答案为：2n－1
6． (2023·全国·高三专题练习）已知，求通项= .
【答案】
【解析】 ， ， ，，
，以上各式相加得，
又，所以 ，而也适合上式， .
7． (2023·重庆·模拟预测）已知数列满足.
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求的通项公式.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由题，即，是公差为4的等差数列.
(2)
，累加可得
，当时也满足上式.
题组二 累乘法
1． (2023·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
【答案】
【解析】因为a1=1，(n≥2)，所以，
所以·…··1=.
又因为当n=1时，a1=1，符合上式，所以an=.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】由，得，
所以当时，，
因为，所以，
又因为时，满足上式，所以
3． (2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，求的通项公式 .
【答案】
【解析】由得，，
，
即，所以.
4． (2023·全国·高三专题练习）在数列中，，求数列的通项公式 .
【答案】
【解析】依题意，，
即，
所以当时
当时也满足上式
所以
5． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.
【答案】.
【解析】由，得，
又，所以当时，，
又也满足上式，所以；
题组三 公式法
1． (2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（ ）
A．3-2nB．3+2nC．1+2nD．1-2n
【答案】D
【解析】当n=1时，；当时，，于是是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以.故选：D.
2． (2023·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）(多选）数列的前项为，已知，下列说法中正确的是（ ）
A．为等差数列B．可能为等比数列
C．为等差数列或等比数列D．可能既不是等差数列也不是等比数列
【答案】BD
【解析】依题意，，
当时，，
当时，，，
两式相减得，
，
，
当时，，则数列是首项为，公比为的等比数列.
当时，，则数列是首项为，公差为的等差数列，
当，交替成立时，既不是等差数列也不是等比数列.
故选：BD
3． (2023·全国·高三专题练习）若数列满足,,则______ ．
【答案】
【解析】得, ,
所以有,因此.
故答案为
4． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.数列的通项公式 .
【答案】
【解析】，
当时，
当时，，
两式相减得：，即，，
，，，，
累乘得：，所以，
故答案为：.
5． (2023·四川·什邡中学）数列的前项和，则它的通项公式是_______．
【答案】
【解析】当时，，
当时，
经检验当时不符合，
所以，
故答案为：，
6． (2023·安徽宿州）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为______．
【答案】
【解析】当时，，得，
当时，由，得，
所以，
所以，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，
故答案为：
7． (2023·北京交通大学附属中学高二期中）已知数列满足，则____.
【答案】
【解析】因为，
所以当时，有，
，得，
当时，也适合，
故答案为：
8． (2023·山西太原·二模（文））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
【答案】n
【解析】∵，∴
当时，，
当时，成立，
∴，
当时，，
当时，满足上式，
∴.
故答案为：n
题组四 构造等差数列
1． (2023·全国·课时练习）在数列中，若，则________.
【答案】
【解析】取倒数得:，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
2． (2023·湖北·荆州中学）已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______．
【答案】
【解析】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以故答案为：.
3． (2023·全国·课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式 ；
【答案】．
【解析】由，得：，∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得．
4． (2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，．求数列的通项公式 ；
【答案】
【解析】因为，所以令，则，解得，
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以；
5． (2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式 .
【答案】
【解析】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴.
题组五 构造等比数列
1． (2023·四川师范大学附属中学二模）已知数列满足，且前8项和为761，则______．
【答案】
【解析】数列满足，整理得，若，则，显然不符合题意，所以，则（常数）；所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以，整理得；由于前8项和为761，
所以，解得．故答案为：．
2．（2022·山西）已知数列满足，，则___________.
【答案】
【解析】由已知可得，设，则，
所以，，可得，所以，，且，
由题意可知，对任意的，，则，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
所以，，因此，.
故答案为：.
3． (2023·全国·专题练习）已知数列满足：，，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，即，故，
又因为，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
从而，解得.故选：C.
4． (2023·黑龙江）已知数列的通项公式为，求数列的通项公式 .
【答案】
【解析】因为，所以，则，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，所以.