2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 4.4 求和方法（精练）（基础版）（原卷版+解析版）

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2． (2023·全国·高三专题练习）已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．
3． (2023·宁夏石嘴山·一模）已知为等比数列，前n项和为，，.
(1)求的通项公式及前n项和；
(2)若，求数列的前100项和.
4． (2023·陕西·西安工业大学附中）设数列的前n项积为，且.
(1)求证数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
5． (2023·河北衡水·高三阶段练习）已知数列的前项和为，若（为非零常数），且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和，并证明：.
6． (2023·黑龙江·哈九中二模）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求的前n项和
7． (2023·广东梅州·二模）已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
8． (2023·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
题组二 错位相减
1． (2023·安徽黄山·二模）已知等差数列和等比数列满足，若数列的前项和为，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前n项和.
2． (2023·安徽黄山·二模）已知数列、满足，若数列是等比数列，且 ．
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，求的前项和为.
3． (2023·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．
从① ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.
4． (2023·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知数列，，．
(1)求，，，并求出数列的通项公式；
(2)记为数列的前项和，求．
5． (2023·天津·芦台二中模拟预测）设数列的前项和为，为等比数列，且
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列前项和.
6． (2023·安徽宣城·二模）数列的前n项和为，且，记为等比数列的前n项和，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前n项和．
7． (2023·陕西·模拟预测）已知等比数列为递增数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
8． (2023·海南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，公比为的等比数列满足.
(1)求数列、的通项公式；
(2)求数列的前项和.
9． (2023·云南·昆明一中）已知数列的前n项和.
(1)判断数列是否为等比数列，说明理由；
(2)若，求数列的前n项和.
10． (2023·河南濮阳·一模（理））已知等差数列中，，，数列的前n项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
11． (2023·湖南常德·一模）设各项非负的数列的前项和为，已知，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和.
题组三 分组求和
1． (2023·陕西商洛·一模）已知正项等比数列{}满足
(1)求{}的通项公式：
(2)求数列{}的前n项和.
2． (2023·广东·翠园中学）已知数列是公比为2的等比数列，是和的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
3． (2023·重庆巴蜀中学）已知等差数列中，公差d为整数，其前n项和为．满足，且是和的等比中项．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求．
4． (2023·河北唐山·二模）已知等比数列满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)记，，求数列的前n项和．
5． (2023·福建省福州第一中学）已知等差数列中，．
(1)求；
(2)设，求的前项和．
6． (2023·浙江·杭州市余杭中学）已知为等差数列，为等比数列，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：；
(3)对任意的正整数，设，求数列的前项和．
7． (2023·广东韶关·二模）已知数列前项和为，
(1)证明：
(2)设 求数列的前项和．
8． (2023·北京市房山区房山中学）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前项的和．
题组四 倒序相加
1． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．
2．（2022·山西）设函数，数列满足，则______.
3．（2022·河南）已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.
4（2022·陕西）已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为______.
5．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数,,,则______.
4.4 求和方法（精练）（基础版）
题组一 裂项相消
1． (2023·安徽滁州·二模）已知数列满足：，设，．则__________．
【答案】
【解析】依题意，，
所以数列是首项，公比为的等比数列，所以，.
，也满足，
所以，，
所以.故答案为：
2． (2023·全国·高三专题练习）已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．
【答案】
【解析】当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，
当n≥2时，，
且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，
则，
则．故答案为：．
3． (2023·宁夏石嘴山·一模）已知为等比数列，前n项和为，，.
(1)求的通项公式及前n项和；
(2)若，求数列的前100项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)解：设公比为，
∵，，∴，∴，∴；
(2)解：∵，∴，
∴.
4． (2023·陕西·西安工业大学附中）设数列的前n项积为，且.
(1)求证数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)因为数列的前n项积为，且，
∴当n=1时，，则，.
当n≥2时，，∴，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
(2)由（1）知数列，则由得，
所以，
所以.
5． (2023·河北衡水·高三阶段练习）已知数列的前项和为，若（为非零常数），且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和，并证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)数列的前项和为 时, ,解得0 ①
当时， ②①-②得 ,则即 (常数)
所以数列是以为首项,为公比的等比数列.则
又，则，所以或（舍）故.
(2)由于所以=
则
因为，所以，所以
又所以随的增大而减小
所以当时，取得最大值故
6． (2023·黑龙江·哈九中二模）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求的前n项和
【答案】(1)证明见解析，(2)
【解析】(1)当时，，得，
当时，有，，相除得
整理为：，即，
∴为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为：.
(2)，
7． (2023·广东梅州·二模）已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【解析】(1)解：选条件①：，，得，所以，，
即数列、均为公差为的等差数列，
于是，
又，，，所以；
选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，
得，所以，
所以的公差为，
得到，则，
当，.
又满足，所以，对任意的，.
(2)解：因为，
所以
.
8． (2023·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由，可得，即，
所以当时，，，，，
将上述式子进行累加得，-
将代入可得，即.
当时也满足上式，
所以数列的通项公式.
(2)解：由（1）得，
则.
题组二 错位相减
1． (2023·安徽黄山·二模）已知等差数列和等比数列满足，若数列的前项和为，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前n项和.
【答案】(1)，;(2).
【解析】(1)由①，可得（）②，
由①②得（）
又也符合上式，所以，
由得，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则有
，
令，有，
令，有
解得，或者
取，有，检验得（舍去）
所以，；
(2)由得，
所以
则
两式相减得，
2． (2023·安徽黄山·二模）已知数列、满足，若数列是等比数列，且 ．
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，求的前项和为.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)
当时，， ，又，∴
是以为首项，为公比的等比数列，
∴当时，
由累加法可得：，
又当时，也适合上式，∴
(2)
∴①
∴②
①-②得：
∴
3． (2023·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．
从① ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)①，
当时，，；当时，②①-②得，即
又，∴数列是从第2项起的等比数列，即当时，．．
(2)若选择①：，
．
若选择②，则③，④，
③-④得，．
4． (2023·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知数列，，．
(1)求，，，并求出数列的通项公式；
(2)记为数列的前项和，求．
【答案】(1)，，，；(2)
【解析】(1)解：由题意，数列中，，，
所以，，，
两边同除，可得，即，
设，可得，
令，解得，所以，
因为，所以，
所以，可得，
所以数列的通项公式为.
(2)解：由，可得，
则，
可得，
两式相减得到，
所以.
5． (2023·天津·芦台二中模拟预测）设数列的前项和为，为等比数列，且
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列前项和.
【答案】(1)，；(2).
【解析】（1）对数列，由，，
当时，，也满足，
对数列，设其公比为，，由可得，解得，故.
(2)因为，
故
，
故，
，
.
6． (2023·安徽宣城·二模）数列的前n项和为，且，记为等比数列的前n项和，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)解：当时，．
当时，也满足上式，故数列的通项公式为．
设的公比为q，当时，由题意可知，，显然不成立．
当时，依题意得，解得，所以．
(2)解：由（1）得，则
①，
②
①—②得：
，
所以
7． (2023·陕西·模拟预测）已知等比数列为递增数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)解：由题意，，解得或，
因为等比数列为递增数列，所以，所以；
(2)解：由（1）知，
所以数列的前n项和为，①
，②
① ② 得，
所以，
又因为，所以，所以.
8． (2023·海南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，公比为的等比数列满足.
(1)求数列、的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以，，，则.
(2)解：因为，则，①
，②
①②得，
因此，.
9． (2023·云南·昆明一中）已知数列的前n项和.
(1)判断数列是否为等比数列，说明理由；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)不是等比数列，证明见解析(2)
【解析】(1)当时，，因为，
所以数列的通项公式：，
所以，，所以，所以不是等比数列.
(2)由（1）得：，所以，
当时，
当时，，①
，②
由①-②得：，
所以，当时，也满足所以
10． (2023·河南濮阳·一模（理））已知等差数列中，，，数列的前n项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为d．
由，得．解得.
故．
当时，，得．
当时，由，得，两式相减得，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，所以．
(2)依题意，，所以，，
两式相减，得 解得．
11． (2023·湖南常德·一模）设各项非负的数列的前项和为，已知，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)当时，，
当时，①，②.
①-②得，即，
∵，∴，
∴数列从第2项起是公差为1的等差数列.
∴，
又，，成等比数列，∴，即，
解得，∴，
∵，∴，适合上式，
∴数列的通项公式为.
(2)，
∴数列的前项的和为
③
④
③-④得，∴.
题组三 分组求和
1． (2023·陕西商洛·一模）已知正项等比数列{}满足
(1)求{}的通项公式：
(2)求数列{}的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由，得，解得：
又，所以，因为，所以，所以
(2)
2． (2023·广东·翠园中学）已知数列是公比为2的等比数列，是和的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由题意，且公比所以，，，
所以；
(2)由（1），
．
3． (2023·重庆巴蜀中学）已知等差数列中，公差d为整数，其前n项和为．满足，且是和的等比中项．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)由题：，∴
由于是和的等比中项，故
则，又d为整数，解得，所以
∴，；
(2)；
∴．
4． (2023·河北唐山·二模）已知等比数列满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)记，，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因为等比数列满足，，设公比为，
所以，解得，
所以；
(2)解：由（1）知，，
所以数列的前n项和.
5． (2023·福建省福州第一中学）已知等差数列中，．
(1)求；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为，∵，所以，
可得，两式相减可得：，所以
所以可得：；
(2)由（1）知：，所以，
6． (2023·浙江·杭州市余杭中学）已知为等差数列，为等比数列，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：；
(3)对任意的正整数，设，求数列的前项和．
【答案】(1)，(2)证明见解析(3)
【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
∵，，可得．∴．
∵，，且，可得，解得，∴．
(2)由题可知，
故，，
作差得：，因此，.
(3)由题可知，
故当为奇数时，，
故记.
当偶数时，
记，，
故，
因此，；
故所求
.
7． (2023·广东韶关·二模）已知数列前项和为，
(1)证明：
(2)设 求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)解：由题可知，
当时，解得，所以
又因为，
将其与两式相减得：，
因为，有.
当时，上式也成立，
综上，.
(2)解：当n为大于1的奇数时，
有，，，…，
累加得
又满足上式，所以n为奇数时；
当n为大于2的偶数时，有，，，…，
累加得，满足上式，又，
综上可知
.
8． (2023·北京市房山区房山中学）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前项的和．
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)由题设，
所以，而，则，
由，则，故.
综上，，.
(2)由（1）知：，
所以.
题组四 倒序相加
1． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．
【答案】
【解析】因为，所以．因为数列是等比数列，所以，即．设 ①，又＋…＋ ②，①+②，得，所以．
2．（2022·山西）设函数，数列满足，则______.
【答案】
【解析】由题得,，
两式相加得，
考虑一般情况，设,
则
所以
故答案为：
3．（2022·河南）已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为等差数列的前项和为，且，
所以，解得：，
则，（且）
因为，则，
所以
设，
则，
由上述两式相加得：
，
则
故答案为：1009.
4（2022·陕西）已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为______.
【答案】
【解析】依题意，函数，，所以，
数列满足，
所以，.，
设此数列前2019项的和，则有：
，
，
所以，即.
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数,,,则______.
【答案】
【解析】函数，，可得，
即有：，
又，
可得：，，
即有.故答案为：.