2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了坐标运算，巧建坐标，平面向量与其他知识综合等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 坐标运算
【例1-1】 (2023·广东广州·三模）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例1-2】 (2023·福建·三明一中）（多选）已知向量，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则D．若，向量在方向上的投影为
【一隅三反】
1． (2023·辽宁·沈阳市）（多选）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．向量，夹角为
2． (2023·福建省福州格致中学）（多选）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．与可以作为平面内的一组基底
3． (2023·浙江·海宁中学）（多选）设是两个非零向量，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在方向上的投影向量为D．
4． (2023·江苏·模拟预测）（多选）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
考点二 巧建坐标
【例2-1】 (2023·全国·高三专题练习）如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·河南）在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】． (2023·上海松江·二模）已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·贵州贵阳）在边长为2的正方形中，是的中点，则（ ）
A．2B．C．D．4
2． (2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点三 平面向量与其他知识综合
【例3-1】 (2023·四川成都）已知向量，，，若，则（ ）
A．2B．-2C．3D．
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）在△中，“ ”是“△为钝角三角形” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例3-3】 (2023·广东东莞）已知等差数列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过点，则等于（ ）
A．1006B．2012C．D．
【例3-4】 (2023·安徽六安一中）过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是( )
A．2.B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·河北·高三专题练习）在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形D．等腰非等边三角形
2． (2023·浙江·高三专题练习）下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
3． (2023·湖南·长郡中学模拟预测）（多选）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得B．当时，与垂直
C．对任意，都有D．当时，
4 (2023·全国高三专题练习）已知直线上有三点，，，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．3C．D．
5． (2023·湖南雅礼中学高三）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 坐标运算
【例1-1】 (2023·广东广州·三模）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】，A正确；，B正确；
，则，C正确；
，D错误.故选：ABC.
【例1-2】 (2023·福建·三明一中）（多选）已知向量，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则D．若，向量在方向上的投影为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，若，则，解得，A对；
对于B选项，若，则，
所以，，B对；
对于C选项，若与的夹角为钝角，则，可得，
且与不共线，则，故当与的夹角为钝角，则且，C错；
对于D选项，若，则，所以，向量在方向上的投影为，D对.故选：ABD.
【一隅三反】
1． (2023·辽宁·沈阳市）（多选）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．向量，夹角为
【答案】AC
【解析】由，可得，
又，则，
即，则.则选项A判断正确；选项D判断错误；
，则选项B判断错误；
，则选项C判断正确.故选：AC
2． (2023·福建省福州格致中学）（多选）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．与可以作为平面内的一组基底
【答案】ABD
【解析】据题意
因为
所以,所以对
因为,所以,所以对.
因为
所以,所以错
因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确故选：ABD
3． (2023·浙江·海宁中学）（多选）设是两个非零向量，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在方向上的投影向量为D．
【答案】ABC
【解析】因为，所以，所以，所以选项A正确；
因为，所以，即有，所以，所以选项B正确；
因为，所以在方向上的投影向量为，所以选项C正确；
由向量数量积的定义可知，，所以，所以选项D错误.故选：ABC.
4． (2023·江苏·模拟预测）（多选）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.
对于B，由，得，
则解得，故，所以B正确.
对于C，因为，
所以，
则当时，取得最小值，为，所以C正确.
对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角，
所以，解得；
当向量与向量共线时，，解得，
所以的取值范围是，所以D不正确.故选：ABC
考点二 巧建坐标
【例2-1】 (2023·全国·高三专题练习）如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
又，，，则，即，即，
则，则，，
则；故选：C．
【例2-2】 (2023·河南）在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
，，，
则，，，设，则，
则，，，，，，
，
，其中，
，当时，，当时，，
当时，取得最大值，最大值为．故选：A．
【例2-3】． (2023·上海松江·二模）已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
则，，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，则，
，知，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即.
综上可得，，故选：C
【一隅三反】
1． (2023·贵州贵阳）在边长为2的正方形中，是的中点，则（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】A
【解析】在平面直角坐标系中以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则，，，，所以，故选：A
2． (2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，，，
设，则，，，
所以，
所以
；
所以当，时，取得最小值是．
故选：B．
3． (2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，
圆方程为，在圆上，设，
，，
，
，所以．
故选：B．
4． (2023·全国·高三专题练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D

考点三 平面向量与其他知识综合
【例3-1】 (2023·四川成都）已知向量，，，若，则（ ）
A．2B．-2C．3D．
【答案】C
【解析】由题意可得，即，
即，故 ，即，
由于，故（舍去），故选：C
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）在△中，“ ”是“△为钝角三角形” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由，即，又，
所以，不能推出△为钝角三角形，充分性不成立；
△为钝角三角形时，若，则，不能推出，必要性不成立.所以“ ”是“△为钝角三角形” 的既不充分也不必要条件.故选：D
【例3-3】 (2023·广东东莞）已知等差数列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过点，则等于（ ）
A．1006B．2012C．D．
【答案】A
【解析】，且、、三点共线（该直线不过点，；
数列是等差数列，；．故选：A
【例3-4】 (2023·安徽六安一中）过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是( )
A．2.B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为，由得到，由得到，
而，，即点A是线段FB的中点，
所以，所以.故选：D
【一隅三反】
1． (2023·河北·高三专题练习）在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形D．等腰非等边三角形
【答案】D
【解析】在中，，的角平分线与垂直，为等腰三角形；
又，，，为等腰非等边三角形.故选：D
2． (2023·浙江·高三专题练习）下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
【答案】D
【解析】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.
B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.
C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.
D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.故选：D
3． (2023·湖南·长郡中学模拟预测）（多选）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得B．当时，与垂直
C．对任意，都有D．当时，
【答案】BD
【解析】对于选项A：若，则，即，
所以不存在这样的，故A错误；
对于选项B：若，则，即，得，故B正确；
对于选项C：，当时，，
此时，故C错误；
对于选项D：，两边同时平方得，化简得，等式两边同除以得，
即，所以，故D正确.
故选：BD.
4 (2023·全国高三专题练习）已知直线上有三点，，，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【解析】点、、是直线上不同的三点，
存在非零实数，使；
若，
，；
；
数列是等差数列，；．故选：A．
5． (2023·湖南雅礼中学高三）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，
所以，
，设直线的倾斜角为，则为钝角，，
结合解得，
设，则，
，
将点坐标代入双曲线方程得，而，
所以，
化简得，
，
，
，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A.