2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了条件概型等内容，欢迎下载使用。

1． (2023·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：
(1)求a；
(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.
【答案】(1)(2)74.4分钟(3)
【解析】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，解得.
（2）因为，.则中位数位于区间内，设中位数为x，则，解得，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.
（3）由题意，阅读时间位于的人数为，阅读时间位于的人数为，阅读时间位于的人数为，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为，则抽取的5人中位于区间有1人，设为a，位于区间有2人，设为，，位于区间有2人，设为，.则从5人中任取3人，样本空间.含有10个样本点.设事件A为“恰有2人每天阅读时间在”，，含有3个样本点.所以，所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为.
2． (2023·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：）的频率分布表.
(1)求该校学生总数及频率分布表中实数的值；
(2)已知日睡眠时间在区间的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.
【答案】(1)1800人，(2)
【解析】(1)设该校学生总数为，由题意，解得，
该校学生总数为1800人.由题意，解得，
(2)记“选中的2人恰好为一男一女”为事件，
记5名高二学生中女生为，男生为，
从中任选2人有以下情况：，，基本事件共有10个，其中事件包含的基本事件有6个，故，
所以选中的2人恰好为一男一女的概率为.
3． (2023·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这100人的平均成绩；
(2)若成绩在的学生中恰有两位是男生，现从成绩在的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.
【答案】(1)分(2)
【解析】(1)由频率分布直方图可知，解得，
所以这100人的平均成绩为：，
即这100人的平均成绩为分.
(2)依题意可知成绩在的有人，
其中位男生、位女生，设位女生分别为、、，位男生为、，
从中任取3人的取法有、、、、，，，，，共种取法，
其中恰有一个男生的有、、、，，共种，
所以恰有一位男生的概率.
4． (2023·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：
假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题：
(1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率；
(2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；
(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率．
【答案】(1)(2)23（元）(3)
【解析】(1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有（位），
所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率
(2)第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为（元），
第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为（元），
第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为（元），
第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为（元），
第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润为（元）
所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为（元）
(3)由题意知，从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人，2人，
这6人中，将消费3次的会员分别记为a，b，c，d，消费4次的会员分别记为e，f
从6人中随机抽取3人的情况有
;;;;
;；；；，共20种
设“抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次”为事件A，则事件A包含的情况有
，共12种．
根据古典概型的概率计算公式可得，
5． (2023·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.
【答案】(1)众数为70，平均数为65；(2)
【解析】(1)由频率分布直方图可知，众数为；
5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，所以平均数为
；
(2)由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1，
则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人，
所以按分层抽样的方法抽到的6人中，
第一组抽2人，记为；第二组抽4人，记为，
则，
设事件为抽到的2人来着不同的组，
则，所以.
题组二 条件概型
1． (2023·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设事件表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数为奇数”，
事件表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，两次点数和不大于”，
则，,所以.故选：D.
2 (2023·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件“恰好抽取的是2，4”，“恰好抽取的是4，5”，“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题知，从6个数中随机抽取2个数，共有种可能情况，则，．
对于A选项，“恰好抽取的是2，4”和“恰好抽取的是4，5”为互斥事件，，，故A错误；
对于B选项，，故B错误；
对于C选项，，故C错误；
对于D选项，由于，故由条件概率公式得，故D正确．
故选:D．
3． (2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；
因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
因为，所以，故选项D正确.
故选：C.
4． (2023·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为.故选：D
5． (2023·黑龙江）已知，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.故选：A.
6． (2023·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令事件“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则样本空间，且互斥，，
依题意，，
解得，所以所求近视的概率为.
故选：.
7． (2023·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为，连续闯过前三关的概率为，且各关相互独立.事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第三关闯关成功，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设事件表示小明第二关闯关成功，可得，
由条件概率的计算公式，可得.故选：D.
8． (2023·山东济宁）（多选）设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】对A，当不互斥时，不成立，故A错误；
对B，当为对立事件时，，则不成立，故B错误；
对C，当时，成立，当时，根据条件概率的公式可得成立，故C正确；
对D，根据条件概率的公式，结合C选项可得成立，故D正确；
故选：CD
9． (2023·福建福州）（多选）甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）
A．事件与事件相互独立B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由题意知：，，，，，，
，D正确；
，B正确；
，C错误；
，，
，事件与事件不相互独立，A错误.故选：BD.
题组三 古典与条件综合运用
1． (2023·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】A
【解析】4号卡片“第一次被抽到的概率”，
“第二次被抽到的概率”，
“在整个抽样过程中被抽到的概率”．
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)；
【解析】（1）由已知，又，，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，所以所以，(ii) 由已知，，又，，所以
3． (2023·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件，第2次抽到舞蹈节目为事件，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件，从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为，根据分步计数原理有，所以.
(2)由(1)知，，所以.
(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
.分组
频数
频率
5
8
12
10
合计
50
1
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
0.80
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
频数
60
20
10
5
5
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）
题组一 古典概型
1． (2023·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：
(1)求a；
(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.
2． (2023·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：）的频率分布表.
(1)求该校学生总数及频率分布表中实数的值；
(2)已知日睡眠时间在区间的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.
3． (2023·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这100人的平均成绩；
(2)若成绩在的学生中恰有两位是男生，现从成绩在的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.
4． (2023·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：
假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题：
(1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率；
(2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；
(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率．
5． (2023·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.
题组二 条件概型
1． (2023·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
2 (2023·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件“恰好抽取的是2，4”，“恰好抽取的是4，5”，“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·黑龙江）已知，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
6． (2023·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）
A．B．C．D．
7． (2023·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为，连续闯过前三关的概率为，且各关相互独立.事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第三关闯关成功，则（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·山东济宁）（多选）设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
9． (2023·福建福州）（多选）甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）
A．事件与事件相互独立B．
C．D．
题组三 古典与条件综合运用
1． (2023·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
2．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
3． (2023·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.分组
频数
频率
5
8
12
10
合计
50
1
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
0.80
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
频数
60
20
10
5
5
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828