2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 4.3 利用导数求极值最值（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 4.3 利用导数求极值最值（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了无参函数的极值，已知极值求参数，无参函数的最值，已知最值求参数，最值极值综合运用等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 无参函数的极值（点）
【例1】 (2023·天津市滨海新区塘沽第一中学）函数在区间上的极小值点是（ ）
A．0B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·天津·耀华中学）已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为（ ）
A．B．1C．D．2
2． (2023·天津·崇化中学）函数有（ ）
A．极大值为5，无极小值B．极小值为，无极大值
C．极大值为5，极小值为D．极大值为5，极小值为
3． (2023·重庆八中模拟预测）（多选）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．是的最小值点 B．是的极大值点
C．是的极大值点 D．是的极大值点
考点二 已知极值（点）求参数
【例2-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·陕西）已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·广东·惠来县第一中学）若函数在处有极值，则（ ）
A．B．
C．D．a不存在
2． (2023·河南）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·江西鹰潭）已知函数的极大值点，极小值点 ，则的取值范围是 （ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·河南洛阳·三模（理））若函数在上有且仅有6个极值点，则正整数的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
考点三 无参函数的最值
【例3】 (2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·海南华侨中学）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上递增B．函数无极小值
C．函数只有一个极大值D．函数在上最大值为3
2． (2023·四川省成都市新都一中）函数在区间上的最大值为______．
3． (2023·四川·威远中学校）对任意，存在，使得，则的最小值为_____.
考点四 已知最值求参数
【例4-1】 (2023·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【例4-2】 (2023·辽宁·大连二十四中模拟预测）若将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·江西省丰城中学模拟预测（文））已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·河南洛阳）若曲线与曲线：=有公切线，则实数的最大值为（ ）
A．+B．-C．+D．
4 (2023·吉林·延边二中）若函数最小值为，最小值为，则+=（ ）
A．-2B．0C．2D．-4
考点五 最值极值综合运用
【例5】 (2023·浙江嘉兴）已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
【一隅三反】
1． (2023·河北·石家庄二中）已知函数．
(1)当时，证明：当时，；
(2)若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．
2． (2023·四川省成都市新都一中）已知函数．
(1)当时，若对任意，恒成立，求b的取值范围；
(2)若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．
3． (2023·全国·哈师大附中）已知函数 ，为的导函数．
(1)证明：当时，函数在区内存在唯一的极值点，；
(2)若在上单调递减，求整数a的最小值．
4.3 利用导数求极值最值（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 无参函数的极值（点）
【例1】 (2023·天津市滨海新区塘沽第一中学）函数在区间上的极小值点是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，所以在上，递减，在上，递增，
所以极小值点为.故选：B
【一隅三反】
1． (2023·天津·耀华中学）已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】，由题意有，解得，所以，令，解得或，所以函数的另一个极值点为．
故选：A．
2． (2023·天津·崇化中学）函数有（ ）
A．极大值为5，无极小值B．极小值为，无极大值
C．极大值为5，极小值为D．极大值为5，极小值为
【答案】A
【解析】,
由，得，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在时，取得极大值，无极小值.故选：A
3． (2023·重庆八中模拟预测）（多选）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．是的最小值点 B．是的极大值点
C．是的极大值点 D．是的极大值点
【答案】BD
【解析】对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；
对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；
对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；
对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.
故选：BD.
考点二 已知极值（点）求参数
【例2-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数，导函数.
因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．
，解得：，实数a的取值范围.故选：C．
【例2-2】 (2023·陕西）已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，令，
若，则 ，此时在单调递增，在 单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去.
若，可知是的极大值点，故不符合题意.
若，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意.
当 ，，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极小值点，符合题意.
若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.
综上可知：故选：B
【一隅三反】
1． (2023·广东·惠来县第一中学）若函数在处有极值，则（ ）
A．B．
C．D．a不存在
【答案】B
【解析】因为函数，故
又函数在处有极值，故，解得.经检验满足题意故选：B.
2． (2023·河南）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，令，
因为函数有两个极值点，
所以有两个不同的解，且在零点的两侧符号异号.
，
当时，，在上单调递增，故不可能有两个零点.
当时，时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
所以 ，即，.
当时，，故在上有一个零点；
当时，，
所以在上有一个零点，综上，，故选：D.
3． (2023·江西鹰潭）已知函数的极大值点，极小值点 ，则的取值范围是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
又因为当时取得极大值，当时取得极小值，可得、是方程的两个根，根据一元二次方程根的分布可得
即：作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包括边界），可求出边界交点坐标分别为 、、，表示平面区域内的点与点连线的斜率，由图可知 ，根据倾斜角的变化，可得
故选:B
4． (2023·河南洛阳·三模（理））若函数在上有且仅有6个极值点，则正整数的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】设，则当时，
由在上有且仅有6个极值点，则在上有且仅有6个极值点.
如图由正弦函数的图像性质可得
解得，所以正整数的值为3
故选：B
考点三 无参函数的最值
【例3】 (2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D
【一隅三反】
1． (2023·海南华侨中学）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上递增B．函数无极小值
C．函数只有一个极大值D．函数在上最大值为3
【答案】C
【解析】因为定义域为，
所以，
所以当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
即，，
又，，故函数在上最大值为；
故选：C
2． (2023·四川省成都市新都一中）函数在区间上的最大值为______．
【答案】
【解析】对求导，可得：
故在区间上单调递减，在区间单调递增
可得：，，
可得：
故在区间上的最大值为
故答案为：
3． (2023·四川·威远中学校）对任意，存在，使得，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】由得：，令，则，；
，
令，则，令，则，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即的最小值为.
故答案为：.
考点四 已知最值求参数
【例4-1】 (2023·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.
【例4-2】 (2023·辽宁·大连二十四中模拟预测）若将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以将函数的图象向左平移个单位，可得，
令，解得
即函数的单调递增区间为，
令，可得函数的单调递增区间为，
又由函数在区间上无极值点，则的最大值为.故选：A.
【一隅三反】
1． (2023·江西省丰城中学模拟预测（文））已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
若函数在上有最小值，即在先递减再递增，即在先小于0，再大于0，
令，得，令，，
只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，
设切点是，，则切线方程是：，将代入切线方程得：，
故切点是，切线的斜率是1，只需即可，解得，即，故选：D．
2． (2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，即，
构造函数，所以
，令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，故，两边取对数得：，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，所以故a的最小值是．
当时，，从四个选项均为负，考虑，此时有，
两边取对数得：，所以令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，无最大值，
此时无解，综上：故a的最小值是．故选：C
3． (2023·河南洛阳）若曲线与曲线：=有公切线，则实数的最大值为（ ）
A．+B．-C．+D．
【答案】C
【解析】设在曲线上的切点为，则切线斜率为，
在曲线上的切点为，切线斜率为，
所以切线方程分别为、，
即、，
有，整理得，
设，则，
令，令，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上，如图，
由图可知，即k的最大值为.故选：C.
4 (2023·吉林·延边二中）若函数最小值为，最小值为，则+=（ ）
A．-2B．0C．2D．-4
【答案】A
【解析】由题意知：、定义域均为；
，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
又当时，，当时，，
，使得，此时，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
；
令，则，令，解得：，令，解得：
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
，，使得，，
即，，，；
当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
的极小值，，
；
.故选：A.
考点五 最值极值综合运用
【例5】 (2023·浙江嘉兴）已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)当时，，故，
故在点处的切线方程为，化简得．
(2)由题意知有且只有一个根且有正有负．
构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，,
设，故，
故在上为增函数，故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点．
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：．
(3)由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．
当时，，故，所以的最小值为e；
当时，当时，，
所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，因，所以代入得，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，
所以的最小值为．
【一隅三反】
1． (2023·河北·石家庄二中）已知函数．
(1)当时，证明：当时，；
(2)若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由题意得，则，当时，，
在上是减函数，∴，设，在上是增函数，
∴，∴当时，．
(2)，且，
令，得或a，
①当时，则，单调递减，函数没有极值；
②当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴在取得极大值，在取得极小值，则；
③当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴在取得极大值，在取得极小值，由得：，
综上，函数在区间上存在极大值时，a的取值范围为．
2． (2023·四川省成都市新都一中）已知函数．
(1)当时，若对任意，恒成立，求b的取值范围；
(2)若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题意，在上恒成立，即，
设，对称轴为，开口向上，
所以当时，，则．
(2)，且，
令，得或a．
①当时，则，单调递减，函数没有极值；
②当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∴在取得极大值，在取得极小值，则；
③当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∴在取得极大值，在取得极小值，
由得：．
综上，函数在上存在极大值时，a的取值范围为．
3． (2023·全国·哈师大附中）已知函数 ，为的导函数．
(1)证明：当时，函数在区内存在唯一的极值点，；
(2)若在上单调递减，求整数a的最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)当时， ，
，
，，
令 ，
则 ，所以导函数 在区间单调递减，
又 ，
，
据零点存在定理可知， 存在唯一零点，
使得 ，
所以当时， ，在区间上单调递增，
当]时， ，在区间上单调递减，
所以函数在区间内存在唯一的极值点，
又，所以；
(2)若在上单调递减，则 在上恒成立，
参变分离得 ，，
令 ，，
即是求 在 时的最大值，
，
当时， ，令 ，
则 ， 单调递增，
， ，
根据零点存在定理可知，存在唯一，
使得 ，
∴ 在上单调递减，在上单调递增，
，
， ， ，
根据零点存在定理可知，存在唯一，
使 ， ，
大致图像如下：
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
， ∴，，∴；
综上，a的最小值为1.