2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 4.3 利用导数求极值最值（精练）（提升版）（原卷版+解析版）

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A．1个B．2个C．3个D．4个
2． (2023·天津实验中学）下列函数中存在极值点的是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·福建省连城县第一中学）函数的极值点的个数是（ ）
A．B．C．D．无数个
4． (2023·全国·哈师大附中）已知是函数的一个极值点，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
5． (2023·辽宁·鞍山市华育高级中学）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数B．在区间上，是减函数
C．为的极小值点D．2为的极大值点
6． (2023·湖北·南漳县第一中学）函数的极大值为（ ）
A．-2B．2C．D．不存在
7 (2023·天津河北）设是函数f（x）的导函数，若函数f（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，B．当或时，
C．当或时，D．函数f（x）在处取得极小值
题组二 已知极值（点）求参数
1． (2023·山东潍坊）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·重庆·万州纯阳中学校）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·四川省成都市新都一中）已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·湖北）函数在内存在极值点，则（ ）
A．B．C．或D．或
5． (2023·河南）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6． (2023·安徽·蒙城第一中学）已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7 (2023·陕西·长安一中）已知在中，三个内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则角B的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·四川·绵阳中学实验学校）若函数在处有极值10，则（ ）
A．6B．C．或15D．6或
9． (2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））设函数，则下列不是函数极大值点的是（ ）
A．B．C．D．
10． (2023·全国·高三专题练习）已知t和是函数的零点，且也是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A．1B．4C．D．
11． (2023·广西·高三阶段练习（理））已知函数在其定义域的一个子区间上有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12． (2023·安徽·合肥市第八中学）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（ ）
A．-1B．2C．-3D．4
13． (2023·河北承德）已知是函数的极值点，则的极大值为_____．
14． (2023·北京·101中学）设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是______．
15． (2023·浙江宁波）已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是_______．
题组三 无参函数的最值
1． (2023·海南华侨中学）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上递增B．函数无极小值
C．函数只有一个极大值D．函数在上最大值为3
2． (2023·湖北·模拟预测），的最小值为___________．
3． (2023·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．
4． (2023·全国·高三专题练习）若实数a、b、c、d满足，则的最小值为______．
5． (2023·四川省成都市新都一中）函数在区间上的最大值为______．
6． (2023·天津实验中学）函数在区间上的最小值为__________．
7． (2023·四川·威远中学校）对任意，存在，使得，则的最小值为_____.
8． (2023·河南开封）已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________．
题组四 已知最值求参数
1． (2023·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·辽宁·鞍山市华育高级中学）已知，，若，则当取得最小值时，所在区间是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·河南·模拟预测（理））已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（ ）．
A．0B．1C．2D．e
4． (2023·辽宁·辽师大附中）设函数(n为正整数)，则在[0，1]上的最大值为（ ）
A．0B．C．D．
5． (2023·河南安阳）已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·江西）设两个实数a，b满足：，则正整数n的最大值为（ ）．（参考数据：）
A．7B．8C．9D．10
题组五 最值极值的综合运用
1． (2023·浙江·宁波市李惠利中学）（多选）对于函数，下列选项正确的是（ ）
A．函数极小值为，极大值为
B．函数单调递减区间为，单调递增区为
C．函数最小值为为，最大值
D．函数存在两个零点1和
2． (2023·福建泉州）（多选）函数在处取得极大值，则a的值可以是（ ）
A．-1B．0C．3D．4
3． (2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校）（多选）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
4． (2023·河南·三模）已知函数．
(1)讨论极值点的个数；
(2)证明：．
5． (2023·湖南·临澧县第一中学二模）已知函数.
(1)当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；
(2)讨论极值点的个数.
6． (2023·江西·上饶市第一中学模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在无零点，求实数a的取值范围．
7． (2023·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数的极值点的个数，并说明理由.
8． (2023·四川省峨眉第二中学校）已知，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若对恒成立,求实数b的最大值.
9 (2023·江苏·华罗庚中学三模）已知函数 ，（为自然对数的底数，）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，，当时，，求的最小值．
10． (2023·天津市新华中学）已知函数，其中且
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若存在，使函数，在处取得最小值，试求的最大值.
4.3 利用导数求极值最值（精练）（提升版）
题组一 无参函数的极值（点）
1. (2023·山东·巨野县实验中学）已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】由导函数在区间内的图像可知，
函数在内的图像与轴有四个公共点，
在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，
在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，
所以函数在开区间内的极小值有个，故选：A.
2． (2023·天津实验中学）下列函数中存在极值点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对选项A，，故没有极值点；
对选项B，，则极值点为，故正确；
对选项C，，故没有极值点；
对选项D，，故没有极值点；故选：B
3． (2023·福建省连城县第一中学）函数的极值点的个数是（ ）
A．B．C．D．无数个
【答案】A
【解析】由题，，故无极值点故选：A
4． (2023·全国·哈师大附中）已知是函数的一个极值点，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】，
∴，∴，∴故选：D
5． (2023·辽宁·鞍山市华育高级中学）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数B．在区间上，是减函数
C．为的极小值点D．2为的极大值点
【答案】D
【解析】由导函数的图像可知，
在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，则选项不正确；
在区间上，，则是增函数，则选项不正确；
由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项不正确；由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项正确；故选：D.
6． (2023·湖北·南漳县第一中学）函数的极大值为（ ）
A．-2B．2C．D．不存在
【答案】A
【解析】＝1－＝．令得或（舍）．
由于，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
故函数在处取得极大值．故选：A
7 (2023·天津河北）设是函数f（x）的导函数，若函数f（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，B．当或时，
C．当或时，D．函数f（x）在处取得极小值
【答案】D
【解析】A.由图象知：当时，函数f（x）递增，所以，故正确；
B.由图象知：当或时，函数f（x）递增，所以，故正确；
C.由图象知：当或时，函数f（x）分别取得极小值和极大值，故正确；
D.由图象知：函数f（x）在处取得极大值，故错误；故选：D
题组二 已知极值（点）求参数
1． (2023·山东潍坊）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对函数求导得：，
当或时，，当时，，即在，上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，在处取得极小值，
在同一坐标系内作出函数的图像和直线，如图，
观察图象知，当时，函数的图像与直线有3个不同的交点，
所以实数m的取值范围是.故选：B
2． (2023·重庆·万州纯阳中学校）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知：，若函数在上存在唯一极值点，
则，即，解得.故选：B.
3． (2023·四川省成都市新都一中）已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】；
在上没有极值，，即，
解得：，即实数的取值范围为.故选：C.
4． (2023·湖北）函数在内存在极值点，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】由题意知：在内存在变号零点，即在内有解，则，易得在内单调递减，值域为，故.故选：A.
5． (2023·河南）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意有两个不等实根，，
设，，
当时，，递增，当时，，递减，
时，为极大值也是最大值，
时，，所以，
时， ，与轴只有一个交点，
所以当，即时，直线与的图象有两个交点，即有两个不等实根．
故选：B.
6． (2023·安徽·蒙城第一中学）已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，由函数有两个极值点，
则等价于有两个解，即与有两个交点，
所以.
直线过点
由在点处的切线为，显然直线过点
当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，
，
令，则，
所以单调递增，，即，
故选： D.
7 (2023·陕西·长安一中）已知在中，三个内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则角B的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
若无极值点，即无变号零点，又二次函数开口向上，
所以恒成立，等价为判别式，即，得，
所以，因为，，所以的最大值为；故选：C．
8． (2023·四川·绵阳中学实验学校）若函数在处有极值10，则（ ）
A．6B．C．或15D．6或
【答案】B
【解析】 ，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意 故选：B
9． (2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））设函数，则下列不是函数极大值点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可得，
令，得或，，
则当时，，
当时，，
所以函数在，，上单调递增，在，，上单调递减，故不是函数极大值点的是.故选：D.
10． (2023·全国·高三专题练习）已知t和是函数的零点，且也是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】B
【解析】因函数在处取得极小值0，又t是函数的另一零点，因此函数只有两个零点，
从而有，求导得：，
当或时，，当时，，
于是，在处取得极小值，在处取得极大值，
所以的极大值为4.故选：B
11． (2023·广西·高三阶段练习（理））已知函数在其定义域的一个子区间上有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，令，即，解得，且，；，，∴在上单调递增，在上单调递减，
∴有极大值，∴，∴，故选：A.
12． (2023·安徽·合肥市第八中学）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（ ）
A．-1B．2C．-3D．4
【答案】B
【解析】，所以
因为函数在处取极小值，所以，所以，，，
令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.故选：B
13． (2023·河北承德）已知是函数的极值点，则的极大值为_____．
【答案】0
【解析】因为，所以，得，
所以，所以当时，，单调递减，
当或时，，单调递增，所以是的极大值点，则．
故答案为：0
14． (2023·北京·101中学）设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】,
因为是函数的两个极值点，且，
所以是方一元二次方程的两个实根，且，
所以，即，解得.故答案为：
15． (2023·浙江宁波）已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是_______．
【答案】
【解析】的定义域为

是函数的唯一极值点
是导函数的唯一根
（Ⅰ）在无变号零点
令 ，则 ，即在上单调递增
此时
（Ⅱ）当 在有解 时，此时 ，解得
此时 在 和 上均单调递增，不符合题意
故答案为：
题组三 无参函数的最值
1． (2023·海南华侨中学）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上递增B．函数无极小值
C．函数只有一个极大值D．函数在上最大值为3
【答案】C
【解析】因为定义域为，
所以，
所以当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
即，，
又，，故函数在上最大值为；
故选：C
2． (2023·湖北·模拟预测），的最小值为___________．
【答案】3
【解析】令，则
当时，单调增，
当时，令，
时，递减
时，递增
∴
综上：
故答案为：3．
3． (2023·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．
【答案】
【解析】当时，由可得，令，其中，
则，由，可得，列表如下：
如下图所示：
因为在内有且只有一个零点，则，
所以，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则当时，，
又因为，，所以，，
因此，在上的最大值与最小值的和为.
故答案为：.
4． (2023·全国·高三专题练习）若实数a、b、c、d满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】∵，
∴点是曲线上的点，是直线上的点，
∴．
∵，
由得，；由得．
∴当时，取得极小值为1． 如图，
要使最小，当且仅当过曲线上的点且与线平行时．
∵，直线的斜率，∴，
∴或（由于，故舍去）．∴．
设点到直线的距离为d，
则．
∵，∴的最小值为．
故答案为：.
5． (2023·四川省成都市新都一中）函数在区间上的最大值为______．
【答案】
【解析】对求导，可得：
故在区间上单调递减，在区间单调递增
可得：，，
可得：
故在区间上的最大值为
故答案为：
6． (2023·天津实验中学）函数在区间上的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
令，得，当时，，当时，，
所以当时，取得极小值，又，
所以在区间上的最小值为，故答案为：
7． (2023·四川·威远中学校）对任意，存在，使得，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】由得：，令，则，；
，
令，则，令，则，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即的最小值为.
故答案为：.
8． (2023·河南开封）已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________．
【答案】1
【解析】，，所以，
又因为是奇函数，所以，
所以当，，，
令，所以，
则在上单调递减，在上单调递增，所以.
所以当时，的最小值为1.故答案为：1.
题组四 已知最值求参数
1． (2023·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为对任意，当时，都有，所以在上单调递增，
则等价于，即，
令，，，
因为，所以，，所以，所以在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为；故选：B
2． (2023·辽宁·鞍山市华育高级中学）已知，，若，则当取得最小值时，所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，即，∴，，∴，
令，则，
令，则，
∴在上单调递增，且，
∴存在唯一使得，
当时，， ，当时，， ，
∴，
即取得最小值时，，
由零点的存在定理验证的根的范围，
当时，，当时，，
故，
故选：．
3． (2023·河南·模拟预测（理））已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（ ）．
A．0B．1C．2D．e
【答案】C
【解析】令，得到，
函数至多有2个不同的零点，等价于至多有两个不同的根，
即函数与至多有2个不同的交点
令，
则，
当时，，单调递增，
当或时，，单调递减，
所以与为函数的极值点，且，
且在R上恒成立，
画出的图象如下：
有图可知：或时，符合题意，
其中，解得：
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由可得：，所以，综上：实数a的最大值为2故选：C
4． (2023·辽宁·辽师大附中）设函数(n为正整数)，则在[0，1]上的最大值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
令，可得或或，
在上，即递增；在上，即递减，
所以在[0，1]上的最大值为.故选：D
5． (2023·河南安阳）已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意得当时恒成立
则，即
∴当时，在图像的下方
，则，则
故选：B．
6． (2023·江西）设两个实数a，b满足：，则正整数n的最大值为（ ）．（参考数据：）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】由题设且，令且，且，
所以，故时，时，
则上递增，上递减，即；
，故时，时，
则上递减，上递增，即；
综上，只需，整理得，取对数有，
所以时，不等式恒成立；
当时，，此时递增且，，
综上，，故n的最大值为9.
题组五 最值极值的综合运用
1． (2023·浙江·宁波市李惠利中学）（多选）对于函数，下列选项正确的是（ ）
A．函数极小值为，极大值为
B．函数单调递减区间为，单调递增区为
C．函数最小值为为，最大值
D．函数存在两个零点1和
【答案】AD
【解析】的定义域为，
所以，
所以为奇函数，
当时，，，
令，解得，
当时，，则为单调递增函数，
当时，，则为单调递减函数，
因为为奇函数，图象关于原点对称，
所以在上单调递减，在是单调递增，
所以的极小值为，极大值为，故A正确；
的单调递减区间为，单调递增区为，故B错误；
在无最值，故C错误；
令，解得，结合的单调性可得，存在两个零点1和，故D正确.
故选：AD
2． (2023·福建泉州）（多选）函数在处取得极大值，则a的值可以是（ ）
A．-1B．0C．3D．4
【答案】AB
【解析】，.
当时，令，，
，，单调递增，，，单调递减，则在处取得极大值；
当时，令，，.
当时，，，单调递增，在，，单调递减，则在处取得极大值；
当时，若，即时，在，，单调递增，，，单调递减，则在处取得极小值，不合题意，舍去；若，即时，恒成立，单调递增，不合题意，舍去；若，即时，在，，单调递增，，，单调递减，则在处取得极大值；综上所述：时，函数在处取得极大值.
故选：AB.
3． (2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校）（多选）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
【答案】ABC
【解析】对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，
对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，
对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，
对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，故选：ABC
4． (2023·河南·三模）已知函数．
(1)讨论极值点的个数；
(2)证明：．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析﹒
【解析】(1)由题意可知，，
对于二次函数，．
当时，，恒成立，f(x)在单调递减，有0个极值点；
当时，二次函数有2个大于零的零点，由数形结合可知，有2个极值点；
当时，二次函数只有1个大于零的零点，由数形结合可知，有1个极值点．
(2)要证，即证．
设，则，
在上为增函数，
∵，，
∴在上，存在唯一的m，使得，即，．
∴在上＜0，h(x)单调递减；在上，＞0，h(x)单调递增；
∴，当且仅当m＝1时取等号，
∵，∴等号不成立，∴，
∴，从而原不等式得证．
5． (2023·湖南·临澧县第一中学二模）已知函数.
(1)当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；
(2)讨论极值点的个数.
【答案】(1)；
(2)当时，函数有一个极值点；当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点.
【解析】
(1)因为，所以，
因为函数的定义域为：，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，
因此要想在上存在最大值，只需，
所以m的取值范围为；
(2)
，
方程的判别式为.
（1）当时，即，此时方程没有实数根，
所以，函数单调递减，故函数没有极值点；
（2）当时，即，
此时，（当时取等号），所以函数单调递减，故函数没有极值点；
（3）当时，即，此时方程有两个不相等的实数根，
设两个实数根为，设，则，
函数的定义域为：，显然
当时，此时方程有两个不相等的正实数根，
此时当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此当时，函数有极小值点，当时，函数有极大值点，
所以当时，函数有两个极值点，
当时，方程有一个正实数根和一个负根，或是一个正实数和零根，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数有极大值点，
因此当时，函数有一个极值点，
综上所述：当时，函数有一个极值点；
当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点.
6． (2023·江西·上饶市第一中学模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在无零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值(2)
【解析】(1)由题知，当时，，
∴，令，．
∴时，，单调递减；
时，，单调递增．
∴是的极小值点，∴的极小值为，无极大值．
(2)由题知，
∴，；令，
∴，∵，∴恒成立，
∴单调递增，即单调递增．
①当时，∴，∴单调递增
∴恒成立，即在上无零点，∴．
②当时，令，，，又单调递增，
∴时，，时，，
∴在时单调递减，时，单调递增，
∴，又∵时，
∴，，即在上有零点，不合题意；
综上所述．
7． (2023·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数的极值点的个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)综上：当或时，无极值点；当或或时，有两个极值点.
【解析】(1)当时，，定义域为，.
因为，所以.
所以在点处的切线方程为：，
即.
(2)函数定义域为，.
①当时，，显然无极值点；
②当时，，
所以在上单调递增，故此时无极值点.
③当时，令，解得或，
或时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故此时有两个极值点.
④当时，令，解得或，
或时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故此时有两个极值点.
⑤当时，令，解得或，
或时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故此时有两个极值点.
综上：当或时，无极值点；
当或或时，有两个极值点.
8． (2023·四川省峨眉第二中学校）已知，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若对恒成立,求实数b的最大值.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】(1)的定义域为，，
当时，，在上单调递减.
当时，令；
令.
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)∵，∴恒成立，
即恒成立，
令，则，
由，得；由，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，
故实数b的最大值是.
94 (2023·江苏·华罗庚中学三模）已知函数 ，（为自然对数的底数，）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，，当时，，求的最小值．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析.(2)1
【解析】(1)函数 的定义域为 ， ，
①当时，对任意的 ， ，
此时函数的减区间为，无增区间；
②当时，由 可得，由 可得，
此时函数的单调递增区间为，递减区间为；
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；
(2)
证明：当时，，
则 ，
令，其中，则 ，
所以函数在上单调递增，
因为，，所以存在唯一，
使得，即，可得，
当时， ，此时函数单调递增，
当时， ，此时函数单调递减，
所以，当时，
，
即，因为，，
综上所述，若，当时，，
即 ，所以的最小值为1；
综上，的最小值为1.
10． (2023·天津市新华中学）已知函数，其中且
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若存在，使函数，在处取得最小值，试求的最大值.
【答案】(1)极大值为，极小值为(2)答案见解析(3)
【解析】
(1)当时，，则，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为.
(2)由题意得：，定义域为，
，
令，解得：，；
①当时，，则时，；当时，；
的单调递增区间为，单调递减区间为；
②当时，，
则当时，；当时，；
的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)，，
当时，恒成立，
；
当时，不等式恒成立；
当时，不等式可化为：，
令，
，是开口方向向下的抛物线，
在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又，
只需，即，
有解，，解得：；
的最大值为.增
极大值
减