2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 6.1 等差数列（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 6.1 等差数列（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了等差中项，等差数列的前n项和性质，等差数列的最值，等差数列的综合运用，等差数列的实际运用等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 等差中项
【例1】 (2023·青海）已知等差数列中，，是方程的两根，则的前21项的和为（ ）
A．6B．30C．63D．126
【一隅三反】
1． (2023·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
2． (2023·江西）设等差数列的前项和为，，则（ ）
A．56B．63C．67D．72
3． (2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
4. (2023·安徽滁州）已知是公差不为零的等差数列，若，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
考点二 等差数列的前n项和性质
【例2-1】 (2023·青海）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
【例2-2】． (2023·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】 (2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
2． (2023·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
3． (2023·全国·模拟预测）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·广东习）等差数列中，，前项和为，若，则（ ）
A．1011B．2022C．D．
考点三 等差数列的最值
【例3-1】 (2023·北京）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【例3-2】． (2023·陕西）设等差数列的前项和为，且，，则当（ ）时，最大.
A．B．C．D．
【例3-3】 (2023·全国·高三专题练习（理））已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最小值
【一隅三反】
1． (2023·内蒙古包头·高一期末）等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．8D．9
2． (2023·全国·高三专题练习（文））在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·河南许昌）已知是等差数列的前n项和，若对任意的，均有．成立，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
4． (2023·湖北·荆州中学高三开学考试）已知等差数列的公差不等于0．其前为项和为．若，则的最大值为（ ）
A．18B．20
C．22D．24
考点四 等差数列的综合运用
【例4】 (2023·广东深圳·高三期末）（多选）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（ ）
A．数列为递减数列B．数列是等差数列
C．，，依次成等差数列D．若，，则
【一隅三反】
1． (2023·湖北·华中师大一附中模拟预测）（多选）记数列是等差数列，下列结论中不恒成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2． (2023·广东湛江·高三阶段练习）（多选）设等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当时，D．
3． (2023·全国·高三专题练习）（多选）在等差数列中，其前的和是，若，，则（ ）
A．是递增数列B．其通项公式是
C．当取最小值时，的值只能是D．的最小值是
4． (2023·福建漳州·三模）（多选）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）．
A．是递增数列B．是递减数列
C．D．数列的最大项为和
考点五 等差数列的实际运用
【例5-1】 (2023·湖北·模拟预测）（多选）在新加坡举行的2020世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军．辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某队选手一个原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．若某队选手得到的7个原始分成等差数列，且公差不为零，则5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
【例5-2】 (2023·全国·高二单元测试）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的正整数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则满足的正整数的最小值为（ ）
A．132B．135C．136D．138
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（ ）
A．132B．133C．134D．135
2． (2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ）
A．10秒B．13秒C．15秒D．19秒
3． (2023·广西·贵港市高级中学三模（理））5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通4640个5G基站要到（ ）
A．2022年10月底B．2022年9月底
C．2022年8月底D．2022年7月底
4． (2023·陕西·宝鸡中学模拟预测）“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．170项B．171项C．168项D．169项
6.1 等差数列（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 等差中项
【例1】 (2023·青海）已知等差数列中，，是方程的两根，则的前21项的和为（ ）
A．6B．30C．63D．126
【答案】C
【解析】，是方程的两根，由韦达定理得：，
所以等差数列的前21项的和．故选：C
【一隅三反】
1． (2023·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】因为，又，所以，所以，即，
设等差数列的公差为，则，所以，又，所以，
所以．故选：C.
2． (2023·江西）设等差数列的前项和为，，则（ ）
A．56B．63C．67D．72
【答案】B
【解析】设的公差为，则，所以，所以.故选：B
3． (2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选：B.
4. (2023·安徽滁州）已知是公差不为零的等差数列，若，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】由等差数列的性质得，所以,即故选:A
考点二 等差数列的前n项和性质
【例2-1】 (2023·青海）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
【答案】C
【解析】，
，则.故选：C
【例2-2】． (2023·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】两个等差数列和的前项和分别为、，且，
所以.故选：A
【例2-3】 (2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设的公差为d，∵∴，
即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
【答案】D
【解析】等差数列的前n项和为，，
则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列
则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20故选：D
2． (2023·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
【答案】C
【解析】在等差数列中，，，故，
又，故，则，故.故选：C.
3． (2023·全国·模拟预测）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，.则，，所以.故选：B.
4． (2023·广东习）等差数列中，，前项和为，若，则（ ）
A．1011B．2022C．D．
【答案】B
【解析】数列公差为，，，所以，
则，故选：B．
考点三 等差数列的最值
【例3-1】 (2023·北京）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】设公差为则，
因此，所以当时，取最大值故选：B
【例3-2】． (2023·陕西）设等差数列的前项和为，且，，则当（ ）时，最大.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
因为，所以，即，
根据等差数列性质，因为，即，
又因为，即；所以得且，
所以等差数列为递减的数列，所以当时，最大.故选：B.
【例3-3】 (2023·全国·高三专题练习（理））已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最小值
【答案】C
【解析】对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，∴，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵，，当时，，
所以，，B选项正确．故选：C．
【一隅三反】
1． (2023·内蒙古包头·高一期末）等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．8D．9
【答案】D
【解析】因为，，所以，又，
由，可得，即，所以使成立的最小正整数n的值为9.故选：D.
2． (2023·全国·高三专题练习（文））在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设公差为，因为，，可知：，且，，所以，从而，不确定正负，，故选：B
3． (2023·河南许昌）已知是等差数列的前n项和，若对任意的，均有．成立，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【解析】由题意，等差数列，对任意的，均有成立，
即是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，
当，此时，、是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，即，则.
当，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，，即，
则，则有，，，，，综合可得，所以的最小值为.故选：D .
4． (2023·湖北·荆州中学高三开学考试）已知等差数列的公差不等于0．其前为项和为．若，则的最大值为（ ）
A．18B．20
C．22D．24
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则，
，，因，即，
显然，否则，矛盾，于是得，又，否则，公差，矛盾，
因此，，解得，而，则公差，，
由得，，于是有等差数列是递减数列，其前5项都是非负的，从第6项起为负，
当或时，，
所以的最大值为20.故选：B
考点四 等差数列的综合运用
【例4】 (2023·广东深圳·高三期末）（多选）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（ ）
A．数列为递减数列B．数列是等差数列
C．，，依次成等差数列D．若，，则
【答案】BD
【解析】由题意可知数列是等差数列，且递减，则 ，
不妨举例如：
则 ，这三项不构成递减数列，故A错；
而 ,这三项不构成等差数列，说明C错；
对于B， ，是关于n的一次函数，
因此是等差数列，故B正确；
对于D， ，则 ，
，则 ，
故 ，故D正确，故选：BD.
【一隅三反】
1． (2023·湖北·华中师大一附中模拟预测）（多选）记数列是等差数列，下列结论中不恒成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则
对于A，由数列是等差数列及，所以可取，所以不成立，故A正确；
对于B，由数列是等差数列，所以，所以恒成立，故B不正确；
对于C, 由数列是等差数列，可取，所以不成立，故C正确；
对于D，由数列是等差数列，得，无论为何值，均有所以若，则恒不成立，故D正确.故选：ACD.
2． (2023·广东湛江·高三阶段练习）（多选）设等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当时，D．
【答案】BC
【解析】等差数列的前项和为，若，
可得，可得B正确；
故数列为递减数列，故A错误；
因为，，
因为数列是递减数列，当时，，
故当时，，C是正确的；
，故D错误；
故选：BC
3． (2023·全国·高三专题练习）（多选）在等差数列中，其前的和是，若，，则（ ）
A．是递增数列B．其通项公式是
C．当取最小值时，的值只能是D．的最小值是
【答案】ABD
【解析】由，可知等差数列为递增数列，A正确；
由题设，，B正确；
，故当或时，取最小值且为，故C错误，D正确.
故选：ABD
4． (2023·福建漳州·三模）（多选）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）．
A．是递增数列B．是递减数列
C．D．数列的最大项为和
【答案】BCD
【解析】因为，所以数列的最大项为和，故D正确；
当时，，
当时，由，得，
两式相减得：， 又，适合上式，所以，故C正确；
因为，所以是递减数列，故A错误，B正确；故选：BCD
考点五 等差数列的实际运用
【例5-1】 (2023·湖北·模拟预测）（多选）在新加坡举行的2020世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军．辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某队选手一个原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．若某队选手得到的7个原始分成等差数列，且公差不为零，则5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
【答案】AB
【解析】7个原始分成公差的等差数列，设为，，，，，，，则中位数及平均数均为a，方差为，极差为
则5个有效分为，，，，，中位数及平均数均为a，方差为，极差为
∴A、B正确，C、D错误．故选：AB．
【例5-2】 (2023·全国·高二单元测试）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的正整数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则满足的正整数的最小值为（ ）
A．132B．135C．136D．138
【答案】C
【解析】由题意归纳可知，数列为8，23，38，…，即所求数列是首项为8公差为15的等差数列，
故，令，解得，
所以的最小值为136.故选：C
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（ ）
A．132B．133C．134D．135
【答案】C
【解析】由题意得：新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，
设新数列为，则通项公式为，令，解得：，
因为，所以这个数列的项数为134.故选：C
2． (2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ）
A．10秒B．13秒C．15秒D．19秒
【答案】D
【解析】设每秒钟通过的路程构成数列，则是首项为2，公差为2的等差数列，
由求和公式有，解得．故选：D.
3． (2023·广西·贵港市高级中学三模（理））5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通4640个5G基站要到（ ）
A．2022年10月底B．2022年9月底
C．2022年8月底D．2022年7月底
【答案】B
【解析】由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G基站数量为等差数列，则公差为40，
假设要经过k个月，则，
解得：，所以预计A地区累计开通4640个5G基站要到2022年9月底，故选：B．
4． (2023·陕西·宝鸡中学模拟预测）“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．170项B．171项C．168项D．169项
【答案】A
【解析】能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故，由题意，，故，故当时成立，共170项.
故选：A