2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 6.2 等比数列（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 6.2 等比数列（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了基本量的计算，等比中项，前n项和的性质，最值问题，等比数列的实际运用等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 基本量的计算
【例1-1】 (2023·河南开封）在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
【例1-2】 (2023·吉林·洮南市第一中学模拟预测（文））已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．
【例1-3】 (2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
【一隅三反】
1． (2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A．B．C．3D．
3． (2023·河南省杞县高中）在等比数列中，，则的公比______．
4． (2023·河南安阳）已知为等比数列，，则_________．
考点二 等比中项
【例2-1】 (2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（ ）
A．或B．C．D．
【例2-2】 (2023·河南省浚县第一中学模拟预测（文））在等比数列中，若，则（ ）
A．5B．10C．15D．20
【例2-3】 (2023·江西·二模（文））已知m是1和4的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．B．或
C．D．或
【一隅三反】
1． (2023·四川广安）已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（ ）
A．10B．12C．32D．33
2． (2023·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a7＝________.
考点三 前n项和的性质
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12B．18C．21D．27
【例3-2】 (2023·陕西·交大附中模拟预测（理））已知等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习（文））等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
2． (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．12B．30
C．45D．81
3． (2023·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．66B．65C．64D．63
考点四 最值问题
【例4-1】 (2023·四川绵阳·一模（文））已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【例4-2】 (2023·全国·高三专题练习）（多选）等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足.，，下列选项中，正确的结论有（ ）
A．
B．
C．的值是中最大的
D．使成立的最大自然数等于198
【一隅三反】
1． (2023·青海西宁）已知等比数列，，的最小值为（ ）
A．70B．90C．135D．150
2． (2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·湖北·襄阳五中模拟预测）（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，则下列选项正确的是（ ）
A．0＜q＜1B．S2020+1＜S2021
C．T2020是数列{Tn}中的最大项D．T4041＞1
考点五 等比数列的实际运用
【例5】 (2023·辽宁·昌图县第一高级中学高二期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里B．5里C．4里D．3里
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
2． (2023·广东·高三阶段练习）（多选）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
3． (2023·全国·高三专题练习）某新学校高一、高二、高三共有学生1900名，为了了解同学们对学校关于对手机管理的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为______人．
6.2 等比数列（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 基本量的计算
【例1-1】 (2023·河南开封）在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
【答案】１或.
【解析】当时，满足，，此时；
当时，由，，
可得：，解得 ，此时.
综上所述：公比的值为：１或.
【例1-2】 (2023·吉林·洮南市第一中学模拟预测（文））已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．
【答案】
【解析】因为，，成等比数列 ，即 解得 或（舍）
故答案为：
【例1-3】 (2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
【答案】
【解析】∵，∴，∴，∵，
∴，，将代入，可得.故答案为：
【一隅三反】
1． (2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知，因为，则，
由已知可得，可得，，则，
因此，.故选：B.
2． (2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】因为等比数列的公比，所以．故选：D
3． (2023·河南省杞县高中）在等比数列中，，则的公比______．
【答案】或
【解析】因为，所以，所以，因为，所以或．故答案为：或．
4． (2023·河南安阳）已知为等比数列，，则_________．
【答案】
【解析】设公比为，由题意知：，又，解得或，
若，则，，则；
若，则，，则.故答案为：.
考点二 等比中项
【例2-1】 (2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得：，解得：，
设等比数列的公比是，因为，所以，解得：，
显然，所以，所以，所以故选：D
【例2-2】 (2023·河南省浚县第一中学模拟预测（文））在等比数列中，若，则（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以；故选：C.
【例2-3】 (2023·江西·二模（文））已知m是1和4的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【解析】m是1和4的等比中项,所以,解得,当时, 圆锥曲线为,离心率为,当时, 圆锥曲线,离心率为,故选:B
【一隅三反】
1． (2023·四川广安）已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（ ）
A．10B．12C．32D．33
【答案】B
【解析】因为，为函数的两个零点，所以，所以或所以，当时，，，
当时，，，所以，.故选：B
2． (2023·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题得，所以，所以，所以，故选：A
3． (2023·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a7＝________.
【答案】21
【解析】因为对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，
令m＝1，则a1·an＝a1＋n对任意的n∈N*恒成立，∴数列{an}为等比数列，公比为a1，
由等比数列的性质有a3a5＝，因为a3·a5＋a4＝72，则＋a4＝72，
∵a4＞0，∴a4＝8，∴lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a7＝lg2(a1·a2·…·a7)＝lg2＝lg287＝21.故答案为：21．
考点三 前n项和的性质
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12B．18C．21D．27
【答案】C
【解析】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,
所以成等比数列所以，所以，解得.
故选：C.
【例3-2】 (2023·陕西·交大附中模拟预测（理））已知等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】因为等比数列的前项和为，且，
所以，，，
所以，即，解得.故选：B
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习（文））等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.故选：A
2． (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．12B．30
C．45D．81
【答案】C
【解析】显然公比不为-1，是等比数列，则也成等比数列，
，，，则，，则.故选：C.
3． (2023·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．66B．65C．64D．63
【答案】B
【解析】由题知：，，
，
所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，
所以，解得.故选：B.
考点四 最值问题
【例4-1】 (2023·四川绵阳·一模（文））已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.
又，，成等差数列，所以，，所以.
又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号.故选：B.
【例4-2】 (2023·全国·高三专题练习）（多选）等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足.，，下列选项中，正确的结论有（ ）
A．
B．
C．的值是中最大的
D．使成立的最大自然数等于198
【答案】ABD
【解析】对于，，，.
，.又，，且.，故正确；
对于，，，即，故正确；
对于，由于，而，故有，故错误；
对于，，
，故正确.不正确的是.故选：.
【一隅三反】
1． (2023·青海西宁）已知等比数列，，的最小值为（ ）
A．70B．90C．135D．150
【答案】B
【解析】设的公比为，由等比数列的知识可知，，
结合可得，.
由基本不等式及等比数列的性质可得，
当且仅当，时等号成立，故的最小值为.故选：B
2． (2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知可得，即，可得，，解得，
，所以，，，
令，则，
当时，，即，
当时，，即，
所以，数列中，最小，故的最小值为.故选：D.
3． (2023·湖北·襄阳五中模拟预测）（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，则下列选项正确的是（ ）
A．0＜q＜1B．S2020+1＜S2021
C．T2020是数列{Tn}中的最大项D．T4041＞1
【答案】AC
【解析】由等比数列{an}公比为q，a1＞1，a2020a2021＞1，，
由a1＞1可得，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，得
或（舍去），故，
综上故选项A正确；
，故选项B错误；
由已知，，可知T2020是数列{Tn}中的最大项，故该选项C正确；
由等比数列的性质可知，，所以
，故该选项D错误.故选：AC.
考点五 等比数列的实际运用
【例5】 (2023·辽宁·昌图县第一高级中学高二期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里B．5里C．4里D．3里
【答案】A
【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，.故选：A．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
【答案】A
【解析】设“宫”的频率为，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是；
“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是，
“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是；
最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是，
由于成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．
故选：A．
2． (2023·广东·高三阶段练习）（多选）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
【答案】AD
【解析】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，
所以，解得，
所以，
对于A，因为，所以A正确，
对于B，因为，所以B错误，
对于C，，所以C错误，
对于D，该人最后三天共走的路程为，所以D正确，
故选：AD
3． (2023·全国·高三专题练习）某新学校高一、高二、高三共有学生1900名，为了了解同学们对学校关于对手机管理的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为______人．
【答案】900
【解析】因为高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列
设从高二年级抽取的学生人数为人，
则从高二、高三年级抽取的人数分别为.
由题意可得，所以.
设我校高一年级的学生人数为N，再根据，
求得.
故答案为：