2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共32页。试卷主要包含了平行问题，空间几何中的垂直问题，空间几何中的定理辨析等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 平行问题
【例1-1】 (2023·广东珠海）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面
【例1-2】 (2023·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面
【例1-3】 (2023·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，证明：若，则直线平面
【例1-4】 (2023·辽宁葫芦岛）如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，直线直线
【例1-5】 (2023·甘肃酒泉）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面
【例1-6】 (2023·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【一隅三反】
1． (2023·山东滨州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：平面EAC
2． (2023·辽宁营口）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点，求证：平面
3 (2023·江苏宿迁）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面
4． (2023·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）.求证：；
5． (2023·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中M，N，P，D分别为，BC，，的中点，求证：面
6. (2023·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证：平面ECD
考点二 空间几何中的垂直问题
【例2-1】 (2023·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：
【例2-2】 (2023·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：
(1)平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
【例2-3】 (2023·四川成都）如图，三棱锥中，等边三角形的重心为O，，，，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.
(1)求证：平面DEF；
(2)求证：平面平面PBC.
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：
2． (2023·北京丰台）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
3． (2023·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．
(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；
(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．
考点三 空间几何中的定理辨析
【例3-1】 (2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【例3-2】 (2023·湖北武汉·高三开学考试）（多选）如图，已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．平面D．平面
【一隅三反】
1． (2023·上海·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
2． (2023·全国·模拟预测（理））已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
3． (2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，，，，，M，N分别是棱和的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．四点共面B．与共面
C．平面D．平面
7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 平行问题
【例1-1】 (2023·广东珠海）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面
【答案】证明见解析；
【解析】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.
【例1-2】 (2023·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面；
【例1-3】 (2023·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，证明：若，则直线平面
【答案】证明见解析
【解析】在上取一点，使得，连接，
，，又平面，平面，
平面；
，，，
，，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
，平面，平面平面，
平面，平面.
【例1-4】 (2023·辽宁葫芦岛）如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，直线直线
【答案】证明见解析
【解析】直线平面，，平面平面，．
【例1-5】 (2023·甘肃酒泉）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】如图，取中点，连，，∵为中位线，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．
【例1-6】 (2023·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【答案】证明见解析
【解析】证明：在中，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因为，，平面，所以平面，
在中，，
在中，，则，
因为，所以平面，
所以；
【一隅三反】
1． (2023·山东滨州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：平面EAC
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以.又因为面EAC，面EAC，所以平面EAC；
2． (2023·辽宁营口）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD, 因为E为中点,故 ,又 ,F为中点,故 ,所以四边形EDAF为平行四边形，故 ,因为平面，平面,故平面；
3 (2023·江苏宿迁）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面
【答案】见解析
【解析】过点作，交于点，连接，
由题意得，
故，，而平面，平面，
平面，同理得平面，
而，平面平面，
平面
4． (2023·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）.求证：；
【答案】证明见解析
【解析】证明：在梯形中，，平面，平面，
平面.
又平面，平面平面，
所以.
5． (2023·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中M，N，P，D分别为，BC，，的中点，求证：面
【答案】证明见解析
【解析】∵P，D分别为，的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，
∵D，N分别为，BC的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
又∵平面PDN，∴平面.
6. (2023·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证：平面ECD
【答案】证明见解析
【解析】证明：取CD的中点G，连接EG
∵△CDE为腰长为的等腰三角形，∴
又∵平面CDE⊥平面BCD，平面ECD，平面平面,
∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴
又∵平面ECD，平面CDE，∴平面CDE
考点二 空间几何中的垂直问题
【例2-1】 (2023·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：
【答案】证明见解析；
【解析】连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，
又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，所以.
【例2-2】 (2023·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：
(1)平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.
∵M，F分别是PC，PB的中点，
∴，.
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形DEFM为平行四边形.
∴，
∵平面PDC，平面PDC.
∴平面PDC.
(2)∵ 四边形ABCD为正方形，∴.
又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，
∴ AD⊥平面PAB.
∵平面PAB，∴.
连接AF，∵，F为PB中点，∴.
又，AD，平面DEF，
∴ PB⊥平面DEF.
【例2-3】 (2023·四川成都）如图，三棱锥中，等边三角形的重心为O，，，，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.
(1)求证：平面DEF；
(2)求证：平面平面PBC.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)连接PE，因为为等边三角形，且O为重心，所以P、O、E三点共线，且，
因为M为PA中点，D是线段AM的中点，所以，所以，所以，
因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF
(2)连接AE、BD，如图所示
因为为等边三角形，E为BC中点，
所以，
因为，，E为BC中点，
所以，
因为平面PAE，
所以平面PAE，
因为平面PAE，
所以，
在中，，，，
所以，即，
所以，
在中，，
由余弦定理得，
在中，，，
所以，
在中，，，
所以，即，
因为平面PBC，
所以平面PBC，
因为平面DEF，
所以平面平面PBC
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连，，
∵为等边三角形，且是边的中点，
∴，
∵平面底面，且它们的交线为，
∴平面，则，
∵，且
∴平面，
∴；
2． (2023·北京丰台）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【解析】(1)证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，
所以，
又，平面，
所以平面；
(2)证明：依题意可得且，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面；
(3)证明：因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
过点作，交于点，
若选①，，，所以，
所以，此时，
所以
如图过点作交的延长线于点，
因为平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面，显然平面与平面不垂直；
若选②：，则，所以，，
所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
若选③：，又，，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
3． (2023·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．
(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；
(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.
（2）在正方形中，，因平面ABED⊥平面ABC，平面平面，平面，则平面，即是与平面所成的角，有，解得，即有，则，即，而，则有平面，又平面，于是得，因，平面，则平面，平面，所以平面平面.
考点三 空间几何中的定理辨析
【例3-1】 (2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面.
所以由“”可得“”，充分性成立；
反之亦成立.所以“”是“”成立的充要条件.
故选：A
【例3-2】 (2023·湖北武汉·高三开学考试）（多选）如图，已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．平面D．平面
【答案】AC
【解析】连接，如图：
由正方体可知，
因为平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以，故A 正确，B错误；
由题意知为的中位线，所以，
又,所以
又平面，平面，所以平面，故C正确；
若平面，BD1在平面BDD1B1中，则，进而，
在中易知与不垂直，故D错误；故选：AC
【一隅三反】
1． (2023·上海·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【答案】C
【解析】对于A，因，，当时，而，则，
当时，在直线上取点，过作直线，则，过直线的平面，如图，
由得，于是得，而，则，而，所以，A正确；
对于B，若，，则，又，则存在过直线的平面，使得，
则有直线，即有，所以，B正确；
对于C，如图，在长方体中，平面为平面，直线为直线，
平面为平面，直线为直线，满足，，，而，C不正确；
对于D，若，，则，又，于是得，D正确.
故选：C
2． (2023·全国·模拟预测（理））已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
【答案】D
【解析】A选项，m⊥n，m⊥α，则可能，故A错误；
B选项，，，则可能，故B错误；
C选项，，，则可能，也可能，故C错误；
D选项，因为，，所以或，当时，因为，所以由面面垂直的判定定理知，当时，存在且，所以，所以可得，故D正确.
故选：D.
3． (2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，，，，，M，N分别是棱和的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．四点共面B．与共面
C．平面D．平面
【答案】B
【解析】连接MN，则因为，M，N分别是棱和的中点，
所以，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以四点共面，A说法正确；
因为，，，
所以平面，C正确；
连接，因为，，
所以是等边三角形，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，所以平面，D说法正确；
若与共面，则共面，故在平面中，
这与题设矛盾，B说法错误
故选：B