2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共35页。试卷主要包含了直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，切线与切线长，对称问题等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】已知，且三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】直线与的夹角为 ．
【一隅三反】
1. (2023·全国·高二）若倾斜角为的直线过，两点，则实数（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·吉林）已知直线l：的倾斜角为，则（ ）
A．B．1C．D．－1
3．（2023·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4. (2023·江苏）已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点二 直线的位置关系
【例2-1】若 ，则“ ”是“直线 和直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【例2-2】已知直线，，且，点到直线的距离（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2． (2023广东）已知直线 ： .直线 ： ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．直线 过定点 D．直线 过定点
3．若方程组无解，则实数 ．
考点三 直线与圆的位置关系
【例3-1】 (2023浙江）当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（ ）
A．B．C．-1D．1
【例3-2】已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1 (2023江苏）．过点的直线l与圆有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023江西）若直线l∶截圆所得的弦长为2，则k的值为 .
3． (2023江苏）若直线与圆相切，则实数 ．
4． (2023湖南）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点四 圆与圆的位置关系
【例4-1】 (2023徐汇期末）已知圆和圆内切，则m的值为 ．
【例4-2】 (2023·河东模拟）圆与圆的公共弦长为 ．
【例4-3】 (2023南京期末）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条B．2条C．1条D．0条
【一隅三反】
1． (2023汉中期中）已知，，那么它们的位置关系是（ ）
A．外离B．相切C．相交D．内含
2． (2023·邯郸模拟）已知圆：和圆：，则“”是“圆与圆内切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3． (2023·河西模拟）设与相交于两点，则 ．
4． (2023·石家庄模拟）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与x轴相切，则
B．若，则圆与圆相离
C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线与圆始终有两个交点
考点五 切线与切线长
【例5-1】 (2023·朝阳模拟）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【例5-2】 (2023·湖北模拟）若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【例5-3】 (2023·广东模拟）（多选）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（ ）
A．线段的长度大于
B．线段的长度小于
C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为
D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为
【一隅三反】
1． (2023·兴化模拟）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为 ．
2． (2023·广西模拟）过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
3. (2023·陕西模拟）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点六 对称问题
【例6-1】 (2023广东）如果 关于直线l的对称点为 ，则直线l的方程是( )
A．B．C．D．
【例6-2】 (2023云南）与直线2x+y－1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（ ）
A．2x+y－3=0B．2x+y+3=0C．x+2y+3=0D．x+2y－3=0
【例6-3】 (2023海南）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【一隅三反】
1． (2023河北）已知直线 ，直线 与 关于直线 对称，则直线 的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．直线l：x－y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为 ( )
A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y－1＝0
3.已知直线 ，直线 ，则 关于 对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知得， 故直线斜率由于倾斜的范围是，则倾斜角为.
故答案为：B.
【例1-2】已知，且三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
因为三点共线，所以，即，解得，
所以。故答案为：A.
【例1-3】直线与的夹角为 ．
【答案】
【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，
直线的斜率，即倾斜角满足，
所以，所以，
又两直线夹角的范围为，所以两直线夹角为，故答案为：.
【一隅三反】
1. (2023·全国·高二）若倾斜角为的直线过，两点，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；
故选：C
2． (2023·吉林）已知直线l：的倾斜角为，则（ ）
A．B．1C．D．－1
【答案】A
【解析】因为直线l的倾斜角为，所以斜率.所以，解得：.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，且，，因为，.
故选：A.
4. (2023·江苏）已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当直线的倾斜角时，直线的斜率，因，
则当时，，即，当时，，即，
所以直线的斜率k的取值范围是.故选：D
考点二 直线的位置关系
【例2-1】若 ，则“ ”是“直线 和直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】由直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行，可得ab=1.
反之不成立，例如a=b=1时，两条直线都为x+y-1=0，所以两条直线重合.
ab=1是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的必要不充分条件.故选C.
【例2-2】已知直线，，且，点到直线的距离（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，解得，故故答案为：D
【一隅三反】
1．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】依题意，，解得或，
所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故答案为：A
2． (2023广东）已知直线 ： .直线 ： ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．直线 过定点 D．直线 过定点
【答案】BCD
【解析】A. 若 ，则 或 ，经检验此时两直线平行，所以该选项错误；
B. 若 ，则 ，所以该选项正确；
C. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以此时直线 过定点 ，所以该选项正确；
D. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以直线 过定点 ，所以该选项正确.故答案为：BCD
3．若方程组无解，则实数 ．
【答案】±2
【解析】因为方程组无解， 所以两直线平行，可得 .
考点三 直线与圆的位置关系
【例3-1】 (2023浙江）当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（ ）
A．B．C．-1D．1
【答案】C
【解析】直线过定点， 圆的圆心为，半径，
当时，圆截直线所得的弦长最短，
由于，所以，即.故答案为：C
【例3-2】已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图：圆心为，经过原点，
可得
则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为
延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，
当圆心在C处时，点到直线的距离最大为
此时，圆上点D到直线的距离最大为
故答案为：B
【一隅三反】
1 (2023江苏）．过点的直线l与圆有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角为，圆心到直线l的距离为，当直线l的斜率不存在时，易得，此时，符合题意，；
当直线l的斜率存在时，设直线，即，此时，解得或，即或；综上可得.故答案为：C.
2． (2023江西）若直线l∶截圆所得的弦长为2，则k的值为 .
【答案】
【解析】由题意得，圆心到直线的距离为，则，即，解得. 故答案为：
3． (2023江苏）若直线与圆相切，则实数 ．
【答案】25
【解析】直线与圆相切，
圆心到直线的距离
平方可得，解得
故答案为：25
4． (2023湖南）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】到点 的距离为2的点在圆 上，
所以问题等价于圆 上总存在两个点也在圆 上，
即两圆相交，故 ，所以 或 .故选：A.
考点四 圆与圆的位置关系
【例4-1】 (2023徐汇期末）已知圆和圆内切，则m的值为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又因为两圆内切，有，解得.故答案为：.
【例4-2】 (2023·河东模拟）圆与圆的公共弦长为 ．
【答案】
【解析】两圆方程相减得，即，
原点到此直线距离为，圆半径为，
所以所求公共弦长为．故答案为：．
【例4-3】 (2023南京期末）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条B．2条C．1条D．0条
【答案】B
【解析】由，得圆，半径为，
由，得，半径为
所以，
，，
所以，所以圆与圆相交，
所以圆与圆有两条公共的切线。故答案为：B.
【一隅三反】
1． (2023汉中期中）已知，，那么它们的位置关系是（ ）
A．外离B．相切C．相交D．内含
【答案】C
【解析】方程可化为，得，，
方程可化为，得，，，
，故两圆相交。故答案为：C.
2． (2023·邯郸模拟）已知圆：和圆：，则“”是“圆与圆内切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若圆与圆内切，则圆心距，即，得或，
所以是圆与圆内切的充分不必要条件.故答案为：A
3． (2023·河西模拟）设与相交于两点，则 ．
【答案】
【解析】将和两式相减：
得过两点的直线方程： ，则圆心到的距离为，
所以 ，故答案为：
4． (2023·石家庄模拟）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与x轴相切，则
B．若，则圆与圆相离
C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线与圆始终有两个交点
【答案】BD
【解析】因为圆，
所以若圆与x轴相切，则有，A不符合题意；
当时，，两圆相离，B符合题意；
由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，
C不符合题意；
直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，D符合题意.
故答案为：BD
考点五 切线与切线长
【例5-1】 (2023·朝阳模拟）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【解析】由圆心为，半径为，
斜率存在时，设切线为，则，可得，
所以，即，
斜率不存在时，显然不与圆相切；综上，切线方程为.故答案为：C
【例5-2】 (2023·湖北模拟）若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】由圆，可得，
∴圆心，又圆关于直线对称，
∴，即，
由点向圆所作的切线长为：
，
即切线长最小值为4.故答案为：C.
【例5-3】 (2023·广东模拟）（多选）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（ ）
A．线段的长度大于
B．线段的长度小于
C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为
D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为
【答案】A,D
【解析】如图示： ，
根据直角三角形的等面积方法可得， ，
由于，故，
由于，A符合题意，B不符合题意；
当直线与圆相切时，由题意可知AP斜率存在，
故设AP方程为 ，
则有 ，即 ，
即 或 ，
设原点到直线的距离为d，则 ，
当时， ；当时，，C不符合题意；
当直线平分圆的周长时，即直线过点，
AP斜率存在，设直线方程为，即 ，
则 ，即，
故原点到直线的距离为，则 ，D符合题意；
故答案为：：AD
【一隅三反】
1． (2023·兴化模拟）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为 ．
【答案】2
【解析】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，
如图，
设，，切线长．
故答案为：2
2． (2023·广西模拟）过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆与圆的圆心分别为O，C，则，当最小时，最小，由于点A在圆O上，则的最小值为，所以的最小值为. 故答案为：B.
3. (2023·陕西模拟）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题可知，，半径，圆心，
所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.故答案为：C.
考点六 对称问题
【例6-1】 (2023广东）如果 关于直线l的对称点为 ，则直线l的方程是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为已知点 关于直线l的对称点为 ，
故直线l为线段 的中垂线，
求得 的中点坐标为 ，
的斜率为 ，故直线l的斜率为-3，
故直线l的方程为 ，即 。
故答案为：A.
【例6-2】 (2023云南）与直线2x+y－1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（ ）
A．2x+y－3=0B．2x+y+3=0C．x+2y+3=0D．x+2y－3=0
【答案】A
【解析】在所求直线上取点（x，y），关于点（1，0）对称的点的坐标为（a，b），则
， ∴a=2-x，b=-y，∵（a，b）在直线2x+y-1=0上，
∴2a+b-1=0，∴2（2-x）-y-1=0，∴2x+y-3=0，故答案为：A。
【例6-3】 (2023海南）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【解析】设对称直线方程为 ， ，解得 或 （舍去），
所以所求直线方程为 。故答案为：B
【一隅三反】
1． (2023河北）已知直线 ，直线 与 关于直线 对称，则直线 的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】联立 ，解得 ，
所以直线 与直线 的交点为 ，
所以点 在直线 上，
所以可设直线 即 ，
在直线 上取一点 ，则该点到直线 与 的距离相等，
所以 ，解得 或 （舍去）.
所以直线 的斜率为 .
故答案为：D.
2．直线l：x－y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为 ( )
A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y－1＝0
【答案】C
【解析】直线l：x﹣y+1=0即y=x+1关于x轴对称的直线方程为的斜率为﹣1，在y轴上的截距为﹣1，
∴要求的直线方程为：y=﹣x﹣1，即x+y+1=0．故答案为：C．
3.已知直线 ，直线 ，则 关于 对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题知直线 与直线 交于点 ，且点 在 上，
设点 关于 对称的点的坐标为 ，则 解得
则直线 的方程为 ，即 关于 对称的直线方程为 ．
故答案为：D