2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 9.5 三定问题及最值（精练）（提升版）（原卷版+解析版）

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（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由已知得，∴，．
∴椭圆的方程为．
∴椭圆的右顶点为．
∴，解得．
∴抛物线的方程为．
（2）解：由题意知直线l的斜率存在且不为0．
设直线的方程为，，．
由消去y，得．
∴，∴．
∴，．
∴
．
∴．
∴，∴．∴，此时．
∴直线l的方程为．
假设在轴上存在点，使得轴平分，
则直线的斜率与直线的斜率之和为，
设，，
由消去，得．
∴，即恒成立．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．解得．
∴在轴上存在点，使得轴平分．
2． (2023·辽宁模拟）已知坐标原点为O，点P为圆 上的动点，线段OP交圆 于点Q，过点P作x轴的垂线l，垂足R，过点Q作l的垂线，垂足为S．
（1）求点S的轨迹方程C；
（2）已知点 ，过 的直线l交曲线C于M，N，且直线AM，AN与直线 交于E，F，求证：E，F的中点是定点，并求该定点坐标
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：设 由题意可得
所以 ，
所以代入 得点S的轨迹方程
（2）证明：设直线l的方程为 ，
直线AM方程为： ，令
直线AN方程为： ，令
所以E，F的中点为
3． (2023·烟台模拟）已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以.
又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.
又，所以，.
所以椭圆的标准方程为
（2）解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，
将直线代入椭圆的方程得：，
由韦达定理得：，，
直线的方程为，直线的方程为，
所以，，
所以以为直径的圆为，
整理得：.①
因为，
令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.
题组二 定值
1 (2023·河东模拟）椭圆C：的离心率，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由椭圆的离心率，则，
又，
解得：，，
则椭圆的标准方程为：
（2）证明：因为，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为
联立整理得．
则，故，则．
所以
又直线AD的方程为．
联立，解得
由三点，共线，
得，所以．
的斜率为．
则．
为定值
2． (2023·四川模拟）在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动点M满足
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设过点的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）存在实数，使得为定值为5．
【解析】（1）解：设
由，得，即
而，即．所以，即．
（2）解：假设存在满足题意的直线，设．
当直线l的斜率存在时，设其方程为．
由，消去y，得．
则．
所以，，
则
当且仅当，即时，
当直线l的斜率不存在时，，若
则．
综上，存在实数，使得为定值为5．
3． (2023·西安模拟）已知抛物线C：的焦点为，准线与坐标轴的交点为，、是离心率为的椭圆S的焦点.
（1）求椭圆S的标准方程；
（2）设过原点O的两条直线和，，与椭圆S交于A、B两点，与椭圆S交于M、N两点.求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：化抛物线C：的方程为标准方程，即C：.得抛物线C的焦点，
设椭圆S的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c.则由题意得，，得.
∴，又椭圆S的焦点在y轴上.
∴椭圆S的标准方程为.
（2）证明：由题意知A、O、B共线，M、O、N共线，且，又由椭圆的对称性，知，.
∴四边形AMBN为菱形，且原点O为其中心，AM、BN为一组对边.
∴原点O到直线AM和到直线BN的距离相等
下面求原点O到直线AM的距离.
根据椭圆的对称性，不妨设A在第一象限.
当直线AM的斜率为零或不存在时，四边形AMBN为正方形，直线AB和直线MN的方程分别为和，且轴或轴.
设，则或.
于是，有，得.
原点O到直线AM的距离为.
当直线AM的斜率存在且不等于零时，设AM：.
由，消去并整理得，
且.
设，，则，，
∴
.
由，得，即，
得，满足.
∴原点O到直线AM的距离为.
∴原点O到直线BN的距离也为.
综上所述，原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
4． (2023·浙江模拟）已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求抛物线C的方程
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设为原点，，，求证：为定值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：抛物线：经过点，
PF=1+2
解得，故抛物线方程为：
（2）解：由题意，直线的斜率存在且不为，
设过点的直线的方程为，
设，
联立方程组可得，
消可得，
，且，
解得，且，
则，，
又、要与轴相交，
直线不能经过点，即，
故直线的斜率的取值范围是；
（3）证明：设点，，
则，，
因为，所以，
故，同理，
直线的方程为
，
令，得，同理可得，
因为
，，为定值．
题组三 最值
1． (2023·浙江模拟）如图，已知点，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是轴上一点，且在点左侧，过和的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）记，MD分别与直线FG交于Q，R两点，求面积的最小值.
【答案】（1）（2）24
【解析】（1）解：由题意，椭圆，可得，可得，
因为是轴上一点，且在点左侧，设，其中，
则直线的斜率，即直线斜率的取值范围为
（2）解：设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，，可得，
由，则， ， ，
所以，，则，
又由，
则，
由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以面积的最小值是24.
2． (2023·南充模拟）已知点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C相切于点，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线于另一点B．
（1）若，求直线l的方程；
（2）求三角形PAB面积S的最小值．
【答案】（1）（2）16
【解析】（1）解：由得，．所以，y=x24⇒y'=x2|x=1=12
所以在点P处的切线l方程为：，即．
（2）解：设，，，由，则，．
因为A、F、P三点共线，所以．
所以，由于，故，即．
所以．
由于，所以得．
直线PB方程：，即．
设A到直线PB的距离为d，则
又
所以．
当且仅当时，等号成立．
所以面积的最小值为16．
题组四 定直线
1． (2023·宜宾模拟）设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满足，，求证：线段的中点在直线上．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）解：：的准线：
设到的距离为，
由已知得，∴，∴，∴
∴的方程为
（2）证明：设，
∵，∴
∴，∴
代入得
∴
∴
∵点N在抛物线内部，∴，，∴
同理
∴，是关于的方程的两根，
∴，∴
∴的中点在直线上．
2． (2023·和平模拟）已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.
（1）求椭圆C的方程：
（2）设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由，
由，
，故，
∴，
∴，
∴，
即椭圆的标准方程为.
（2）解：假设满足条件的直线存在，
当直线的斜率不存在时，不合题意，
不妨设直线：，，，显然 ，
联立，得，
所以，
因为，，得，
即（3），
由（1），（3），得 （4），
将（1）（4）代入（3）得，
所以直线的方程为，
故存在直线，使得与的面积比值为5：7.
3． (2023·齐齐哈尔模拟）已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由可知，抛物线C的准线为：，
点到准线的距离为，根据抛物线定义：，，
抛物线C的方程为；
（2）解：设，，，，，．
，，
由，，得，即，
同理，
由得…①，
由得…②，
①②两式相加得，
即，
，，点T在定直线上．
综上，抛物线C的方程为.
4． (2023·聊城模拟）已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由椭圆C的离心率为得①，
由椭圆的几何性质知，当M为椭圆上（或下）顶点时，的面积最大，
②，
又，结合①②可解得，，
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：由过的直线l不过，，可设其直线方程为，把代入，得，，即，
设，，则，，
直线的方程为，
直线的方程为，
设直线和的交点为，则
，
把及代入上式，得
，整理得，
故点Q在一条平行于x轴的直线上，得证.
5． (2023·河南模拟）已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点．
（1）求C的方程；
（2）若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：因为，所以，解得．
因为C过点，所以，解得．
所以C的方程为．
（2）证明：由题意，设，则，．
由，整理得，则，
解得且，，．
由得：，
所以点G在定直线上．
9.5 三定问题及最值（精练）（提升版）
题组一 定点
1． (2023·成都模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
2． (2023·辽宁模拟）已知坐标原点为O，点P为圆 上的动点，线段OP交圆 于点Q，过点P作x轴的垂线l，垂足R，过点Q作l的垂线，垂足为S．
（1）求点S的轨迹方程C；
（2）已知点 ，过 的直线l交曲线C于M，N，且直线AM，AN与直线 交于E，F，求证：E，F的中点是定点，并求该定点坐标
3． (2023·烟台模拟）已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
题组二 定值
1 (2023·河东模拟）椭圆C：的离心率，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．
2． (2023·四川模拟）在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动点M满足
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设过点的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
3． (2023·西安模拟）已知抛物线C：的焦点为，准线与坐标轴的交点为，、是离心率为的椭圆S的焦点.
（1）求椭圆S的标准方程；
（2）设过原点O的两条直线和，，与椭圆S交于A、B两点，与椭圆S交于M、N两点.求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
4． (2023·浙江模拟）已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求抛物线C的方程
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设为原点，，，求证：为定值．
题组三 最值
1． (2023·浙江模拟）如图，已知点，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是轴上一点，且在点左侧，过和的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）记，MD分别与直线FG交于Q，R两点，求面积的最小值.
2． (2023·南充模拟）已知点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C相切于点，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线于另一点B．
（1）若，求直线l的方程；
（2）求三角形PAB面积S的最小值．
题组四 定直线
1． (2023·宜宾模拟）设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满足，，求证：线段的中点在直线上．
2． (2023·和平模拟）已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.
（1）求椭圆C的方程：
（2）设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
3． (2023·齐齐哈尔模拟）已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上．
4． (2023·聊城模拟）已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.
5． (2023·河南模拟）已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点．
（1）求C的方程；
（2）若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程．