2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 1.3 复数（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 1.3 复数（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了复数的基本知识，复数的模长，复数与其他知识的综合运用，解复数的方程等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 复数的基本知识
【例1】 (2023·全国·高三专题练习）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为4iB．z的共轭复数为1﹣4i
C．|z|＝5D．z在复平面内对应的点在第二象限
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）若复数，其共轭复数为，则（ ）
A．的虚部为B．
C．在复平面上对应的点在第四象限D．
2． (2023·全国·高三专题练习（多选））已知复数，则（ ）
A．B．
C．若，则，D．的虚部是
3． (2023·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则这个纯虚数为
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在第一象限，则
D．当时，
考点二 复数的模长
【例2-1】 (2023·湖南·高一期中）已知复数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【例2-2】 (2023·福建宁德·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【例2-3】 (2023·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．5D．6
【例2-4】 (2023·全国·高三专题练习）若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·河南·模拟预测（理））已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（ ）
A．1B．4C．9D．16
2 (2023·重庆·高三阶段练习）已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3． (2023·全国·高三专题练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
考点三 复数的几何意义
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）设复数z满足，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则z=（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】 (2023·山东潍坊·模拟预测）（多选）已知复数z满足，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A．复数z的虚部为B．
C．D．复数z的共轭复数为
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习（理））已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2． (2023·河南新乡·高二期中（理））若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A．不可能为纯虚数
B．在复平面内对应的点可能位于第二象限
C．在复平面内对应的点一定位于第三象限
D．在复平面内对应的点可能位于第四象限
3． (2023·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
考点四 复数与其他知识的综合运用
【例4】 (2023·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．1010D．1011
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，是复数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3． (2023·河南商丘）定义函数，若（i为虚数单位），则的展开式中系数最大项为（ ）
A．B．
C．D．
考点五 解复数的方程
【例5】 (2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个虚根，若，则的值是（ ）
A．或B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·重庆八中模拟预测）若虚数单位是关于x的方程的一个根，则（ ）
A．0B．1C．D．2
2． (2023·山东枣庄·一模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点六 综合运用
【例6】 (2023·河北·石家庄二中）（多选）下列四个命题中，真命题为（ ）
A．若复数满足，则B．若复数满足，则
C．若复数满足，则D．若复数，满足，则
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·福建泉州·模拟预测）（多选）设为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则或
3． (2023·山东青岛·高三期末）（多选）已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（ ）
A．若z是实数，则B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上
C．D．若，则
1.3 复数（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 复数的基本知识
【例1】 (2023·全国·高三专题练习）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为4iB．z的共轭复数为1﹣4i
C．|z|＝5D．z在复平面内对应的点在第二象限
【答案】B
【解析】∵，
∴ z的虚部为4, z的共轭复数为1﹣4i，|z|，z在复平面内对应的点在第一象限.故选：B
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）若复数，其共轭复数为，则（ ）
A．的虚部为B．
C．在复平面上对应的点在第四象限D．
【答案】D
【解析】因为复数，所以，
z的虚部为，，对应点在第一象限，，
故选：D
2． (2023·全国·高三专题练习（多选））已知复数，则（ ）
A．B．
C．若，则，D．的虚部是
【答案】BC
【解析】，，故不能推出，A不正确；
由复数模的定义，故B正确；根据复数相等知，时，正确，故C正确；
由虚部的定义知，的虚部是y,故D不正确.故选：BC
3． (2023·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则这个纯虚数为
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在第一象限，则
D．当时，
【答案】D
【解析】，
对于A：当是纯虚数时，则且，解得，此时这个纯虚数为，故A不正确；
对于B：当为实数时，则，解得，故B不正确；
对于C：当在复平面内对应的点在第一象限，则，解得，故C不正确；
对于D：当时，，所以，故D正确，故选：D.
考点二 复数的模长
【例2-1】 (2023·湖南·高一期中）已知复数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，得，解得或.故“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
【例2-2】 (2023·福建宁德·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【解析】因为，所以，故设，则，
所以.故选：D
【例2-3】 (2023·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．5D．6
【答案】C
【解析】设.则表示复平面点到点的距离为3.
则的最大值为点到的距离加上3.即.故选：C.
【例2-4】 (2023·全国·高三专题练习）若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，代入得：. 故选：B
【一隅三反】
1． (2023·河南·模拟预测（理））已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（ ）
A．1B．4C．9D．16
【答案】C
【解析】设，则，
由，得，即，
所以所对应的点的轨迹是以为圆心为半径的圆，
因为为z的共轭复数，所以即，
而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以.故选：C.
2 (2023·重庆·高三阶段练习）已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】令，，则表示与距离为1的点集，即，
此时，表示圆上点到原点距离，
所以的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，
所以圆上点到原点的最大为2.故选：B.
3． (2023·全国·高三专题练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故选：D．
考点三 复数的几何意义
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）设复数z满足，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则z=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】把四个选项一一代入验证：
对于A：z=，则有，.故A错误；
对于B：z=，则有，.故B正确；
对于C：z=，则有，.故C错误；
对于D：z=，则有，.故D错误；
故选：B
【例3-2】 (2023·山东潍坊·模拟预测）（多选）已知复数z满足，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A．复数z的虚部为B．
C．D．复数z的共轭复数为
【答案】BC
【解析】设复数.
因为，且复数z对应的点在第一象限，
所以，解得：，即.
对于A：复数z的虚部为.故A错误；
对于B：.故B正确；
对于C：因为，所以.故C正确；
对于D：复数z的共轭复数为.故D错误.
故选：BC
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习（理））已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】.所以复数对应的点在第四象限，故选：D
2． (2023·河南新乡·高二期中（理））若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A．不可能为纯虚数
B．在复平面内对应的点可能位于第二象限
C．在复平面内对应的点一定位于第三象限
D．在复平面内对应的点可能位于第四象限
【答案】D
【解析】由为第二象限，其对应辐角范围为，所以对应辐角为，
故在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.所以A、B、C错误，D正确.
故选：D
3． (2023·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】设，由于对应点在第二象限，所以，
，，，.
甲，乙，丙，
丁，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.
故选：B
考点四 复数与其他知识的综合运用
【例4】 (2023·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．1010D．1011
【答案】B
【解析】因为，
所以，
相减得，
所以，虚部为．故选：B．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，复平面内点A和点B的坐标分别为，，设点C的坐标为
所以，根据得，
计算得
所以点C对应的复数为，其共轭复数为，选项C正确.
故选：C.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，是复数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设，,
当，即时， ，所以
取，，,,则满足，但显然不满足
所以“”是“”的充分不必要条件故选：A
3． (2023·河南商丘）定义函数，若（i为虚数单位），则的展开式中系数最大项为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知，两边取模，得，所以n＝10．
二项式的展开式的通项为，
因为n＝10，则．
令第r＋1项的系数最大，则，即，解得，
因为，所以r＝3，所以，故系数最大的项为．故选：C．
考点五 解复数的方程
【例5】 (2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个虚根，若，则的值是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知方程有两个虚根，因此方程判别式小于0，即.,
设由韦达定理可知
所以, 即
, 即, 所以
所以
故答案为：C
【一隅三反】
1． (2023·重庆八中模拟预测）若虚数单位是关于x的方程的一个根，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】B
【解析】由题，是方程的一个根，所以，即，则，
所以，即，所以，选：B
2． (2023·山东枣庄·一模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由方程得，由求根公式得，不妨设，.
，A错误；，B错误；
，C错误；，D正确.
故选：D.
3． (2023·全国·高三专题练习）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】设,因为,所以,
所以将代入方程整理
，
因为关于的方程有实根，
所以
所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；
当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.
综上，或.
故这样的复数的个数为个.故选：C
考点六 综合运用
【例6】 (2023·河北·石家庄二中）（多选）下列四个命题中，真命题为（ ）
A．若复数满足，则B．若复数满足，则
C．若复数满足，则D．若复数，满足，则
【答案】AB
【解析】对选项A，若复数，设，其中，则，则选项A正确；
对选项B，若设，其中，且，则，则选项B正确；
对选项C，若，设，则，但，则选项C错误；
对选项D，若复数，满足，设，，则，
而，则选项D错误.故选：AB.
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】，，
故B错误；
，
故A正确；
，故C正确；
，，
，
，，
故D错误.故选：AC.
2． (2023·福建泉州·模拟预测）（多选）设为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则或
【答案】AD
【解析】对于A，设，，则，
，即，，A正确；
对于B，令，，则，此时，B错误；
对于C，令，，则，此时，C错误；
对于D，设，，则，
，即，则；
若，则成立，此时；
若，，由知：；由知：；此时；
同理可知：当，时，；
若，，由得：，，此时；
综上所述：若，则或，D正确.
故选：AD.
3． (2023·山东青岛·高三期末）（多选）已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（ ）
A．若z是实数，则B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上
C．D．若，则
【答案】BC
【解析】选项A：由复数是实数可知，解之得.选项A判断错误；
选项B：复数在复平面内对应点，其坐标满足方程，即点位于抛物线上. 判断正确；
选项C：由，可得
.判断正确；
选项D： 即
可得，解之得.选项D判断错误.
故选：BC