2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精练）（提升版）（原卷版+解析版）

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A．若，则
B．若，，则
C．若且，则
D．若，则
2． (2023·山东聊城·一模）（多选）设，且，则( )
A．B．C．D．
3． (2023·江苏南京·高三开学考试）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．，“恒成立”是“”的充分不必要条件
D．若，则的最小值为
4． (2023·江苏·高三阶段练习）（多选）若不等式与（m，n为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·重庆八中模拟预测）（多选）已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若.则
6． (2023·湖南长沙·高三阶段练习）（多选）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7． (2023·内蒙古赤峰·高三期末（文））已知，那么在下列不等式中，不成立的是（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·江苏·高三期中）（多选）已知x，y∈R，且0B．sinx-siny>0C．>0D．>2
9．（2022·天津·南开中学）已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
题组二 不等式恒成立
1． (2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则的取值范围为
A．(-∞，2)∪(3，+∞)B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞)D．(1，3)
5． (2023·重庆南开中学模拟预测）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6． (2023·北京师大附中）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7． (2023·浙江·高三专题练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________．
8． (2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围是__________．
9． (2023·江苏·高三专题练习）若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________..
10． (2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
题组三 一元二次方程（不等式）根的分布
1． (2023·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·河南焦作·高三期中（理））已知实系数一元二次方程的两个实根为、，并且，则的取值范围是 ( )
A．B．C．D．.
3． (2023·北京海淀）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．1D．
4． (2023·江苏）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
5． (2023·河南开封）关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．3B．C．2D．
6． (2023·新疆）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7． (2023·江苏）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.
9． (2023·全国·高三专题练习）设集合，集合. 若中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________
10． (2023·四川雅安·模拟预测（理））已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是__________．
11． (2023·江苏·高三）已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.
12． (2023·山东师范大学附中）在中，已知是x的方程的两个实根，则________．
13． (2023·湖南益阳）已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．
(2023·全国·单元测试）为何值时，关于的方程 的两根：
为正数根；
为异号根且负根绝对值大于正根；
都大于1；
一根大于2，一根小于2；
（5）两根在0，2之间.
题组四 比较大小
1． (2023·四川凉山·二模（文））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·河南·模拟预测（理））设则（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·安徽亳州·高三期末（理））设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6． (2023·广东佛山·高三阶段练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
7． (2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
题组五 解含参的一元二次不等式
1． (2023·全国·高三专题练习）已知，求关于x的不等式的解集.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）若对于任意成立，求实数的取值范围.
2． (2023·江苏·专题练习）解关于x的不等式．
3． (2023·江苏·专题练习）已知函数．
(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．
4． (2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求在上的值域；
(2)当时，解关于的不等式．
2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精练）（提升版）
题组一 不等式性质
1． (2023·湖北·高三阶段练习）（多选）对于实数a，b，m，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若且，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】依题意，当时，，则有，A正确；
因，取，满足，而，此时有，B不正确；
因，则，而，于是得，即，有，
由得，又函数在上单调递增，所以，C正确；
函数，则，即在上单调递减，
因，则，所以，D正确.故选：ACD
2． (2023·山东聊城·一模）（多选）设，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】对于A：，且，，解得，故A正确；
对于B：，即，，故B错误；
对于C：，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确；
对于D，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
∵－3＝，∴，∴D错误.
故选：AC.
3． (2023·江苏南京·高三开学考试）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．，“恒成立”是“”的充分不必要条件
D．若，则的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A，因为，所以，
所以，即，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，即.故B 不正确；
对于C，，恒成立等价于，
因为，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以当时，取得最小值为，即.
所以，“恒成立”是“”的充要条件，故C不正确.
对于D,因为，，
=，
当且仅当即时，等号成立，
所以当时，取得最小值为，故D正确.
故选：AD.
4． (2023·江苏·高三阶段练习）（多选）若不等式与（m，n为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由题设，且，则，即同号，
所以或.故选：AB
5． (2023·重庆八中模拟预测）（多选）已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若.则
【答案】ABD
【解析】对于A：
等价于等价于，当且仅当 时取等号，对于任意实数 都成立，故A正确；
对于B：
由于 ，所以 ，当且仅当，即时取等号，对于任意实数 都成立，故B正确；
对于C：
由于 ，实数的符号不确定，故的符号也不确定，故C错误；
对于D：
由于 ，则，又因为，所以，故D正确.
故选：ABD
6． (2023·湖南长沙·高三阶段练习）（多选）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A：，即，显然成立，故正确；
B：因为，不妨取，故可得，故错误；
C：，即，又，故可得，又，
则，故正确；
D：因为，不妨取，故，故错误.
故选：.
7． (2023·内蒙古赤峰·高三期末（文））已知，那么在下列不等式中，不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对A，由可得，所以，A正确，
对B，由，可得，所以，
当且仅当，即 时，取得等号，
所以，则成立，故B正确，
对C，设有，
则函数在上单调递增，
所以
所以，故C正确，
对D，当取时，而，显然错误，
故选：D
8． (2023·江苏·高三期中）（多选）已知x，y∈R，且0B．sinx-siny>0C．>0D．>2
【答案】ACD
【解析】因为x，y∈R，且0，故B错误；
C，由，则，即，故C正确；
D，因为，则，即，
当且仅当，即取等号，又因为，
所以，故D正确.
故选：ACD
9．（2022·天津·南开中学）已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】选项：取，，，则，，可知错误；
选项：取，，，则，，可知错误；
选项：取，，，
则，，又，可知错误；
选项：设，，则
则要证，只需证
即证：，又，只需即可
即证：
又，则只需即可
即
综上所述：，可知正确.本题正确选项：
题组二 不等式恒成立
1． (2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对一切实数都成立，①时，恒成立，
②时，则，解得，综上可得，.故选：D.
2． (2023·全国·高三专题练习）不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当，即时，可化为，即不等式恒成立；
当，即时，因为对一切实数恒成立，所以，
解得；综上所述，.故选：C.
3． (2023·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为对任意的恒成立，所以任意的恒成立，
因为当，，所以，，即m的取值范围是故选：A
4． (2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则的取值范围为
A．(-∞，2)∪(3，+∞)B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞)D．(1，3)
【答案】C
【解析】由题意，因为时，不等式恒成立，
可转化为关于的函数，则对应任意恒成立，
则满足，解得：或，即的取值范围为.选：C
5． (2023·重庆南开中学模拟预测）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】命题p：“，”，即，
设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故，故选：B．
6． (2023·北京师大附中）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，不等式为恒成立，；
当时，不等式可化为：，
，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：实数的取值范围为.故选：B.
7． (2023·浙江·高三专题练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________．
【答案】
【解析】由题意知：，即对任意的恒成立，
当，得： ，
即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
令，在上单减，所以，所以.故答案为：
8． (2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得对任意及恒成立，
所以对任意恒成立，即对恒成立，
令，则是关于的一次函数，
所以只需，即，解得或或，
所以实数的取值范围是．故答案为：.
9． (2023·江苏·高三专题练习）若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________..
【答案】
【解析】不等式转化为,化简为，
令,又,则,
即恒成立，令，又，
当时，取最小值，
所以，恒成立,化简得，解不等式得.故答案为：
10． (2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
【答案】
【解析】由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，设，则函数在上单调递增，所以，
所以实数的取值范围为.
题组三 一元二次方程（不等式）根的分布
1． (2023·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为关于的方程有两个不同的正根，
所以，解得，故实数的取值范围是.故选：C
2． (2023·河南焦作·高三期中（理））已知实系数一元二次方程的两个实根为、，并且，则的取值范围是 ( )
A．B．C．D．.
【答案】C
【解析】令，则，可得，
又表示与可行域上点所成直线的斜率，如下图示：

由图知：，可得，即；
所以，结合斜率知：的取值范围是.故选：C
3． (2023·北京海淀）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【解析】因为函数（b，c为实数），，所以，
解得，所以，
因为方程有两个正实数根，，所以，解得，
所以，当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B
4． (2023·江苏）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，由方程在区间上有两个不相等的实数解可得
，即或，解得，故选：C
5． (2023·河南开封）关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】A
【解析】由不等式的解集为，
得，不等式对应的一元二次方程为，
方程的解为，由韦达定理，得，，
因为，所以，
即，整理，得.
故选：A
6． (2023·新疆）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解不等式，得或
解方程，得，
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；
综上，可知的取值范围为
故选：B
7． (2023·江苏）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可得，0＜k＜1，
函数 y＝k|x|与 y＝﹣|x﹣2|的图象如下，
由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，
由⇒xB，故k；
故选：C
8． (2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】不等式等价于.令，解得或.
当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则；
当时，不等式无解，所以不符合题意；
当时，不等式的解集为，则.
综上，的取值范围是.
故答案为：
9． (2023·全国·高三专题练习）设集合，集合. 若中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________
【答案】
【解析】由中不等式变形得：，解得或，即或，
函数的对称轴为，，，，
由对称性可得，要使恰有个整数，即这个整数解为2，3,
（2）且（3）且即，解得，
则的取值范围为，．故答案为：
10． (2023·四川雅安·模拟预测（理））已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】问题等价于在上有公共点．
，
设，，点在线段上，
的图象是过线段和抛物线弧上各一点的直线如图，其中．
故答案为：．
11． (2023·江苏·高三）已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，
可得，，，
又 ，可得，，
又
， ，
又，，故答案为：．
12． (2023·山东师范大学附中）在中，已知是x的方程的两个实根，则________．
【答案】
【解析】由题设，，，
又，且，∴.故答案为：.
13． (2023·湖南益阳）已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题意可知关于x的方程有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：
①当时，方程，化为，解得，不满足题意，舍掉；
②当时，方程，化为，此方程有两个正根，即
，解得；
③当时，方程，化为，此方程有两个负根，即
，解得；
由①②③可知，实数a的取值范围是.
故答案为：.
(2023·全国·单元测试）为何值时，关于的方程 的两根：
为正数根；
为异号根且负根绝对值大于正根；
都大于1；
一根大于2，一根小于2；
（5）两根在0，2之间.
【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）；（5）或
【解析】设函数由题意可得，方程有两根设为，对称轴 ，解得或
（1）由题意可得或
（2）由题意可得
（3）由题意可得
（4）由题意可得
（5）由题意可得或
题组四 比较大小
1． (2023·四川凉山·二模（文））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以；
令，，所以在上单调递增，
因为，所以，即，
所以，所以；
同理，所以，即，也即，
所以，所以.综上，，
故选：D.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，所以，故，又，则在上单调递减，又，，所以存在，使得，且在时，，在时，，即在上单调递增，在单调递减，且，所以，又因为，所以当时，，其中因为，所以，所以，故，即.
故选：B
3． (2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，，
所以，
因为，所以，即.所以,即，所以.
再来比较的大小：
因为，
所以，所以，即，所以.综上所述，.故选：A.
4． (2023·河南·模拟预测（理））设则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】又，即，则
，，又，由于，所以，故，即，综上：
故选：A
5． (2023·安徽亳州·高三期末（理））设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，故A错误；
因为，当时，，故B错误；
由，且时，，
所以，故C错误；
因为，所以
所以 ，故D正确.
故选：D.
6． (2023·广东佛山·高三阶段练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以；
由且，所以，所以，
令，，
令 ，则，
则，等价于，；
又，
所以当时，，
故，所以．
故选：C．
7． (2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，即，∵，∴综上，.
故选：B
题组五 解含参的一元二次不等式
1． (2023·全国·高三专题练习）已知，求关于x的不等式的解集.
【答案】见解析
【解析】当时，，∴，则的解集为
当时，解，得，
①当时，，则的解集为.
②当时，（1），即，则可化简为，无解；
（2），即，则的解集为；
（3），即，则的解集为；
综上：（1）时，解集为；
（2）当时，解集为；
（3）当时，无解；
（4）当时，解集为；
（5）当时，解集为.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）若对于任意成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）若对于任意,恒成立，
则有，解得；
（2）由于对于任意，恒成立，故．
又函数的图象的对称轴方程为，
当时，，求得无解；
当时，，求得；
当时，，求得．
综上可得，的范围为；
（3）若对于任意，恒成立，等价于，
∴，求得，即的范围为．
2． (2023·江苏·专题练习）解关于x的不等式．
【答案】答案见解析.
【解析】（1）当时，原不等式，解得，不等式解集为；
（2）当时，，开口向上，由图象得：
若时，，的两个零点为，，
不等式的解集为；
若时，，不等式解集为；
（3）当时，，
的两个零点为，
开口向下，
由图象得不等式解集为；
综上可知，当时不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
3． (2023·江苏·专题练习）已知函数．
(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【解析】(1)根据题意，当，即时，，不合题意；
当，即时，
的解集为R，即的解集为R，
即，故时，或.故 ．
(2)，即，即，
当，即时，解集为；
当，即时，，
，解集为或；
当，即时，，
，解集为．
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为或.
(3)，即，
恒成立，，
设则，
，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
当时，，．
4． (2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求在上的值域；
(2)当时，解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】(1)当时，是开口向上，对称轴为的二次函数，又，
所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
所以，
又，，因此在上的值域为.
(2)∵．
①当时，，即解集为；
②当时，且开口方向向下，
所以的解集为
③当时，若，即时，原不等式的解集为；
若，即，原不等式的解集为
若，即，原不等式的解集为
综上，当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为
当时，的解集为；
当时，的解集为．
5．（2022·江苏省如皋中学）解关于的不等式：.
【答案】见解析
【解析】当时，原不等式等价于，所以解为，
当时，，
当时，令得，
所以当时，，不等式所对应方程的根为或，
此时不等式的解为；
当时，，不等式的解为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，原不等式等价于，
不等式所对应方程的根或（且），
所以不等式的解为或.
综上可知：当时，解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.