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2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题19二次函数与平移变换综合问题(原卷版+解析)
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这是一份2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题19二次函数与平移变换综合问题(原卷版+解析),共63页。
【例1】. (2023•湖北)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为A,与y轴交于点C,线段CB∥x轴,交该抛物线于另一点B.
(1)求点B的坐标及直线AC的解析式;
(2)当二次函数y=x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时,此函数的最大值为p,最小值为q,且p﹣q=2,求m的值;
(3)平移抛物线y=x2﹣2x﹣3,使其顶点始终在直线AC上移动,当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时,设此时抛物线的顶点的横坐标为n,请直接写出n的取值范围.
【例2】. (2023•常州)已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表:
(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式;
(2)将二次函数y=ax2+bx+3的图象向右平移k(k>0)个单位,得到二次函数y=mx2+nx+q的图象,使得当﹣1<x<3时,y随x增大而增大;当4<x<5时,y随x增大而减小.请写出一个符合条件的二次函数y=mx2+nx+q的表达式y= ,实数k的取值范围是 ;
(3)A、B、C是二次函数y=ax2+bx+3的图象上互不重合的三点.已知点A、B的横坐标分别是m、m+1,点C与点A关于该函数图象的对称轴对称,求∠ACB的度数.
【例3】. (2023•连云港)已知二次函数y=x2+(m﹣2)x+m﹣4,其中m>2.
(1)当该函数的图象经过原点O(0,0),求此时函数图象的顶点A的坐标;
(2)求证:二次函数y=x2+(m﹣2)x+m﹣4的顶点在第三象限;
(3)如图,在(1)的条件下,若平移该二次函数的图象,使其顶点在直线y=﹣x﹣2上运动,平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B,求△AOB面积的最大值.
【例4】. (2023•聊城)如图,在直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),对称轴为直线x=﹣1,顶点为点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接DA,DC,CB,CA,如图①所示,求证:∠DAC=∠BCO;
(3)如图②,延长DC交x轴于点M,平移二次函数y=﹣x2+bx+c的图象,使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1=2CD,得到新抛物线y1,y1交y轴于点N.如果在y1的对称轴和y1上分别取点P,Q,使以MN为一边,点M,N,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求此时点Q的坐标.
【例5】. (2023•镇江)一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A、原点O和一次函数y=x+1图象上的点B(m,).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)如图1,一次函数y=x+n(n>﹣,n≠1)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交于点C(x1,y1)、D(x2,y2)(x1<x2),过点C作直线l1⊥x轴于点E,过点D作直线l2⊥x轴,过点B作BF⊥l2于点F.
①x1= ,x2= (分别用含n的代数式表示);
②证明:AE=BF;
(3)如图2,二次函数y=a(x﹣t)2+2的图象是由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象平移后得到的,且与一次函数y=x+1的图象交于点P、Q(点P在点Q的左侧),过点P作直线l3⊥x轴,过点Q作直线l4⊥x轴,设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′,过点A′作A′M⊥l3于点M,过点B′作B′N⊥l4于点N.
①A′M与B′N相等吗?请说明你的理由;
②若A′M+3B′N=2,求t的值.
一.解答题(共20题)
1. (2023秋•临海市月考)如图,以A(3,0),为顶点的抛物线交y轴于点B(0,4)
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)点C(7,4)是否也在这个抛物线上?
(3)你能否通过左右平移该抛物线,使平移后的抛物线经过点C(7,4)?若能,请写出平移的方法.
2. (2023秋•江夏区月考)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,2).
(1)抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6.①求抛物线的解析式.②如图1,直线y=﹣x+4与抛物线交于B、C两点,P为线段BC上一点,过P作PM∥y轴交抛物线于M点.若PM=3,求P点的坐标.
(2)将抛物线平移,使点A的对应点为A'(m+1,b+4),其中m≠2.若平移后的抛物线经过点N(2,1),平移后的抛物线顶点恰好落在直线y=x+5上,求b的值.
3. (2023•湖里区二模)抛物线y=ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A(m,0),与y轴交于点B,过点B的直线BC⊥AB交x轴于点M,BC=kAB.
(1)用含b的式子表示m;
(2)若四边形AMBE是平行四边形,且点E在抛物线上,求抛物线的解析式;
(3)已知点C在抛物线上,且m>0,k=4,将抛物线y=ax2+bx+1平移,若点M在平移后的抛物线上,判断平移后的抛物线是否经过点C?若经过,请说明抛物线平移的方式;若不经过,请说明理由.
4. (2023•上海)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c过点A(﹣2,﹣1),B(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移抛物线,平移后的顶点为P(m,n)(m>0).
ⅰ.如果S△OBP=3,设直线x=k,在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势,求k的取值范围;
ⅱ.点P在原抛物线上,新抛物线交y轴于点Q,且∠BPQ=120°,求点P的坐标.
5. (2023•青浦区模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标;
(2)点P为抛物线上一点,且在x轴下方,联结PA.当∠PAB=∠ACO时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿平行于y轴的方向平移,平移后点P的对应点为点Q,当AQ平分∠PAC时,求抛物线平移的距离.
6. (2023•凉山州)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,3),顶点为C,点D在其对称轴上,且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点P的坐标;
(3)将抛物线平移,使其顶点落在原点O,这时点P落在点E的位置,在y轴上是否存在点M,使得MP+ME的值最小,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
7. (2023•雁塔区校级模拟)已知抛物线L1:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线L的表达式;
(2)若点P是直线y=x+1上的一个动点,将抛物线L进行平移得到抛物线L',点B的对应点为点Q,是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形?若存在,求出抛物线的平移方式;若不存在,请说明理由.
8. (2023•渭滨区一模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=﹣+bx2+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求线段CD的长;
(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.
9. (2023秋•普兰店区期末)抛物线y=ax2+4(a≠0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左侧),AB=4,点P(2,1)位于第一象限.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M在抛物线上,且使∠MAP=45°,求点M的坐标;
(3)将(1)中的抛物线平移,使它的顶点在直线y=x+4上移动,当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时,求抛物线顶点横坐标t的取值范围.
10. (2023•碑林区校级四模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A,B(A在B的左侧).
(1)若抛物线的对称轴为直线x=﹣3,AB=4.求抛物线的表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使平移后的抛物线经过点O,且与x轴正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,若△OCP是等腰直角三角形,求点P的坐标.
11. (2023•静安区二模)在平面直角坐标系xOy中,已知点A坐标是(2,4),点B在x轴上,OB=AB(如图所示),二次函数的图象经过点O、A、B三点,顶点为D.
(1)求点B与点D的坐标;
(2)求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标;
(3)二次函数的图象经过平移后,点A落在原二次函数图象的对称轴上,点D落在线段AB上,求图象平移后得到的二次函数解析式.
12. (2023•富阳区二模)设二次函数y=(x﹣a)(x﹣a+2),其中a为实数.
(1)若二次函数的图象经过点P(2,﹣1),求二次函数的表达式;
(2)把二次函数的图象向上平移k个单位,使图象与x轴无交点,求k的取值范围;
(3)若二次函数的图象经过点A(m,t),点B(n,t),设|m﹣n|=d(d≥2),求t的最小值.
13. (2023•宁波模拟)已知二次函数y=x2+x﹣m的部分图象如图所示.
(1)求该二次函数图象的对称轴,并利用图象直接写出一元二次方程x2+x﹣m=0的解.
(2)向上平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
14. (2023•宁波模拟)已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1(m为常数)的图象与x轴交于A,B两点,顶点为C.
(1)若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点,求m的值.
(2)①若P(m﹣3,y1),Q(m+2,y2)在已知的二次函数图象上,比较y1,y2的大小;
②求△ABC的面积.
15. (2023•吴兴区一模)如图已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,﹣1),点C(0,﹣4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交二次函数y=x2+bx+c的图象于点B,连接BC.
(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标:
(2)若将该二次函数图象向上平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点,P为直线AC上一点,在第四象限的抛物线上是否存在一点Q,使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点Q的横坐标:若不存在,请说明理由.
16. (2023•南宁模拟)已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+c(a≠0),且c=﹣3a.
(1)若a=﹣1,求该二次函数的解析式和顶点坐标;
(2)在(1)的条件下,求出下表中k、n的值,并在以下平面直角坐标系中,用描点法画出该二次函数的图象;根据图象回答:当0≤x≤2时,直接写出y的最小值.
(3)当﹣3<x<0时,y有最小值﹣4,若将该二次函数的图象向右平移m(m>1)个单位长度,平移后得到的图象所对应的函数y'在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3,求函数y=ax+m的解析式.
17. (2023•房山区二模)在平面直角坐标系xOy中,点A(2,﹣1)在二次函数y=x2﹣(2m+1)x+m的图象上.
(1)直接写出这个二次函数的解析式;
(2)当n≤x≤1时,函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n,求n的值;
(3)将此二次函数图象平移,使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x﹣h)2+k,当x<2时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.
18. (2023•洞头区模拟)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0,3),交x轴于点B(3,0).
(1)求抛物线的解析式,并根据该图象直接写出y>3时x的取值范围.
(2)将线段OB向左平移m个单位,向上平移n个单位至O'B'(m,n均为正数),若点O',B'均落在此二次函数图象上,求m,n的值.
19. (2023•桥西区校级模拟)如图,抛物线,点Q为顶点.
(1)无论a为何值,抛物线L总过一个定点为 ;
(2)若抛物线的对称轴为直线x=1.
①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标;
②将抛物线L向下平移k(k>0)个单位长度,使点Q落在点A处,平移后的抛物线与y轴交于点B.若QA=QB,求k的值;
(3)当a=2时,点M(m,n)为抛物线上一点,点M到y轴的距离不超过2,直接写出n的取值范围.
20. (2023•宜宾)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3,0)、B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),其顶点为点D,连结AC.
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上取一点E,点F为抛物线上一动点,使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形,求点F的坐标;
(3)在(2)的条件下,将点D向下平移5个单位得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点,求PF+PM的最小值.
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…
x
…
﹣1
0
1
…
y
…
4
k
n
…
专题19二次函数与平移变换综合问题
【例1】 (2023•湖北)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为A,与y轴交于点C,线段CB∥x轴,交该抛物线于另一点B.
(1)求点B的坐标及直线AC的解析式;
(2)当二次函数y=x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时,此函数的最大值为p,最小值为q,且p﹣q=2,求m的值;
(3)平移抛物线y=x2﹣2x﹣3,使其顶点始终在直线AC上移动,当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时,设此时抛物线的顶点的横坐标为n,请直接写出n的取值范围.
【分析】(1)求出A、B、C三点坐标,再用待定系数法求直线AC的解析式即可;
(2)分四种情况讨论:①当m>1时,p﹣q=(m+2)2﹣2(m+2)﹣3﹣m2+2m+3=2,解得m=(舍);②当m+2<1,即m<﹣1,p﹣q=m2﹣2m﹣3﹣(m+2)2+2(m+2)+3=2,解得m=﹣(舍);③当m≤1≤m+1,即0≤m≤1,p﹣q=(m+2)2﹣2(m+2)﹣3+4=2,解得m=﹣1或m=﹣﹣1(舍);④当m+1<1≤m+2,即﹣1≤m<0,p﹣q=m2﹣2m﹣3+4=2,解得m=+1(舍)或m=﹣+1;
(3)分两种情况讨论:①当抛物线向左平移h个单位,则向上平移h个单位,平移后的抛物线解析式为y=(x﹣1+h)2﹣4+h,求出直线BA的解析式为y=x﹣5,联立方程组,由Δ=0时,解得h=,此时抛物线的顶点为(,﹣),此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点;②当抛物线向右平移k个单位,则向下平移k个单位,平移后的抛物线解析式为y=(x﹣1﹣k)2﹣4﹣k,当抛物线经过点B时,此时抛物线的顶点坐标为(4,﹣7),此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点;当抛物线的顶点为(1,﹣4)时,平移后的抛物线与射线BA有两个公共点,由此可求解.
【解答】解:(1)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴顶点A(1,﹣4),
令x=0,则y=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∵CB∥x轴,
∴B(2,﹣3),
设直线AC解析式为y=kx+b,
,
解得,
∴y=﹣x﹣3;
(2)∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x=1,
①当m>1时,
x=m时,q=m2﹣2m﹣3,
x=m+2时,p=(m+2)2﹣2(m+2)﹣3,
∴p﹣q=(m+2)2﹣2(m+2)﹣3﹣m2+2m+3=2,
解得m=(舍);
②当m+2<1,即m<﹣1,
x=m时,p=m2﹣2m﹣3,
x=m+2时,q=(m+2)2﹣2(m+2)﹣3,
∴p﹣q=m2﹣2m﹣3﹣(m+2)2+2(m+2)+3=2,
解得m=﹣(舍);
③当m≤1≤m+1,即0≤m≤1,
x=1时,q=﹣4,
x=m+2时,p=(m+2)2﹣2(m+2)﹣3,
∴p﹣q=(m+2)2﹣2(m+2)﹣3+4=2,
解得m=﹣1或m=﹣﹣1(舍);
④当m+1<1≤m+2,即﹣1≤m<0,
x=1时,q=﹣4,
x=m时,p=m2﹣2m﹣3,
∴p﹣q=m2﹣2m﹣3+4=2,
解得m=1+(舍)或m=1﹣,
综上所述:m的值﹣1或1﹣;
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b,
∴,
解得,
∴y=﹣x﹣3,
①如图1,当抛物线向左平移h个单位,则向上平移h个单位,
∴平移后的抛物线解析式为y=(x﹣1+h)2﹣4+h,
设直线BA的解析式为y=k'x+b',
∴,
解得,
∴y=x﹣5,
联立方程组,
整理得x2﹣(3﹣2h)x+h2﹣h+2=0,
当Δ=0时,(3﹣2h)2﹣4(h2﹣h+2)=0,
解得h=,
此时抛物线的顶点为(,﹣),此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点;
②如图2,当抛物线向右平移k个单位,则向下平移k个单位,
∴平移后的抛物线解析式为y=(x﹣1﹣k)2﹣4﹣k,
当抛物线经过点B时,(2﹣1﹣k)2﹣4﹣k=﹣3,
解得k=0(舍)或k=3,
此时抛物线的顶点坐标为(4,﹣7),此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点,
当抛物线的顶点为(1,﹣4)时,平移后的抛物线与射线BA有两个公共点,
∴综上所述:1<n≤4或n=.
【例2】 (2023•常州)已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表:
(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式;
(2)将二次函数y=ax2+bx+3的图象向右平移k(k>0)个单位,得到二次函数y=mx2+nx+q的图象,使得当﹣1<x<3时,y随x增大而增大;当4<x<5时,y随x增大而减小.请写出一个符合条件的二次函数y=mx2+nx+q的表达式y= y=﹣x2+6x﹣5(答案不唯一) ,实数k的取值范围是 4≤k≤5 ;
(3)A、B、C是二次函数y=ax2+bx+3的图象上互不重合的三点.已知点A、B的横坐标分别是m、m+1,点C与点A关于该函数图象的对称轴对称,求∠ACB的度数.
【分析】(1)用待定系数法可得二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3;
(2)将二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象向右平移k(k>0)个单位得y=﹣(x﹣k+1)2+4的图象,新图象的对称轴为直线x=k﹣1,根据当﹣1<x<3时,y随x增大而增大;当4<x<5时,y随x增大而减小,且抛物线开口向下,知3≤k﹣1≤4,得4≤k≤5,即可得到答案;
(3)求出A(m,﹣m2﹣2m+3),B(m+1,m2﹣m),C(﹣2﹣m,﹣m2﹣2m+3),过B作BH⊥AC于H,可得BH=|﹣m2﹣4m﹣(﹣m2﹣2m+3)|=|﹣2m﹣3|,CH=|(﹣2﹣m)﹣(m+1)|=|﹣2m3|,故△BHC是等腰直角三角形,∠ACB=45°,
当B在C右侧时,同理可得∠ACB=135°.
【解答】解:(1)将(﹣1,4),(1,0)代入y=ax2+bx+3得:
,
解得,
∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3;
(2)如图:
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴将二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象向右平移k(k>0)个单位得y=﹣(x﹣k+1)2+4的图象,
∴新图象的对称轴为直线x=k﹣1,
∵当﹣1<x<3时,y随x增大而增大;当4<x<5时,y随x增大而减小,且抛物线开口向下,
∴3≤k﹣1≤4,
解得4≤k≤5,
∴符合条件的二次函数y=mx2+nx+q的表达式可以是y=﹣(x﹣3)2+4=﹣x2+6x﹣5,
故答案为:y=﹣x2+6x﹣5(答案不唯一),4≤k≤5;
(3)当B在C左侧时,过B作BH⊥AC于H,如图:
∵点A、B的横坐标分别是m、m+1,
∴yA=﹣m2﹣2m+3,yB=﹣(m+1)2﹣2(m+1)+3=﹣m2﹣4m,
∴A(m,﹣m2﹣2m+3),B(m+1,﹣m2﹣4m),
∵点C与点A关于该函数图象的对称轴对称,而抛物线对称轴为直线x=﹣1,
∴=﹣1,AC∥x轴,
∴xC=﹣2﹣m,
∴C(﹣2﹣m,﹣m2﹣2m+3),
过B作BH⊥AC于H,
∴BH=|﹣m2﹣4m﹣(﹣m2﹣2m+3)|=|﹣2m﹣3|,CH=|(﹣2﹣m)﹣(m+1)|=|﹣2m﹣3|,
∴BH=CH,
∴△BHC是等腰直角三角形,
∴∠HCB=45°,即∠ACB=45°,
当B在C右侧时,如图:
同理可得△BHC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=180°﹣∠BCH=135°,
综上所述,∠ACB的度数是45°或135°.
【例3】 (2023•连云港)已知二次函数y=x2+(m﹣2)x+m﹣4,其中m>2.
(1)当该函数的图象经过原点O(0,0),求此时函数图象的顶点A的坐标;
(2)求证:二次函数y=x2+(m﹣2)x+m﹣4的顶点在第三象限;
(3)如图,在(1)的条件下,若平移该二次函数的图象,使其顶点在直线y=﹣x﹣2上运动,平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B,求△AOB面积的最大值.
【分析】(1)把O(0,0)代入y=x2+(m﹣2)x+m﹣4可得y=x2+2x=(x+1)2﹣1,即得函数图像的顶点A的坐标为(﹣1,﹣1);
(2)由抛物线顶点坐标公式得y=x2+(m﹣2)x+m﹣4的顶点为(,),根据m>2,=﹣(m﹣4)2﹣1≤﹣1<0,可知二次函数y=x2+(m﹣2)x+m﹣4的顶点在第三象限;
(3)设平移后图像对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c,其顶点为(﹣,),将(﹣,)代入y=﹣x﹣2得c=,可得OB=﹣c=﹣,过点A作AH⊥OB于H,有S△AOB=OB•AH=×(﹣)×1=﹣(b+1)2+,由二次函数性质得△AOB面积的最大值是.
【解答】(1)解:把O(0,0)代入y=x2+(m﹣2)x+m﹣4得:
m﹣4=0,
解得m=4,
∴y=x2+2x=(x+1)2﹣1,
∴函数图像的顶点A的坐标为(﹣1,﹣1);
(2)证明:由抛物线顶点坐标公式得y=x2+(m﹣2)x+m﹣4的顶点为(,),
∵m>2,
∴2﹣m<0,
∴<0,
∵=﹣(m﹣4)2﹣1≤﹣1<0,
∴二次函数y=x2+(m﹣2)x+m﹣4的顶点在第三象限;
(3)解:设平移后图像对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c,其顶点为(﹣,),
当x=0时,B(0,c),
将(﹣,)代入y=﹣x﹣2得:
=﹣2,
∴c=,
∵B(0,c)在y轴的负半轴,
∴c<0,
∴OB=﹣c=﹣,
过点A作AH⊥OB于H,如图:
∵A(﹣1,﹣1),
∴AH=1,
在△AOB中,
S△AOB=OB•AH=×(﹣)×1=﹣b2﹣b+1=﹣(b+1)2+,
∵﹣<0,
∴当b=﹣1时,此时c<0,S△AOB取最大值,最大值为,
答:△AOB面积的最大值是.
【例4】 (2023•聊城)如图,在直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),对称轴为直线x=﹣1,顶点为点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接DA,DC,CB,CA,如图①所示,求证:∠DAC=∠BCO;
(3)如图②,延长DC交x轴于点M,平移二次函数y=﹣x2+bx+c的图象,使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1=2CD,得到新抛物线y1,y1交y轴于点N.如果在y1的对称轴和y1上分别取点P,Q,使以MN为一边,点M,N,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求此时点Q的坐标.
【分析】(1)根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值,进而求得结果;
(2)根据点A,D,C坐标可得出AD,AC,CD的长,从而推出三角形ADC为直角三角形,进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等,从而得出结论;
(3)先得出y1的顶点,进而得出先抛物线的表达式,N的坐标,根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标,以MN为边,点M,N,P,Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ根据M,N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标,进而求得结果.
【解答】(1)解:由题意得,
,
∴,
∴二次函数的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)证明:∵当x=﹣1时,y=﹣1﹣2×(﹣1)+3=4,
∴D(﹣1,4),
由﹣x2﹣2x+3=0得,
x1=﹣3,x2=1,
∴A(﹣3,0),B(1,0),
∴AD2=20,
∵C(0,3),
∴CD2=2,AC2=18,
∴AC2+CD2=AD2,
∴∠ACD=90°,
∴tan∠DAC===,
∵∠BOC=90°,
∴tan∠BCO==,
∴∠DAC=∠BCO;
(3)解:如图,
作DE⊥y轴于E,作D1F⊥y轴于F,
∴DE∥FD1,
∴△DEC∽△D1FC,
∴=,
∴FD1=2DE=2,CF=2CE=2,
∴D1(2,1),
∴y1的关系式为:y=﹣(x﹣2)2+1,
当x=0时,y=﹣3,
∴N(0,﹣3),
同理可得:,
∴,
∴OM=3,
∴M(3,0),
设P(2,m),
当▱MNQP时,
∴MN∥PQ,PQ=MN,
∴Q点的横坐标为﹣1,
当x=﹣1时,y=﹣(﹣1﹣2)2+1=﹣8,
∴Q(﹣1,8),
当▱MNPQ时,
同理可得:点Q横坐标为:5,
当x=5时,y=﹣(5﹣2)2+1=﹣8,
∴Q′(5,﹣8),
综上所述:点Q(﹣1,﹣8)或(5,﹣8).
【例5】 (2023•镇江)一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A、原点O和一次函数y=x+1图象上的点B(m,).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)如图1,一次函数y=x+n(n>﹣,n≠1)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交于点C(x1,y1)、D(x2,y2)(x1<x2),过点C作直线l1⊥x轴于点E,过点D作直线l2⊥x轴,过点B作BF⊥l2于点F.
①x1= ,x2= (分别用含n的代数式表示);
②证明:AE=BF;
(3)如图2,二次函数y=a(x﹣t)2+2的图象是由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象平移后得到的,且与一次函数y=x+1的图象交于点P、Q(点P在点Q的左侧),过点P作直线l3⊥x轴,过点Q作直线l4⊥x轴,设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′,过点A′作A′M⊥l3于点M,过点B′作B′N⊥l4于点N.
①A′M与B′N相等吗?请说明你的理由;
②若A′M+3B′N=2,求t的值.
【分析】(1)先求出点A、B的坐标,利用交点式设y=ax(x+2),把B(,)代入即可求得答案;
(2)①联立得x2+2x=x+n,解方程即可求得答案;
②分两种情况:当n>1时,CD位于AB的上方,可得:AE=﹣2﹣=,BF=﹣=,故AE=BF;当<n<1时,CD位于AB的下方,可得:AE=﹣(﹣2)=,BF=﹣=,故AE=BF;
(3)方法一:①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′,则P′Q′∥PQ,可得P′Q′∥AB,再由(2)②及平移的性质可证得结论;②由A′M+3B′N=2,可得A′M=B′N=,根据二次函数y=x2+2x的图象的顶点为(﹣1,﹣1),二次函数y=(x﹣t)2+2的图象的顶点为(t,2),可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移(t+1)个单位,向上平移3个单位得到的,把Q(t+1,3)代入y=x+1,即可求得答案;
方法二:①设点Q的坐标为(x3,y3),由y3=x3+1,y3=(x3﹣t)2+2,得x3+1=(x3﹣t)2+2,可得:点P的横坐标为,点Q的横坐标为(t>).再由二次函数y=x2+2x图象的顶点为(﹣1,﹣1),二次函数y=(x﹣t)2+2的图象的顶点为(t,2),可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移(t+1)个单位,向上平移3个单位得到的,求得:B′(t+,),A′(t﹣1,3),即可证得结论.
【解答】解:(1)∵直线y=x+1与x轴交于点A,
令y=0,得x+1=0,
解得:x=﹣2,
∴A(﹣2,0),
∵直线y=x+1经过点B(m,),
∴m+1=,
解得:m=,
∴B(,),
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣2,0),O(0,0),B(,),
设y=ax(x+2),则=a××(+2),
解得:a=1,
∴y=x(x+2)=x2+2x,
∴这个二次函数的表达式为y=x2+2x;
(2)①由题意得:x2+2x=x+n(n>﹣),
解得:x1=,x2=,
故答案为:,;
②当n>1时,CD位于AB的上方,
∵A(﹣2,0),B(,),
∴AE=﹣2﹣=,BF=﹣=,
∴AE=BF,
当<n<1时,CD位于AB的下方,
∵A(﹣2,0),B(,),
∴AE=﹣(﹣2)=,BF=﹣=,
∴AE=BF,
∴当n>﹣且n≠1时,AE=BF;
(3)方法一:①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′,则P′Q′∥PQ,
∴P′Q′∥AB,
∵平移后点A、B的对应点分别为A′、B′,
由(2)②及平移的性质可知:A′M=B′N;
②∵A′M+3B′N=2,
∴A′M=B′N=,
设点Q在原抛物线上的对应点为Q′,
∵二次函数y=x2+2x的图象的顶点为(﹣1,﹣1),二次函数y=(x﹣t)2+2的图象的顶点为(t,2),
∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移(t+1)个单位,向上平移3个单位得到的,
∴Q′的横坐标为0或1,
∴Q′(0,0)或(1,3),
当Q′(0,0)时,Q(t+1,3),
将点Q的坐标代入y=x+1,
得:3=(t+1)+1,
解得:t=3;
当Q′(1,3)时,Q(t+2,6),
将点Q的坐标代入y=x+1,
得:6=(t+2)+1,
解得:t=8;
综上所述,t=3或8;
另解:
∵A′M+3B′N=2,
∴A′M=B′N=,B(,)的对应点为B′(t+,),
∵B′N=,
∴点Q的横坐标为t+1,代入y=x+1,得y=(t+1)+1=t+,
∴Q(t+1,t+),
将点Q的坐标代入y=(x﹣t)2+2中,得t+=(t+1﹣t)2+2,
解得:t=3.
方法二:
①设点Q的坐标为(x3,y3),由y3=x3+1,y3=(x3﹣t)2+2,得x3+1=(x3﹣t)2+2,
当t>时,解得:x3=,
∴点Q的横坐标为;
同理可得点P的横坐标为,
∵点P在点Q的左侧,
∴点P的横坐标为,点Q的横坐标为(t>).
∵二次函数y=x2+2x图象的顶点为(﹣1,﹣1),二次函数y=(x﹣t)2+2的图象的顶点为(t,2),
∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移(t+1)个单位,向上平移3个单位得到的,
∴B(,)的对应点为B′(t+,),A(﹣2,0)的对应点为A′(t﹣1,3).
∴B′N=t+﹣=,A′M=﹣(t﹣1)=,
∴A′M=B′N.
一.解答题(共20题)
1. (2023秋•临海市月考)如图,以A(3,0),为顶点的抛物线交y轴于点B(0,4)
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)点C(7,4)是否也在这个抛物线上?
(3)你能否通过左右平移该抛物线,使平移后的抛物线经过点C(7,4)?若能,请写出平移的方法.
【分析】(1)设顶点式y=a(x﹣3)2,然后把B点坐标代入求出a,从而得到抛物线解析式;
(2)根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断;
(3)设平移后的抛物线解析式为y=(x﹣m)2,再把C(7,4)代入求出m的值为4或10,从而可判断抛物线向右平移1个单位或7个单位.
【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣3)2,
把B(0,4)代入得4=a×(0﹣3)2,
解得a=,
∴抛物线解析式为y=(x﹣3)2;
(2)当x=7时,y=(x﹣3)2=×(7﹣3)2=≠4,
∴点C(7,4)不在这个抛物线上;
(3)能.
设平移后的抛物线解析式为y=(x﹣m)2,
把C(7,4)代入得×(7﹣m)2=4,
解得m1=4,m2=10,
∴把抛物线y=(x﹣3)2向右平移1个单位或7个单位可经过点C(7,4).
2. (2023秋•江夏区月考)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,2).
(1)抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6.①求抛物线的解析式.②如图1,直线y=﹣x+4与抛物线交于B、C两点,P为线段BC上一点,过P作PM∥y轴交抛物线于M点.若PM=3,求P点的坐标.
(2)将抛物线平移,使点A的对应点为A'(m+1,b+4),其中m≠2.若平移后的抛物线经过点N(2,1),平移后的抛物线顶点恰好落在直线y=x+5上,求b的值.
【分析】(1)①将点A(﹣1,2)代入y=﹣x2+bx+c,得到b、c的关系为c﹣b=3,再由=6,求出b、c的值即可求函数的解析式;
②设M(t,﹣t2+2t+5),则P(t,﹣t+4),可得PM=﹣t2+3t+1=3,求出t的值即可求M点坐标;
(2)由题意可知抛物线向右平移m+2个单位,向上平移b+2个单位,则平移后的抛物线解析为y=﹣(x﹣﹣m﹣2)2+2b+5+,所以抛物线的顶点为(+m+2,2b+5+),再由题意可得m=+b﹣2①,﹣(﹣﹣m)2+2b+5+=1②,由①②求出b的值即可.
【解答】解:(1)①将点A(﹣1,2)代入y=﹣x2+bx+c,
∴c﹣b=3,
∵抛物线的顶点纵坐标为6,
∴=6,
∴c=﹣3或c=5,
∴b=﹣6或b=2,
∵顶点位于y轴右侧,
∴b>0,
∴b=2,
∴y=﹣x2+2x+5;
②设M(t,﹣t2+2t+5),则P(t,﹣t+4),
∴PM=﹣t2+3t+1,
∵PM=3,
∴﹣t2+3t+1=3,
解得t=1或t=2,
∴P(1,3)或(2,2);
(2)∵点A(﹣1,2)平移后对应点为A'(m+1,b+4),
∴抛物线向右平移m+2个单位,向上平移b+2个单位,
∵c﹣b=3,
∴y=﹣x2+bx+c=﹣(x﹣)2+b+3+,
∴平移后的抛物线解析为y=﹣(x﹣﹣m﹣2)2+2b+5+,
∴抛物线的顶点为(+m+2,2b+5+),
∵抛物线顶点恰好落在直线y=x+5上,
∴+m+2+5=2b+5+,
∴m=+b﹣2①,
∵平移后的抛物线经过点N(2,1),
∴﹣(﹣﹣m)2+2b+5+=1②,
由①②可得,b+2m=b+4或b+2m=﹣b﹣4,
当b+2m=b+4时,m=2,此时不符合题意;
当b+2m=﹣b﹣4时,b=0或b=﹣10,
当b=0时,m=﹣2;当b=﹣10时,m=8;
∴b的值为0或﹣10.
3. (2023•湖里区二模)抛物线y=ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A(m,0),与y轴交于点B,过点B的直线BC⊥AB交x轴于点M,BC=kAB.
(1)用含b的式子表示m;
(2)若四边形AMBE是平行四边形,且点E在抛物线上,求抛物线的解析式;
(3)已知点C在抛物线上,且m>0,k=4,将抛物线y=ax2+bx+1平移,若点M在平移后的抛物线上,判断平移后的抛物线是否经过点C?若经过,请说明抛物线平移的方式;若不经过,请说明理由.
【分析】(1)利用Δ=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到Δ=b2﹣4a=0,可得a=,则y=x2+bx+1=(x+)2,把A(m,0)代入即可求解;
(2)求出E(﹣,1),则BE=|﹣|,证明△AOB∽△BOM,可求M(﹣,0),再由AM=BE,得到|﹣|=|m+|,求出b=±2,即可求解析式y=(x﹣1)2或y=(x+1)2;
(3)平移后抛物线的顶点由A变为M,则平移后的抛物线为y=(x+)2,因为C在抛物线上,平移后的抛物线经过C,所以(x+)2=(x﹣m)2,此时m2=﹣1,m无解.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A(m,0),
∴Δ=b2﹣4ac=b2﹣4a=0,
∴a=,
∴y=x2+bx+1=(x+)2,
把A(m,0)代入得,(m+)2=0,
∴m=﹣;
(2)若四边形AMBE是平行四边形,A,M均在x轴上,
则AM∥BE,AM=BE,
∵B在y轴上,
当x=0时,y=ax2+bx+1=1,
∴B(0,1),
∴E的纵坐标为1,
把yE=1代入抛物线y=(x+)2,
∴(x+)2=1,
解得x=0(舍)或﹣,
∴E(﹣,1),
∴BE=|﹣|,
∵BC⊥AB,
∴∠MBA=90°,
∵∠MBO+∠ABO=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠MBO,
∴△AOB∽△BOM,
∴=,
∴OM=,
∴M(﹣,0),
∵AM=BE,
∴|﹣|=|m+|,
∵m=﹣,
∴b=±2,
∴y=(x﹣1)2或y=(x+1)2;
(3)平移后的抛物线不经过点C,理由如下:
∵平移后抛物线的顶点由A变为M,
∴平移后的抛物线为y=(x+)2,
∵C在抛物线上,平移后的抛物线经过C,
∴(x+)2=(x﹣m)2,
∴m2=﹣1,
∴m无解,
∴平移后的抛物线不经过C点.
4. (2023•上海)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c过点A(﹣2,﹣1),B(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移抛物线,平移后的顶点为P(m,n)(m>0).
ⅰ.如果S△OBP=3,设直线x=k,在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势,求k的取值范围;
ⅱ.点P在原抛物线上,新抛物线交y轴于点Q,且∠BPQ=120°,求点P的坐标.
【分析】(1)根据点A,B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)i.根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线x=2,开口向上,由二次函数的性质可得出答案;
ii.P(m,﹣3),证出BP=PQ,由等腰三角形的性质求出∠BPC=60°,由直角三角形的性质可求出答案.
【解答】解:(1)将A(﹣2,﹣1),B(0,﹣3)代入y=x2+bx+c,得:
,
解得:,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3.
(2)i.∵y=x2﹣3,
∴抛物线的顶点坐标为(0,﹣3),
即点B是原抛物线的顶点,
∵平移后的抛物线顶点为P(m,n),
∴抛物线平移了|m|个单位,
∴S△OPB=×3|m|=3,
∵m>0,
∴m=2,
即平移后的抛物线的对称轴为直线x=2,
∵在x=k的右侧,两抛物线都上升,原抛物线的对称轴为y轴,开口向上,
∴k≥2;
ii.把P(m,n)代入y=x2﹣3,
∴n=﹣3,
∴P(m,﹣3),
由题意得,新抛物线的解析式为y=+n=﹣3,
∴Q(0,m2﹣3),
∵B(0,﹣3),
∴BQ=m2,+,PQ2=,
∴BP=PQ,
如图,过点P作PC⊥y轴于C,则PC=|m|,
∵PB=PQ,PC⊥BQ,
∴BC=BQ=m2,∠BPC=∠BPQ=×120°=60°,
∴tan∠BPC=tan60°==,
∴m=2或m=﹣2(舍),
∴n=﹣3=3,
∴P点的坐标为(2,3).
5. (2023•青浦区模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标;
(2)点P为抛物线上一点,且在x轴下方,联结PA.当∠PAB=∠ACO时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿平行于y轴的方向平移,平移后点P的对应点为点Q,当AQ平分∠PAC时,求抛物线平移的距离.
【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案;
(2)设P(t,﹣t2+4t﹣3),如图1,过点P作PD⊥x轴于点D,连接AC、AP,可证得△APD∽△CAO,建立方程求解即可得出答案;
(3)如图2,连接AQ、PQ,过点P作PE⊥PA交AQ于点E,过点E作EF⊥PQ于点F,可证得△APD≌△PEF(AAS),得出:PF=AD=,EF=PD=,即E(,﹣),再利用待定系数法求得直线AE的解析式为y=﹣2x+2,再求得Q(,﹣),即可求得抛物线平移的距离.
【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),
∴,
解得:,
∴该抛物线的表达式为y=﹣x2+4x﹣3,
当x=0时,y=﹣3,
∴C(0,﹣3);
(2)设P(t,﹣t2+4t﹣3),如图1,过点P作PD⊥x轴于点D,连接AC、AP,
则∠ADP=∠AOC=90°,AD=t﹣1,PD=﹣(﹣t2+4t﹣3)=t2﹣4t+3,
又OA=1,OC=3,
∵∠PAB=∠ACO,
∴△APD∽△CAO,
∴=,即=,
∴3t2﹣13t+10=0,
解得:t1=1(舍去),t2=,
当t=时,﹣t2+4t﹣3=﹣()2+4×﹣3=﹣
∴P(,﹣);
(3)如图2,连接AQ、PQ,过点P作PE⊥PA交AQ于点E,过点E作EF⊥PQ于点F,
由(2)知:P(,﹣),∠PAC=90°,
∴PD=,AD=﹣1=,∠ADP=90°,
∵将抛物线沿平行于y轴的方向平移,平移后点P的对应点为点Q,
∴D、P、Q在同一条直线上,
∴∠APD+∠EPF=90°,
∵∠PFE=90°=∠ADP,
∴∠PEF+∠EPF=90°,
∴∠APD=∠PEF,
∵AQ平分∠PAC,
∴∠PAE=∠PAC=×90°=45°,
又PE⊥PA,
∴△APE是等腰直角三角形,
∴AP=PE,
∴△APD≌△PEF(AAS),
∴PF=AD=,EF=PD=,
∴E(,﹣),
设直线AE的解析式为y=kx+d,则,
解得:,
∴直线AE的解析式为y=﹣2x+2,
当x=时,y=﹣2x+2=﹣2×+2=﹣,
∴Q(,﹣),
∵﹣﹣(﹣)=,
∴抛物线y=﹣x2+4x﹣3向下平移了个单位.
6. (2023•凉山州)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,3),顶点为C,点D在其对称轴上,且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点P的坐标;
(3)将抛物线平移,使其顶点落在原点O,这时点P落在点E的位置,在y轴上是否存在点M,使得MP+ME的值最小,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)利用配方法得到y=﹣(x﹣1)2+4,则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=1,如图,设CD=t,则D(1,4﹣t),根据旋转性质得∠PDC=90°,DP=DC=t,则P(1+t,4﹣t),然后把P(1+t,4﹣t)代入y=﹣x2+2x+4得到关于t的方程,从而解方程求出t,即可得到点P的坐标;
(3)P点坐标为(2,3),顶点C坐标为(1,4),利用抛物线的平移规律确定E点坐标为(1,﹣1),找出点E关于y轴的对称点F(﹣1,﹣1),连接PF交y轴于M,则MP+ME=MP+MF=PF的值最小,然后利用待定系数法求出直线PF的解析式,即可得到点M的坐标.
【解答】解:(1)把A(﹣1,0)和点B(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,
得,
解得:,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)∵y=﹣(x﹣1)2+4,
∴C(1,4),抛物线的对称轴为直线x=1,
如图,设CD=t,则D(1,4﹣t),
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处,
∴∠PDC=90°,DP=DC=t,
∴P(1+t,4﹣t),
把P(1+t,4﹣t)代入y=﹣x2+2x+3得:
﹣(1+t)2+2(1+t)+3=4﹣t,
整理得t2﹣t=0,
解得:t1=0(舍去),t2=1,
∴P(2,3);
(3)∵P点坐标为(2,3),顶点C坐标为(1,4),将抛物线平移,使其顶点落在原点O,这时点P落在点E的位置,
∴E点坐标为(1,﹣1),
∴点E关于y轴的对称点F(﹣1,﹣1),
连接PF交y轴于M,则MP+ME=MP+MF=PF的值最小,
设直线PF的解析式为y=kx+n,
∴,
解得:,
∴直线PF的解析式为y=x+,
∴点M的坐标为(0,).
7. (2023•雁塔区校级模拟)已知抛物线L1:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线L的表达式;
(2)若点P是直线y=x+1上的一个动点,将抛物线L进行平移得到抛物线L',点B的对应点为点Q,是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形?若存在,求出抛物线的平移方式;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)利用待定系数法解答即可;
(2)根据已知条件画出符合题意的图形,利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质解答即可.
【解答】解:(1)由题意得:
,
解得:.
∴抛物线L的表达式为y=﹣x2+2x+3;
(2)存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形.理由:
∵点A(﹣1,0),点B(3,0),
∴AB=4.
如图,当四边形ABQP为菱形时,
过点P作PC⊥x轴于点C,
令x=0,则y=1,
∴D(0,1),
∴OD=1,
令y=0,则x+1=0,
∴x=﹣1,
∴A(﹣1,0).
∴OA=1.
∴OA=OD,
∴∠DAO=45°.
∵PC⊥x轴,
∴PC=AC.
∵四边形ABQP为菱形,
∴PA=AB=4.
∴PC=AC=PA•sin45°=4×=2,
∴P(2﹣1,2),Q(3+2,2).
抛物线的平移方式为:先将抛物线向右平移2个单位,再向上平移2个单位;
同理,当点P在第三象限时,P(﹣2﹣1,﹣2),Q(3﹣2,﹣2),
此时,抛物线的平移方式为:先将抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位;
如图,当四边形APBQ为菱形时,
∵OA=OD=1,
∴∠DAO=45°.
∵四边形APBQ为菱形,
∴∠BAQ=∠DAO=45°,
∴∠PAQ=90°,
∴四边形APBQ为正方形,
∴P(1,2),Q(1,﹣2).
此时,抛物线的平移方式为:先将抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位;
如图,当四边形ABPQ为菱形时,
∵OA=OD=1,
∴∠DAO=45°.
∵四边形APBQ为菱形,
∴∠PAQ=∠DAO=45°,
∴∠BAQ=90°,
∴四边形ABPQ为正方形,
∴P(3,4),Q(﹣1,4).
此时,抛物线的平移方式为:先将抛物线向左平移4个单位,再向上平移4个单位.
8. (2023•渭滨区一模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=﹣+bx2+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求线段CD的长;
(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.
【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)利用配方法得到y=﹣(x﹣2)2+,则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2,如图,设CD=t,则D(2,﹣t),根据旋转性质得∠PDC=90°,DP=DC=t,则P(2+t,﹣t),然后把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程,从而解方程可得到CD的长;
(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,),利用抛物线的平移规律确定E点坐标为(2,﹣2),设M(0,m),当m>0时,利用梯形面积公式得到•(m++2)•2=8当m<0时,利用梯形面积公式得到•(﹣m++2)•2=8,然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标.
【解答】解:(1)把A(﹣1,0)和点B(0,)代入y=﹣x2+bx+c,
得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+;
(2)∵y=﹣(x﹣2)2+,
∴C(2,),抛物线的对称轴为直线x=2,
如图,设CD=t,则D(2,﹣t),
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处,
∴∠PDC=90°,DP=DC=t,
∴P(2+t,﹣t),
把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x2+2x+得﹣(2+t)2+2(2+t)+=﹣t,
整理得t2﹣2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,
∴线段CD的长为2;
(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,),
∵抛物线平移,使其顶点C(2,)移到原点O的位置,
∴抛物线向左平移2个单位,向下平移个单位,
而P点(4,)向左平移2个单位,向下平移个单位得到点E,
∴E点坐标为(2,﹣2),
设M(0,m),
当m>0时,•(m++2)•2=8,解得m=,此时M点坐标为(0,);
当m<0时,•(﹣m++2)•2=8,解得m=﹣,此时M点坐标为(0,﹣);
综上所述,M点的坐标为(0,)或(0,﹣).
9. (2023秋•普兰店区期末)抛物线y=ax2+4(a≠0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左侧),AB=4,点P(2,1)位于第一象限.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M在抛物线上,且使∠MAP=45°,求点M的坐标;
(3)将(1)中的抛物线平移,使它的顶点在直线y=x+4上移动,当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时,求抛物线顶点横坐标t的取值范围.
【分析】(1)根据抛物线y=ax2+4关于y轴对称,AB=4,得A(﹣2,0),B(2,0),用待定系数法即得抛物线的解析式是y=﹣x2+4;
(2)当AM在AP上方时,过P作PH⊥AP交直线AM于H,作直线BP,过H作HD⊥BP于D,根据∠MAP=45°,PH⊥AP,可推得△ABP≌△PDH(AAS),得到H(1,5),设直线AH为y=kx+b,待定系数法得直线AH为y=x+,从而解得M(,);当AM在AP下方时,过P作PE⊥AP交直线AM于E,过P作KG∥x轴,过A作AK⊥KG于K,过E作EG⊥KG于G,同理可得M(,﹣);
(3)由平移后顶点在直线y=x+4上,设平移后的抛物线为y=﹣(x﹣t)2+t+4,把A(﹣2,0)代入得:0=﹣(﹣2﹣t)2+t+4,解得t=0或t=﹣3,结合函数图象可得﹣3≤t<0,
把P(2,1)代入得:1=﹣(2﹣t)2+t+4,解得t=或t=,结合函数图象可得:<t≤.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+4关于y轴对称,AB=4,
∴A(﹣2,0),B(2,0),
把A(﹣2,0)代入y=ax2+4得:0=4a+4,
∴a=﹣1,
∴抛物线的解析式是y=﹣x2+4;
(2)当AM在AP上方时,过P作PH⊥AP交直线AM于H,作直线BP,过H作HD⊥BP于D,如图:
∵∠MAP=45°,PH⊥AP,
∴△APH是等腰直角三角形,
∴AP=HP,∠APB=90°﹣∠HPD=∠PHD,
∵B(2,0),P(2,1),
∴∠ABP=90°=∠HDP,
∴△ABP≌△PDH(AAS),
∴AB=PD,PB=DH,
∵A(﹣2,0),B(2,0),P(2,1),
∴PD=AB=4,DH=BP=1,
∴H(1,5),
设直线AH为y=kx+b,
∴,
解得,
∴直线AH为y=x+,
由x+=﹣x2+4得:x1=﹣2(点A横坐标,舍去),x2=,
当x=时,y=﹣x2+4=﹣()2+4=,
∴M(,);
当AM在AP下方时,过P作PE⊥AP交直线AM于E,过P作KG∥x轴,过A作AK⊥KG于K,过E作EG⊥KG于G,如图:
同理可得△AKP≌△PGE,
∴PG=AK=1,GE=KP=4,
∴E(3,﹣3),
设直线AE为y=k'x+b',将A(﹣2,0),E(3,﹣3)代入得:
,解得,
∴直线AE为y=﹣x﹣,
由﹣x﹣==﹣x2+4得x=﹣2(舍去)或x=,
∴M(,﹣);
综上所述,点M的坐标为(,)或(,﹣);
(3)∵平移后顶点在直线y=x+4上,
∴设平移后的抛物线顶点为(t,t+4),则平移后的抛物线为y=﹣(x﹣t)2+t+4,
把A(﹣2,0)代入得:0=﹣(﹣2﹣t)2+t+4,解得t=0或t=﹣3,如图:
结合函数图象可得﹣3≤t<0,
把P(2,1)代入得:1=﹣(2﹣t)2+t+4,解得t=或t=,如图:
结合函数图象可得:<t≤,
综上所述,抛物线顶点横坐标t的取值范围为﹣3≤t<0或<t≤.
10. (2023•碑林区校级四模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A,B(A在B的左侧).
(1)若抛物线的对称轴为直线x=﹣3,AB=4.求抛物线的表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使平移后的抛物线经过点O,且与x轴正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,若△OCP是等腰直角三角形,求点P的坐标.
【分析】(1)先根据抛物线的对称性求出点A、点B的坐标,再将点A、点B的坐标代入y=﹣x2+mx+n,列方程组求出m、n的值即可;
(2)设平移后的抛物线的表达式为y=﹣x2+bx,将点P的坐标用含b的式子表示,过该抛物线的顶点P作PD⊥x轴于点D,根据等腰直角三角形的性质,可列方程求出b的值及点P的坐标.
【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,且抛物线的对称轴为直线x=﹣3,
∴点A与点B关于直线x=﹣3对称,
∵点A在点B的左侧,且AB=4,
∴A(﹣5,0),B(﹣1,0),
把A(﹣5,0)、B(﹣1,0)代入y=﹣x2+mx+n,
得,
解得,
∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣6x﹣5.
(2)根据题意,平移后的抛物线经过原点,
设平移后的抛物线的表达式为y=﹣x2+bx,
当y=0时,由﹣x2+bx=0得x1=0,x2=b,
∴C(b,0),
∴该抛物线的对称轴为直线x=b,
当x=b时,y=﹣(b)2+b2=b2,
∴P(b,b2);
如图,作PD⊥x轴于点D,则OD=CD,
∵△OCP是等腰直角三角形,
∴∠OPC=90°,
∴PD=OC=OD,
∴b2=b,
解得b1=2,b2=0(不符合题意,舍去),
∴P(1,1).
11. (2023•静安区二模)在平面直角坐标系xOy中,已知点A坐标是(2,4),点B在x轴上,OB=AB(如图所示),二次函数的图象经过点O、A、B三点,顶点为D.
(1)求点B与点D的坐标;
(2)求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标;
(3)二次函数的图象经过平移后,点A落在原二次函数图象的对称轴上,点D落在线段AB上,求图象平移后得到的二次函数解析式.
【分析】(1)设B(m,0),由OB=AB,可求B(5,0),设二次函数解析式为y=ax(x﹣5),将(2,4)代入可求函数的解析式,从而求D点坐标;
(2)求出直线AB解析式为y=﹣x+,令x=得y=﹣×+=,求得E(,);
(3)由A点的变化可知A点向右平移个单位,则D(,)向右平移个单位后点的横坐标为3,再由平移后的D点在线段AB上,从而求出平移后D点坐标为(3,),可得平移后的函数解析式为y=﹣(x﹣3)2+.
【解答】解:(1)设B(m,0),
∵A坐标是(2,4),OB=AB,
∴m2=(m﹣2)2+(0﹣4)2,
解得m=5,
∴B(5,0),
设二次函数解析式为y=ax(x﹣5),将(2,4)代入得:
﹣6a=4,
解得a=﹣,
∴y=﹣x(x﹣5)=﹣(x﹣)2+,
∴顶点D(,);
(2)由(1)知二次函数图象的对称轴是直线x=,
设直线AB解析式为y=kx+b,将A(2,4),B(5,0)代入得:
,
解得,
∴直线AB解析式为y=﹣x+,
令x=得y=﹣×+=,
∴E(,);
(3)∵二次函数图象的对称轴是直线x=,
∴A点向右平移个单位,
∴D(,)也向右平移个单位后点的横坐标为3,
∵平移后的D点在线段AB上,
∴平移后D点坐标为(3,),
∴平移后的函数解析式为y=﹣(x﹣3)2+.
12. (2023•富阳区二模)设二次函数y=(x﹣a)(x﹣a+2),其中a为实数.
(1)若二次函数的图象经过点P(2,﹣1),求二次函数的表达式;
(2)把二次函数的图象向上平移k个单位,使图象与x轴无交点,求k的取值范围;
(3)若二次函数的图象经过点A(m,t),点B(n,t),设|m﹣n|=d(d≥2),求t的最小值.
【分析】(1)把P(2,﹣1)代入解析式,即可解得a值,即可求解;
(2)先由二次函数交点式求出抛物线的对称轴,从而求得顶点纵坐标为﹣1,则将二次函数图象向上平移 k个单位可得顶点纵坐标为k﹣1,因为图象与x轴无交点,所以k﹣1>0,即可求解;
(3)二次函数的对称轴为直线x==a﹣1,不妨设m<n,由|m﹣n|=d,得出m=a﹣1﹣,n=a﹣1+,把x=a﹣1﹣,y=t代入函数解析式,得t=d2﹣1,再根据d≥2得出t的取值范围.
【解答】解:(1)∵二次函数的图象经过点P(2,﹣1),
∴(2﹣a)(2﹣a+2)=﹣1,
解得:a=3,
∴y=(x﹣3)(x﹣3+2)=x2﹣4x+3,
∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x+3;
(2)由二次函数的交点式得二次函数与x轴交点横坐标x1=a,x2=a﹣2,
∴二次函数的对称轴为直线x==a﹣1,
把x=a﹣1代入解析式得顶点纵坐标为﹣1,
∴将二次函数图象向上平移k个单位可得顶点纵坐标为k﹣1,
∵图象与 轴无交点,
∴k﹣1>0,
∴k>1;
(3)∵二次函数的对称轴为直线x==a﹣1,不妨设m<n,
∵|m﹣n|=d,
∴m=a﹣1﹣,n=a﹣1+,
把x=a﹣1﹣,y=t代入函数解析式,得t=d2﹣1,
∵d≥2,
∴t的最小值为0.
13. (2023•宁波模拟)已知二次函数y=x2+x﹣m的部分图象如图所示.
(1)求该二次函数图象的对称轴,并利用图象直接写出一元二次方程x2+x﹣m=0的解.
(2)向上平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【分析】(1)由对称轴为直线x=﹣可得对称轴为直线x=﹣,由抛物线经过(1,0)及抛物线的对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标,进而求解.
(2)由抛物线经过原点可得二次函数解析式中常数项为0,进而求解.
【解答】解:(1)∵y=x2+x﹣m,
∴抛物线对称轴为直线x=﹣,
∵抛物线经过(1,0),
∴抛物线过点(﹣2,0),
∴x2+x﹣m=0的解为x1=1,x2=﹣2.
(2)∵抛物线经过原点,
∴抛物线解析为y=x2+x.
14. (2023•宁波模拟)已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1(m为常数)的图象与x轴交于A,B两点,顶点为C.
(1)若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点,求m的值.
(2)①若P(m﹣3,y1),Q(m+2,y2)在已知的二次函数图象上,比较y1,y2的大小;
②求△ABC的面积.
【分析】(1)求出平移后抛物线解析式,由抛物线经过原点求解.
(2)①由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴,根据P,Q到对称轴的距离大小求解.
②由抛物线解析式可得抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标,进而求解.
【解答】解:(1)二次函数图象向下平移3个单位后解析式为y=x2﹣2mx+m2﹣4,
由题意得m2﹣4=0,
解得m=±2.
(2)①∵y=x2﹣2mx+m2﹣1,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=﹣=m,
∵m﹣(m﹣3)>m+2﹣m,
∴y1>y2.
②令x2﹣2mx+m2﹣1=0,则(x﹣m)2=1,
解得x1=m﹣1,x2=m+1,
∴AB=2,点C坐标为欸(m,﹣1),
∴S△ABC=AB•|yC|=×2×1=1.
15. (2023•吴兴区一模)如图已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,﹣1),点C(0,﹣4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交二次函数y=x2+bx+c的图象于点B,连接BC.
(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标:
(2)若将该二次函数图象向上平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点,P为直线AC上一点,在第四象限的抛物线上是否存在一点Q,使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点Q的横坐标:若不存在,请说明理由.
【分析】(1)将点A(3,﹣1),点C(0,﹣4)代入y=x2+bx+c,即可求解;
(2)求出平移后的抛物线的顶点(1,m﹣5),再求出直线AC的解析式y=x﹣4,当顶点在直线AC上时,m=2,当M点在AB上时,m=4,则2<m<4;
(3)设E(0,t),P(p,p﹣4),Q(q,q2﹣2q﹣4),分三种情况讨论:当CE为菱形对角线时,CP=CQ,,Q点横坐标为1;②当CP为对角线时,CE=CQ,,Q点横坐标为2,不符合题意;③当CQ为菱形对角线时,CE=CP,,Q点横坐标为3﹣.
【解答】解:(1)将点A(3,﹣1),点C(0,﹣4)代入y=x2+bx+c,
∴,
解得,
∴y=x2﹣2x﹣4,
∵y=x2﹣2x﹣4=(x﹣1)2﹣5,
∴顶点M(1,﹣5);
(2)由题可得平移后的函数解析式为y=(x﹣1)2﹣5+m,
∴抛物线的顶点为(1,m﹣5),
设直线AC的解析式为y=kx+b,
∴,
解得,
∴y=x﹣4,
当顶点在直线AC上时,m﹣5=﹣3,
∴m=2,
∵AB∥x轴,
∴B(﹣1,﹣1),
当M点在AB上时,m﹣5=﹣1,
∴m=4,
∴2<m<4;
(3)存在一点Q,使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形,理由如下:
设E(0,t),P(p,p﹣4),Q(q,q2﹣2q﹣4),
∵点E在点C下方,
∴t<﹣4,
∵Q点在第四象限,
∴0<q<+1,
①当CE为菱形对角线时,CP=CQ,
∴,
解得(舍)或,
∴Q点横坐标为1;
②当CP为对角线时,CE=CQ,
∴,
解得,
∴Q点横坐标为2,不符合题意;
③当CQ为菱形对角线时,CE=CP,
∴,
解得(舍)或,
∴Q点横坐标为3﹣;
综上所述:Q点横坐标为1或3﹣.
16. (2023•南宁模拟)已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+c(a≠0),且c=﹣3a.
(1)若a=﹣1,求该二次函数的解析式和顶点坐标;
(2)在(1)的条件下,求出下表中k、n的值,并在以下平面直角坐标系中,用描点法画出该二次函数的图象;根据图象回答:当0≤x≤2时,直接写出y的最小值.
(3)当﹣3<x<0时,y有最小值﹣4,若将该二次函数的图象向右平移m(m>1)个单位长度,平移后得到的图象所对应的函数y'在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3,求函数y=ax+m的解析式.
【分析】(1)把a=﹣1直接代入求出其解析式,利用配方法把二次函数解析式化成顶点式然后求出其顶点坐标;
(2)直接把x的值代入二次函数解析式求k、n的值;根据表格中的数据,描点、连线画出函数图像;根据x的取值范围,在图像上找最低点即可;
(3)先把二次函数的解析式化成顶点式,根据最小值为﹣4,求出a的值,再根据平移以后抛物线在﹣3≤x≤0的最小值为﹣3,确定m的值.
【解答】解:(1)∵c=﹣3a,
∴y=ax2+2ax+c
=ax2+2ax﹣3a
∴当a=﹣1时,y=﹣x2﹣2x+3,
∵y=﹣x2﹣2x+3
=﹣(x2+2x+1)+3+1
=﹣(x+1)2+4,
∴二次函数的顶点坐标为(﹣1,4).
(2)把x=0代入y=﹣x2﹣2x+3得y=3即k=3.
把x=1代入y=﹣x2﹣2x+3得y=0即n=0.
画图象如图所示.
由图像可以看出,当0≤x≤2时,﹣5≤y≤3.∴y最小值=﹣5.
(3)∵y=ax2+2ax﹣3a
=a(x+1)2﹣4a,
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1,顶点坐标为(﹣1,﹣4a),
由题意可得当﹣3<x<0时,函数最小值为﹣4a=﹣4,
∴a=1,
∴二次函数的解析式为y=(x+1)2﹣4,
∵二次函数的图象向右平移m(m>1)个单位长度后得y'=(x+1﹣m)2﹣4,
∴抛物线对称轴为直线x=m﹣1,
∵m>1,m﹣1>0,
∴对称轴在y轴右侧,
∵抛物线开口向上,在对称轴的左侧y随x的增大而减小.
∴当x=0时,y'=(x+1﹣m)2﹣4=(1﹣m)2﹣4为最小值,
∴(1﹣m)2﹣4=﹣3,
解得m=0(舍去)或m=2,
∴m=2.
∴这个函数表达式为y=x+2.
17. (2023•房山区二模)在平面直角坐标系xOy中,点A(2,﹣1)在二次函数y=x2﹣(2m+1)x+m的图象上.
(1)直接写出这个二次函数的解析式;
(2)当n≤x≤1时,函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n,求n的值;
(3)将此二次函数图象平移,使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x﹣h)2+k,当x<2时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.
【分析】(1)将点A(2,﹣1)代入二次函数解析式中即可求解;
(2)找出抛物线的对称轴为x=,根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时,函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”,即可得出关于n的一元二次方程,解之即可得出n的值;
(3)根据平移的性质可得出a=1,由二次函数的性质可得出h≥2,再将(0,0)代入二次函数解析式中可得出k=﹣h2,进而即可得出k的取值范围.
【解答】解:(1)∵点A(2,﹣1)在二次函数y=x2﹣(2m+1)x+m的图象上,
∴﹣1=4﹣2(2m+1)+m,
解得m=1,
∴二次函数的解析式为y=x2﹣3x+1;
(2)∵y=x2﹣3x+1,
∴抛物线的对称轴为直线x=,
∴当x<时,y随x的增大而减小,
当x=1时,y=x2﹣3x+1=﹣1,当x=n时,y=x2﹣3x+1=n2﹣3n+1,
∵当n≤x≤1时,函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n,
∴n2﹣3n+1=4﹣n,
解得n1=﹣1,n2=3,
∵n≤x≤1,
∴n的值为﹣1;
(3)根据平移的性质可知,a=1,
∵当x<2时,y随x的增大而减小,
∴h≥2.
∵平移后的图象经过原点O,
∴0=(0﹣h)2+k,即k=﹣h2,
∴k≤﹣4.
18. (2023•洞头区模拟)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0,3),交x轴于点B(3,0).
(1)求抛物线的解析式,并根据该图象直接写出y>3时x的取值范围.
(2)将线段OB向左平移m个单位,向上平移n个单位至O'B'(m,n均为正数),若点O',B'均落在此二次函数图象上,求m,n的值.
【分析】(1)将A,B两点坐标代入抛物线解析式,从而求得结果,设点A关于抛物线对称轴对称点记作C,则y>3的图象在直线AC的上方,进而写出结果;
(3)表示出O′和B′的坐标,将其代入抛物线的解析式,从而求得结果.
【解答】解:(1)由题意得,
,
∴,
∴y=﹣x2+2x+3,
点A(0,3)关于对称轴x=1的对称点(2,3),
∴当y>3时,0<x<2;
(2)∵O′(﹣m,n),B′(3﹣m,n),
∴,
∴.
19. (2023•桥西区校级模拟)如图,抛物线,点Q为顶点.
(1)无论a为何值,抛物线L总过一个定点为 (﹣1,﹣) ;
(2)若抛物线的对称轴为直线x=1.
①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标;
②将抛物线L向下平移k(k>0)个单位长度,使点Q落在点A处,平移后的抛物线与y轴交于点B.若QA=QB,求k的值;
(3)当a=2时,点M(m,n)为抛物线上一点,点M到y轴的距离不超过2,直接写出n的取值范围.
【分析】(1)由y=x2+ax+a﹣5==x2+a(x+1)﹣5,即可求解;
(2)①根据对称轴为直线x=1可得a=﹣1,可得抛物线的表达式为.进而得出点Q的坐标;
②由平移的性质得QA=k,B(0,﹣6﹣k),根据QA=QB,即可得k的值;
(3)当a=2时,y=x2+2x+2﹣5==x2+2x﹣3=(x+2)2﹣5,则抛物线开口向上,对称轴为x=﹣2,点M(m,n)在对称轴的右侧,根据点M到y轴的距离不超过2,即可得出n的取值范围.
【解答】解:(1)∵y=x2+ax+a﹣5==x2+a(x+1)﹣5,
∴当x=﹣1时,y=﹣5=﹣,
∴无论a为何值,抛物线L总过一个定点为(﹣1,﹣),
故答案为:(﹣1,﹣);
(2)①∵抛物线L的对称轴为直线,
∴a=﹣1,
∴抛物线的表达式为.
∵x=1时,,
∴顶点Q的坐标为;
②∵将抛物线L向下平移k(k>0)个单位长度,使顶点Q落在点A处,
∴QA=k,B(0,﹣6﹣k),
∵,QA=QB,
∴,
∴,
∴;
(3)当a=2时,y=x2+2x+2﹣5==x2+2x﹣3=(x+2)2﹣5,
∴抛物线开口向上,对称轴为x=﹣2,点M(m,n)在对称轴的右侧,
又∵﹣2≤m≤2,
∴n随着m的增大而增大,
当m=﹣2时,n=﹣5,
当m=2时,n=×(2+2)2﹣5=3,
∴﹣5≤n≤3.
20. (2023•宜宾)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3,0)、B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),其顶点为点D,连结AC.
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上取一点E,点F为抛物线上一动点,使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形,求点F的坐标;
(3)在(2)的条件下,将点D向下平移5个单位得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点,求PF+PM的最小值.
【分析】(1)利用待定系数法,把问题转化为解方程组即可;
(2)过点F作FG⊥DE于点G,证明△OAC≌△GFE(AAS),推出OA=FG=3,设F(m,﹣m2+2m+3),则G(1,﹣m2+2m+3),可得FG=|m﹣1|=3,推出m=﹣2或m=4,即可解决问题;
(3)由题意,M(1,﹣1),F2(4,﹣5),F1(﹣2,﹣5)关于对称轴直线x=1对称,连接F1F2交对称轴于点H,连接F1M,F2M,过点F1作F1N⊥F2M于点N,交对称轴于点P,连接PF2.则MH=4,HF2=3,MF2=5,证明PN=PM,由PF2=PF1,推出PF+PM=PF2+PN=FN1为最小值.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、B(﹣1,0),C(0,3),
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,
∵y=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4);
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,
把A(3,0),C(0,3)代入,得,
∴,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+3,
过点F作FG⊥DE于点G,
∵以A,C,E,F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形,
∴AC=EF,AC∥EF,
∵OA∥FG,
∴∠OAC=∠GFE,
∴△OAC≌△GFE(AAS),
∴OA=FG=3,
设F(m,﹣m2+2m+3),则G(1,﹣m2+2m+3),
∴FG=|m﹣1|=3,
∴m=﹣2或m=4,
当m=﹣2时,﹣m2+2m+3=﹣5,
∴F1(﹣2,﹣5),
当m=4时,﹣m2+2m+3=﹣5,
∴F2(4,﹣5)
综上所述,满足条件点F的坐标为(﹣2,﹣5)或(4,﹣5);
(3)由题意,M(1,﹣1),F2(4,﹣5),F1(﹣2,﹣5)关于对称轴直线x=1对称,连接F1F2交对称轴于点H,连接F1M,F2M,过点F1作F1N⊥F2M于点N,交对称轴于点P,连接PF2.则MH=4,HF2=3,MF2=5,
在Rt△MHF2中,sin∠HMF2===,则在Rt△MPN中,sin∠PMN==,
∴PN=PM,
∵PF1=PF2,
∴PF+PM=PF2+PN=F1N为最小值,
∵=×6×4=×5×F1N,
∴F1N=,
∴PF+PM的最小值为.
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…
x
…
﹣1
0
1
…
y
…
4
k
n
…
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