2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题21二次函数与三角函数综合问题（原卷版+解析）

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【例1】 (2023•泰安二模）抛物线的顶点在轴上，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线交抛物线于，两点，若，求的面积；
（3）如图2，已知（2）中点坐标，点是第二象限抛物线上一点，是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【例2】 (2023•江岸区校级模拟）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，若，是抛物线上两点，在对称轴右侧，且，求点坐标；
（3）如图3，是点右侧抛物线上的一动点，、两点关于轴对称，直线、分别交直线于、两点，交轴于，求的值．
【例3】 (2023•沈阳模拟）如图1，直线分别交轴，轴于点，，经过点，的抛物线交轴正半轴于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，是第三象限内的抛物线上动点，轴交直线于点，若是等腰三角形，求点坐标；
（3）是抛物线的顶点，直线上存在点，使，请直接写出点坐标．
【例4】 (2023•湖北）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
（1）直接写出点和点的坐标；
（2）如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；
（3）如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值．
【例5】 (2023•南充）抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，顶点在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标．
（3）如图2，点在第二象限的抛物线上，点在延长线上，，连接并延长到点，使．交轴于点，与均为锐角，，求点的坐标．
【例6】 (2023•无锡）已知二次函数图象的对称轴与轴交于点，图象与轴交于点，、为该二次函数图象上的两个动点（点在点的左侧），且．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点与点重合，求的值；
（3）点是否存在其他的位置，使得的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
一．解答题（共20题）
1． (2023秋•工业园区期中）已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，顶点为，直线轴于点．
（1）当时，知，求的长；
（2）当时，若，，求抛物线的解析式；
2． (2023春•德化县期中）在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线与轴的正半轴交于点，为抛物线的顶点，且．
（1）已知．
①求二次函数的解析式；
②直线平行于，且将分成面积相等的两部分，求直线的解析式．
（2）若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且直线交对称轴于点，点，关于点对称，求证：直线过定点．
3． (2023秋•朝阳区校级期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点、，
（1）若点的坐标为；
①求该抛物线的解析式．
② ；
③点是线段上的动点．过点作，交线段于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式；当的面积最大时，求点的坐标；
（2）已知、是抛物线上两点；将抛物线上位于、两点间的部分记为；把的最高点与最低点的纵坐标的差记为，当时，求的取值范围．
4． (2023•长春模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
（1）如果抛物线经过点．
①求的值；
②直接写出“区域”内整数点的个数；
（2）当时，如果抛物线在“区域”内有4个整数点，求的取值范围；
（3）当时，抛物线与直线交于点，把点向左平移5个单位长度得到点，以为边作等腰直角三角形，使，点与抛物线的顶点始终在的两侧，线段与抛物线交于点，当时，直接写出的值．
5． (2023•长沙二模）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“三角形”．
（1）判断下列三角形是否为“三角形”？如果是，请在对应横线上画“”，如果不是，请在对应横线上画“”；
①其中有两内角分别为，的三角形 ；
②其中有两内角分别为，的三角形 ；
③其中有两内角分别为，的三角形 ；
（2）如图1，点在双曲线上且横坐标为1，点，为中点，为轴负半轴上一点，若．
①求的值，并求证：为“三角形”；
②若与相似，直接写出的坐标；
（3）如图2，在中，，，，为边上一点，且是“三角形”，已知，记，过，作抛物线，在右侧，且在轴上，点在抛物线上，使得，若符合条件的点个数为3个，求抛物线的解析式．
6．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线上一动点，过点，作直线．
（1）求抛物线的解析式及的值；
（2）当点到直线的距离为时，求点的坐标；
（3）过点作轴于点，交直线于点，若，求点的坐标．
7． (2023•中山市三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点，过的直线交轴于点，交抛物线于，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线第四象限的图象上找一点，使得的面积最大，求出点的坐标；
（3）点是线段上的一点，求的最小值，并求出此时点的坐标．
8． (2023•松江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在的正半轴和的正半轴上，，抛物线经过、两点，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将绕点顺时针旋转后，点落到点的位置，求四边形的面积；
（3）将该抛物线沿轴向上或向下平移，使其经过点，若点在平移后的抛物线上，且满足，求点的坐标．
9． (2023•沈阳模拟）如图，已知点，点，直线过点，交轴于点，抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）平面内任意一点，与点距离始终为2，连接，．直接写出的最小值．
10． (2023春•西山区校级月考）已知对称轴为直线的抛物线经过，两点，抛物线与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，求的最大值；
（3）如图2，若点为抛物线上一点，且当，求点的坐标．
11． (2023春•汉川市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的值；
（3）点在第二象限内的抛物线上，点在轴上，且，当与相似时，求点的坐标．
12． (2023秋•道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，轴于点，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限抛物线上，点横坐标为，连接、，的面积为，求关于的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
（3）在（2）的条件下，绕点逆时针旋转，与线段相交于点，且，过点作交于，轴于点，连接，若，求线段的长．
13． (2023•荆门模拟）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点在第一象限的抛物线上，且，求点的坐标；在线段上确定一点，使平分四边形的面积，求点的坐标；
（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，设的外心为，当的值最大时，请直接写出点的坐标．
14． (2023春•磐安县期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若点在轴上，满足的点是否存在？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
15． (2023•合肥模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与直线交于轴上的点，直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线，点是直线上一点，连接、，若直线上存在使最大的点，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
16． (2023•高州市一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图1，连接，交轴于点，点是第一象限的抛物线上的一个动点，连接交轴于，连接、，若，求点的坐标．
（3）点是抛物线对称轴上一动点，连接、，设外接圆圆心为，当的值最大时，请求出点的坐标．
17． (2023•夏津县模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线．为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段的长度最大时，求的值；
（3）点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18． (2023•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点为、，与轴交于点，为抛物线上一点，过点作于．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若在直线上方，轴于，交于．
①求的值；
②求线段的最大值．
（3）如图2，连接，当与相似时，直接写出点的坐标．
19． (2023•广东模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点．
（1）连接，交轴于点，是抛物线上的一个动点．
①如图一，点是第一象限的抛物线上的一点，连接交轴于，连接、，若，求点的坐标．
②如图二，点在第四象限的抛物线上，连接、交于点，设，则有最大值还是最小值？的最值是多少？
（2）如图三，点是第四象限抛物线上的一点，过、、三点作圆，过点作轴，垂足为，交圆于点，点在运动过程中线段是否变化？若有变化，求出的取值范围；若不变，求线段长度的定值．
（3）点是抛物线对称轴上一动点，连接、，设外接圆圆心为，当的值最大时，请直接写出点的坐标．
20． (2023•瓯海区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点从原点出发，沿轴向右以每秒一个单位长的速度运动秒，抛物线经过点和点．
（1）求，（用的代数式表示）；
（2）抛物线与直线和分别交于，两点，当时，
①在点的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值；
②的面积与的函数关系式；
③是否存在这样的值，使得以，、，为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
专题21二次函数与三角函数综合问题
【例1】 (2023•泰安二模）抛物线的顶点在轴上，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线交抛物线于，两点，若，求的面积；
（3）如图2，已知（2）中点坐标，点是第二象限抛物线上一点，是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据，求得的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）以为斜边作等腰直角三角形，设，从而表示出，将点坐标代入抛物线的解析式求得的值，进而求得，两点坐标，进一步求的面积；
（3）作直角三角形，使，作轴于，作轴于，可证得，进而求得点的坐标，进一步求得的解析式，进一步可求得结果．
【解答】解：（1）由题知，
，
，
；
（2）如图1，
由题意得：，
是等腰直角三角形，
以为斜边作等腰直角三角形，
，
，
设，
，
为抛物线上，
，
，
当时，，
，
，
延长交轴于，作轴于，
；
（3）如图2，
作直角三角形，使，作轴于，作轴于，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
的解析式为：，
由得，
（舍取），，
当时，，
．
【例2】 (2023•江岸区校级模拟）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，若，是抛物线上两点，在对称轴右侧，且，求点坐标；
（3）如图3，是点右侧抛物线上的一动点，、两点关于轴对称，直线、分别交直线于、两点，交轴于，求的值．
【分析】（1）如图1，连接、，可求得：，，，，，再结合，建立方程求解即可得出答案；
（2）过点作轴于点，过点作，使，过点作轴于点，如图2，可证明，利用，求得，运用待定系数法求得直线的解析式为，联立方程组求解可得，；如图2，在的反向延长线上截取，连接交抛物线于点，同理可求得，；
（3）设，则，利用待定系数法可得直线的解析式为，得出，同理可得：直线的解析式为，，再由，即可求得的值为3．
【解答】解：（1）如图1，连接、，
抛物线，令，得，
，
，
令，得，
解得：，
，，，，
，
，，
，
①，
，
，
②，
把②代入①，得，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
抛物线的解析式为；
（2）过点作轴于点，过点作，使，过点作轴于点，如图2，
点在抛物线上，
，
，
轴，
，，，
，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组得：，
解得：（舍去），，
，；
如图2，在的反向延长线上截取，连接交抛物线于点，
点与点关于原点对称，
，
同理可得：直线的解析式为，
联立方程组得：，
解得：（舍去），，
，；
综上所述，点坐标为，或，；
（3）抛物线，令，得，
，，
，，如图3，
、两点关于轴对称，
设，则，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
同理可得：直线的解析式为，
当时，，
，
，
，，
，
故的值为3．
【例3】 (2023•沈阳模拟）如图1，直线分别交轴，轴于点，，经过点，的抛物线交轴正半轴于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，是第三象限内的抛物线上动点，轴交直线于点，若是等腰三角形，求点坐标；
（3）是抛物线的顶点，直线上存在点，使，请直接写出点坐标．
【分析】（1）将，代入，即可求解；
（2）设，则，求出，，，再分三种情况讨论即可；
（3）设，求出直线的解析式为，分两种情况讨论：①当点在点左侧时，过点作交于点，过点作轴交轴于点，过点作交于点，则，再由，设，求出，，将点代入，可求点坐标；②当点在点右侧时，过点作交于点，过点作轴交轴于点，过点作交于点，则，由，设，求出，，将点点代入，求出点坐标即可．
【解答】解：（1）令，则，
，
令，则，
，
将，代入，
，
解得，
；
（2）设，则，
在第三象限内，
，
，，，
①当时，，
解得（舍或，
；
②当时，，
解得（舍或或（舍，
，；
③当时，，
解得（舍或（舍或，
；
综上所述：点坐标为或，或．
（3），
顶点，
设，
设直线的解析式为，
，
，
，
①当点在点左侧时，过点作交于点，过点作轴交轴于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，，
，，
将点代入，可得，
解得（舍或，
，；
②当点在点右侧时，过点作交于点，过点作轴交轴于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，，
，，
将点，代入，
则，
解得，
，；
综上所述，点坐标为，或，．
【例4】 (2023•湖北）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
（1）直接写出点和点的坐标；
（2）如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；
（3）如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值．
【分析】（1）令，求出的值即可得出点的坐标，将函数化作顶点式可得出点的坐标；
（2）过点作轴于点，易得，因为，所以，分两种情况进行讨论，当点在线段的右侧时，轴，当点在线段左侧时，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，分别求出点的坐标即可．
（3）分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，由点的横坐标为，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）令，
解得或，
；
，
顶点．
（2）如图，过点作轴于点，
，，
，
，
，
①当点在线段的右侧时，轴，如图，
；
②当点在线段左侧时，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，
直线的解析式为：，
令，则，
解得，
，．
综上，点的坐标为或，．
（3）点与点关于对称轴对称，
．
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
，，
点横坐标为，
，，
．
，，
，
，
当时，的最大值为．
【例5】 (2023•南充）抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，顶点在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标．
（3）如图2，点在第二象限的抛物线上，点在延长线上，，连接并延长到点，使．交轴于点，与均为锐角，，求点的坐标．
【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得，，进而得出抛物线的解析式；
（2）在的下方存在一个点，在的上方时两个，其中过下方的点的直线与平行的直线与抛物线相切，根据直线的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元二次方程，该一元二次方程的根的判别式为0，从而求得的值，进而得出在的上方的直线解析式，与抛物线联立成方程组，进一步求得结果；
（3）作轴于，作轴于，作，交的延长线于，设点的横坐标为，根据得出，根据得出，，从而，根据可表示出，根据可得出的值，进一步求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
，
；
（2）如图1，
作直线且与抛物线相切于点，直线交轴于，作直线且直线到的距离等于直线到的距离，
的解析式为，
设直线的解析式为：，
由得，
，
△，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
即，
直线的解析式为：，
，
，，
，，，，
综上所述：点或，或，；
（3）如图2，
作轴于，作轴于，作，交的延长线于，
设点的横坐标为，
，
，点的横坐标为：，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
．
【例6】 (2023•无锡）已知二次函数图象的对称轴与轴交于点，图象与轴交于点，、为该二次函数图象上的两个动点（点在点的左侧），且．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点与点重合，求的值；
（3）点是否存在其他的位置，使得的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）二次函数与轴交于点，求得，根据，即二次函数对称轴为直线，求出的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）通过证明，，然后结合点的坐标特征列方程求得和的长度，从而求解；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点的位置，再利用几何图形的性质，结合方程思想求出对应点的坐标即可．
【解答】解：将点代入，
可得，
二次函数图象的对称轴与轴交于点，
，
解得：，
二次函数的解析式为；
（2）如图，过点作轴于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，即，
设点坐标为，
，，，
，
解得：（舍去），，
当时，，
，，
在中，，
在中，，
在中，；
（3）存在，理由如下：
①如图，与（2）图中关于对称轴对称时，，
点的坐标为，
此时，点的坐标为，
当点、关于对称轴对称时，此时与长度相等，即，
②当点在轴上方时，过点作垂直于轴，垂足为，
，点、关于对称轴对称，
，
为等腰直角三角形，
，
设点的坐标为，
，，
，
解得（舍去）或，
此时点的坐标为，；
③当点在轴下方时，过点作垂直于轴，垂足为，
，点、关于对称轴对称，
，
为等腰直角三角形，
，
设点的坐标为，
，，
，
解得（舍去）或，
此时点的坐标为，；
综上，点的坐标为或，或，．
一．解答题（共20题）
1． (2023秋•工业园区期中）已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，顶点为，直线轴于点．
（1）当时，知，求的长；
（2）当时，若，，求抛物线的解析式；
【分析】（1）根据题意求出，，再由，得到，则，当时，分别求出，，，，再求的长即可；
（2）过点作交于点，由，，可得，再由，求出，，，根据，，可知，，，根据，求出的值，从而确定、点的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可．
【解答】解：（1），
顶点，，
令，则，
，
，
，
，
，
令，则，
或，
，，，，
；
（2）过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，，
将代入中，，
解得，
．
2． (2023春•德化县期中）在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线与轴的正半轴交于点，为抛物线的顶点，且．
（1）已知．
①求二次函数的解析式；
②直线平行于，且将分成面积相等的两部分，求直线的解析式．
（2）若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且直线交对称轴于点，点，关于点对称，求证：直线过定点．
【分析】（1）①将，代入，可得，从而求出，再由，求出的值即可求函数的解析式；
②由①可知，求出直线的解析式可得，设直线与轴的交点为，由平行可得，求出，，即可求直线的解析式；
（2）由题意可求，，，，，设，求出直线的解析式，可求，，，，再由求出直线的解析式为，即可得直线经过定点．
【解答】（1）解：①，
，
抛物线经过原点，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
；
②由①可知，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
，
设直线与轴的交点为，
，直线将分成面积相等的两部分，
，
，
，，
，
解得，
；
（2）证明：，
抛物线的对称轴为直线，，，
令，则，
解得或，
，，
，
，
解得，
，，，，，
设，直线的解析式为，
，
解得，
，
，，
点，关于点对称，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
直线经过定点．
3． (2023秋•朝阳区校级期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点、，
（1）若点的坐标为；
①求该抛物线的解析式．
② 3 ；
③点是线段上的动点．过点作，交线段于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式；当的面积最大时，求点的坐标；
（2）已知、是抛物线上两点；将抛物线上位于、两点间的部分记为；把的最高点与最低点的纵坐标的差记为，当时，求的取值范围．
【分析】（1）①将点、的坐标代入可得出、的值，继而确定抛物线解析式；
②求出点的坐标，即可得的值；
③设，且，由，可得，利用对应边成比例可得出的长，由，可得关于的表达式，利用配方法求最值即可；
（2）由点可得，可得、，由，可得顶点坐标为，分当时，当时两种情况，根据最高点与最低点的纵坐标的差记为，，即可求解．
【解答】解：（1）①将点，点代入抛物线得：，
解得：，
故抛物线解析式：；
②令则，
，，
点的坐标为，
，
点，
，
，
故答案为：3；
③设，且，
作轴于，
，
△，
，
即，
，
的面积，
，
当时，面积最大，此时；
（2）抛物线与轴交于点，
，
，
顶点坐标为，
、，
当时，最高点为，最低点为，
，
，
，
；
当时，最高点为，最低点为，
，
，
，
．
综上，的取值范围为或．
4． (2023•长春模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
（1）如果抛物线经过点．
①求的值；
②直接写出“区域”内整数点的个数；
（2）当时，如果抛物线在“区域”内有4个整数点，求的取值范围；
（3）当时，抛物线与直线交于点，把点向左平移5个单位长度得到点，以为边作等腰直角三角形，使，点与抛物线的顶点始终在的两侧，线段与抛物线交于点，当时，直接写出的值．
【分析】（1）①将点代入，求出的值即可；
②画出函数图象，分别求出满足条件的点即可；
（2）由题意可得在对称轴上有2个整数点，在和上各有一个整数点，则，即可求的取值范围；
（3）求出，，则，由题意可知当时，点与抛物线的顶点重合，当时，点始终在顶点的上方，则点在点上方，点，过点作交于，设，则，，由，求出，进而求出，，再将点坐标代入函数的解析式即可求的值．
【解答】解：（1）①抛物线经过点，
，
解得；
②，
，
令，则，
解得或，
，，
当时，，
在轴上有整点，，
当时，，
在的直线上有整点，，
当时，，
在的直线上有整点，，
综上所述：“区域”内整数点共有6个；
（2）令，则，
解得或，
，，
，
抛物线的对称轴为直线，
“区域”内有4个整数点，
在对称轴上有2个整数点，在和上各有一个整数点，
，
解得，
当时，“区域”内有4个整数点；
（3）当时，，
，
点向左平移5个单位长度得到点，
，
，
，抛物线的对称轴为直线，
当时，点与抛物线的顶点重合，当时，点始终在顶点的上方，
点与抛物线的顶点始终在的两侧，
点在点上方，
，
过点作交于，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，，
，
，
点在抛物线上，
，
解得或．
5． (2023•长沙二模）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“三角形”．
（1）判断下列三角形是否为“三角形”？如果是，请在对应横线上画“”，如果不是，请在对应横线上画“”；
①其中有两内角分别为，的三角形 ；
②其中有两内角分别为，的三角形 ；
③其中有两内角分别为，的三角形 ；
（2）如图1，点在双曲线上且横坐标为1，点，为中点，为轴负半轴上一点，若．
①求的值，并求证：为“三角形”；
②若与相似，直接写出的坐标；
（3）如图2，在中，，，，为边上一点，且是“三角形”，已知，记，过，作抛物线，在右侧，且在轴上，点在抛物线上，使得，若符合条件的点个数为3个，求抛物线的解析式．
【分析】（1）①三角形中最小的两个角的和是，则三角形不是“三角形”；
②三角形中最小的两个角的和大于，则三角形不是“三角形”；
③三角形中最小的两个角分别为和，则三角形是“三角形”；
（2）①利用勾股定理求的值即可，确定的值可知，，再根据定义证明即可；
②分两种情况讨论：当时，，；当时，，，；
（3）过点作轴交于，过点作轴交于，求出，，由于是“三角形”，分两种情况讨论：当时，；当时，（不合题意）；则可求，与轴的交点为或，经过，的直线与抛物线有唯一交点，联立方程组，得到△①，将，代入，得到②，联立①②可求函数的解析式．
【解答】解：（1）①两内角分别为，，
，
三角形不是“三角形”，
故答案为：；
②两内角分别为，，
，
三角形不是“三角形”，
故答案为：；
③两内角分别为，，
三角形的另一个内角是，
，
三角形是“三角形”，
故答案为：；
（2）①点在双曲线上且横坐标为1，
，
点，为中点，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
是“三角形”；
②，，
或，
当时，，
，即，
解得，
；
当时，，
，即，
解得，
，；
综上所述：点坐标为或，；
（3），，，
，
，
，
过点作轴交于，过点作轴交于，
，，，
，
，，
是“三角形”，
或，
当时，，
，
解得，
；
当时，，
解得，
，
，
，
不合题意；
，
，
，
与轴的交点为或，
设经过，的直线解析式为，
，
解得，
，
，符合条件的点个数为3个，
直线与抛物线有唯一交点，
联立方程组，
整理得，，
△①，
将，代入，
②，
联立①②可得，
抛物线的解析式为．
6．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线上一动点，过点，作直线．
（1）求抛物线的解析式及的值；
（2）当点到直线的距离为时，求点的坐标；
（3）过点作轴于点，交直线于点，若，求点的坐标．
【分析】（1）将，代入，即可求函数的解析式，再求出点坐标，即可求；
（2）过点作交于，可求，由题意可知，点在经过的中点且与平行的直线上，求出的中点为，，则经过的中点且与平行的直线解析式为，联立方程组，可求点坐标为或，；直线关于直线对称的直线解析式为，联立方程组，可求；
（3）作点关于轴的对称点，连接，则，可推导出，求出直线的解析式为，联立方程组，可求；作关于的对称直线交轴于，可证明，从而求出，则直线的解析式为，联立方程组，可求，．
【解答】解：（1）将，代入，
，
解得，
，
令，则，
，
，
，
；
（2）过点作交于，
，，
，
，
点到直线的距离为，
点在经过的中点且与平行的直线上，
是的中点，
，
的中点为，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
经过的中点且与平行的直线解析式为，
联立方程组，
解得或，
点坐标为或，；
直线关于直线对称的直线解析式为，
联立方程组，
解得，
；
综上所述：点坐标为或，或；
（3）作点关于轴的对称点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得（舍或，
；
作关于的对称直线交轴于，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得（舍或，
，；
综上所述：点坐标为或，．
7． (2023•中山市三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点，过的直线交轴于点，交抛物线于，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线第四象限的图象上找一点，使得的面积最大，求出点的坐标；
（3）点是线段上的一点，求的最小值，并求出此时点的坐标．
【分析】（1）由得点的对称点的坐标，将、坐标代入中，利用待定系数法可求；
（2）求出直线的解析式，用表示点、的坐标，进而表示线段，根据，用含的代数式表示的面积，利用二次函数的性质，求出关于的二次函数的顶点横坐标，即可得出结论：
（3）过点作轴，过点作轴，过作于点，构造出直角三角形，利用三角函数找到与相等的线段，根据“垂线段最短”得的最小值，将二次函数与直线方程联立，解方程组，先求出点坐标，点坐标可求．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于、两点，抛物线的对称轴为直线，点，
，
，
解得．
抛物线的解析式为．
（2），，
，即．
直线的解析式为：．
如图，过点作轴，交于点，
设，则，
，
，
，
当时，即，时的面积最大．
（3）如图，过点作轴，过点作轴，过作于点，
轴，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
令，
解得（舍或，
，，
的最小值，此时．
8． (2023•松江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在的正半轴和的正半轴上，，抛物线经过、两点，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将绕点顺时针旋转后，点落到点的位置，求四边形的面积；
（3）将该抛物线沿轴向上或向下平移，使其经过点，若点在平移后的抛物线上，且满足，求点的坐标．
【分析】（1）根据，求得点的坐标，代入即可求得抛物线解析式；
（2）由旋转可得出，再求出抛物线顶点，利用勾股定理及其逆定理可得，根据，即可求得答案；
（3）根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为，分两种情况：①若点在轴上方时，②若点在轴下方时，分别求出点的坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线经过点，
，
，
，
，
，
将代入抛物线，得，
解得：，
抛物线的表达式为．
（2）将绕点顺时针旋转后，得到△，
，，，
，
，
，
，，，
，，
，
，
又，且，
，
即四边形的面积为7．
（3）当时，，
可知抛物线经过点，
将原抛物线沿轴向下平移2个单位过点，
平移后得抛物线解析式为：；
①若点在轴上方时，作轴，交抛物线于点，易证，
点与点关于抛物线的对称轴直线对称，
；
②若点在轴下方时，如图2，作的中垂线，与轴交与点，联结并延长，交抛物线于点，
根据线段的垂直平分线的性质可得，
，
轴，
，
，
作轴，垂足为，则，，
设，则，，
在中，，
，解得，
，
，
，，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
解得：（舍去），，
当时，，
，，
综上所述，满足条件得点坐标为或．
9． (2023•沈阳模拟）如图，已知点，点，直线过点，交轴于点，抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）平面内任意一点，与点距离始终为2，连接，．直接写出的最小值．
【分析】（1）将点坐标代入中，求得，进而求得点坐标，将、两点坐标代入抛物线解析式，从而求得，的值，进而求得结果；
（2）发现，故作，作轴，作，设，根据可表示出，在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，从而求得点坐标，进而求得的关系式，根据的关系式和抛物线的关系式，进而求得结果；
（3）先确定点在以为圆心，2 为半径的圆上运动，取，求得出，从而得出，进而确定点、、共线时，的值最小，进一步求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
，
直线的解析式是：，
，
，
，
抛物线的解析式是：；
（2）如图1，
作于，作轴于，作于，
，，
，
，，
可得：，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理得，
，
，（舍去），
，，
，，
直线的解析式是：，
由得，
（舍去），，
当时，，
，；
（3）如2，
点距离始终为2，
点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
在上取，
，，
，
，
，
，
当、、共线时，最小，此时在线段与的交点处，
，
在中，
，
的最小值是．
10． (2023春•西山区校级月考）已知对称轴为直线的抛物线经过，两点，抛物线与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，求的最大值；
（3）如图2，若点为抛物线上一点，且当，求点的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，的坐标和抛物线代入，从而得到抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，证明，得出，求出直线的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
（3）过点作轴于点，交于点，过点作于点，证明，，设，则，求出，可得，求出的值，即可得点的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为．
，，抛物线，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）过点作轴于点，交于点，
，
，
，
，
抛物线经过，与轴的另一个交点为．
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是1；
（3）过点作轴于点，交于点，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
．
，，
，
，
，
，
，解得或，
点的坐标为，或，．
11． (2023春•汉川市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的值；
（3）点在第二象限内的抛物线上，点在轴上，且，当与相似时，求点的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）过点作轴交轴于，过点作轴交于，先证明和均为等腰直角三角形，得出：，，，，再运用三角函数定义即可；
（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程①③，根据解方程组，可得点的坐标．
【解答】解：（1），
，
设抛物线的解析式为，
将点坐标代入函数解析式，得：，
解得：．
该抛物线的解析式为：；
（2）如图1，过点作轴交轴于，过点作轴交于，
，，
，，
，
和均为等腰直角三角形，
，，，
，
，
；
（3）设，，
当时，，
解得：，，
，
．
①当时，如图2，
则，即，
化简，得：①，
在抛物线上，
②，
联立①②，得，
解得：（不符合题意，舍），，，
，
当时，如图3，
则，即，
化简，得③，
联立②③，得：，
解得：（不符合题意，舍），，，
．
综上所述：当与相似时，点的坐标为或．
12． (2023秋•道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，轴于点，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限抛物线上，点横坐标为，连接、，的面积为，求关于的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
（3）在（2）的条件下，绕点逆时针旋转，与线段相交于点，且，过点作交于，轴于点，连接，若，求线段的长．
【分析】（1）直接把点坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式为；
（2）连接，过点作轴于，轴于，根据可得出与的函数关系式；
（3）过作轴交的延长线于，作于，轴于，如图3，利用得到，加上，则，于是根据等腰三角形的性质可得，接着判断四边形为矩形得到，则，然后证明得到，所以；再在中利用正弦定义可得到，利用勾股定理得，设点坐标为，则，，于是可表示出，所以，解方程得到得，（舍去），所以．
【解答】解：（1）直线交轴于点，轴于点，
，，
将代入抛物线，
，
，
抛物线解析式为，
（2）连接，过点作轴于，轴于，
在第三象限抛物线上，点横坐标为，
，
．
（3）过作轴交的延长线于，作于，轴于，如图3，
，
，
，
，
而，
，
易得四边形为矩形，
，
，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
设点坐标为，则，，
，
，
整理得，（舍去），
．
13． (2023•荆门模拟）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点在第一象限的抛物线上，且，求点的坐标；在线段上确定一点，使平分四边形的面积，求点的坐标；
（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，设的外心为，当的值最大时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）设，再将代入，即可求解；
（2）由可得点，可得，根据即可求解；
（3）作的外心，作轴，则，进而可得在的垂直平分线上运动，根据题意当最大转化为求当取得最小值时，最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得，运用勾股定理求得，即可求得点的坐标，根据对称性求得另一个坐标．
【解答】解：（1）顶点的坐标为，
设，
将代入，
解得，
；
（2）点，
则，而，
解得：或4，
点在第一象限的抛物线上，
点；
顶点的坐标为．
直线的解析式为，
，，
点，，
直线的解析式为，
，
，
，
，
点在线段上，平分四边形的面积，
设，
，
，解得，
点的坐标为，；
（3）如图，作的外心，作轴，则，
，
在的垂直平分线上运动，
依题意，当最大时，即最大时，
是的外心，
，即当最大时，最大，
，
，
则当取得最小值时，最大，
，
即当直线时，取得最小值，此时，
，
在中，，
，，
根据对称性，则存在，，
综上所述，，或，．
14． (2023春•磐安县期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若点在轴上，满足的点是否存在？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质可得，利用待定系数法即可求解；
（2）由题意得为直径的圆与对称轴：直线有唯一的交点，即相切．根据切线的性质可得点的横坐标为0.5，所以点到直线的距离为4.5，则直径的长为9，根据勾股定理即可求解；
（3）当点在以为弦的上，圆心角是的两倍．过点做于，则．根据，可得，利用两点的距离公式即可得点的坐标．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
，
抛物线与轴交于点，，
设，
把代入得，解得，
抛物线的函数表达式；
（2）存在，
抛物线的对称轴上是否存在唯一的点，满足，就是指以为直径的圆与对称轴：直线有唯一的交点，即相切．
如图，
设的中点为，
，
点的横坐标为0.5，
点到直线的距离为4.5，
直径的长为9，
，
点的坐标为，或；
（3）存在，如图：
当点在以为弦的上，圆心角．
过点做于，则．
，
．
，
，
或，
设，
，
当时，，
或，
同理，当时，或
综上所述，点的坐标为或或或．
15． (2023•合肥模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与直线交于轴上的点，直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线，点是直线上一点，连接、，若直线上存在使最大的点，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用交点式函数表达式得：，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）如图，经过点、的圆与直线相切于点，此时，最大，即可求解．
【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：，
当时，，
则，
即，
解得：．
则函数的表达式为；
（2），令，则，即点，
连接，设点，
，
，
有最大值，
此时点；
（3）如图，经过点、的圆与直线相切于点，此时，最大，
过圆心作轴于点，则，，
，过点的坐标为，；
同样当点在轴的下方时，其坐标为；
故点的坐标为，或．
16． (2023•高州市一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图1，连接，交轴于点，点是第一象限的抛物线上的一个动点，连接交轴于，连接、，若，求点的坐标．
（3）点是抛物线对称轴上一动点，连接、，设外接圆圆心为，当的值最大时，请求出点的坐标．
【分析】（1）把，代入即可求解；
（2）根据题意先求得，，，各点的坐标，求得的解析式，进而求得点的坐标，通过计算可得，进而可得，由可得出，依题意，设，其中，建立方程求解即可得出答案；
（3）作的外心，作轴，则，进而可得在的垂直平分线上运动，根据题意当最大转化为求当取得最小值时，最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得，运用勾股定理求得，即可求得点的坐标，根据对称性求得另一个坐标．
【解答】解：（1）把，代入中，得：
，解得：，
抛物线解析式为；
（2）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点．
令，得：，
则，
，
．
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
依题意，设，其中，
，
解得：，（舍去），
，；
（3）如图，作的外心，作轴，则，
，
在的垂直平分线上运动，
依题意，当最大时，即最大时，
是的外心，
，即当最大时，最大，
，
，
则当取得最小值时，最大，
，
即当直线时，取得最小值，此时，
，
在中，，
，，
根据对称性，则存在，，
综上所述，，或，．
17． (2023•夏津县模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线．为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段的长度最大时，求的值；
（3）点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由，设，则，又抛物线对称轴为直线，得，解得，，用待定系数法可得抛物线的表达式为；
（2）连接，得，可得直线解析式为，设，则，，用二次函数性质可得当时，取最大值，最大值是1，，，可得，，即知；
（3）设，，，又，，①以、为对角线，则、的中点重合，且，可得，解得，或，；②以、为对角线，则、的中点重合，且，③以、为对角线，则、的中点重合，且，分别列方程组可解得答案．
【解答】解：（1）由，设，则，
抛物线对称轴为直线，
，
解得，
，，
将，代入得：
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）连接，如图：
在中，令得，
，
设直线解析式为，将代入得：
，
解得，
直线解析式为，
设，则，
，
，
当时，取最大值，最大值是1，
此时，，
，
，，
；
（3）存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下：
如图：
设，，，又，，
①以、为对角线，则、的中点重合，且，
，
解得或，
，或，；
②以、为对角线，则、的中点重合，且，
，
解得或，
，或，；
③以、为对角线，则、的中点重合，且，
，
解得，
，；
综上所述，的坐标为，或，或，或，或，．
18． (2023•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点为、，与轴交于点，为抛物线上一点，过点作于．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若在直线上方，轴于，交于．
①求的值；
②求线段的最大值．
（3）如图2，连接，当与相似时，直接写出点的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）①根据对顶角性质，平行线的性质可得，进而可得，根据勾股定理求得，进而根据正弦的定义求解即可；
②待定系数法求得直线的解析式为，设．则．，求得，根据①的结论求得，当取得最大值时，取得最大值，进而根据二次函数
的性质求得的最大值；
（3）分别表示出，，求得，，的长，根据，与相似时，有以下2种情形，①当时，②当时，进而根据相似三角形的性质列出方程解方程求解即可．
【解答】解：（1）抛物线与轴交点为、，与轴交于点，
令，则，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，，
解得：，
，
抛物线的解析式为；
（2）①轴，
，
又，
，
，
，，
，，
．
；
②设过，，的直线解析式为，
则，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
当时，有最大值2，
，
取最大值时，取最大值，
最大值为；
（3）设，则，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
与相似，有以下两种情形，
①当时，
，
即，
整理得：，
解得：（与点重合，舍去），，
当时，，
，；
当时，，
即，
整理得，
解得：，，（舍去），
当时，，
，
当时，，
，．
综上所述，当与相似时，点的坐标，或或，．
19． (2023•广东模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点．
（1）连接，交轴于点，是抛物线上的一个动点．
①如图一，点是第一象限的抛物线上的一点，连接交轴于，连接、，若，求点的坐标．
②如图二，点在第四象限的抛物线上，连接、交于点，设，则有最大值还是最小值？的最值是多少？
（2）如图三，点是第四象限抛物线上的一点，过、、三点作圆，过点作轴，垂足为，交圆于点，点在运动过程中线段是否变化？若有变化，求出的取值范围；若不变，求线段长度的定值．
（3）点是抛物线对称轴上一动点，连接、，设外接圆圆心为，当的值最大时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）①根据题意先求得，，，各点的坐标，求得的解析式，进而求得点的坐标，通过计算可得，进而可得，由可得出，依题意，设，其中，建立方程求解即可得出答案；
②根据已知条件设，其中，求得直线的解析式，直线的解析式，联立即可求得点的坐标，根据，令，根据二次函数的性质求得的最大值，即可求得的最小值；
（2）根据题意过点作，依题意，点为的外心，为垂直平分线上的点，则点在抛物线的对称轴直线上，设，其中，，，，根据建立方程，解得：，进而求得，即可求得；
（3）作的外心，作轴，则，进而可得在的垂直平分线上运动，根据题意当最大转化为求当取得最小值时，最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得，运用勾股定理求得，即可求得点的坐标，根据对称性求得另一个坐标．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点．
令，得：，
则，
令，得：，
解得：，，
则，，
，
．
①设直线的解析式为，如图1，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
依题意，设，其中，
，
解得：，（舍去），
，．
②点在第四象限的抛物线上，、交于点，如图2，
设，其中，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，得：，
解得：，
，
，
，，
，
，
令，
，
当时，取得最大值，取得最小值为，
有最小值，最小值为．
（2）不变，，理由如下：
如图，过点作，依题意，点为的外心，
为垂直平分线上的点，即点在抛物线的对称轴直线上，
轴，，
，轴，
，
设，，，，，
为的外心，
，则，
即，
解得：，
，
，
，
，
．
（3）如图4，作的外心，作轴，则，
，
在的垂直平分线上运动，
依题意，当最大时，即最大时，
是的外心，
，即当最大时，最大，
，
，
则当取得最小值时，最大，
，
即当直线时，取得最小值，此时，
，
在中，，
，，
根据对称性，则存在，，
综上所述，，或，．
20． (2023•瓯海区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点从原点出发，沿轴向右以每秒一个单位长的速度运动秒，抛物线经过点和点．
（1）求，（用的代数式表示）；
（2）抛物线与直线和分别交于，两点，当时，
①在点的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值；
②的面积与的函数关系式；
③是否存在这样的值，使得以，、，为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线经过点和点，将，，代入求出，的值即可；
（2）①根据（1）中解析式得出，得出，即可得出的大小不会变化；
②根据当时以及当时，分别得出，，求出即可；
③根据当时以及当时，分别得出的值即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
代入，
得，
，
即．
即．
（2）当时，①，
即，，
即，，是定值．
②当时，，
如图1，
过点作的垂线，垂足为，
，
，
，
当时，如图2，
，
，
③存在这样的值，使得以、、、为顶点的四边形为梯形．
当时，如图3，
，，
即，代入得．
解得；
当时，如图4，
则，关于对称轴对称，
即，
解得：．
综上，当或时，以、、、为顶点的四边形为梯形．