2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题3二次函数与等腰直角三角形问题（原卷版+解析）

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二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。
在Rt△ACB和Rt△BEF中，若∠A=∠EBF，则△ACB∽BFE，则=;
若Rt△ACB和Rt△BEF是等腰直角三角形，则==1.
【例1】 (2023•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】 (2023•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【例3】 (2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．
①求m的值．
②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．
1． (2023•石狮市模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点P为该抛物线在第一象限内的点．当点P为该抛物线顶点时，△ABP为等腰直角三角形．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点E，交△ABP的外接圆于点D，求点D的纵坐标；
（3）直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，求的值．
2． (2023•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
3． (2023•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
4． (2023秋•福清市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点．
①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；
②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N纵坐标n的取值范围．
5． (2023•集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：y＝a（x+4）（x﹣m）与x轴交于A，B两点，m＞﹣3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P．
（1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示）
（2）若a＝m+3，且△ABP为等腰直角三角形，求抛物线T的解析式；
（3）将抛物线T进行平移得到抛物线T'，抛物线T'与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T'的顶点记为Q．若0＜a＜，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
6． (2023•城厢区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（不与点O重合）．
（1）若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
（2）点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n（1≤n≤4）个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围．
7． (2023•将乐县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣有唯一的公共点A，与直线y＝交于点B，C（C在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．
（ⅰ）求P，Q两点的坐标；
（ⅱ）设直线y＝2x+m（m＞0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．
8． (2023•赣州模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．
（1）求a，b，c的值；
（2）画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；
（3）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．
①直接写出m的取值范围；
②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．
9． (2023•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
10． (2023•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB＝S△CDB，求点P的坐标；
（3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标．
11． (2023•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12． (2023•襄城区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）如图1，若点A在x轴的负半轴上，△OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，点D（﹣2，5）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标；
（3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为﹣9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点．
①直接写出n关于m的函数关系式；
②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围．
13． (2023•山西二模）综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是A（﹣2，0），B（8，0）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线l⊥x轴，交直线AC于点G，交直线BC于点H．
（1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标．
（2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△NGH是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14． (2023•长沙模拟）已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；
（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．
15． (2023•永川区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
16． (2023•兴城市一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，BC，点E是对称轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当S△BCE＝2S△ABC时，求点E的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17． (2023•昆明模拟）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；
（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．
18 (2023•新泰市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．
（1）求这个抛物线的表达式．
（2）点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
19. (2023•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20. (2023•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题3二次函数与等腰直角三角形问题

二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。
【例1】 (2023•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
【解析】（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，
设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
＝PG•AE
＝×3×（﹣m2+5m﹣3）
＝﹣（m2﹣5m+3）
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，△OPE面积最大，
此时，P点坐标为（，﹣）；
（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E（2，3），
∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；
（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m＝（舍）或，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1＝（舍）或m2＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，
如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m1＝或m2＝（舍）；
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m＝或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
方法二：作直线DE：y＝x﹣2，
E（1，﹣1）是D点（1，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小2倍得到，
易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，
联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，
解得x1＝，x2＝，
同理可得x3＝或x4＝；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
【例2】． (2023•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式，再求Q点坐标即可；
（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，M点与A点重合，则M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，可证明△BPH≌△MBG（AAS），设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1﹣，﹣2）．
【解析】（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CB交对称轴于点Q，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，
∴M点与A点重合，
∴M（﹣1，0）；
当∠PBM＝90°时，PB＝BM，
过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得t＝2+或t＝2﹣，
∴M（1﹣，﹣2）或（5+，﹣2），
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；
综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（﹣1，0）．
【例3】 (2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．
①求m的值．
②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解．
（3）①分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值．
②根据m的值，作出等腰直角三角形求解．
【解析】（1）将（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3．
（2）令x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴m＜1或m＞3时，点P在x轴上方．
（3）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，
当m＞2时，抛物线顶点为最低点，
∴﹣1＝2﹣m，
解得m＝3，
当m≤2时，点P为最低点，
将x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3，
∴m2﹣4m+3＝2﹣m，
解得m1＝（舍），m2＝．
∴m＝3或m＝．
②当m＝3时，点P在x轴上，AP＝2，
∵抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
∴点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）符合题意．
当m＝时，如图，∠QPA＝90°过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QE⊥PF于点E，
∵∠QPE+∠APF＝∠APF+∠PAF＝90°，
∴∠QPE＝∠PAF，
又∵∠QEP＝∠PFA＝90°，QP＝PA，
∴△QEP≌△PFA（AAS），
∴QE＝PF，即2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得m1＝（舍），m2＝．
∴PF＝2﹣，AF＝PE＝1﹣，
∴EF＝PF+PE＝2﹣+1﹣＝，
∴点Q坐标为（2，）．
综上所述，点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）或（2，）．
1． (2023•石狮市模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点P为该抛物线在第一象限内的点．当点P为该抛物线顶点时，△ABP为等腰直角三角形．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点E，交△ABP的外接圆于点D，求点D的纵坐标；
（3）直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，求的值．
【分析】（1）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，可得到顶点坐标，根据等腰直角三角形的性质可得A，B两点的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）根据等腰直角三角形△ABP的外接圆可得AB为直径，点E为圆心，即可得点D的纵坐标；
（3）利用待定系数法可得直线AP，BP的解析式，分别求出M，N两点的坐标，由y＝﹣x2+x+得C（0，），求出CN、CM的值，即可求解．
【解析】（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+2＝a（x2﹣2x）+a+2＝a（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点P的坐标为（1，2），
如图：过点P作PE⊥x轴于点E，则E（1，0），
∴PE＝2，
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴AE＝BE＝PE＝AB＝2，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
将B（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+2得，
a（3﹣1）2+2＝0，解得a＝﹣，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+x+；
（2）如图：
∵△ABP为等腰直角三角形，PD⊥x轴于点E，
∴AB为直径，点E为圆心，
∵点P的坐标为（1，2），
∴PE＝2，
∴DE＝2，
∴D（1，﹣2），
∴点D的纵坐标为﹣2；
（3）设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∵点（1，2），A（﹣1，0），
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y＝x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴M（0，1），
同理得直线BP的解析式为y＝﹣x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴N（0，3），
∵y＝﹣x2+x+与y轴正半轴交于点C，
∴C（0，），
∴CM＝﹣1＝，CN＝3﹣＝，
∴＝3．
2． (2023•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
【分析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式．
（2））通过设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，得到关于x、关于y的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标．
【解析】连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．
在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C（2，﹣4），
∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，
∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP+PB＝4+2＝6，
∴点A（﹣2，0），点B（6，0），
把点A（﹣2，0），点B（6，0），点C（2，﹣4）代入函数解析式得
，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3．
故答案为：y＝x2﹣x﹣3．
（2）设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，
联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝x2﹣x﹣3，
化简得＝0，
xN+xM＝﹣＝4（k+1），xNxM＝＝8k﹣①，
联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝（+2）2﹣（+2）﹣3，
化简得y2+（﹣﹣1）y﹣4＝0，
yM+yN＝4k2，yMyN＝﹣②，
线段MN的中点就是圆的圆心，
∴xO＝（xN+xM）＝2（K+1），
代入直线方程得yO＝2k2，
∴圆心坐标为（2k+2，2k2），
直径MN＝＝，
把①、②代入上式化简整理得直径MN＝，
设圆上某一点（x，y）到圆心的距离等于半径，
∴＝，
化简整理得16k2+12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x+y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx+x2﹣4x+y2，
圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，
k2、k的系数，常量对应相等，
得﹣8＝﹣4x，
x＝2，
16＝﹣4y，
y＝﹣4，
由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．
故答案为：以线段MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．
3． (2023•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据抛物线的对称性求出点A、点B的坐标，再将点A、点B的坐标代入y＝﹣x2+mx+n，列方程组求出m、n的值即可；
（2）设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx，将点P的坐标用含b的式子表示，过该抛物线的顶点P作PD⊥x轴于点D，根据等腰直角三角形的性质，可列方程求出b的值及点P的坐标．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴点A与点B关于直线x＝﹣3对称，
∵点A在点B的左侧，且AB＝4，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
把A（﹣5，0）、B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+mx+n，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣6x﹣5．
（2）根据题意，平移后的抛物线经过原点，
设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx，
当y＝0时，由﹣x2+bx＝0得x1＝0，x2＝b，
∴C（b，0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝b，
当x＝b时，y＝﹣（b）2+b2＝b2，
∴P（b，b2）；
如图，作PD⊥x轴于点D，则OD＝CD，
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴∠OPC＝90°，
∴PD＝OC＝OD，
∴b2＝b，
解得b1＝2，b2＝0（不符合题意，舍去），
∴P（1，1）．
4． (2023秋•福清市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点．
①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；
②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N纵坐标n的取值范围．
【分析】（1）由题意可知b＝0，再将（2，2）代入y＝ax2+bx﹣2即可求解析式；
（2）①求出A（，0），B（﹣，0），再由2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2），即可求c；
②由题意可得m＝﹣，k＜0，再由m＞6，可得﹣＜k＜0，联立，得到AB的中点为（，+1），设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为y＝k'x+b，与x轴的交点P（﹣，0），与y轴的交点为N（0，b），由∠PNO＝∠AMO，可得k'＝m＝﹣，则有线段AB的垂直平分线为y＝﹣x++，所以N点纵坐标为n＝+，即可求＜n＜．
【解析】（1）∵顶点在y轴上，
∴b＝0，
∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），
∴4a﹣2＝2，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2；
（2）①当k＝0时，y＝c，
联立，
∴A（，c），B（﹣，c），
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴P点在AB的垂直平分线上，
∴P点在抛物线的顶点（0，﹣2）处，
∵AB＝2，AP＝BP＝，
∴2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2），
∴c＝0；
②∵c＝1，
∴y＝kx+1，
∴m＝﹣，
由题意可知，k＜0，
∵m＞6，
∴﹣＜k＜0，
联立，
∴x2﹣kx﹣2＝0，
∴xA+xB＝k，
∴AB的中点为（，+1），
设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为y＝k'x+b，
∴与x轴的交点P（﹣，0），与y轴的交点为N（0，b），
∵PN⊥AB，
∴∠PNO＝∠AMO，
∴＝，
∴k'＝m＝﹣，
∴y＝﹣x+b，
∴线段AB的垂直平分线为y＝﹣x++，
∴N点纵坐标为n＝+，
∴＜n＜．
5． (2023•集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：y＝a（x+4）（x﹣m）与x轴交于A，B两点，m＞﹣3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P．
（1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示）
（2）若a＝m+3，且△ABP为等腰直角三角形，求抛物线T的解析式；
（3）将抛物线T进行平移得到抛物线T'，抛物线T'与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T'的顶点记为Q．若0＜a＜，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程（x+4）（x﹣m）＝0可求A、B点坐标；
（2）求出顶点P（m﹣2，（﹣m﹣3）（）2），利用等腰直角三角形斜边的中线等腰斜边的一半，求出m即可求解；
（3）分别求出直线AP与直线CQ的解析式，通过联立方程组求出这两条直线的交点M，过点M作NM⊥x轴交于N，可得△AMN∽△MCN，则（am2﹣8a）2＝（﹣m+4）（4+m），得到a2＝，再由a的取值范围确定m的范围即可．
【解析】（1）令y＝0，则（x+4）（x﹣m）＝0，
解得x＝﹣4或x＝m，
∴A（﹣4，0），B（m，0）；
（2）∵a＝m+3，
∴y＝（m+3）（x+4）（x﹣m）＝（m+3）（x2+4x﹣mx﹣4m），
∴P（m﹣2，（﹣m﹣3）（）2），
∵△ABP为等腰直角三角形，
∵AB＝m+4，
∴AB＝（m+4）＝（m+3）（）2，
解得m＝﹣2或m＝﹣5，
∵m＞﹣3，
∴m＝﹣2，
∴y＝x2+6x+8；
（3）存在直线AP与CQ垂直的情形，理由如下：
∵y＝a（x+4）（x﹣m），
∴P（m﹣2，），
由题意可知抛物线T'的解析式为y＝a（x﹣m）（x﹣4），
∴Q（，），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣（m+4）x﹣2a（m+4），
同理可求直线CQ的解析式为y＝﹣（m﹣4）x+2a（m﹣4），
联立方程组，
解得，
设直线AP与直线CQ的交点为M，
∴M（﹣m，am2﹣8a），
过点M作NM⊥x轴交于N，
∵AM⊥CQ，
∴∠AMQ＝90°，
∴∠AMN+∠NMC＝90°，
∵∠AMN+∠NAM＝90°，
∴∠NMC＝∠NAM，
∴△AMN∽△MCN，
∴＝，
∴（am2﹣8a）2＝（﹣m+4）（4+m），
∴a2＝，
∵0＜a＜，
∴0＜＜，
解得﹣3＜m＜4．
6． (2023•城厢区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（不与点O重合）．
（1）若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
（2）点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n（1≤n≤4）个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）①分别求出A（m，0），B（3，0），C（0，3m），再由OC＝OB，求出m即可求解析式；
②由三角形外心的性质可知OB＝OC＝OD＝3，设D（t，t2﹣2t﹣3），则3＝，求出t即可求D点坐标；
（2）由题可知P（，﹣9），求出平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n，联立方程组，再由判别式Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0，可得n＝，由n的范围求出m的范围，再由S△ABC＝（m﹣）2﹣，结合m的范围即可求△ABC的面积的取值范围．
【解析】（1）①令y＝0，则x2﹣（m+3）x+3m＝0，
解得x＝3或x＝m，
∴A（m，0），B（3，0），
令x＝0，则y＝3m，
∴C（0，3m），
∵△OBC为等腰直角三角形，
∴﹣3m＝3
解得m＝﹣1，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
②存在一点D，使得点O为△BCD的外心，理由如下：
∵点O为△BCD的外心，
∴OB＝OC＝OD＝3，
设D（t，t2﹣2t﹣3），
∴3＝，
解得t＝，
∴D（，）或（，）；
（2）∵y＝x2﹣（m+3）x+3m，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∵点P的纵坐标为﹣9，
∴P（，﹣9），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣6x+3m，
∴平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n，
联立方程组，
整理得，x2﹣（m﹣3）x+n＝0，
∵直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，
∴Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0，
∴n＝，
∵1≤n≤4，
∴1≤≤4，
∴﹣1≤m≤1或5≤m≤7，
∵A（m，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣m，
∴S△ABC＝×（3﹣m）×（﹣3m）＝（m﹣）2﹣，
当﹣1≤m≤1时，0＜S△ABC≤6；5≤m≤7时，15≤S△ABC≤42．
7． (2023•将乐县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣有唯一的公共点A，与直线y＝交于点B，C（C在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．
（ⅰ）求P，Q两点的坐标；
（ⅱ）设直线y＝2x+m（m＞0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．
【分析】（1）过点A作AM⊥BC交于M，由等腰直角三角形的性质求出AM＝BM＝2，从而求出M（1，），A（1，﹣），B（﹣1，），再用待定系数法求解析式即可；
（2）（ⅰ）联立方程组，即可求P、Q点的坐标；
（ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，可得x1+x2＝6，y1＝2x1+m，y2＝2＝﹣2x1+m+12，求出直线PM的解析式后，求直线PM与CD的交点为（3，6+），求出QN的解析式后，求直线QN与CD的交点为（3，6+），从而所求得证．
【解答】（1）解：过点A作AM⊥BC交于M，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝﹣（﹣）＝2，
∵CD⊥x轴，D（3，0），
∴C（3，），
∴M（1，），A（1，﹣），B（﹣1，），
设y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x；
（2）（ⅰ）解：联立方程组，
解得或，
∵P在Q的左侧，
∴P（0，0），Q（6，12）；
（ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程组，
整理得x2﹣6x﹣2m＝0，
∴x1+x2＝6，
∴y1＝2x1+m，y2＝2＝﹣2x1+m+12，
设直线PM的解析式为y＝k1x，
∴2x1+m＝k1x1，
∴k1＝2+，
∴y＝（2+）x，
∴直线PM与CD的交点为（3，6+），
设QN的解析式为y＝k2x+b2，
∴，
解得，
∴y＝（2﹣）x+，
∴直线QN与CD的交点为（3，6+），
∴直线PM，QN，CD交于一点．
8． (2023•赣州模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．
（1）求a，b，c的值；
（2）画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；
（3）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．
①直接写出m的取值范围；
②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，求出函数解析式即可求解；
（2）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）关于x＝3对称的点分别为A'（7，0），B（3，0），C（6，﹣3），再由待定系数法求出抛物线解析式即可；
（3）①数形结合即可求m的取值范围；
②当m＝﹣4时，△MNB是等腰三角形但不是直角三角形；当m＞0时，由2+＝m，求出m＝5．
【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
将C（0，c）代入y＝x2﹣2x﹣3，可得c＝﹣3；
（2）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）关于x＝3对称的点分别为A'（7，0），B（3，0），C（6，﹣3），
设抛物线的解析式为y＝x2+b'x+c'，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣10x+21；
（3）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点为（1，﹣4），
∴当m＝﹣4时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点；
当m＞0时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点；
∴m＞0或m＝﹣4时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点；
②当m＝﹣4时，M（1，﹣4），N（5，﹣4），
∴BM＝BN，
∴△MNB是等腰三角形但不是直角三角形；
当m＞0时，M（1﹣，m），N（5+，m），
∴BM＝BN，
当BM⊥AM时，2+＝m，
解得m＝0（舍）或m＝5，
∴m＝5．
9． (2023•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，运用待定系数法可得直线AF的解析式为y＝x﹣4，设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣4），利用三角形面积公式可得S△AFP＝PQ•OA＝（﹣t2+t+7）×3＝﹣（t﹣）2+，再运用二次函数性质即可求得答案；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），分两种情况：①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，②当AP＝PF，∠APF＝90°时，分别讨论计算即可．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，
设直线AF的解析式为y＝kx+d，
∵A（3，0），F（0，﹣4），
∴，
解得：，
∴直线AF的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣4），
∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣4）＝﹣t2+t+7，
∴S△AFP＝PQ•OA＝（﹣t2+t+7）×3＝﹣（t﹣）2+，
∵＜0，﹣1＜t＜3，
∴当t＝时，△AFP面积的最大值为；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），
∵A（3，0），
∴OA＝3，OF＝|n|，
①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，
则∠ADP＝90°＝∠AOF，
∴∠PAD+∠APD＝90°，
∵∠PAD+∠FAO＝90°，
∴∠APD＝∠FAO，
在△APD和△FAO中，
，
∴△APD≌△FAO（AAS），
∴PD＝OA，AD＝OF，
∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，
∴﹣m2+2m+3＝3，
解得：m＝0或2，
当m＝0时，P（0，3），AD＝3，
∴OF＝3，即|n|＝3，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣3，
∴F（0，﹣3）；
当m＝2时，P（2，3），AD＝1，
∴OF＝1，即|n|＝1，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣1，
∴F（0，﹣1）；
②当AP＝PF，∠APF＝90°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，
则∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝90°，
∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝90°，
∴四边形PDOG是矩形，
∴∠FPG+∠FPD＝90°，
∵∠APD+∠FPD＝∠APF＝90°，
∴∠FPG＝∠APD，
在△FPG和△APD中，
，
∴△FPG≌△APD（AAS），
∴PG＝PD，FG＝AD，
∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，PG＝m，
∴﹣m2+2m+3＝m，
解得：m＝（舍去）或m＝，
当m＝时，P（，），
∴FG＝AD＝3﹣m＝3﹣＝，
∴F（0，﹣2）；
综上所述，点F的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣1）或（0，﹣2）．
10． (2023•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB＝S△CDB，求点P的坐标；
（3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标．
【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）求出点C、D的坐标，利用勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，可得S△BCD＝BC•CD＝12，由三角形的面积公式结合S△PDB＝S△CDB可得出PD＝6，即可求解；
（3）设M（m，﹣m+6），且2＜m＜6，分两种情况：①当∠MEN＝90°，EM＝EN时，②当∠EMN＝90°，EM＝MN时，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标即可．
【解析】（1）将A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+6；
（2）如图：
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴C（0，6）、D（2，8），
∵B（6，0），
∴BC＝＝6，
CD＝＝2，
BD＝＝4，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，
∴S△BCD＝BC•CD＝12，
∵S△PDB＝PD•（6﹣2）＝2PD＝S△CDB＝12，
∴PD＝6，
∴P（2，2）；
（3）∵B（6，0），C（0，6）．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵y＝﹣x2+2x+6，
∴对称轴l为x＝﹣＝2，
当x＝2时，y＝﹣x+6＝4，
∴E（2，4），
设M（m，﹣m+6），且2＜m＜6，
①当∠MEN＝90°，EM＝EN时，
过点E作EH⊥MN于H，
∴MN＝2EH，∠EMN＝∠ENM＝45°，
∵∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠NME＝∠OCB，
∴MN∥y轴，
∴N（m，﹣m2+2m+6），
∴MN＝﹣m2+2m+6+m﹣6＝﹣m2+3m，EH＝m﹣2，
∴﹣m2+3m＝2（m﹣2），解得m＝4或m＝﹣2（不合题意，舍去），
∴M（4，2）；
②当∠EMN＝90°，EM＝MN时，
∴EH＝NH＝MH＝EN，∠MEN＝∠ENM＝45°，
∵∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠MEN＝∠OBC，
∴EN∥x轴，
∴点N的纵坐标为4，
当y＝4时，﹣x2+2x+6＝4，
解得x＝2+2或x＝2﹣2（不合题意，舍去），
∴N（2+2，4），
∴EN＝2+2﹣2＝2，
∴EH＝MH＝EN＝，
∴m＝2+，
∴M（2+，4﹣）；
综上所述，点M的坐标为（4，2）或（2+，4﹣）．
11． (2023•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法，将B，C的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，即可求得二次函数的解析式；
（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，，可得△OBC是等腰直角三角形，求得点M′的坐标为（5，3），由﹣x2+4x+5＝3，解方程即可求解；
（3）设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），分三种情况讨论，O，P，Q分别为等腰直角三角形的顶点，分别作出图形，构造全等三角形，利用全等的性质，建立方程，解方程求解即可．
【解析】（1）∵点B（5，0），C（0，5）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，
则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，
∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，
∴直线FM′与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点，
∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，
∴，
∴点M的坐标为（2，0），
∵点C的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0），
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∴△MBF是等腰直角三角形，
∴MB＝MF，
∴点F的坐标为F（2，3），
∵点M关于直线BC的对称点为点M′，
∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，
∴△MBM′是等腰直角三角形，
∴BM′＝BM＝3，
∴点M′的坐标为（5，3），
∴FM′∥x轴，
∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1＝，x2＝，
∴E1（，3），E2（，3），
∴点E的坐标为（，3）或（，3）；
（3）存在，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．
设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），
①当OP＝PQ，∠OPQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴，交PL于K，
∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，
∴∠LOP＝∠KPQ，
∵OP＝PQ，
∴△LOP≌△KPQ（AAS），
∴LO＝PK，LP＝QK，
∴，
解得m1＝，m2＝（舍去），
当m1＝时，﹣m2+4m+5＝，
∴Q（，）；
②当QO＝PQ，∠PQO＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，
同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），
∴QT＝PK，TO＝QK，
∴，
解得m1＝，m2＝（舍去），
当m1＝时，﹣m2+4m+5＝，
∴Q（，）；
③当QO＝OP，∠POQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，
同理可得△OLP≌△QSO（AAS），
∴SQ＝OL，SO＝LP，
∴，
解得m1＝2+，m2＝2﹣（舍去），
当m1＝2+时，﹣m2+4m+5＝2，
∴Q（，2）；
综上，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．
12． (2023•襄城区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）如图1，若点A在x轴的负半轴上，△OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，点D（﹣2，5）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标；
（3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为﹣9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点．
①直接写出n关于m的函数关系式；
②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围．
【分析】（1）求出A（﹣m，0），B（3，0），C（0，3m），由题意可得3＝﹣3m，求出m＝﹣1，即可求解；
（2）求出S△ABC＝16，过点M作MQ∥y轴交直线BC于点Q，设M（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣3），则S△BCM＝﹣（m﹣）2+，可得S＝16﹣（m﹣）2+，即可求解；
（3）①求出P（，﹣9），直线PC的解析式为y＝﹣6x+3m，则直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n，联立方程组，整理得x2﹣（m﹣3）x+n＝0，由Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0，可求n＝（m﹣3）2；
②当n＝1时，m＝1或m＝5，当n＝5时，m＝2+3或m＝﹣2+3，则﹣2+3≤m≤1或5≤m≤2+3．
【解析】（1）令y＝0，则x2﹣（m+3）x+3m＝0，
解得x＝3或x＝﹣m，
∴A（﹣m，0），B（3，0），
令x＝0，则y＝3m，
∴C（0，3m），
∵△OBC为等腰直角三角形，
∴3＝﹣3m，
∴m＝﹣1，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知A（﹣1，0），D（﹣2，5），
∴AB＝4，
∴S△BDC＝5×8﹣×2×8﹣×3×3﹣×5×5＝15，
过点M作MQ∥y轴交直线BC于点Q，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
设M（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣3），
∴MQ＝﹣m2+3m，
∴S△BCM＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
∴S＝15﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S有最大值15+＝，
此时M（，﹣）；
（3）①y＝x2﹣（m+3）x+3m的对称轴为直线x＝，
∴P（，﹣9），
设直线PC的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣6x+3m，
∴直线PC平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n，
联立方程组，
整理得x2﹣（m﹣3）x+n＝0，
∵直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点，
∴Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0，
∴n＝（m﹣3）2；
②当n＝1时，m＝1或m＝5，
当n＝5时，m＝2+3或m＝﹣2+3，
∴﹣2+3≤m≤1或5≤m≤2+3．
13． (2023•山西二模）综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是A（﹣2，0），B（8，0）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线l⊥x轴，交直线AC于点G，交直线BC于点H．
（1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标．
（2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△NGH是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法把A（﹣2，0），B（8，0）代入y＝x2+bx+c，解方程组即可得出抛物线解析式，令x＝0，即可求得点C的坐标；
（2）求出抛物线对称轴，利用待定系数法分别求出直线AC、BC的解析式，由P（m，m2﹣m﹣2），可得：G（m，﹣m﹣2），H（m，m﹣2），GH＝m﹣2﹣（﹣m﹣2）＝m，设N（3，n），分三种情况：①当∠GHN＝90°，GH＝HN时，②当∠HGN＝90°，GH＝GN时，③当∠GNH＝90°，GN＝HN时，分别建立方程求解即可得出答案；
（3）分三种情况：①当BP为平行四边形的对角线时，②当CP为平行四边形的对角线时，③当QP为平行四边形的对角线时，分别依据平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式可求得点P的横坐标的值，然后将点P的横坐标代入抛物线的解析式可求得点P的纵坐标．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，0），B（8，0），
∴，
解得：，
∴y＝x2﹣x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）；
（2）存在．理由如下：
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣3）2﹣，
∴抛物线顶点D（3，﹣），
设直线AC的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2，
设直线BC的解析式为y＝k′x+d′，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
∵点P在点C和点D之间抛物线上运动，
∴P（m，m2﹣m﹣2），且0≤m≤3，
∴G（m，﹣m﹣2），H（m，m﹣2），
∴GH＝m﹣2﹣（﹣m﹣2）＝m，
∵点N在对称轴上，
∴N（3，n），
如图1，①当∠GHN＝90°，GH＝HN时，△NGH是等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴N（3，﹣）；
②当∠HGN＝90°，GH＝GN时，△NGH是等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴N（3，﹣）；
③当∠GNH＝90°，GN＝HN时，△NGH是等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴N（3，﹣）；
综上所述，点N的坐标为（3，﹣）或（3，﹣）或（3，﹣）；
（3）存在点Q，使以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，
设P（m，m2﹣m﹣2），Q（3，t），又B（8，0），C（0，﹣2），
①当BP为平行四边形的对角线时，如图2，
由中点公式可得：＝，
解得：m＝﹣5，
∵当m＝﹣5时，m2﹣m﹣2＝×（﹣5）2﹣×（﹣5）﹣2＝，
∴P（﹣5，）；
②当CP为平行四边形的对角线时，
由中点公式可得：＝，
解得：m＝11，
当m＝11时，m2﹣m﹣2＝×112﹣×11﹣2＝，
∴P（11，）；
③当QP为平行四边形的对角线时，
由中点公式可得：＝，
解得：m＝5，
当m＝5时，m2﹣m﹣2＝×52﹣×5﹣2＝﹣，
∴P（5，﹣）；
综上所述，当点P的坐标为（﹣5，）或（11，）或（5，﹣）时，以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形．
14． (2023•长沙模拟）已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；
（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据已知条件得到点C（0，﹣1），A（﹣1，0），B（1，0），根据待定系数法即可求解；
（2）将C1向上平移一个单位得到C2：y＝x2，设MN的直线解析式为y＝kx+b，设M点坐标为（xM，xM2），N（xN，xN2），联立方程组，整理得x2﹣kx﹣b＝0，由根与系数的关系可得xM•xN＝﹣b，过点M作ME⊥x轴交于E，过点N作NF⊥x轴交于点F，证明△MEO∽△OFN，可得xN•xM＝﹣1，能够确定直线MN经过定点（0，1），则E点在以（0，）为圆心，直径为1的圆上运动，所以点E到y轴距离的最大值为；
（3）分别求出直线BF的表达式为y＝2x﹣2①，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②，设直线l的表达式为y＝tx+n，联立方程组，由Δ＝0，可得n＝﹣t2﹣1，则直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣1③，联立①③并解得a＝，联立②③可得，b＝，可求a﹣b＝1．
【解析】（1）∵n＝﹣1，
∴点C（0，﹣1），
∴抛物线C1：y＝mx2﹣1，对称轴为x＝0，
∴AC＝BC，
∵△ABC为等腰直角三角形，C为顶点，
∴OA＝OB＝OC＝1，
∴A（﹣1，0），B（1，0），
将B（1，0）代入y＝mx2﹣1得，
m﹣1＝0，
∴m＝1，
∴抛物线C1：y＝x2﹣1；
（2）∵将C1向上平移一个单位得到C2，
∴抛物线C2：y＝x2，
设MN的直线解析式为y＝kx+b，
∴直线MN与y轴的交点为（0，b），
设M点坐标为（xM，xM2），N（xN，xN2），
联立方程组，
整理得x2﹣kx﹣b＝0，
∴xM•xN＝﹣b，
过点M作ME⊥x轴交于E，过点N作NF⊥x轴交于点F，
∵∠MON＝90°，
∴∠MOE+∠NOF＝90°，
∵∠MOE+∠OME＝90°，
∴∠NOF＝∠OME，
∴△MEO∽△OFN，
∴＝，
∴xN•xM＝﹣1，
∴b＝1，
∴直线MN经过定点（0，1），
∵OE⊥MN，
∴E点在以（0，）为圆心，直径为1的圆上运动，
∴点E到y轴距离的最大值为；
（3）a﹣b是定值，理由如下：
∵F的坐标为（0，﹣2），
设直线BF的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线BF的表达式为y＝2x﹣2①，
同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立方程组，
整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故Δ＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣1）＝0，
解得n＝﹣t2﹣1，
∴直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣1③，
联立①③并解得a＝，
联立②③可得，b＝，
∴a﹣b＝﹣＝1为常数．
15． (2023•永川区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A，B两点代入到解析式中，得到a与c的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）设C（m，﹣m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，则可以得到M的坐标（m，m+1），表示出线段CM的长，则S四边形ACBP＝2S△ABC，△ABC的面积可以分解为△ACM与△BCM之和，可以用m表示出△ABC的面积，得到关于m的二次函数，根据m的范围，确定函数的最值，从而求得C点坐标；
（3）将抛物线配成顶点式，直接写出平移后的抛物线解析式，联立两个抛物线解析式，求得D的坐标，以AD为腰够等腰直角三角形，分四类讨论，即A和D可以均为直角顶点，同时，E的位置可以在AD右侧，也可以在AD左侧，构造一线三等角模型，求出E点坐标即可．
【解析】（1）将A、B两点代入到解析式中，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1；
（2）设直线AB为：y＝k1x+1，
代入点B，得，3k1+1＝4，
解得k1＝1，
∴直线AB为：y＝x+1，
设C（m，﹣m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，如图，
则M（m，m+1），
∴CM＝﹣m2+4m+1﹣m﹣1＝﹣m2+3m，
∵四边形ACBP为平行四边形，
∴S四边形ACBP＝2S△ABC＝2（S△ACM+S△BCM）＝2×CM×3＝4CM＝3（﹣m2+3m）＝﹣3（m﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴m＝时，四边形ACBP面积的最大值为；
（3）∵抛物线y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线为：y＝﹣x2+5，
联立，解得，
∴D（1，4），
①如图，当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点，
∵∠DAN+∠NDA＝∠NDA+∠EDF＝90
∴∠DAN＝∠EDF，
又∠DNA＝∠EFD＝90°，DA＝DE，
∴△DNA≌△EFD（AAS），
∴DN＝EF＝1，AN＝DF＝3，
∴E（4，3），
②当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD左侧，
同理可得，E（﹣2，5），
③当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD左侧时，
同理可得，E（﹣3，2），
④当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD右侧时，
同理可得，E（3，0），
综上所述，E（4，3）或（﹣2，5）或（﹣3，2）或（3，0）．
16． (2023•兴城市一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，BC，点E是对称轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当S△BCE＝2S△ABC时，求点E的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设E（3，m），对称轴交BC于点F，运用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝x﹣3，则F（3，﹣），进而可得EF＝|m+|，再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
（3）设E（3，m），P（n，﹣n2+n﹣3），分两种情况：①当点P1在x轴上方时，如图2，过点P1作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BG⊥P1F于点G，可证得△BP1G≌△P1E1F（AAS），得出BG＝P1F，P1G＝E1F，建立方程求解即可求得点P的坐标；②当点P2在x轴下方时，如图2，过点P2作x轴的垂线，垂足为H，过点E作EK⊥P2H于点K，同理可证△BP2H≌△P2E2K（AAS），得出BH＝P2K，P2H＝E2K，建立方程求解即可得出答案．
【解析】（1）∵抛物线经过B（5，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2+x﹣3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝3，
∵点A与B（5，0）关于直线x＝3对称，
∴A（1，0），
∴AB＝5﹣1＝4，
∴S△ABC＝×4×3＝6，
设E（3，m），对称轴交BC于点F，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴F（3，﹣），
∴EF＝|m+|，
∴S△BCE＝EF×OB＝|m+|，
∵S△BCE＝2S△ABC，
∴|m+|＝12，
解得：m＝或﹣6，
∴点E的坐标为（3，）或（3，﹣6）；
（3）设E（3，m），P（n，﹣n2+n﹣3），
①当点P在x轴上方时，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BG⊥PF于点G，
∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BPE＝90°，PB＝PE，
∴∠BPG+∠EPF＝90°，
∵∠G＝∠PFE＝90°，
∴∠BPG+∠PBG＝90°，
∴∠PBG＝∠EPF，
∴△BPG≌△PEF（AAS），
∴BG＝PF，PG＝EF，
∴，
解得：，，
当n＝0时，P（0，﹣3）；
当n＝时，BG＝PF＝n﹣3＝﹣3＝，
∴P（，）；
②当点P在x轴下方时，如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作EK⊥PH于点K，
∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BPE＝90°，PB＝PE，
∴∠BPH+∠EPK＝90°，
∵∠K＝∠PHB＝90°，
∴∠BPH+∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠EPK，
∴△BPH≌△PEK（AAS），
∴BH＝PK，PH＝EK，
∴n2﹣n+3＝n﹣3，
解得：n＝6或n＝（舍去），
∴P（6，3）；
综上所述，点P的坐标为（0，﹣3）或（，）或（6，3）．
17． (2023•昆明模拟）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；
（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．
【分析】（1）将点（﹣1，0）、（0，﹣3）分别代入得到方程组，然后求出a、c，最后得到解析式；
（2）对于直线y＝x﹣6，先求出点A、B的坐标，过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，然后设点P的坐标，然后即可表示出点D的坐标，最后利用三角形的面积表示出△PAB的面积，从而利用二次函数的性质求得面积小值时点P的横坐标；
（3）用含有t的式子表示点E和点F的坐标，然后表示出EC和EF的长度，最后利用等腰直角三角形的性质列出方程求解．
【解答】解：（1）将点（﹣1，0）、（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）对直线y＝x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，﹣6），
过点P作x轴的垂线交直线AB于点，连接PA和PB，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则D（x，x﹣6），
∴PD＝x2﹣2x﹣3﹣（x﹣6）＝x2﹣3x+3，
∴S△PAB＝S△PBD+S△PAD＝•x•PD+•（6﹣x）•PD＝3（x2﹣3x+3）＝3（x﹣）2+，
∴x＝时，S△PAB有最小值，
∴△PAB的面积最小时，点P的横坐标为．
（3）由题意可设，E（m，m2﹣2m﹣3），F（m，m﹣6），
∴EF＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣6）＝m2﹣3m+3，
由y＝x2﹣2x﹣3可知抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，点C在抛物线对称轴上，
∴点C的横坐标为1，m≠1，
当点E为直角顶点时，CE＝EF，C（1，m2﹣2m﹣3），
∴CE＝|m﹣1|，
∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，
解得：m＝2，
∴点C的纵坐标为22﹣2×2﹣3＝﹣3；
当点F为直角顶点时，CF＝EF，C（1，m﹣6），
∴CF＝|m﹣1|，
∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，
解得：m＝2，
∴点C的纵坐标为2﹣6＝﹣4；
综上所述，点C的纵坐标为﹣3或﹣4．
18 (2023•新泰市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．
（1）求这个抛物线的表达式．
（2）点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
【分析】（1）由交点式可求a的值，即可求解；
（2）由S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解；
（3）①分两种情况讨论，通过证明△MAD≌△DOC，可得AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，可求解；
②可证点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，延长M'C交对称轴与N''，可证∠MM'C＝∠MN''C＝45°，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），
∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，
∴点C（0，2），
则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC
＝
＝×3×（﹣x2﹣x+2）+×2×（﹣x）﹣×2×1
＝﹣x2﹣3x+2，
∵﹣1＜0，S有最大值，
∴当x＝时，S的最大值为．
（3）①如图2，若点M在CD左侧，连接AM，
∵∠MDC＝90°，
∴∠MDA+∠CDO＝90°，且∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠MDA＝∠DCO，且AD＝CO＝2，MD＝CD，
∴△MAD≌△DOC（SAS）
∴AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，
∴点M坐标（﹣3，1），
若点M在CD右侧，同理可求点M'（1，﹣1）；
②如图3，
∵抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+；
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∴点D在对称轴上，
∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，
∴点D是MM'的中点，
∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，
∴∠MCM'＝90°，
∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，
当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，
∵点C（0，2），点D（﹣1，0）
∴DC＝，
∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，
∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣）
延长M'C交对称轴与N''，
∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），
∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，
∴当x＝﹣1时，y＝5，
∴点N''的坐标（﹣1，5），
∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），
∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，
∴MM'＝MN''，
∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°
∴点N''（﹣1，5）符合题意，
综上所述：点N的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．
19. (2023•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），
则 ，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图，
∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0），
又Q（﹣1+t，0），
∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ
＝
＝
＝（t﹣2）2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝，AB＝4，
∴0≤t≤3，
∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；
（3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，
∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，
∴∠PMF＝∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，
∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，
又OE＝3﹣t，
∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．
20. (2023•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．
【分析】（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH＝AB＝2，C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，先求出直线PQ为y＝﹣2x+6，设A（m，﹣2m+6），则AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），即可求出C（﹣2，）．
【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图：
当A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝1，
而抛物线y＝﹣x2+的对称轴是y轴（x＝0），
∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，如图：
设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：
，解得，
∴直线PQ为y＝﹣2x+6，
设A（m，﹣2m+6），则AB＝|﹣2m+6|，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|，
当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，
将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+得：
﹣m+3＝﹣（2m﹣3）2+，
解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），
∴m＝，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3＝，
∴C（﹣2，）
当﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝3，
C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3，
此时A、B、C重合，舍去，
∴C（﹣2，）