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2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题6二次函数与平行四边形存在性问题（原卷版+解析）
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这是一份2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题6二次函数与平行四边形存在性问题（原卷版+解析），共81页。
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.
解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.
平面直角坐标系中，点 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是.
平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、，则，
.
已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：
【例1】． (2023•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】． (2023•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【例3】． (2023•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
【例4】． (2023•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
1． (2023•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
2． (2023•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．
3． (2023•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．
4． (2023•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）填空：△ABC的形状是 ．
（2）求抛物线的解析式；
（3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标；
（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．
5． (2023•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．
6． (2023•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：
（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．
7． (2023•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
8． (2023•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9． (2023•南昌县一模）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．
（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为 ；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是 ；
（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；
（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：
①求所有定点的坐标；
②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？
10． (2023•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（﹣1，0），连接BC，OB＝2OC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；
（3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．
11． (2023•平桂区 二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与直线y＝﹣x+3交于点B、C（0，n）．
（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求该抛物线的表达式；
（3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．
12． (2023•龙岗区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+4（m是常数），当m＝1时，记二次函数的图象为C1；m≠1时，记二次函数的图象为C2．如图1，图象C1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；如图2，图象C2与x轴交于D、E两点（点D在点E的左侧）．
（1）请直接写出点A、B、C的坐标；
（2）当点O、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m＝ ；
（3）如图3，C2与C1交于点P，当以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
13． (2023•康巴什一模）如图，抛物线y＝﹣x2+6x﹣5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y＝x﹣5．
（1）写出相应点的坐标：A ，B ，C ；
（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值．
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
14． (2023•武城县模拟）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；
（3）设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
15． (2023•沙坪坝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且过点（2，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于D，过点P作PE∥x轴，交直线BC于E，求PE+DB的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线y′上一点，点N为原抛物线对称轴上一点，当以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标，并写出求其中一个N点坐标的解答过程．
16． (2023•开州区模拟）如图1，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线BD∥直线AC，交抛物线y于另一点D，点P为直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求线段AB的长．
（2）过点P作PF∥y轴交AC于点Q，交直线BD于点F，过点P作PE⊥AC于点E，求2PE+3PF的最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线y＝向右平移3个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
17． (2023•凤翔县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过A（﹣1，0），C（0，﹣2）两点，将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，平移后点A的对应点为点B．
（1）求抛物线C1与C2的函数表达式；
（2）若点M是抛物线C1上一动点，点N是抛物线C2上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
18． (2023•碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求线段AB的长度；
（2）将抛物线W平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，与直线BC的一个交点为P，若以A、B、D、P为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求平移后的抛物线表达式．
19． (2023秋•文昌期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交直线l于点A、C（2，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
20． (2023•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题6 二次函数与平行四边形存在性问题
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.
解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.
平面直角坐标系中，点 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是.
平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、，
则，.
已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：
【例1】 (2023•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；
（2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；
（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．
【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如图1，
连接OP，
设点P（m，﹣2m﹣6），
∴S△POC＝xP＝＝3m，
S△BOP＝|yP|＝+2m+6），
∵S△BOC＝＝18，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18
＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
方法二：如图2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，
∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
（3）如图3，
当▱ACFE时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，
∴F1点的坐标：（4，﹣6），
如图4，
当▱ACEF时，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），
综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．
【例2】． (2023•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式；
（2）先根据（1）中抛物线的表达式求出点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论；
（3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1），
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0）．
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．
设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，
令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，
∵该抛物线与直线BC始终有交点，
∴Δ＝9﹣4h≥0，
∴h≤．
∴h的最大值为．
（3）存在，理由如下：
由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2，
∴E（2，﹣1），
∴DE＝2，
设点M（m，﹣m2+4m﹣3），
若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：
①当DE为边时，DE∥MN，
则N（m，m﹣3），
∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，
∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．
∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．
②当DE为对角线时，
设点N的坐标为t，
则N（t，t﹣3），
∴，
解得m或（舍），
∴N（3，0）．
综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．
【例3】 (2023•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；
（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；
（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．
【解答】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，
∴D（﹣1，4），
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AD2＝20，
∵C（0，3），
∴CD2＝2，AC2＝18，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠DAC＝∠BCO；
（3）解：如图，
作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，
∴DE∥FD1，
∴△DEC∽△D1FC，
∴＝，
∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，
∴D1（2，1），
∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
同理可得：，
∴，
∴OM＝3，
∴M（3，0），
设P（2，m），
当▱MNQP时，
∴MN∥PQ，PQ＝MN，
∴Q点的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q（﹣1，8），
当▱MNPQ时，
同理可得：点Q横坐标为：5，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q′（5，﹣8），
综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
【例4】 (2023•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①方法一：求出直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，求出x的值，则可得出答案；
方法二：求出OD＝3，证明△DEO∽△CEB，由相似三角形的性质得出，设OE＝x，则BE＝3﹣x，列出方程求出x的值，则可得出答案；
②分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可．
【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，
，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴直线MN的解析式为y＝x，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
把x＝1代入y＝x，得y＝1，
∴D（1，1），
方法一：
设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，
将C（0，﹣3），D（1，1）代 入得，
，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，
当y＝0时，4x﹣3＝0，
∴x＝，
∴E（，0），
∴OE＝．
方法二：
由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，
∵BC∥MN，
∴△DEO∽△CEB，
∴，
设OE＝x，则BE＝3﹣x，
∴，
解得x＝，
∴OE＝．
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，
由BC∥FD可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），
由点D在直线MN上，设D（t，t），
如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），
∵BC∥MN，
∴∠OBC＝∠DOB，
∵GD∥x轴，
∴∠GDF＝∠DOB，
∴∠OBC＝∠GDF，
又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，
∴△DGF≌△BOC（AAS），
∴GD＝OB，GF＝OC，
∵GD＝t﹣1，OB＝3，
∴t﹣1＝3，
∴t＝4，
∴D（4，4），
如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，
同理可证△DKF≌△COB（AAS），
∴KD＝OC，
∵KD＝1﹣t，OC＝3，
∴1﹣t＝3，
∴t＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣2）；
（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，
由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，
如图，四边形BFCD为平行四边形，
设D（t，t），F（1，n），
同理可证△DHC≌△BPF（AAS），
∴DH＝BP，HC＝PF，
∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，
∴，
∴，
∴D（2，2），F（1，﹣5），
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；
当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．
1． (2023•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
【分析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5计算出a，b的值即可；
（2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP，利用二次函数求最值；
（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），从而有NF＝|﹣m2+5m|＝4，解方程即可求出N的横坐标．
【解析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5得：
，
解得，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5，
（2）作ED⊥x轴于D，
由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝45°，
∴ED＝sin45°×2t＝，
∴S△BEP＝＝﹣，
当t＝﹣ 时，S△BEP最大为2．
∴当t＝2时，S△BEP最大为2．
（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，
则NF＝AE＝4，
设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），
∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，
∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，
∴m1＝1（舍），m2＝4，或m3＝，m4＝，
∴点N的横坐标为：4或或．
2． (2023•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．
【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求函数解析式；
（2）先求出BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），由面积S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB，可得PN＝﹣（m﹣2）2+，所以当m＝2时，PN有最大值，P（2，）；
（3）由抛物线沿着射线CB的方向平移，可设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，再由新抛物线y'过原点，可求t＝2，则可求新的抛物线解析式为y'＝﹣x2+x，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，求出D（3，2），由点E在y'上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y'上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：①当AE与DF为平行四边形的对角线时，﹣3+＝n+3，得F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，﹣3+n＝3+，得F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，﹣3+3＝n+，得F（﹣，﹣）．
【解析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
将点B与点C代入可得，，
解得，
∴y＝﹣x+4，
∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴，
∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），
∴S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB，
∵B（4，0），C（0，4），
∴BC＝8，
∴8PN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）×4，
∴PN＝﹣（m﹣2）2+，
∴当m＝2时，PN有最大值，
∴P（2，）；
（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣+，
∵抛物线沿着射线CB的方向平移，
设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，
平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，
∵新抛物线y'过原点，
∴0＝﹣+﹣t，
解得t＝2或t＝﹣6（舍），
∴y'＝﹣+＝﹣x2+x，
∵点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，
联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，
∴x＝3，
∴D（3，2），
∵y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x＝，
∴E点的横坐标为，
∵点F为新抛物线y'上一动点，
设F点横坐标为n，
①当AE与DF为平行四边形的对角线时，
∴﹣3+＝n+3，
∴n＝﹣，
∴F（﹣，﹣）；
②当AF与ED为平行四边形对角线时，
∴﹣3+n＝3+，
∴n＝，
∴F（，﹣）；
③当AD与EF为平行四边形对角线时，
∴﹣3+3＝n+，
∴n＝﹣，
∴F（﹣，﹣）；
综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，﹣）．
3． (2023•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出a，b的值，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点D的坐标；
（2）先求出B，C的坐标，再设E，F的坐标，根据平移的特点列出关系式，求出h的值．
【解析】（1）将（1，﹣3），（﹣4，12）代入y＝ax2+bx+b﹣a，
得，
解得，
∴，
∴抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为．
（2）存在．
∵，
当x＝0时，y＝﹣2，
当y＝0时，，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴C（0，﹣2），B（4，0），
设，，
当四边形BCFE是平行四边形时，
可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，
则
②﹣③得m+n＝2h﹣1④，
（①+④）÷2得⑤，
（④﹣①）÷2得⑥，
将⑤，⑥代入③得h＝±，
当四边形BCEF是平行四边形时，
可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，
则
②﹣③得m+n＝2h﹣1④，
（①+④）÷2得⑤，
（④﹣①）÷2得⑥，
将⑤，⑥代入③得h＝或，
当h＝时，m＝h+＝+＝8，n＝h﹣＝﹣＝4，
∴E（4，0），F（8，2），
此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；
综上，h的值为或±．
4． (2023•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）填空：△ABC的形状是 直角三角形 ．
（2）求抛物线的解析式；
（3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标；
（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．
【分析】（1）由tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，即可求解；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）当△PCD的面积最大时，若直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，进而求解；
（4）当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），进而求解；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3+3，即可求解．
【解析】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，OC＝3，
则tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，
同理可得，∠BCO＝60°，
故△ABC为直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（2）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3①；
（3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
则设直线l∥BC，则设直线l的表达式为：y＝﹣x+c②，
当△PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，
联立①②并整理得：﹣x2+x+3﹣c＝0③，
则△＝（）2﹣4×（﹣）（3﹣c）＝0，
解得：c＝，
将c的值代入③式并解得x＝，
故点P的坐标为（，）；
（4）由抛物线的表达式知，点E的坐标为（，4），
∵直线BC的表达式为y＝﹣x+3，故点D（，2），
设点M的坐标为（m，﹣m+3），点N的坐标为（n，﹣n2+n+3），
①当ED是边时，
点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），
则m＝n且﹣m+3±2＝﹣n2+n+3，
解得：m＝（舍去）或2或；
②当ED为对角线时，
由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3﹣m+3，
解得m＝（舍去）或0，
综上，m＝0或2或或，
故点M的坐标为（0，3）或（2，1）或（，）或（，）．
5． (2023•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）因为抛物线经过点（2，﹣3a），代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x＝1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b；
（2）先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P（2，﹣3），将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求；
（3）利用y＝﹣x+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得△DOB是等腰直角三角形，同理可以证得△BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得∠AEF＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形．
【解析】（1）∵抛物线经过点（2，﹣3a），
∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，
又因为抛物线对称为x＝1，
∴②，
联立①②，解得，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线MC为y＝kx﹣3，
代入点M得k＝﹣1，
∴直线MC为y＝﹣x﹣3，
令y＝0，则x＝﹣3，
∴N（﹣3，0），
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
过C作CP∥AN，使CP＝AN，
则四边形ANCP为平行四边形，
∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴P（2，﹣3），
∵P的坐标满足抛物线解析式，
∴P（2，﹣3）在抛物线上，
即P（2，﹣3）；
（3）如图2，令x＝0，则y＝﹣x+3＝3，
∴D（0，3），
∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，
∴∠DBO＝45°，
同理，∠ABC＝45°，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠AEF＝∠ABC＝45°，
∠AFE＝∠DBO＝45°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
6． (2023•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：
（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．
【分析】（1）第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可．
（2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值．
（3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点．
【解析】（1）∵抛物线解析式为y＝ax2+bx+3，
令x＝0得y＝3，
∴点C坐标为（0，3），
∵OG﹣OB＝3，
∴B坐标为（3，0），
∵tan∠CAO＝3，
∴＝3，
∴OA＝1，
∴点A坐标为（﹣1，0），
∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），
＝﹣（x2﹣2x﹣3）
＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）∵Q为线段PB中点，
∴S△CPQ＝S△CPB，
当S△CPB面积最大时，△CPQ面积最大．
设P坐标（a，﹣a2+2a+3），
过点P作PH∥y轴交BC于点H，
H坐标为（a，﹣a+3），
∴PH＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）
＝﹣a2+2a+3+a﹣3
＝﹣a2+3a，
S△CPB＝•PH•（xB﹣xC）
＝•PH•3
＝PH＝（﹣a2+3a）
＝﹣（a2﹣3a+﹣）
＝﹣（a﹣）2+，
当a＝时，即P坐标为（，）时，
最大S△CPQ＝S△CPB＝，
∴P坐标为（，）；
（3）沿CB方向平移2个单位，
即向右2个单位，向下2个单位，
∴新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2，
M坐标为（3，2）C坐标为（0，3），
点N坐标设为（n，0），
∵＝，
∴＝，
∴yD＝1，
则1＝﹣（x﹣3）2+2
﹣1＝﹣（x﹣3）2，
（x﹣3）2＝1，
x﹣3＝±1，
∴x＝4或2，
∴xD＝4或xD＝2，
＝⇒＝，
∴xN＝7，
或＝，
∴xN＝5，
∴N坐标为（7，0）或（5，0），
或＝⇒＝，
得yD＝﹣1，
则﹣1＝﹣（x﹣3）2+2，
（x﹣3）2＝3，
x＝±+3，
∴xD＝3﹣或xD＝3+，
即xN＝﹣或，
N坐标为（﹣，0）或（，0）．
7． (2023•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；
（2）由OA＝OB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，
过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而求得P坐标，②当S△COP：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标；
（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．
【解析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，
对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2，
∴顶点M的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵OA＝OB，
∴OB＝4，B（0，4），
设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入得：
，解得，
∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4，
Rt△AOB中，AB＝＝4，
∴sin∠ABO＝＝＝，
过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：
①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：
∵S△AOP：S△COP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝1：3，
∴PQ：CH＝1：3，
而C（2，6），即CH＝6，
∴PQ＝2，即yP＝2，
在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，
∴x＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：
∵S△COP：S△AOP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝2：3，
∴PQ：CH＝2：3，
∵CH＝6，
∴PQ＝4，即yP＝4，
在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，
∴x＝0，
∴P（0，4）；
综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（﹣2，2）或（0，4）；
（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：
①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，
∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6），
∴AN的中点为（，），OC中点为（，），
∴，解得，
∴N（6，6），
②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：
解得，
∴N（﹣2，6），
③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，
解得，
∴N（﹣6，﹣6），
综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．
8． (2023•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A，B坐标代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法可求；
（2）求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP＝FE•OB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；
（3）分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，①过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，通过说明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，点M坐标可求；
②利用①中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标．
【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得：
．
解得：．
∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设直线l的解析式为y＝kx+n，
将B（3，0），D（0，3）代入上式得：
．
解得：．
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．
∵点P（m，0），EF⊥x轴，
∴E点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点F的坐标为（m，﹣m+3）．
∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6．
∵B（3，0），
∴OB＝3．
∵S四边形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP×EF＝FE•OB，
∴＝﹣．
∵＜0，
∴当m＝时，S四边形CEBF有最大值＝．
即：当m＝时，四边形CEBF面积的最大值为．
（3）存在．
①当点M在直线BD的下方时，如图，
令x＝0，则y＝﹣3．
∴C（0，﹣3）．
∴OC＝3．
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1．
过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G，
∵四边形ACMN为平行四边形，
∴AC∥MN，AC＝MN．
∵NF⊥ME，ME⊥OE，
∴NF∥OE．
∴∠ACO＝∠MNF．
在△AOC和△MFN中，
．
∴△AOC≌△MFN（AAS）．
∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．
设M（h，h2﹣2h﹣3），则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3．
∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．
∴N（h﹣1，﹣h+4）．
∴NG＝﹣h+4，
∵NG+GF＝NF＝3，
∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3．
解得：h＝（负数不合题意，舍去）．
∴h＝．
∴M（）．
②当点M在直线BD的上方时，如图，
过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G，
由①知：△MNF≌△CAO（AAS），可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．
设M（h，h2﹣2h﹣3），则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．
∴NE＝EF+NF＝h+1．
∴N（h+1，﹣h+2）．
∴GF＝OE＝h﹣2．
∵MG+GF＝MF＝3，
∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3．
解得：h＝（负数不合题意，舍去）．
∴h＝．
∴M（）．
综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为（）或（）．
9． (2023•南昌县一模）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．
（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为 （﹣1，﹣4m+1） ；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ；
（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；
（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：
①求所有定点的坐标；
②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？
【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；
（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可证四边形AMDN是矩形；
（3）根据菱形的性质可得EH1＝EF＝4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．
【解析】（1）x＝﹣＝﹣1，顶点坐标M为（﹣1，﹣4m+1），
由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大．
故答案为：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3
（2）结论：四边形AMDN是矩形．
由二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）解析式可得：
A点坐标为（，0），D点坐标为（，0），顶点M坐标为（﹣1，﹣4m+1），顶点N坐标为（3，4m﹣1），
∴AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），
∴AD与MN互相平分，
∴四边形AMDN是平行四边形，
又∵AD＝MN，
∴▱AMDN是矩形．
（3）
①∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，
故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，
∵二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，
故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，
②∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，
如图：四个定点分别为E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），则组成四边形EFGH为平行四边形，
设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，
由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．
解得：x＝，
抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2向左平移或．
10． (2023•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（﹣1，0），连接BC，OB＝2OC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；
（3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．
【分析】（1）求出B、C点坐标，将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；
（2）先求出BC的解析式，设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），PQ＝﹣t2+3t，由PQ∥CO，可得∠HQP＝∠OCB，利用直角三角形三角函数求出HP＝＝PQ，HQ＝PQ，则△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；
（3）求出平移后的函数解析式为y'＝x2+x﹣5，则D（﹣3，﹣5），设M（m，＝m2+m﹣5），E（x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），分三种情况讨论：①以EF为平行四边形的对角线时，M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，求得M（﹣6，4）．
【解析】（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵OB＝2OC，
∴OB＝6，
∴B（6，0），
将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝x﹣3，
∴设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），
∴PQ＝﹣t2+3t，
∵CO＝3，BO＝6，
∴BC＝3，
在Rt△ABC中，sin∠BCO＝，cs∠BCO＝，
∵PQ∥CO，
∴∠HQP＝∠OCB，
∴sin∠HQP＝＝，cs∠HQP＝＝，
∴HP＝PQ，HQ＝PQ，
∴△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）（﹣t2+3t）＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，
∵点P是直线BC下方，
∴0＜t＜6，
∴当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，
此时P（3，﹣6）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，
∴平移后的函数解析式为y'＝（x+）2﹣＝x2+x﹣5，
∴D（﹣3，﹣5），
设M（m，﹣m2+m﹣5），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣3x﹣3，
设E（x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），
①以EF为平行四边形的对角线时，
．
解得m＝或m＝，
∴M（，）或（，）；
②以EM为平行四边形的对角线时，
，
解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，
∴M（﹣6，4）；
③以ED为平行四边形的对角线时，
，
解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，
∴M（﹣6，4）；
综上所述：M点坐标为（，）或（，）或（﹣6，4）．
11． (2023•平桂区 二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与直线y＝﹣x+3交于点B、C（0，n）．
（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求该抛物线的表达式；
（3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．
【分析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得n＝3，即知C（0，3），根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，得抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；
（2）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）由P（1，t），B（3，0）可知C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），分两种情况：①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，可得，P（1，﹣2）；②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，，得P（1，﹣8）．
【解析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得：
n＝3，
∴C（0，3），
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，
答：C（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；
（2）把A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）∵点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t，
∴P（1，t），
∵平移BC使点B与P重合，B（3，0），
∴C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），
设Q（m，﹣m2+2m+3），
①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，如图：
∴，
解得，
∴P（1，﹣2）；
②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，如图：
∴，
解得，
∴P（1，﹣8），
综上所述，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，P的坐标为（1，﹣2）或（1，﹣8）．
12． (2023•龙岗区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+4（m是常数），当m＝1时，记二次函数的图象为C1；m≠1时，记二次函数的图象为C2．如图1，图象C1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；如图2，图象C2与x轴交于D、E两点（点D在点E的左侧）．
（1）请直接写出点A、B、C的坐标；
（2）当点O、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m＝ 0或6或﹣6 ；
（3）如图3，C2与C1交于点P，当以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
【分析】（1）分别令x＝0，y＝0即可求解；
（2）求出D、E的坐标，再分三种情况讨论：①当O为中点时，m＝0；②当D为中点时，m＝6；③当E为中点时，m＝﹣6；
（3）求出P点的横坐标为，再分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，﹣1＝m﹣2+，3＝，此时无解；②当AD为平行四边形的对角线时，﹣1+m﹣2＝，0＝3+，此时无解；③当AP为平行四边形的对角线时，﹣1+＝m﹣2，＝3，解得m＝3．
【解析】（1）当m＝1时，y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0则y＝3，
∴C（0，3）；
（2）令﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，
解得x＝m﹣2或x＝m+2，
∴D（m﹣2，0），E（m+2，0），
①当O为中点时，m﹣2+m+2＝0，
∴m＝0；
②当D为中点时，2（m﹣2）＝m+2，
解得m＝6；
③当E为中点时，2（m+2）＝m﹣2，
解得m＝﹣6；
综上所述：m的值为0或6或﹣6，
故答案为：0或6或﹣6；
（3）联立方程组，A（﹣1，0），C（0，3）；D（m﹣2，0），
解得x＝，
∴P点的横坐标为，
∴P（，），
①当AC为平行四边形的对角线时，﹣1＝m﹣2+，3＝，
此时m无解；
②当AD为平行四边形的对角线时，﹣1+m﹣2＝，0＝3+，
此时无解；
③当AP为平行四边形的对角线时，﹣1+＝m﹣2，＝3，
解得m＝3；
综上所述：m的值为3．
13． (2023•康巴什一模）如图，抛物线y＝﹣x2+6x﹣5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y＝x﹣5．
（1）写出相应点的坐标：A （1，0） ，B （5，0） ，C （0，﹣5） ；
（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值．
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
【分析】（1）分别令y＝0和x＝0进行求解即可；
（2）根据题意分别求出P点坐标为（1+t，0），E点坐标为（3﹣t，﹣t），则S△PBE＝×（4﹣t）×（t）＝﹣（t﹣2）2+2，可求当t＝2时，△PBE的面积最大为2；
（3）过点M作ME⊥x轴交于点E，由∠OBC＝45°，求出M（3，﹣2），再由待定系数法求直线AM的解析式为y＝﹣x+1，设N（m，﹣m2+6m﹣5），求出直线NQ的解析式为y＝﹣x﹣m2+7m﹣5，联立方程组，可求Q（，﹣5），分三种情况讨论：①当AM为平行四边形的对角线时，1+3＝m+，此时不构成平行四边形；②当AN为平行四边形的对角线时，1+m＝3+，解得m＝；③当AQ为平行四边形的对角线时，1+＝3+m，解得m＝1（舍）或m＝4．
【解析】（1）令﹣x2+6x﹣5＝0，
解得x＝1或x＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
令x＝0，则y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
故答案为：（1，0），（5，0），（0，﹣5）；
（2）由题意可知0≤t≤4，
∵P点以每秒1个单位的速度向B运动，
∴P点坐标为（1+t，0），
∵OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝45°，
∵E点以每秒2个单位的速度向C运动，
∴E点坐标为（3﹣t，﹣t），
∴S△PBE＝×（4﹣t）×（t）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∴当t＝2时，△PBE的面积最大为2；
（3）∵∠ABC＝45°，AM⊥BC，AB＝4，
∴AM＝2，
过点M作ME⊥x轴交于点E，
∵∠BAM＝45°，
∴M（3，﹣2），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1，
∵AM∥NQ，
∴直线NQ的解析式为y＝﹣x+b'，
设N（m，﹣m2+6m﹣5），
∴b'＝﹣m2+7m﹣5，
∴y＝﹣x﹣m2+7m﹣5，
联立方程组，
解得，
∴Q（，﹣5），
①当AM为平行四边形的对角线时，
1+3＝m+，
解得m＝1（舍）或m＝8，
此时MA的中点为（2，﹣1），NQ的中点为（2，﹣8），
∴此时不构成平行四边形；
②当AN为平行四边形的对角线时，
1+m＝3+，
解得m＝；
③当AQ为平行四边形的对角线时，
1+＝3+m，
解得m＝1（舍）或m＝4；
综上所述：N点的横坐标为4或．
14． (2023•武城县模拟）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；
（3）设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）先确定出点B，C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先设出点P的坐标，进而得出点D，E的坐标，即可得出PD+PE的函数关系式，即可得出结论；
（3）分AB为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论．
【解析】（1）∵直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，
∴B（2，0）、C（0，1），
∵B、C在抛物线解y＝x2+bx+c上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1；
（2）设P（m，m2﹣m+1），
∵PD∥x轴，PE∥y轴，点D，E都在直线y＝﹣x+1上，
∴E（m，﹣m+1），D（﹣2m2+5m，m2﹣m+1），
∴PD+PE＝﹣2m2+5m﹣m+[（﹣m+1）﹣（m2﹣m+1）]
＝﹣3m2+6m
＝﹣3（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，PD+PE的最大值是3；
（3）能，理由如下：
由y＝x2﹣x+1，令0＝x2﹣x+1，
解得：x＝2或x＝，
∴A（，0），B（2，0），
∴AB＝，
若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，
①当以AB为边时，则AB∥PF1且AB＝PF1，
设P（a，a2﹣a+1），则F1（﹣2a2+5a，a2﹣a+1），
∴|﹣2a2+5a﹣a|＝，
解得：a＝或a＝（与A重合，舍去）或a＝（舍）或a＝（舍去），
∴F1（3，﹣）；
②当以AB为对角线时，
连接PF2交AB于点G，则AG＝BG，PG＝F2G，
设G（m，0），
∵A（，0），B（2，0），
∴m﹣＝2﹣m，
∴m＝，
∴G（，0），
作PM⊥AB于点M，F2N⊥AB于点N，则NG＝MG，PM＝FN，
设P（b，b2﹣b+1）（0＜b＜2），则F2（2b2﹣5b+4，﹣b2+b﹣1），
∴﹣b＝2b2﹣5b+4﹣，
解得：b＝或b＝（与A重合，舍去），
∴F2（1，），
综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形．
此时点F的坐标为F（3，﹣）或F（1，）．
15． (2023•沙坪坝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且过点（2，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于D，过点P作PE∥x轴，交直线BC于E，求PE+DB的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线y′上一点，点N为原抛物线对称轴上一点，当以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标，并写出求其中一个N点坐标的解答过程．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）先求得B（4，0），C（0，3），再运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜4），延长PD交x轴于点F，则D（m，﹣m+3），F（m，0），E（m2﹣m，﹣m2+m+3），进而可得：PE＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，BF＝4﹣m，再利用勾股定理和三角函数定义可得PE+DB＝（m﹣）2+，根据二次函数的性质即可求得答案；
（3）由平移得新抛物线y′＝﹣x2+，设M（t，﹣t2+），N（1，n），分三种情况：①以MN、AC为对角线时，②以MA、NC为对角线时，③以MC、NA为对角线时，分别运用平行四边形对角线互相平分的性质，建立方程求解即可得出答案．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣2，0）和点（2，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）∵y＝﹣x2+x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜4），延长PD交x轴于点F，如图1，
∵PD∥y轴，
∴D（m，﹣m+3），F（m，0），
∵PE∥x轴，
∴点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，
∴﹣m2+m+3＝﹣x+3，
∴x＝m2﹣m，
∴E（m2﹣m，﹣m2+m+3），
∴PE＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，BF＝4﹣m，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∴cs∠CBO＝＝，
∵＝cs∠CBO＝，
∴DB＝BF＝（4﹣m），
∴PE+DB＝﹣m2+2m+（4﹣m）＝（m﹣）2+，
∵＜0，
∴当m＝时，PE+DB的最大值为，此时P（，）；
（3）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝1，顶点为（1，），
将抛物线y＝﹣x2+x+3沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′＝﹣x2+，
设M（t，﹣t2+），N（1，n），又A（﹣2，0），C（0，3），
①以MN、AC为对角线时，则MN与AC的中点重合，如图2，
∴，
解得：，
∴N（1，3）；
②以MA、NC为对角线时，则MA与NC的中点重合，如图3，
∴，
解得：，
∴N（1，﹣3）；
③以MC、NA为对角线时，则MC与NA的中点重合，如图4，
∴，
解得：，
∴N（1，6）；
综上所述，点N的坐标为（1，3）或（1，﹣3）或（1，6）．
16． (2023•开州区模拟）如图1，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线BD∥直线AC，交抛物线y于另一点D，点P为直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求线段AB的长．
（2）过点P作PF∥y轴交AC于点Q，交直线BD于点F，过点P作PE⊥AC于点E，求2PE+3PF的最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线y＝向右平移3个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
【分析】（1）令＝0，即可求解；
（2）求出直线AC、BD的解析式，设点P（t，﹣t2﹣t+），则Q（t，t+），F（t，t﹣），利用∠QPE＝30°，将所求转化为2PE+3PF＝3PQ+3PF再求解即可；
（3）求出平移后的抛物线解析式，设M（m，﹣m2+m），N（﹣1，n），分三种情况①当AB为平行四边形的对角线；②当AM为平行四边形的对角线；③当AN为平行四边形的对角线；利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求解即可．
【解析】（1）令＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4；
（2）∵y＝，
∴C（0，），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
∵AC∥BD，
∴直线BD的解析式为y＝x﹣，
设点P（t，﹣t2﹣t+），则Q（t，t+），F（t，t﹣），
∵点P为直线AC上方，
∴PQ＝﹣t2﹣t+﹣t﹣＝﹣t2﹣t，
PF＝﹣t2﹣t+﹣t+＝﹣t2﹣t+，
∵OA＝3，OC＝，
∴∠CAO＝30°，
∵PE⊥AC，PF⊥AO，
∴∠QPE＝30°，
∴PE＝PQ，
∴2PE+3PF
＝3PQ+3PF
＝3（﹣t2﹣t﹣t2﹣t+）
＝3（﹣t2﹣2t+）
＝﹣2t2﹣6t+4
＝﹣2（t+）2+，
∴当t＝﹣时，2PE+3PF有最大值，
此时P（﹣，）；
（3）∵y＝＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线向右平移3个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+，
设M（m，﹣m2+m），N（﹣1，n），
①当AB为平行四边形的对角线时，
﹣3+1＝m﹣1，0＝n﹣m2+m，
∴m＝﹣1，n＝，
∴N（﹣1，），M（﹣1，）；
②当AM为平行四边形的对角线时，
﹣3+m＝1﹣1，﹣m2+m＝n，
∴m＝3，n＝，
∴M（3，），N（﹣1，）；
③当AN为平行四边形的对角线时，
﹣3﹣1＝1+m，﹣m2+m＝n，
∴m＝﹣5，n＝﹣15，
∴M（﹣5，﹣15），N（﹣1，﹣15）；
综上所述：N点坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣15）．
17． (2023•凤翔县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过A（﹣1，0），C（0，﹣2）两点，将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，平移后点A的对应点为点B．
（1）求抛物线C1与C2的函数表达式；
（2）若点M是抛物线C1上一动点，点N是抛物线C2上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A点、C点代入y＝x2+bx+c可求抛物线C1的函数表达式，再由平移的性质可求抛物线C2的函数表达式；
（2）在中，令y＝4，可求M1（﹣2，4）或M2（3，4），在中，令y＝4，可求N1（0，4）或N2（5，4）．
【解析】（1）∵y＝x2+bx+c的图象经过C（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
将A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣2中，
解得b＝﹣1，
∴抛物线C1的函数表达式为，
∵将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，
∴抛物线C2的函数表达式为；
（2）存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形，理由如下：
∵点A（﹣1，0）向右平移2个单位得到点B，
∴B（1，0），
∴AB＝2，
由题意知，以AB为边的平行四边形的面积为8，则MN∥AB，MN＝AB，AB边上的高为4，
∵抛物线的顶点为，而，
∴在x轴下方不存在满足条件的点M、N；
在中，令y＝4，即x2﹣x﹣2＝4，解得x＝﹣2或x＝3，
∴M1（﹣2，4）或M2（3，4），
在中，令y＝4，即x2﹣5x+4＝4，解得x＝0或x＝5，
∴N1（0，4）或N2（5，4）．
综上所述，点M、N的坐标分别为M（﹣2，4），N（0，4）或M（3，4），N（5，4）．
18． (2023•碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求线段AB的长度；
（2）将抛物线W平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，与直线BC的一个交点为P，若以A、B、D、P为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求平移后的抛物线表达式．
【分析】（1）在y＝x2﹣2x中，可得A（2，0），在y＝x﹣2中，得B（4，0），即得线段AB的长度是2；
（2）设抛物线W：y＝x2﹣2x平移后表达式为y＝x2+bx+c，D（0，m），P（n，n﹣2），分两种情况：①当AP、BD为平行四边形对角线时，AP、BD的中点重合，可得，即可解得D（0，﹣1），P（2，﹣1），用待定系数法即得此时平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣1；②当AD、BP为对角线时，AD、BP的中点重合，同理可得D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3），再用待定系数法得此时平移后的抛物线表达式为y＝x2+2x﹣3．
【解析】（1）在y＝x2﹣2x中，令y＝0得x2﹣2x＝0，
解得x＝0或x＝2，
∴A（2，0），
在y＝x﹣2中，令y＝0得x﹣2＝0，
解得x＝4，
∴B（4，0），
∴AB＝4﹣2＝2；
答：线段AB的长度是2；
（2）设抛物线W：y＝x2﹣2x平移后表达式为y＝x2+bx+c，由题意知抛物线y＝x2+bx+c过D、P，
设D（0，m），P（n，n﹣2），
又A（2，0），B（4，0），
①当AP、BD为平行四边形对角线时，AP、BD的中点重合，如图：
∴，
解得，
∴D（0，﹣1），P（2，﹣1），
将D（0，﹣1），P（2，﹣1）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴此时平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣1；
②当AD、BP为对角线时，AD、BP的中点重合，如图：
∴，
解得，
∴D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3），
将D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴此时平移后的抛物线表达式为y＝x2+2x﹣3；
综上所述，平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣1或y＝x2+2x﹣3．
19． (2023秋•文昌期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交直线l于点A、C（2，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）利用同底等高三角形的面积相等解答；
（3）设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），进而可得出PE＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（4）存在．如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），可知CK∥x轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可．
【解析】（1）把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）分别代入y＝ax2+bx﹣3，得．
解得．
故该抛物线解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵S△ABD＝S△ABC，C（2，﹣3），
∴AB•|yC|＝AB•|yD|，即|yC|＝|yD|，
∴|yD|＝3，
∴yD＝3或yD＝﹣3．
∴D（0，3）或（0，﹣3）；
（3）由A（﹣1，0）、C（2，﹣3）得到直线AC解析式为y＝﹣x﹣1．
设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PE取最大值，最大值为；
（4）存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1G1的边时，可得G1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CG2的对角线时，AG2＝CK，可得G2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴F3（1﹣，3），F4（1+，3），
由平移的性质可知G3（4﹣，0），G4（4+，0）．
综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．
20． (2023•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．
【解析】（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×5+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣5，0）代入得0＝﹣5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.
解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.
平面直角坐标系中，点 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是.
平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、，则，
.
已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：
【例1】． (2023•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】． (2023•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【例3】． (2023•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
【例4】． (2023•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
1． (2023•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
2． (2023•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．
3． (2023•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．
4． (2023•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）填空：△ABC的形状是 ．
（2）求抛物线的解析式；
（3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标；
（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．
5． (2023•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．
6． (2023•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：
（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．
7． (2023•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
8． (2023•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9． (2023•南昌县一模）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．
（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为 ；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是 ；
（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；
（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：
①求所有定点的坐标；
②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？
10． (2023•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（﹣1，0），连接BC，OB＝2OC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；
（3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．
11． (2023•平桂区 二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与直线y＝﹣x+3交于点B、C（0，n）．
（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求该抛物线的表达式；
（3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．
12． (2023•龙岗区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+4（m是常数），当m＝1时，记二次函数的图象为C1；m≠1时，记二次函数的图象为C2．如图1，图象C1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；如图2，图象C2与x轴交于D、E两点（点D在点E的左侧）．
（1）请直接写出点A、B、C的坐标；
（2）当点O、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m＝ ；
（3）如图3，C2与C1交于点P，当以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
13． (2023•康巴什一模）如图，抛物线y＝﹣x2+6x﹣5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y＝x﹣5．
（1）写出相应点的坐标：A ，B ，C ；
（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值．
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
14． (2023•武城县模拟）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；
（3）设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
15． (2023•沙坪坝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且过点（2，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于D，过点P作PE∥x轴，交直线BC于E，求PE+DB的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线y′上一点，点N为原抛物线对称轴上一点，当以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标，并写出求其中一个N点坐标的解答过程．
16． (2023•开州区模拟）如图1，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线BD∥直线AC，交抛物线y于另一点D，点P为直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求线段AB的长．
（2）过点P作PF∥y轴交AC于点Q，交直线BD于点F，过点P作PE⊥AC于点E，求2PE+3PF的最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线y＝向右平移3个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
17． (2023•凤翔县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过A（﹣1，0），C（0，﹣2）两点，将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，平移后点A的对应点为点B．
（1）求抛物线C1与C2的函数表达式；
（2）若点M是抛物线C1上一动点，点N是抛物线C2上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
18． (2023•碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求线段AB的长度；
（2）将抛物线W平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，与直线BC的一个交点为P，若以A、B、D、P为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求平移后的抛物线表达式．
19． (2023秋•文昌期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交直线l于点A、C（2，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
20． (2023•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题6 二次函数与平行四边形存在性问题
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.
解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.
平面直角坐标系中，点 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是.
平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、，
则，.
已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：
【例1】 (2023•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；
（2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；
（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．
【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如图1，
连接OP，
设点P（m，﹣2m﹣6），
∴S△POC＝xP＝＝3m，
S△BOP＝|yP|＝+2m+6），
∵S△BOC＝＝18，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18
＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
方法二：如图2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，
∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
（3）如图3，
当▱ACFE时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，
∴F1点的坐标：（4，﹣6），
如图4，
当▱ACEF时，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），
综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．
【例2】． (2023•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式；
（2）先根据（1）中抛物线的表达式求出点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论；
（3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1），
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0）．
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．
设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，
令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，
∵该抛物线与直线BC始终有交点，
∴Δ＝9﹣4h≥0，
∴h≤．
∴h的最大值为．
（3）存在，理由如下：
由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2，
∴E（2，﹣1），
∴DE＝2，
设点M（m，﹣m2+4m﹣3），
若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：
①当DE为边时，DE∥MN，
则N（m，m﹣3），
∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，
∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．
∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．
②当DE为对角线时，
设点N的坐标为t，
则N（t，t﹣3），
∴，
解得m或（舍），
∴N（3，0）．
综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．
【例3】 (2023•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；
（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；
（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．
【解答】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，
∴D（﹣1，4），
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AD2＝20，
∵C（0，3），
∴CD2＝2，AC2＝18，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠DAC＝∠BCO；
（3）解：如图，
作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，
∴DE∥FD1，
∴△DEC∽△D1FC，
∴＝，
∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，
∴D1（2，1），
∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
同理可得：，
∴，
∴OM＝3，
∴M（3，0），
设P（2，m），
当▱MNQP时，
∴MN∥PQ，PQ＝MN，
∴Q点的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q（﹣1，8），
当▱MNPQ时，
同理可得：点Q横坐标为：5，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q′（5，﹣8），
综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
【例4】 (2023•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①方法一：求出直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，求出x的值，则可得出答案；
方法二：求出OD＝3，证明△DEO∽△CEB，由相似三角形的性质得出，设OE＝x，则BE＝3﹣x，列出方程求出x的值，则可得出答案；
②分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可．
【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，
，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴直线MN的解析式为y＝x，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
把x＝1代入y＝x，得y＝1，
∴D（1，1），
方法一：
设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，
将C（0，﹣3），D（1，1）代 入得，
，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，
当y＝0时，4x﹣3＝0，
∴x＝，
∴E（，0），
∴OE＝．
方法二：
由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，
∵BC∥MN，
∴△DEO∽△CEB，
∴，
设OE＝x，则BE＝3﹣x，
∴，
解得x＝，
∴OE＝．
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，
由BC∥FD可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），
由点D在直线MN上，设D（t，t），
如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），
∵BC∥MN，
∴∠OBC＝∠DOB，
∵GD∥x轴，
∴∠GDF＝∠DOB，
∴∠OBC＝∠GDF，
又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，
∴△DGF≌△BOC（AAS），
∴GD＝OB，GF＝OC，
∵GD＝t﹣1，OB＝3，
∴t﹣1＝3，
∴t＝4，
∴D（4，4），
如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，
同理可证△DKF≌△COB（AAS），
∴KD＝OC，
∵KD＝1﹣t，OC＝3，
∴1﹣t＝3，
∴t＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣2）；
（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，
由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，
如图，四边形BFCD为平行四边形，
设D（t，t），F（1，n），
同理可证△DHC≌△BPF（AAS），
∴DH＝BP，HC＝PF，
∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，
∴，
∴，
∴D（2，2），F（1，﹣5），
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；
当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．
1． (2023•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
【分析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5计算出a，b的值即可；
（2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP，利用二次函数求最值；
（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），从而有NF＝|﹣m2+5m|＝4，解方程即可求出N的横坐标．
【解析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5得：
，
解得，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5，
（2）作ED⊥x轴于D，
由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝45°，
∴ED＝sin45°×2t＝，
∴S△BEP＝＝﹣，
当t＝﹣ 时，S△BEP最大为2．
∴当t＝2时，S△BEP最大为2．
（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，
则NF＝AE＝4，
设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），
∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，
∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，
∴m1＝1（舍），m2＝4，或m3＝，m4＝，
∴点N的横坐标为：4或或．
2． (2023•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．
【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求函数解析式；
（2）先求出BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），由面积S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB，可得PN＝﹣（m﹣2）2+，所以当m＝2时，PN有最大值，P（2，）；
（3）由抛物线沿着射线CB的方向平移，可设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，再由新抛物线y'过原点，可求t＝2，则可求新的抛物线解析式为y'＝﹣x2+x，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，求出D（3，2），由点E在y'上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y'上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：①当AE与DF为平行四边形的对角线时，﹣3+＝n+3，得F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，﹣3+n＝3+，得F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，﹣3+3＝n+，得F（﹣，﹣）．
【解析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
将点B与点C代入可得，，
解得，
∴y＝﹣x+4，
∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴，
∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），
∴S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB，
∵B（4，0），C（0，4），
∴BC＝8，
∴8PN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）×4，
∴PN＝﹣（m﹣2）2+，
∴当m＝2时，PN有最大值，
∴P（2，）；
（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣+，
∵抛物线沿着射线CB的方向平移，
设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，
平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，
∵新抛物线y'过原点，
∴0＝﹣+﹣t，
解得t＝2或t＝﹣6（舍），
∴y'＝﹣+＝﹣x2+x，
∵点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，
联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，
∴x＝3，
∴D（3，2），
∵y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x＝，
∴E点的横坐标为，
∵点F为新抛物线y'上一动点，
设F点横坐标为n，
①当AE与DF为平行四边形的对角线时，
∴﹣3+＝n+3，
∴n＝﹣，
∴F（﹣，﹣）；
②当AF与ED为平行四边形对角线时，
∴﹣3+n＝3+，
∴n＝，
∴F（，﹣）；
③当AD与EF为平行四边形对角线时，
∴﹣3+3＝n+，
∴n＝﹣，
∴F（﹣，﹣）；
综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，﹣）．
3． (2023•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出a，b的值，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点D的坐标；
（2）先求出B，C的坐标，再设E，F的坐标，根据平移的特点列出关系式，求出h的值．
【解析】（1）将（1，﹣3），（﹣4，12）代入y＝ax2+bx+b﹣a，
得，
解得，
∴，
∴抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为．
（2）存在．
∵，
当x＝0时，y＝﹣2，
当y＝0时，，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴C（0，﹣2），B（4，0），
设，，
当四边形BCFE是平行四边形时，
可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，
则
②﹣③得m+n＝2h﹣1④，
（①+④）÷2得⑤，
（④﹣①）÷2得⑥，
将⑤，⑥代入③得h＝±，
当四边形BCEF是平行四边形时，
可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，
则
②﹣③得m+n＝2h﹣1④，
（①+④）÷2得⑤，
（④﹣①）÷2得⑥，
将⑤，⑥代入③得h＝或，
当h＝时，m＝h+＝+＝8，n＝h﹣＝﹣＝4，
∴E（4，0），F（8，2），
此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；
综上，h的值为或±．
4． (2023•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）填空：△ABC的形状是 直角三角形 ．
（2）求抛物线的解析式；
（3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标；
（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．
【分析】（1）由tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，即可求解；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）当△PCD的面积最大时，若直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，进而求解；
（4）当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），进而求解；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3+3，即可求解．
【解析】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，OC＝3，
则tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，
同理可得，∠BCO＝60°，
故△ABC为直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（2）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3①；
（3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
则设直线l∥BC，则设直线l的表达式为：y＝﹣x+c②，
当△PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，
联立①②并整理得：﹣x2+x+3﹣c＝0③，
则△＝（）2﹣4×（﹣）（3﹣c）＝0，
解得：c＝，
将c的值代入③式并解得x＝，
故点P的坐标为（，）；
（4）由抛物线的表达式知，点E的坐标为（，4），
∵直线BC的表达式为y＝﹣x+3，故点D（，2），
设点M的坐标为（m，﹣m+3），点N的坐标为（n，﹣n2+n+3），
①当ED是边时，
点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），
则m＝n且﹣m+3±2＝﹣n2+n+3，
解得：m＝（舍去）或2或；
②当ED为对角线时，
由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3﹣m+3，
解得m＝（舍去）或0，
综上，m＝0或2或或，
故点M的坐标为（0，3）或（2，1）或（，）或（，）．
5． (2023•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）因为抛物线经过点（2，﹣3a），代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x＝1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b；
（2）先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P（2，﹣3），将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求；
（3）利用y＝﹣x+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得△DOB是等腰直角三角形，同理可以证得△BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得∠AEF＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形．
【解析】（1）∵抛物线经过点（2，﹣3a），
∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，
又因为抛物线对称为x＝1，
∴②，
联立①②，解得，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线MC为y＝kx﹣3，
代入点M得k＝﹣1，
∴直线MC为y＝﹣x﹣3，
令y＝0，则x＝﹣3，
∴N（﹣3，0），
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
过C作CP∥AN，使CP＝AN，
则四边形ANCP为平行四边形，
∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴P（2，﹣3），
∵P的坐标满足抛物线解析式，
∴P（2，﹣3）在抛物线上，
即P（2，﹣3）；
（3）如图2，令x＝0，则y＝﹣x+3＝3，
∴D（0，3），
∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，
∴∠DBO＝45°，
同理，∠ABC＝45°，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠AEF＝∠ABC＝45°，
∠AFE＝∠DBO＝45°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
6． (2023•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：
（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．
【分析】（1）第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可．
（2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值．
（3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点．
【解析】（1）∵抛物线解析式为y＝ax2+bx+3，
令x＝0得y＝3，
∴点C坐标为（0，3），
∵OG﹣OB＝3，
∴B坐标为（3，0），
∵tan∠CAO＝3，
∴＝3，
∴OA＝1，
∴点A坐标为（﹣1，0），
∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），
＝﹣（x2﹣2x﹣3）
＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）∵Q为线段PB中点，
∴S△CPQ＝S△CPB，
当S△CPB面积最大时，△CPQ面积最大．
设P坐标（a，﹣a2+2a+3），
过点P作PH∥y轴交BC于点H，
H坐标为（a，﹣a+3），
∴PH＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）
＝﹣a2+2a+3+a﹣3
＝﹣a2+3a，
S△CPB＝•PH•（xB﹣xC）
＝•PH•3
＝PH＝（﹣a2+3a）
＝﹣（a2﹣3a+﹣）
＝﹣（a﹣）2+，
当a＝时，即P坐标为（，）时，
最大S△CPQ＝S△CPB＝，
∴P坐标为（，）；
（3）沿CB方向平移2个单位，
即向右2个单位，向下2个单位，
∴新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2，
M坐标为（3，2）C坐标为（0，3），
点N坐标设为（n，0），
∵＝，
∴＝，
∴yD＝1，
则1＝﹣（x﹣3）2+2
﹣1＝﹣（x﹣3）2，
（x﹣3）2＝1，
x﹣3＝±1，
∴x＝4或2，
∴xD＝4或xD＝2，
＝⇒＝，
∴xN＝7，
或＝，
∴xN＝5，
∴N坐标为（7，0）或（5，0），
或＝⇒＝，
得yD＝﹣1，
则﹣1＝﹣（x﹣3）2+2，
（x﹣3）2＝3，
x＝±+3，
∴xD＝3﹣或xD＝3+，
即xN＝﹣或，
N坐标为（﹣，0）或（，0）．
7． (2023•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；
（2）由OA＝OB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，
过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而求得P坐标，②当S△COP：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标；
（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．
【解析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，
对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2，
∴顶点M的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵OA＝OB，
∴OB＝4，B（0，4），
设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入得：
，解得，
∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4，
Rt△AOB中，AB＝＝4，
∴sin∠ABO＝＝＝，
过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：
①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：
∵S△AOP：S△COP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝1：3，
∴PQ：CH＝1：3，
而C（2，6），即CH＝6，
∴PQ＝2，即yP＝2，
在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，
∴x＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：
∵S△COP：S△AOP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝2：3，
∴PQ：CH＝2：3，
∵CH＝6，
∴PQ＝4，即yP＝4，
在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，
∴x＝0，
∴P（0，4）；
综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（﹣2，2）或（0，4）；
（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：
①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，
∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6），
∴AN的中点为（，），OC中点为（，），
∴，解得，
∴N（6，6），
②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：
解得，
∴N（﹣2，6），
③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，
解得，
∴N（﹣6，﹣6），
综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．
8． (2023•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A，B坐标代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法可求；
（2）求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP＝FE•OB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；
（3）分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，①过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，通过说明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，点M坐标可求；
②利用①中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标．
【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得：
．
解得：．
∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设直线l的解析式为y＝kx+n，
将B（3，0），D（0，3）代入上式得：
．
解得：．
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．
∵点P（m，0），EF⊥x轴，
∴E点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点F的坐标为（m，﹣m+3）．
∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6．
∵B（3，0），
∴OB＝3．
∵S四边形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP×EF＝FE•OB，
∴＝﹣．
∵＜0，
∴当m＝时，S四边形CEBF有最大值＝．
即：当m＝时，四边形CEBF面积的最大值为．
（3）存在．
①当点M在直线BD的下方时，如图，
令x＝0，则y＝﹣3．
∴C（0，﹣3）．
∴OC＝3．
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1．
过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G，
∵四边形ACMN为平行四边形，
∴AC∥MN，AC＝MN．
∵NF⊥ME，ME⊥OE，
∴NF∥OE．
∴∠ACO＝∠MNF．
在△AOC和△MFN中，
．
∴△AOC≌△MFN（AAS）．
∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．
设M（h，h2﹣2h﹣3），则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3．
∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．
∴N（h﹣1，﹣h+4）．
∴NG＝﹣h+4，
∵NG+GF＝NF＝3，
∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3．
解得：h＝（负数不合题意，舍去）．
∴h＝．
∴M（）．
②当点M在直线BD的上方时，如图，
过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G，
由①知：△MNF≌△CAO（AAS），可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．
设M（h，h2﹣2h﹣3），则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．
∴NE＝EF+NF＝h+1．
∴N（h+1，﹣h+2）．
∴GF＝OE＝h﹣2．
∵MG+GF＝MF＝3，
∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3．
解得：h＝（负数不合题意，舍去）．
∴h＝．
∴M（）．
综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为（）或（）．
9． (2023•南昌县一模）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．
（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为 （﹣1，﹣4m+1） ；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ；
（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；
（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：
①求所有定点的坐标；
②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？
【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；
（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可证四边形AMDN是矩形；
（3）根据菱形的性质可得EH1＝EF＝4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．
【解析】（1）x＝﹣＝﹣1，顶点坐标M为（﹣1，﹣4m+1），
由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大．
故答案为：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3
（2）结论：四边形AMDN是矩形．
由二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）解析式可得：
A点坐标为（，0），D点坐标为（，0），顶点M坐标为（﹣1，﹣4m+1），顶点N坐标为（3，4m﹣1），
∴AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），
∴AD与MN互相平分，
∴四边形AMDN是平行四边形，
又∵AD＝MN，
∴▱AMDN是矩形．
（3）
①∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，
故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，
∵二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，
故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，
②∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，
如图：四个定点分别为E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），则组成四边形EFGH为平行四边形，
设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，
由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．
解得：x＝，
抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2向左平移或．
10． (2023•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（﹣1，0），连接BC，OB＝2OC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；
（3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．
【分析】（1）求出B、C点坐标，将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；
（2）先求出BC的解析式，设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），PQ＝﹣t2+3t，由PQ∥CO，可得∠HQP＝∠OCB，利用直角三角形三角函数求出HP＝＝PQ，HQ＝PQ，则△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；
（3）求出平移后的函数解析式为y'＝x2+x﹣5，则D（﹣3，﹣5），设M（m，＝m2+m﹣5），E（x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），分三种情况讨论：①以EF为平行四边形的对角线时，M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，求得M（﹣6，4）．
【解析】（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵OB＝2OC，
∴OB＝6，
∴B（6，0），
将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝x﹣3，
∴设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），
∴PQ＝﹣t2+3t，
∵CO＝3，BO＝6，
∴BC＝3，
在Rt△ABC中，sin∠BCO＝，cs∠BCO＝，
∵PQ∥CO，
∴∠HQP＝∠OCB，
∴sin∠HQP＝＝，cs∠HQP＝＝，
∴HP＝PQ，HQ＝PQ，
∴△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）（﹣t2+3t）＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，
∵点P是直线BC下方，
∴0＜t＜6，
∴当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，
此时P（3，﹣6）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，
∴平移后的函数解析式为y'＝（x+）2﹣＝x2+x﹣5，
∴D（﹣3，﹣5），
设M（m，﹣m2+m﹣5），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣3x﹣3，
设E（x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），
①以EF为平行四边形的对角线时，
．
解得m＝或m＝，
∴M（，）或（，）；
②以EM为平行四边形的对角线时，
，
解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，
∴M（﹣6，4）；
③以ED为平行四边形的对角线时，
，
解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，
∴M（﹣6，4）；
综上所述：M点坐标为（，）或（，）或（﹣6，4）．
11． (2023•平桂区 二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与直线y＝﹣x+3交于点B、C（0，n）．
（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求该抛物线的表达式；
（3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．
【分析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得n＝3，即知C（0，3），根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，得抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；
（2）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）由P（1，t），B（3，0）可知C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），分两种情况：①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，可得，P（1，﹣2）；②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，，得P（1，﹣8）．
【解析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得：
n＝3，
∴C（0，3），
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，
答：C（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；
（2）把A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）∵点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t，
∴P（1，t），
∵平移BC使点B与P重合，B（3，0），
∴C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），
设Q（m，﹣m2+2m+3），
①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，如图：
∴，
解得，
∴P（1，﹣2）；
②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，如图：
∴，
解得，
∴P（1，﹣8），
综上所述，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，P的坐标为（1，﹣2）或（1，﹣8）．
12． (2023•龙岗区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+4（m是常数），当m＝1时，记二次函数的图象为C1；m≠1时，记二次函数的图象为C2．如图1，图象C1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；如图2，图象C2与x轴交于D、E两点（点D在点E的左侧）．
（1）请直接写出点A、B、C的坐标；
（2）当点O、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m＝ 0或6或﹣6 ；
（3）如图3，C2与C1交于点P，当以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
【分析】（1）分别令x＝0，y＝0即可求解；
（2）求出D、E的坐标，再分三种情况讨论：①当O为中点时，m＝0；②当D为中点时，m＝6；③当E为中点时，m＝﹣6；
（3）求出P点的横坐标为，再分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，﹣1＝m﹣2+，3＝，此时无解；②当AD为平行四边形的对角线时，﹣1+m﹣2＝，0＝3+，此时无解；③当AP为平行四边形的对角线时，﹣1+＝m﹣2，＝3，解得m＝3．
【解析】（1）当m＝1时，y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0则y＝3，
∴C（0，3）；
（2）令﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，
解得x＝m﹣2或x＝m+2，
∴D（m﹣2，0），E（m+2，0），
①当O为中点时，m﹣2+m+2＝0，
∴m＝0；
②当D为中点时，2（m﹣2）＝m+2，
解得m＝6；
③当E为中点时，2（m+2）＝m﹣2，
解得m＝﹣6；
综上所述：m的值为0或6或﹣6，
故答案为：0或6或﹣6；
（3）联立方程组，A（﹣1，0），C（0，3）；D（m﹣2，0），
解得x＝，
∴P点的横坐标为，
∴P（，），
①当AC为平行四边形的对角线时，﹣1＝m﹣2+，3＝，
此时m无解；
②当AD为平行四边形的对角线时，﹣1+m﹣2＝，0＝3+，
此时无解；
③当AP为平行四边形的对角线时，﹣1+＝m﹣2，＝3，
解得m＝3；
综上所述：m的值为3．
13． (2023•康巴什一模）如图，抛物线y＝﹣x2+6x﹣5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y＝x﹣5．
（1）写出相应点的坐标：A （1，0） ，B （5，0） ，C （0，﹣5） ；
（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值．
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
【分析】（1）分别令y＝0和x＝0进行求解即可；
（2）根据题意分别求出P点坐标为（1+t，0），E点坐标为（3﹣t，﹣t），则S△PBE＝×（4﹣t）×（t）＝﹣（t﹣2）2+2，可求当t＝2时，△PBE的面积最大为2；
（3）过点M作ME⊥x轴交于点E，由∠OBC＝45°，求出M（3，﹣2），再由待定系数法求直线AM的解析式为y＝﹣x+1，设N（m，﹣m2+6m﹣5），求出直线NQ的解析式为y＝﹣x﹣m2+7m﹣5，联立方程组，可求Q（，﹣5），分三种情况讨论：①当AM为平行四边形的对角线时，1+3＝m+，此时不构成平行四边形；②当AN为平行四边形的对角线时，1+m＝3+，解得m＝；③当AQ为平行四边形的对角线时，1+＝3+m，解得m＝1（舍）或m＝4．
【解析】（1）令﹣x2+6x﹣5＝0，
解得x＝1或x＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
令x＝0，则y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
故答案为：（1，0），（5，0），（0，﹣5）；
（2）由题意可知0≤t≤4，
∵P点以每秒1个单位的速度向B运动，
∴P点坐标为（1+t，0），
∵OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝45°，
∵E点以每秒2个单位的速度向C运动，
∴E点坐标为（3﹣t，﹣t），
∴S△PBE＝×（4﹣t）×（t）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∴当t＝2时，△PBE的面积最大为2；
（3）∵∠ABC＝45°，AM⊥BC，AB＝4，
∴AM＝2，
过点M作ME⊥x轴交于点E，
∵∠BAM＝45°，
∴M（3，﹣2），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1，
∵AM∥NQ，
∴直线NQ的解析式为y＝﹣x+b'，
设N（m，﹣m2+6m﹣5），
∴b'＝﹣m2+7m﹣5，
∴y＝﹣x﹣m2+7m﹣5，
联立方程组，
解得，
∴Q（，﹣5），
①当AM为平行四边形的对角线时，
1+3＝m+，
解得m＝1（舍）或m＝8，
此时MA的中点为（2，﹣1），NQ的中点为（2，﹣8），
∴此时不构成平行四边形；
②当AN为平行四边形的对角线时，
1+m＝3+，
解得m＝；
③当AQ为平行四边形的对角线时，
1+＝3+m，
解得m＝1（舍）或m＝4；
综上所述：N点的横坐标为4或．
14． (2023•武城县模拟）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；
（3）设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）先确定出点B，C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先设出点P的坐标，进而得出点D，E的坐标，即可得出PD+PE的函数关系式，即可得出结论；
（3）分AB为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论．
【解析】（1）∵直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，
∴B（2，0）、C（0，1），
∵B、C在抛物线解y＝x2+bx+c上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1；
（2）设P（m，m2﹣m+1），
∵PD∥x轴，PE∥y轴，点D，E都在直线y＝﹣x+1上，
∴E（m，﹣m+1），D（﹣2m2+5m，m2﹣m+1），
∴PD+PE＝﹣2m2+5m﹣m+[（﹣m+1）﹣（m2﹣m+1）]
＝﹣3m2+6m
＝﹣3（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，PD+PE的最大值是3；
（3）能，理由如下：
由y＝x2﹣x+1，令0＝x2﹣x+1，
解得：x＝2或x＝，
∴A（，0），B（2，0），
∴AB＝，
若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，
①当以AB为边时，则AB∥PF1且AB＝PF1，
设P（a，a2﹣a+1），则F1（﹣2a2+5a，a2﹣a+1），
∴|﹣2a2+5a﹣a|＝，
解得：a＝或a＝（与A重合，舍去）或a＝（舍）或a＝（舍去），
∴F1（3，﹣）；
②当以AB为对角线时，
连接PF2交AB于点G，则AG＝BG，PG＝F2G，
设G（m，0），
∵A（，0），B（2，0），
∴m﹣＝2﹣m，
∴m＝，
∴G（，0），
作PM⊥AB于点M，F2N⊥AB于点N，则NG＝MG，PM＝FN，
设P（b，b2﹣b+1）（0＜b＜2），则F2（2b2﹣5b+4，﹣b2+b﹣1），
∴﹣b＝2b2﹣5b+4﹣，
解得：b＝或b＝（与A重合，舍去），
∴F2（1，），
综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形．
此时点F的坐标为F（3，﹣）或F（1，）．
15． (2023•沙坪坝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且过点（2，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于D，过点P作PE∥x轴，交直线BC于E，求PE+DB的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线y′上一点，点N为原抛物线对称轴上一点，当以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标，并写出求其中一个N点坐标的解答过程．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）先求得B（4，0），C（0，3），再运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜4），延长PD交x轴于点F，则D（m，﹣m+3），F（m，0），E（m2﹣m，﹣m2+m+3），进而可得：PE＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，BF＝4﹣m，再利用勾股定理和三角函数定义可得PE+DB＝（m﹣）2+，根据二次函数的性质即可求得答案；
（3）由平移得新抛物线y′＝﹣x2+，设M（t，﹣t2+），N（1，n），分三种情况：①以MN、AC为对角线时，②以MA、NC为对角线时，③以MC、NA为对角线时，分别运用平行四边形对角线互相平分的性质，建立方程求解即可得出答案．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣2，0）和点（2，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）∵y＝﹣x2+x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜4），延长PD交x轴于点F，如图1，
∵PD∥y轴，
∴D（m，﹣m+3），F（m，0），
∵PE∥x轴，
∴点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，
∴﹣m2+m+3＝﹣x+3，
∴x＝m2﹣m，
∴E（m2﹣m，﹣m2+m+3），
∴PE＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，BF＝4﹣m，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∴cs∠CBO＝＝，
∵＝cs∠CBO＝，
∴DB＝BF＝（4﹣m），
∴PE+DB＝﹣m2+2m+（4﹣m）＝（m﹣）2+，
∵＜0，
∴当m＝时，PE+DB的最大值为，此时P（，）；
（3）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝1，顶点为（1，），
将抛物线y＝﹣x2+x+3沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′＝﹣x2+，
设M（t，﹣t2+），N（1，n），又A（﹣2，0），C（0，3），
①以MN、AC为对角线时，则MN与AC的中点重合，如图2，
∴，
解得：，
∴N（1，3）；
②以MA、NC为对角线时，则MA与NC的中点重合，如图3，
∴，
解得：，
∴N（1，﹣3）；
③以MC、NA为对角线时，则MC与NA的中点重合，如图4，
∴，
解得：，
∴N（1，6）；
综上所述，点N的坐标为（1，3）或（1，﹣3）或（1，6）．
16． (2023•开州区模拟）如图1，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线BD∥直线AC，交抛物线y于另一点D，点P为直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求线段AB的长．
（2）过点P作PF∥y轴交AC于点Q，交直线BD于点F，过点P作PE⊥AC于点E，求2PE+3PF的最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线y＝向右平移3个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
【分析】（1）令＝0，即可求解；
（2）求出直线AC、BD的解析式，设点P（t，﹣t2﹣t+），则Q（t，t+），F（t，t﹣），利用∠QPE＝30°，将所求转化为2PE+3PF＝3PQ+3PF再求解即可；
（3）求出平移后的抛物线解析式，设M（m，﹣m2+m），N（﹣1，n），分三种情况①当AB为平行四边形的对角线；②当AM为平行四边形的对角线；③当AN为平行四边形的对角线；利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求解即可．
【解析】（1）令＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4；
（2）∵y＝，
∴C（0，），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
∵AC∥BD，
∴直线BD的解析式为y＝x﹣，
设点P（t，﹣t2﹣t+），则Q（t，t+），F（t，t﹣），
∵点P为直线AC上方，
∴PQ＝﹣t2﹣t+﹣t﹣＝﹣t2﹣t，
PF＝﹣t2﹣t+﹣t+＝﹣t2﹣t+，
∵OA＝3，OC＝，
∴∠CAO＝30°，
∵PE⊥AC，PF⊥AO，
∴∠QPE＝30°，
∴PE＝PQ，
∴2PE+3PF
＝3PQ+3PF
＝3（﹣t2﹣t﹣t2﹣t+）
＝3（﹣t2﹣2t+）
＝﹣2t2﹣6t+4
＝﹣2（t+）2+，
∴当t＝﹣时，2PE+3PF有最大值，
此时P（﹣，）；
（3）∵y＝＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线向右平移3个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+，
设M（m，﹣m2+m），N（﹣1，n），
①当AB为平行四边形的对角线时，
﹣3+1＝m﹣1，0＝n﹣m2+m，
∴m＝﹣1，n＝，
∴N（﹣1，），M（﹣1，）；
②当AM为平行四边形的对角线时，
﹣3+m＝1﹣1，﹣m2+m＝n，
∴m＝3，n＝，
∴M（3，），N（﹣1，）；
③当AN为平行四边形的对角线时，
﹣3﹣1＝1+m，﹣m2+m＝n，
∴m＝﹣5，n＝﹣15，
∴M（﹣5，﹣15），N（﹣1，﹣15）；
综上所述：N点坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣15）．
17． (2023•凤翔县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过A（﹣1，0），C（0，﹣2）两点，将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，平移后点A的对应点为点B．
（1）求抛物线C1与C2的函数表达式；
（2）若点M是抛物线C1上一动点，点N是抛物线C2上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A点、C点代入y＝x2+bx+c可求抛物线C1的函数表达式，再由平移的性质可求抛物线C2的函数表达式；
（2）在中，令y＝4，可求M1（﹣2，4）或M2（3，4），在中，令y＝4，可求N1（0，4）或N2（5，4）．
【解析】（1）∵y＝x2+bx+c的图象经过C（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
将A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣2中，
解得b＝﹣1，
∴抛物线C1的函数表达式为，
∵将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，
∴抛物线C2的函数表达式为；
（2）存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形，理由如下：
∵点A（﹣1，0）向右平移2个单位得到点B，
∴B（1，0），
∴AB＝2，
由题意知，以AB为边的平行四边形的面积为8，则MN∥AB，MN＝AB，AB边上的高为4，
∵抛物线的顶点为，而，
∴在x轴下方不存在满足条件的点M、N；
在中，令y＝4，即x2﹣x﹣2＝4，解得x＝﹣2或x＝3，
∴M1（﹣2，4）或M2（3，4），
在中，令y＝4，即x2﹣5x+4＝4，解得x＝0或x＝5，
∴N1（0，4）或N2（5，4）．
综上所述，点M、N的坐标分别为M（﹣2，4），N（0，4）或M（3，4），N（5，4）．
18． (2023•碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求线段AB的长度；
（2）将抛物线W平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，与直线BC的一个交点为P，若以A、B、D、P为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求平移后的抛物线表达式．
【分析】（1）在y＝x2﹣2x中，可得A（2，0），在y＝x﹣2中，得B（4，0），即得线段AB的长度是2；
（2）设抛物线W：y＝x2﹣2x平移后表达式为y＝x2+bx+c，D（0，m），P（n，n﹣2），分两种情况：①当AP、BD为平行四边形对角线时，AP、BD的中点重合，可得，即可解得D（0，﹣1），P（2，﹣1），用待定系数法即得此时平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣1；②当AD、BP为对角线时，AD、BP的中点重合，同理可得D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3），再用待定系数法得此时平移后的抛物线表达式为y＝x2+2x﹣3．
【解析】（1）在y＝x2﹣2x中，令y＝0得x2﹣2x＝0，
解得x＝0或x＝2，
∴A（2，0），
在y＝x﹣2中，令y＝0得x﹣2＝0，
解得x＝4，
∴B（4，0），
∴AB＝4﹣2＝2；
答：线段AB的长度是2；
（2）设抛物线W：y＝x2﹣2x平移后表达式为y＝x2+bx+c，由题意知抛物线y＝x2+bx+c过D、P，
设D（0，m），P（n，n﹣2），
又A（2，0），B（4，0），
①当AP、BD为平行四边形对角线时，AP、BD的中点重合，如图：
∴，
解得，
∴D（0，﹣1），P（2，﹣1），
将D（0，﹣1），P（2，﹣1）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴此时平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣1；
②当AD、BP为对角线时，AD、BP的中点重合，如图：
∴，
解得，
∴D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3），
将D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴此时平移后的抛物线表达式为y＝x2+2x﹣3；
综上所述，平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣1或y＝x2+2x﹣3．
19． (2023秋•文昌期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交直线l于点A、C（2，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）利用同底等高三角形的面积相等解答；
（3）设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），进而可得出PE＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（4）存在．如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），可知CK∥x轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可．
【解析】（1）把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）分别代入y＝ax2+bx﹣3，得．
解得．
故该抛物线解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵S△ABD＝S△ABC，C（2，﹣3），
∴AB•|yC|＝AB•|yD|，即|yC|＝|yD|，
∴|yD|＝3，
∴yD＝3或yD＝﹣3．
∴D（0，3）或（0，﹣3）；
（3）由A（﹣1，0）、C（2，﹣3）得到直线AC解析式为y＝﹣x﹣1．
设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PE取最大值，最大值为；
（4）存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1G1的边时，可得G1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CG2的对角线时，AG2＝CK，可得G2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴F3（1﹣，3），F4（1+，3），
由平移的性质可知G3（4﹣，0），G4（4+，0）．
综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．
20． (2023•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．
【解析】（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×5+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣5，0）代入得0＝﹣5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．
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