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2024年中考数学几何模型专项复习讲与练模型13 全等三角形——倍长中线模型-原卷版+解析

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这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练模型13 全等三角形——倍长中线模型-原卷版+解析，共13页。

◎结论：如图，AD为△ABC的中线，则AD＜（AB+AC）

证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.
在△ADC和△EDB中
AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD
∴△CDA≌BDE
∴AC=EB
在△ABE中,由三角形三边关系可得AEBE=AC AE=2AD
2AD< AB+AC
AD＜（AB+AC）
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
有中点，可倍长，倍长之后8字现
间接倍长

1． (2023·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围是（）
A．B．C．D．
2． (2023·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（）
A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8
1． (2023·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）在中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是 ___．
2． (2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．
3． (2023·浙江·杭州市保俶塔实验学校八年级期中）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．
1． (2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）
A．1B．2C．3D．4
2．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．
全等三角形
模型（十三）——倍长中线模型

◎结论：如图，AD为△ABC的中线，则AD＜（AB+AC）

证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.
在△ADC和△EDB中
AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD
∴△CDA≌BDE
∴AC=EB
在△ABE中,由三角形三边关系可得AEBE=AC AE=2AD
2AD< AB+AC
AD＜（AB+AC）
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
有中点，可倍长，倍长之后8字现
间接倍长

1． (2023·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围．
【详解】解：如图，延长至，使，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键．
2． (2023·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（）
A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8
【答案】B
【分析】如图所示，延长AD到E，使，连接CE，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围．
【详解】
如图所示，延长AD到E，使，连接CE，
AD是△ABC中BC边上的中线，
，
在与中，
，
，
，
在中，由三角形三边关系得：
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键．
1． (2023·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）在中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是 ___．
【答案】
【分析】延长到点，使，连接，得出，推出，再根据三角形三边关系定理即可得出答案．
【详解】解：如图，延长到点，使，连接，
是中线，
，
在和中，
，
，
，
∵在中，，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
2． (2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】延长AD至点E，使DE=AD，证明,由全等性质求出相关的线段长度，在中，由，代入数值即可得到答案．
【详解】解：延长AD至点E，使DE=AD，如下图：
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在和中：
∴
∴
∵AD=5
∴AE=10
在中，由得：
即：
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．
3． (2023·浙江·杭州市保俶塔实验学校八年级期中）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．
【答案】4
【分析】延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．
【详解】解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
在Rt△AEF中，∠FAE＝30°，
∴EF＝AF＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．
1． (2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．证△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题．
【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝2，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即2＜2AD＜6，
解得1＜AD＜3，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键．
2．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．
【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析
【分析】（1）由AD是△ABC的中线推出CD＝BD，再用SAS证明即可；
（2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三边关系将已求代入解不等式即可；
（3）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．用SAS证明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三边关系BE+BG＞EG得证．
【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS）
②1＜x＜4，理由如下：
∵△ABD≌△ECD，AB＝5，
∴AB＝EC=5，
∵ED=AD，AD＝x，
∴AE=2x．
由△ACE三边关系得：，
又∵AC＝3，
∴，
解得：1＜x＜4．
故答案是：1＜x＜4．
（2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．

∵D是BC边上的中点，
∴CD＝DB．
在△CDF与△BDG中，
，
∴△CDF≌△BDG（SAS）．
∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，
∴．
在△EDF与△EDG中，
，
∴△EDF≌△EDG．
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键．