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专题一 第3讲 导数的几何意义及函数的单调性--高三高考数学复习-PPT
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这是一份专题一 第3讲 导数的几何意义及函数的单调性--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，考点三，导数的几何意义与计算，单调性的简单应用，专题强化练，故m的最大值为0，1－π1＋π，acb，即acb等内容，欢迎下载使用。
1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填 空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型， 以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属 综合性问题.
利用导数研究函数的单调性
1.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.2.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x＝y′u·u′x.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________________.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.
设切点为A(x0，(x0＋a) )，O为坐标原点，
求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_________，____________.
先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，
利用导数研究函数单调性的步骤(1)求函数y＝f(x)的定义域.(2)求f(x)的导数f′(x).(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间.(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号.
(1)当a＝0时，求f(x)在x＝0处的切线方程；
当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex，f′(x)＝(x－1)ex，f′(0)＝(0－1)e0＝－1，f(0)＝－2，∴切线方程为y－(－2)＝(－1)(x－0)，即x＋y＋2＝0.
(2)讨论函数f(x)的单调性.
∴f′(x)＝(x－1)ex－ax＋a＝(x－1)(ex－a).①当a≤0时，令f′(x)<0，得x<1，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减；令f′(x)>0，得x>1，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增.②当01.∴f(x)在(－∞，ln a)和(1，＋∞)上单调递增.③当a＝e时，f′(x)≥0在R上恒成立，∴f(x)在R上是增函数.④当a>e时，令f′(x)<0，得10，得x>ln a或x<1.∴f(x)在(－∞，1)和(ln a，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a≤0时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0e时，f(x)在(1，ln a)上单调递减，在(－∞，1)和(ln a，＋∞)上单调递增.
(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.
(1)当t＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；
∴f′(1)＝ln 2－1，又f(1)＝ln 2，∴切线方程为y－ln 2＝(ln 2－1)(x－1)，即y＝(ln 2－1)x＋1.
(2)求f(x)的单调区间.
∴f(x)的定义域为(0，t)∪(t，＋∞)，且t>0，
∴当x∈(0，t)时，φ′(x)>0，当x∈(t，＋∞)时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，t)上单调递增，在(t，＋∞)上单调递减，∴φ(x)<φ(t)＝0，∴f′(x)<0，∴f(x)在(0，t)，(t，＋∞)上单调递减.即f(x)的单调递减区间为(0，t)，(t，＋∞)，无单调递增区间.
1.函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立.2.函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解.
(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为A.e2 B.e C.e－1 D.e－2
设g(x)＝xex，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，
(2)(2023·洛阳模拟)已知函数f(x)＝e|x|－x2，若a＝f(ln 4)，b＝ ，c＝f(21.1)，则a，b，c的大小关系为A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a
因为f(－x)＝e|－x|－(－x)2＝e|x|－x2＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，当x≥0时，则f(x)＝ex－x2，可得f′(x)＝ex－2x，构建φ(x)＝f′(x)，则φ′(x)＝ex－2，令φ′(x)<0，解得0≤x＜ln 2；令φ′(x)>0，解得x>ln 2，所以φ(x)在[0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，可得φ(x)≥φ(ln 2)＝2(1－ln 2)>0，即f′(x)>0在[0，＋∞)上恒成立，故f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
且21.1>2>ln 4>0，所以f(21.1)>f(2)>f(ln 4)，即c>b>a.
利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.
(1)(2023·山西统考)若对于∀x1，x2∈(－∞，m)，且x11，则m的最大值是A.2e B.eC.0 D.－1
又x1
因为f(x)＝x2ex＋2x＋1，所以f′(x)＝(x2＋2x)ex＋2，则f′(0)＝2，f(0)＝1，所以f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
2.(2023·齐齐哈尔模拟)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中可能是y＝f(x)图象的是
由y＝xf′(x)的图象知，当x∈(－2，－1)时，xf′(x)<0，故f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；当x∈[0,1)，xf′(x)≤0，故f′(x)≤0，等号仅有可能在x＝0处取得，所以当x∈(－1,1)时，f(x)单调递减；当x∈(1,2)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)单调递增，结合选项只有C符合.
3.已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为 ，则A.a∈(－∞，－3] B.a＝－3C.a＝3 D.a∈(－∞，3]
由f(x)＝ln x＋x2＋ax
设P点坐标为(x0，y0)，
5.(2023·成都模拟)若过原点与曲线f(x)＝x2ex＋ax2－2x相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则a的取值范围是A.(e－2，＋∞) B.(－∞，e－2)C.(0，e－2) D.(0，e－2]
因为f(x)＝x2ex＋ax2－2x，所以f′(x)＝(2x＋x2)ex＋2ax－2，设过原点的切线与曲线f(x)在x＝t(t≠0)处相切，所以切线的斜率
整理得a＝－(t＋1)et，设g(t)＝－(t＋1)et，则g′(t)＝－(t＋2)et，
所以当t<－2时，g′(t)>0，当t>－2时，g′(t)<0，所以g(t)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，所以g(t)max＝g(－2)＝e－2，且当t→－∞时，g(t)→0，当t→＋∞时，g(t)→－∞，所以当0
令g(x)＝f′(x)，
且g′(x)不恒为零，所以函数g(x)在R上为增函数，即函数f′(x)在R上为增函数，故当x>0时，f′(x)>f′(0)＝0，
所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(2a－1)
依题意，f(x)存在垂直于y轴的切线，即存在斜率为0的切线，
∵f′(x)＝2x＋3，∴f′(x)的值域为R，
对于B，∵(x＋1)2>0，∴f(x)的值域为(0，＋∞)，
又(x＋1)3≠0，∴f′(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则(0，＋∞)⊆(－∞，0)∪(0，＋∞)，B满足性质Ω；对于C，∵－x＋1∈R，∴f(x)＝e－x＋1的值域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝－e－x＋1，∴f′(x)的值域为(－∞，0)，则f(x)的值域不是f′(x)的值域的子集，C不满足性质Ω；
对于D，∵1－2x∈R，∴f(x)＝cs(1－2x)的值域为[－1,1]，∵f′(x)＝2sin(1－2x)，∴f′(x)的值域为[－2,2]，则[－1,1]⊆[－2,2]，D满足性质Ω.
三、填空题9.(2023·海南统考)已知函数f(x)＝2f′(3)x－ x2＋ln x，则f(1)＝______.
10.(2023·江苏省八市模拟)过点(－1,0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程_________________________.
2x－y＋2＝0(答案不唯一)
y＝x3－x，y′＝3x2－1，
即(x0＋1)2(2x0－1)＝0，
当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；
∴函数f(x)为偶函数，又f′(x)＝sin x＋xcs x－sin x＋x＝x(cs x＋1)，当x>0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，又函数f(x)为偶函数，
12.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是____________.
由函数的解析式可得f′(x)＝axln a＋(1＋a)xln(1＋a)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，则(1＋a)xln(1＋a)≥－axln a，
而1＋a∈(1,2)，故ln(1＋a)>0，
四、解答题13.(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋aln x(a∈R).(1)若函数在x＝1处的切线与直线x－y－2＝0垂直，求实数a的值；
因为函数在x＝1处的切线与直线x－y－2＝0垂直，则f′(1)＝－1＝2－2＋a，即a＝－1.
(2)当a>0时，讨论函数的单调性.
对于方程2x2－2x＋a＝0，记Δ＝4－8a，
f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
14.(2023·湖北八市联考)设函数f(x)＝ex－(ax－1)ln(ax－1)＋(a＋1)x.(e为自然常数)(1)当a＝1时，求F(x)＝ex－f(x)的单调区间；
当a＝1时，F(x)＝ex－f(x)＝(x－1)ln(x－1)－2x，定义域为(1，＋∞)，F′(x)＝ln(x－1)－1，令F′(x)>0，解得x>e＋1，令F′(x)<0，解得1
故只需g(1)＝e－aln(a－1)＋1≥0，设h(a)＝e－aln(a－1)＋1，其中a>e，
又h(e＋1)＝0，故a≤e＋1.综上所述，实数a的取值范围为(e，e＋1].
1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填 空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型， 以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属 综合性问题.
利用导数研究函数的单调性
1.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.2.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x＝y′u·u′x.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________________.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.
设切点为A(x0，(x0＋a) )，O为坐标原点，
求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_________，____________.
先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，
利用导数研究函数单调性的步骤(1)求函数y＝f(x)的定义域.(2)求f(x)的导数f′(x).(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间.(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号.
(1)当a＝0时，求f(x)在x＝0处的切线方程；
当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex，f′(x)＝(x－1)ex，f′(0)＝(0－1)e0＝－1，f(0)＝－2，∴切线方程为y－(－2)＝(－1)(x－0)，即x＋y＋2＝0.
(2)讨论函数f(x)的单调性.
∴f′(x)＝(x－1)ex－ax＋a＝(x－1)(ex－a).①当a≤0时，令f′(x)<0，得x<1，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减；令f′(x)>0，得x>1，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增.②当0
综上所述，当a≤0时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0
(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.
(1)当t＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；
∴f′(1)＝ln 2－1，又f(1)＝ln 2，∴切线方程为y－ln 2＝(ln 2－1)(x－1)，即y＝(ln 2－1)x＋1.
(2)求f(x)的单调区间.
∴f(x)的定义域为(0，t)∪(t，＋∞)，且t>0，
∴当x∈(0，t)时，φ′(x)>0，当x∈(t，＋∞)时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，t)上单调递增，在(t，＋∞)上单调递减，∴φ(x)<φ(t)＝0，∴f′(x)<0，∴f(x)在(0，t)，(t，＋∞)上单调递减.即f(x)的单调递减区间为(0，t)，(t，＋∞)，无单调递增区间.
1.函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立.2.函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解.
(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为A.e2 B.e C.e－1 D.e－2
设g(x)＝xex，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，
(2)(2023·洛阳模拟)已知函数f(x)＝e|x|－x2，若a＝f(ln 4)，b＝ ，c＝f(21.1)，则a，b，c的大小关系为A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a
因为f(－x)＝e|－x|－(－x)2＝e|x|－x2＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，当x≥0时，则f(x)＝ex－x2，可得f′(x)＝ex－2x，构建φ(x)＝f′(x)，则φ′(x)＝ex－2，令φ′(x)<0，解得0≤x＜ln 2；令φ′(x)>0，解得x>ln 2，所以φ(x)在[0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，可得φ(x)≥φ(ln 2)＝2(1－ln 2)>0，即f′(x)>0在[0，＋∞)上恒成立，故f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
且21.1>2>ln 4>0，所以f(21.1)>f(2)>f(ln 4)，即c>b>a.
利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.
(1)(2023·山西统考)若对于∀x1，x2∈(－∞，m)，且x1
又x1
因为f(x)＝x2ex＋2x＋1，所以f′(x)＝(x2＋2x)ex＋2，则f′(0)＝2，f(0)＝1，所以f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
2.(2023·齐齐哈尔模拟)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中可能是y＝f(x)图象的是
由y＝xf′(x)的图象知，当x∈(－2，－1)时，xf′(x)<0，故f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；当x∈[0,1)，xf′(x)≤0，故f′(x)≤0，等号仅有可能在x＝0处取得，所以当x∈(－1,1)时，f(x)单调递减；当x∈(1,2)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)单调递增，结合选项只有C符合.
3.已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为 ，则A.a∈(－∞，－3] B.a＝－3C.a＝3 D.a∈(－∞，3]
由f(x)＝ln x＋x2＋ax
设P点坐标为(x0，y0)，
5.(2023·成都模拟)若过原点与曲线f(x)＝x2ex＋ax2－2x相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则a的取值范围是A.(e－2，＋∞) B.(－∞，e－2)C.(0，e－2) D.(0，e－2]
因为f(x)＝x2ex＋ax2－2x，所以f′(x)＝(2x＋x2)ex＋2ax－2，设过原点的切线与曲线f(x)在x＝t(t≠0)处相切，所以切线的斜率
整理得a＝－(t＋1)et，设g(t)＝－(t＋1)et，则g′(t)＝－(t＋2)et，
所以当t<－2时，g′(t)>0，当t>－2时，g′(t)<0，所以g(t)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，所以g(t)max＝g(－2)＝e－2，且当t→－∞时，g(t)→0，当t→＋∞时，g(t)→－∞，所以当0
令g(x)＝f′(x)，
且g′(x)不恒为零，所以函数g(x)在R上为增函数，即函数f′(x)在R上为增函数，故当x>0时，f′(x)>f′(0)＝0，
所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(2a－1)
依题意，f(x)存在垂直于y轴的切线，即存在斜率为0的切线，
∵f′(x)＝2x＋3，∴f′(x)的值域为R，
对于B，∵(x＋1)2>0，∴f(x)的值域为(0，＋∞)，
又(x＋1)3≠0，∴f′(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则(0，＋∞)⊆(－∞，0)∪(0，＋∞)，B满足性质Ω；对于C，∵－x＋1∈R，∴f(x)＝e－x＋1的值域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝－e－x＋1，∴f′(x)的值域为(－∞，0)，则f(x)的值域不是f′(x)的值域的子集，C不满足性质Ω；
对于D，∵1－2x∈R，∴f(x)＝cs(1－2x)的值域为[－1,1]，∵f′(x)＝2sin(1－2x)，∴f′(x)的值域为[－2,2]，则[－1,1]⊆[－2,2]，D满足性质Ω.
三、填空题9.(2023·海南统考)已知函数f(x)＝2f′(3)x－ x2＋ln x，则f(1)＝______.
10.(2023·江苏省八市模拟)过点(－1,0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程_________________________.
2x－y＋2＝0(答案不唯一)
y＝x3－x，y′＝3x2－1，
即(x0＋1)2(2x0－1)＝0，
当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；
∴函数f(x)为偶函数，又f′(x)＝sin x＋xcs x－sin x＋x＝x(cs x＋1)，当x>0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，又函数f(x)为偶函数，
12.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是____________.
由函数的解析式可得f′(x)＝axln a＋(1＋a)xln(1＋a)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，则(1＋a)xln(1＋a)≥－axln a，
而1＋a∈(1,2)，故ln(1＋a)>0，
四、解答题13.(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋aln x(a∈R).(1)若函数在x＝1处的切线与直线x－y－2＝0垂直，求实数a的值；
因为函数在x＝1处的切线与直线x－y－2＝0垂直，则f′(1)＝－1＝2－2＋a，即a＝－1.
(2)当a>0时，讨论函数的单调性.
对于方程2x2－2x＋a＝0，记Δ＝4－8a，
f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
14.(2023·湖北八市联考)设函数f(x)＝ex－(ax－1)ln(ax－1)＋(a＋1)x.(e为自然常数)(1)当a＝1时，求F(x)＝ex－f(x)的单调区间；
当a＝1时，F(x)＝ex－f(x)＝(x－1)ln(x－1)－2x，定义域为(1，＋∞)，F′(x)＝ln(x－1)－1，令F′(x)>0，解得x>e＋1，令F′(x)<0，解得1
故只需g(1)＝e－aln(a－1)＋1≥0，设h(a)＝e－aln(a－1)＋1，其中a>e，
又h(e＋1)＝0，故a≤e＋1.综上所述，实数a的取值范围为(e，e＋1].
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