专题三　第2讲　数列求和及其综合应用--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题三　第2讲　数列求和及其综合应用--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，数列求和，数列的综合问题，专题强化练，核心提炼，考向1分组转化法，考向2裂项相消法，考向3错位相减法，由ex≥x＋1知等内容，欢迎下载使用。
1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结 合，考查最值、范围以及证明不等式等.3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等.
2.错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列.
　　(2023·枣庄模拟)已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＋2an＝2n＋2.(1)证明：{an－2n}为等比数列；
由an＋1＋2an＝2n＋2可得an＋1－2n＋1＝2n＋1－2an＝－2(an－2n).又a1－21＝1≠0，所以{an－2n}是以1为首项，－2为公比的等比数列.
由(1)可得an－2n＝(－2)n－1，即an＝2n＋(－2)n－1.当n为奇数时，bn＝an＝2n＋(－2)n－1＝3×2n－1；当n为偶数时，bn＝lg2an＝lg2[2n＋(－2)n－1]＝lg22n－1＝n－1.所以T10＝(b1＋b3＋b5＋b7＋b9)＋(b2＋b4＋b6＋b8＋b10)＝(3＋3×22＋3×24＋3×26＋3×28)＋(1＋3＋5＋7＋9)
则bn＝an＋1－an＝[(n＋1)2＋2(n＋1)]－(n2＋2n)＝2n＋3，可得bn＋1－bn＝(2n＋5)－(2n＋3)＝2，故数列{bn}是首项b1＝5，公差d＝2的等差数列.
　　(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1,2Sn＝nan.(1)求{an}的通项公式；
因为2Sn＝nan，当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0；当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2，当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1，所以2Sn－2Sn－1＝nan－(n－1)an－1＝2an，化简得(n－2)an＝(n－1)an－1，
又因为a2＝1，所以an＝n－1，当n＝1,2时都满足上式，所以an＝n－1，n∈N*.
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差.(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项.(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.
　　　(1)(2023·淮南模拟)已知数列{an}满足an＋1－an＝2n，且a1＝1.①求数列{an}的通项公式；
∵数列{an}满足an＋1－an＝2n，且a1＝1，∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1.当n＝1时也成立，∴an＝2n－1(n∈N*).
∴数列{bn}的前n项和
(2)(2023·浙江省强基联盟模拟)已知a1＝1，{an＋1}是公比为2的等比数列，{bn}为正项数列，b1＝1，当n≥2时，(2n－3)bn＝(2n－1)bn－1.①求数列{an}，{bn}的通项公式；
因为数列{an＋1}为等比数列，公比为2，首项为a1＋1＝2，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1(n∈N*)，由(2n－3)bn＝(2n－1)bn－1，
所以bn＝2n－1(n∈N*).
②记cn＝an·bn.求数列{cn}的前n项和Tn.
由题可得cn＝2n(2n－1)－(2n－1)，令dn＝2n(2n－1)，{dn}的前n项和为Pn.所以Pn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n，2Pn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1，两式相减得－Pn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)2n＋1，所以Pn＝(2n－1)2n＋1－2－2(2n＋1－4)，所以Pn＝6＋(2n－3)2n＋1.令en＝2n－1，{en}的前n项和为En，
综上，Tn＝Pn－En＝(2n－3)2n＋1＋6－n2.
数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解.
　　(1)分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为
设第n个正方形的边长为an，则由已知可得an＝an＋1sin 15°＋an＋1cs 15°，
(2)(2023·武汉模拟)将1,2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤iaj，那么称数对(ai，aj)构成数列{an}的一个逆序对.若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为A.4 B.5C.6 D.7
若n＝4，则1≤i－3 D.k>－2
因为数列{an}为递增数列，所以an＋1>an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2>n2＋kn＋2，整理得k>－(2n＋1)，因为当n∈N*时，f(n)＝－(2n＋1)单调递减，f(n)max＝f(1)＝－(2×1＋1)＝－3，所以k>－3.
5.(2023·盐城模拟)将正整数n分解为两个正整数k1，k2的积，即n＝k1·k2，当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即为20的最优分解，当k1，k2是n的最优分解时，定义f(n)＝|k1－k2|，则数列{f(5n)}的前2 023项的和为A.51 012 B.51 012－1C.52 023 D.52 023－1
当n＝2k(k∈N*)时，由于52k＝5k×5k，此时f(52k)＝|5k－5k|＝0，当n＝2k－1(k∈N*)时，由于52k－1＝5k－1×5k，此时f(52k－1)＝|5k－5k－1|＝5k－5k－1，所以数列{f(5n)}的前2 023项的和为(5－1)＋0＋(52－5)＋0＋(53－52)＋0＋…＋(51 011－51 010)＋0＋(51 012－51 011)＝51 012－1.
即A*＝{b1，b2，b3，…}，
所以数列{bn}为公比为3的等比数列，
二、多项选择题7.(2023·唐山模拟)如图，△ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到△A1B1C1，再连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，…，如此继续下去，设△AnBnCn的边长为an，△AnBnCn的面积为Mn，则
显然△AnBnCn是正三角形，
8.已知函数f(x)＝ex－x－1，数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝ ，an＋1＝f(an)，则下列有关数列{an}的叙述不正确的是A.a51 D.S100>26
三、填空题9.(2023·铜仁质检)为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路·科普万里行”知识竞赛.统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为_____.
记10个班级的平均成绩构成的等差数列为{an}，则an＝70＋2(n－1)＝2n＋68，又10×40%＝4，
10.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和.已知数列{an}是等和数列，且a1＝－2，a2 024＝8，则这个数列的前2 024项的和为________.
依题意得a1＋a2＝a2＋a3＝a3＋a4＝a4＋a5＝…，故a1＝a3＝a5＝…＝a2 023＝－2，a2＝a4＝a6＝…＝a2 024＝8，则S2 024＝1 012×(－2)＋1 012×8＝6 072.
11.(2023·江苏联考)已知a1，a2，…，an(n∈N*)是一组平面向量，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，若an＝(4－n,1)，则满足an⊥Sn的n的值为_______.
记bn＝4－n的前n项和为Tn，
因为an＝(4－n,1)，
整理得n(n－5)(n－6)＝0，解得n＝0或n＝5或n＝6，因为n∈N*，所以n＝5或n＝6.
由an＝a1＋(n－1)d，得5＝4＋(n－1)d，
∴4≤n