专题三　微重点5　数列的递推关系--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题三　微重点5　数列的递推关系--高三高考数学复习-PPT，共59页。PPT课件主要包含了内容索引，考点一，考点二，构造辅助数列，利用an与Sn的关系，专题强化练，规律方法，由S1＝a1＝3，n＋1·2n－1，故CD正确等内容，欢迎下载使用。

数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用.
A项，an＋1－an＝n＋1，∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1＝20＋19＋18＋…＋2＋2＝211，故A正确；B项，∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，故an＝2n＋1－3，故B错误；
D项，2(n＋1)an－nan＋1＝0，
∴an＝n·2n，故D正确.
(2)(2023·吕梁模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S100等于A.2100－3 B.2100－2C.2101－3 D.2101－2
由an＋1＋an＝3×2n得，an＋1－2n＋1＝－(an－2n).又a1－21＝－1，所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以an－2n＝(－1)n，即an＝2n＋(－1)n，所以S100＝21＋22＋…＋299＋2100＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)99＋(－1)100
(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式.
(4)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ).(5)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)].
(2)(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是
因为an－3an＋1＝2an·an＋1，
　　已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝3，且当n≥2时，Sn，　，Sn－1成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；
方法一　由题意知当n≥2时，Sn＋Sn－1＝nan，∴Sn＋Sn－1＝n(Sn－Sn－1)，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
a1＝3也满足an＝3n，∴数列{an}的通项公式为an＝3n.方法二　由题意知当n≥2时，Sn＋Sn－1＝nan，∴当n≥3时，Sn－1＋Sn－2＝(n－1)an－1，两式相减得an＋an－1＝nan－(n－1)an－1(n≥3)，即(n－1)an＝nan－1，
又由S2＋S1＝2a2得a2＝6，同理可得a3＝9，
∴数列{an}的通项公式为an＝3n.
在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an；但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2).
而a1＝2，a2＝3S1＝3a1＝6，
(2)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝2n＋3(n∈N*)，数列{2anan＋1}的前n项和为Sn，则Sn＝______________.
因为a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝2n＋3(n∈N*)，所以a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝2n＋1(n≥2)，两式相减，可得(2n－1)an＝2，
所以数列{an}是以3为周期的周期数列，所以a100＝a3×33＋1＝a1＝－1.
2.(2023·洛阳模拟)若数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝0,2an＋1＝3an＋bn＋2,2bn＋1＝an＋3bn－2，则a2 023＋b2 023等于A.1 B.3C. D.22 023
因为2an＋1＝3an＋bn＋2,2bn＋1＝an＋3bn－2，所以2an＋1＋2bn＋1＝3an＋bn＋2＋an＋3bn－2＝4(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，又a1＋b1＝2，所以{an＋bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋bn＝2n，所以a2 023＋b2 023＝22 023.
∴an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴3a2＝2a1(a1＋a2)，
又3an＋1＝2SnSn＋1，∴3(Sn＋1－Sn)＝2SnSn＋1，
由题意得3Sn＋n2＝3nan＋n，①当n≥2时，3Sn－1＋(n－1)2＝3(n－1)an－1＋(n－1)，②①－②化简得3(an－an－1)－3n(an－an－1)＝－2n＋2，即(3－3n)(an－an－1)＝－2n＋2，
8.(2023·商洛模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝a2＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，则　　 ＝________.
因为an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，所以an＋1－(n＋1)＝－(an－n)(n≥2).因为a2－2＝－1，所以{an－n}从第二项起是公比为－1的等比数列，所以an＝n＋(－1)n－1(n≥2)，
所以S2 023＝1＋2＋3＋…＋2 023＝2 023×1 012，S2 024＝1＋2＋3＋…＋2 024－1＝2 023×1 013，
化简可得2an－an＋1＝anan＋1，
(2)已知bn＝an(an＋1－1)，求数列{bn}的前n项和Sn.