专题四　第4讲　空间向量与距离、探究性问题--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题四　第4讲　空间向量与距离、探究性问题--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，空间距离，空间中的探究性问题，专题强化练，核心提炼，解得h＝2，若AN∥平面BDM等内容，欢迎下载使用。

1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的 距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条 件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上.
　(1)(2023·温州模拟)四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为
考向1　点到直线的距离
四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，即OA，OB，OC两两垂直，
因为OA＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，
所以点G到直线AD的距离
(2)(2023·北京模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1距离的最小值为
如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，设P(x，0,1－x)，0≤x≤1，
∴动点P到直线A1C1的距离
　(1)(2023·武汉模拟)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则点C到平面AEC1F的距离为
考向2　点到平面的距离
以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，
设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，
(2)已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点，则直线AC到平面PEF的距离为
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3).
因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF，所以AC∥平面PEF，
(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法.(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离.
　　　(2023·大连模拟)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点.(1)若点C到平面AB1D1的距离为 ，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高；
设正四棱柱的高为h，以A1为坐标原点，A1B1，A1D1，A1A所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(u，v，w).
得u＝hw，v＝hw，所以n＝(hw，hw，w).取w＝1，得n＝(h，h，1).由点C 到平面AB1D1的距离为
(2)在(1)的条件下，若E是AB1的中点，求点E到直线A1C1的距离.
所以点E到直线A1C1的距离
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.
　(2023·许昌模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，
(1)求异面直线AP与DM所成角的余弦值；
设O是AD的中点，连接OP，OB，
由于平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD，由于OB⊂平面ABCD，所以OP⊥OB，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以OB⊥AD，故OA，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设异面直线AP与DM所成的角为θ，
设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，
解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.
　(2023·咸阳模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为1的正方形，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中点.(1)求证：平面GBC⊥平面BB1C1C；
又平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，且平面BB1C1C∩平面AA1B1B＝BB1，GB⊂平面AA1B1B，故GB⊥平面BB1C1C.又GB⊂平面GBC，则平面GBC⊥平面BB1C1C.
(2)在线段BC上是否存在一点P，使得二面角P－GB1－B的平面角为30°？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由.
存在.由(1)知，BG，BB1，BC两两垂直，如图，以B为坐标原点，以BG，BB1，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设平面PGB1的法向量为n＝(x，y，z)，
又平面BB1G的一个法向量为m＝(0,0,1)，
1.已知三棱柱ABC－A1B1C1，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AA1＝AB＝AC＝1.(1)求异面直线AC1与A1B所成的角；
因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥平面A1B1C1，即AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，又∠BAC＝90°，所以∠B1A1C1＝90°，即A1B1⊥A1C1，所以AA1，A1B1，A1C1两两垂直，如图，以A1为原点，以A1B1为x轴，A1C1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，因为AA1＝AB＝AC＝1，所以A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，A(0,0,1)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，
所以异面直线AC1与A1B所成的角为60°.
(2)设M为A1B的中点，在△ABC的内部或边上是否存在一点N，使得MN⊥平面ABC1？若存在，确定点N的位置，若不存在，请说明理由.
存在.假设在平面ABC的边上或内部存在一点N(x，y，1)，
故存在点N，N为BC的中点，满足条件.
2.(2023·湖北省襄阳市第四中学模拟)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为4，∠A1AB＝60°，点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O.(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
存在.∵点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O，故A1O⊥平面ABC，连接OC，由题意知△ABC为正三角形，故OC⊥AB，以O为坐标原点，OA，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
(2)求点A1到平面BCC1B1的距离.
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
3.(2023·齐齐哈尔模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，DC＝AD＝PD＝1，AB＝2，E为线段PA上一点，点F在边AB上，且CF⊥BD.(1)若E为PA的中点，求四面体BCEP的体积；
由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，
不妨令y＝1，则x＝－1，z＝1，则m＝(－1,1,1).设点E到平面PBC的距离为d，
存在.设点F的坐标为(1，t，0)，
则1×1＋2×(t－1)＝0，
设平面PFC的法向量为n＝(a，b，c)，
不妨令a＝1，则b＝2，c＝2，则n＝(1,2,2)，
4.(2023·广州模拟)如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(1)证明：l⊥平面PAC；
∵E，F分别是PC，PB的中点，∴BC∥EF，又EF⊂平面AEF，BC⊄平面EFA，∴BC∥平面AEF，又BC⊂平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，∴BC∥l，又AB是圆O的直径，C在圆上即BC⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，平面PAC⊥平面ABC，∴BC⊥平面PAC，即l⊥平面PAC.
(2)直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出AQ的值；若不存在，请说明理由.
以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设Q(2，y，0)，平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，
∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，此时AQ＝1.