2024年中考数学必考考点总结题型专训专题03整式的运算与因式分解篇（原卷版+解析）

这是一份2024年中考数学必考考点总结题型专训专题03整式的运算与因式分解篇（原卷版+解析），共15页。
合并同类型：
法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。
整式的加减的实质：
合并同类项。
整式的乘除运算：
①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。
⑤多项式÷单项式：多项式的每一项除以单项式，变成单项式除以单项式。
乘法公式：
①平方差公式：。
②完全平方公式：。
因式分解的方法：
①提公因式法：；
②公式法：平方差公式：
完全平方公式：。
③十字相乘法：在中，若，则：
。
专题练习
1． (2023•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
2． (2023•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
3． (2023•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
4． (2023•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
5． (2023•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
6． (2023•衡阳）先化简，再求值．
（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．
7． (2023•丽水）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝．
8． (2023•南充）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．
9． (2023•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．
10． (2023•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．
11． (2023•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
12． (2023•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2； （2）x4+．
13． (2023•无锡）计算：
（1）|﹣|×（﹣）2﹣cs60°； （2）a（a+2）﹣（a+b）（a﹣b）﹣b（b﹣3）．
14． (2023•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
15． (2023•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
专题03 整式的运算与因式分解
知识回顾
合并同类型：
法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。
整式的加减的实质：
合并同类项。
整式的乘除运算：
①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。
⑤多项式÷单项式：多项式的每一项除以单项式，变成单项式除以单项式。
乘法公式：
①平方差公式：。
②完全平方公式：。
因式分解的方法：
①提公因式法：；
②公式法：平方差公式：
完全平方公式：。
③十字相乘法：在中，若，则：
。
专题练习
31． (2023•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）
＝4xy﹣2xy+3xy
＝5xy，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．
32． (2023•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
33． (2023•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）
＝4﹣a2+a2+a
＝4+a，
当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4
＝．
34． (2023•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1
＝2×2+1
＝4+1
＝5．
35． (2023•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y，
当x＝1，y＝时，原式＝12﹣2×＝0．
36． (2023•衡阳）先化简，再求值．
（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．
【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a＝1，b＝﹣2代入计算即可．
【解答】解：（a+b）（a﹣b）+b（2a+b）
＝a2﹣b2+2ab+b2
＝a2+2ab，
将a＝1，b＝﹣2代入上式得：
原式＝12+2×1×（﹣2）
＝1﹣4
＝﹣3．
37． (2023•丽水）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝．
【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x＝代入计算即可．
【解答】解：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）
＝1﹣x2+x2+2x
＝1+2x，
当x＝时，原式＝1+＝1+1＝2．
38． (2023•南充）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．
【分析】提取公因式x+2，再利用平方差公式计算，再代入计算．
【解答】解：原式＝（x+2）（3x﹣2﹣2x）
＝（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣4，
当x＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．
39． (2023•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣
＝1+1+2×+﹣1﹣2
＝2++﹣1﹣2
＝1；
（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）
＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
当x＝时，原式＝4×＝2．
40． (2023•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．
【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．
【解答】解：a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1
＝a2﹣4a+a2﹣1+1
＝2a2﹣4a
＝2（a2﹣2a），
∵a2﹣2a+1＝0，
∴a2﹣2a＝﹣1，
∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．
41． (2023•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x
＝2x2﹣x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴原式＝2（x2﹣x）+1
＝2×1+1
＝3．
42． (2023•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2； （2）x4+．
【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，用上述关系式解答即可；
（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝
＝
＝﹣4x•
＝32﹣4
＝5；
（2）∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
43． (2023•无锡）计算：
（1）|﹣|×（﹣）2﹣cs60°；
（2）a（a+2）﹣（a+b）（a﹣b）﹣b（b﹣3）．
【分析】（1）根据绝对值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值计算即可；
（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝×3﹣
＝﹣
＝1；
（2）原式＝a2+2a﹣（a2﹣b2）﹣b2+3b
＝a2+2a﹣a2+b2﹣b2+3b
＝2a+3b．
44． (2023•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，
证明：左边＝4n2+4n+1，
右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2
＝4n2+4n+1，
∴左边＝右边．
∴等式成立．
45． (2023•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；
（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；
（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a+1）；
（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）
＝x（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）
＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）
＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）
＝（a2+b2）（a﹣b）2，
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，
∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，
∴原式＝9．