专题二　规范答题2　三角函数与解三角形--2024年高考数学复习二轮讲义

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(1)求sin A；[切入点：由A，B，C关系求角C及代换sin B]
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
[关键点：由A，B，C关系求sin B]
解 (1) eq \x(∵A＋B＝3C，∴π－C＝3C，即C＝\f(π,4)，)❶(1分)
又2sin(A－C)＝eq \x(sin B＝sinA＋C，)❷(2分)
eq \x(\a\vs4\al\c1(∴2sin Acs C－2cs Asin C＝sin Acs C＋cs Asin C，,∴sin Acs C＝3cs Asin C，∴sin A＝3cs A，))❸
即tan A＝3，(4分)
∴0 ∴sin A＝eq \f(3,\r(10))＝eq \f(3\r(10),10).
(2)由(1)知，cs A＝eq \f(1,\r(10))＝eq \f(\r(10),10)，
由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(10),10)＋\f(\r(10),10)))＝eq \f(2\r(5),5)，❺(7分)
由正弦定理eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)，可得AC＝eq \f(5×\f(2\r(5),5),\f(\r(2),2))＝2eq \r(10)，❻(8分)
∴eq \f(1,2)AB·h＝eq \f(1,2)AB·AC·sin A，❼
∴h＝AC·sin A＝2eq \r(10)×eq \f(3\r(10),10)＝6.(10分)
①处由A，B，C关系求角C
②处由B与A，C关系代换sin B
③处两角和差公式化简
④处由正切求正弦
⑤处由B与A，C关系求sin B
⑥处正弦定理求AC
⑦处等面积法求高