微专题43　随机变量及其分布-2024高考数学二轮复习微专题

这是一份微专题43　随机变量及其分布-2024高考数学二轮复习微专题，共25页。试卷主要包含了80，9，4，P＝0，4，故D选项错误，故选A等内容，欢迎下载使用。
高考定位 离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.
1.(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.
答案 eq \f(16,35) eq \f(12,7)
解析 由题意知P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(16,35).
ξ的可能取值为1，2，3，4，
P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(15,35)＝eq \f(3,7)，
P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(3,35)，P(ξ＝4)＝eq \f(1,Ceq \\al(3,7))＝eq \f(1,35)，
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝1×eq \f(3,7)＋2×eq \f(16,35)＋3×eq \f(3,35)＋4×eq \f(1,35)＝eq \f(12,7).
2.(2022·北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)
解 (1)甲在以往的10次比赛成绩中，有4次比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)，故由频率估计概率可得，甲获得优秀奖的概率为0.4.
(2)设甲获得优秀奖为事件A1，乙获得优秀奖为事件A2，丙获得优秀奖为事件A3，则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.5.
X的可能取值为0，1，2，3，
故P(X＝0)＝P(eq \a\vs4\al(\(A,\s\up6(－))1)eq \a\vs4\al(\(A,\s\up6(－))2)eq \a\vs4\al(\(A,\s\up6(－))3))＝0.6×0.5×0.5＝eq \f(3,20)，
P(X＝1)＝P(A1eq \(A,\s\up6(－))2eq \(A,\s\up6(－))3)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1A2eq \(A,\s\up6(－))3)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2A3)
＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)，
P(X＝2)＝P(A1A2eq \(A,\s\up6(－))3)＋P(A1eq \(A,\s\up6(－))2A3)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1A2A3)
＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝eq \f(7,20)，
P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＝eq \f(2,20)＝eq \f(1,10).
∴X的分布列为
∴E(X)＝0×eq \f(3,20)＋1×eq \f(2,5)＋2×eq \f(7,20)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(7,5).
(3)丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.
比赛一次，丙获得9.85的概率为eq \f(1,4)，
甲获得9.80的概率为eq \f(1,10)，
乙获得9.78的概率为eq \f(1,6).
并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
热点一 分布列的性质及应用
离散型随机变量X的分布列为
则(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(4)D(X)＝eq \(∑,\s\up15(n),\s\d13(i＝1))[xi－E(X)]2pi.
(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).
例1 (1)(多选)设离散型随机变量X的分布列如下表：
若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，则( )
A.m＝0.1 B.n＝0.1
C.E(Y)＝－8 D.D(Y)＝－7.8
(2)已知随机变量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)＝D(ξ)，则下列结论中不可能成立的是( )
A.a＝eq \f(1,3) B.a＝eq \f(2,3)
C.k＝eq \f(1,2) D.k＝eq \f(3,2)
答案 (1)BC (2)D
解析 (1)由E(X)＝1×m＋2×0.1＋3×0.2＋4×n＋5×0.3＝3，
得m＋4n＝0.7，
又由m＋0.1＋0.2＋n＋0.3＝1，得m＋n＝0.4，
从而得m＝0.3，n＝0.1，故A选项错误，B选项正确；
E(Y)＝－3E(X)＋1＝－8，故C选项正确；
因为D(X)＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6，
所以D(Y)＝(－3)2D(X)＝23.4，故D选项错误.
(2)由题意得E(ξ)＝ka＋(k－1)(1－a)＝k－1＋a，
D(ξ)＝[k－(k－1＋a)]2·a＋[k－1－(k－1＋a)]2·(1－a)＝a(1－a).
因为E(ξ)＝D(ξ)，
所以k－1＋a＝a(1－a)，
所以k＝1－a2，
又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥0，,1－a≥0，))所以0≤a≤1，
所以k＝1－a2∈[0，1]，故k＝eq \f(3,2)不成立.
规律方法 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
训练1 (1)(2022·温州模拟)已知随机变量X，Y的分布列如下：

则( )
A.D(X)＝3D(Y) B.D(Y)＝3D(X)
C.D(X)＝9D(Y) D.D(Y)＝9D(X)
(2)(2022·长沙模拟)设a>0，若随机变量ξ的分布列如下：
则下列方差值中最大的是( )
A.D(ξ) B.D(|ξ|)
C.D(2ξ－1) D.D(2|ξ|＋1)
答案 (1)D (2)C
解析 (1)从表中可知Y＝3X－1，
∴D(Y)＝D(3X－1)，
∴D(Y)＝9D(X)，故选D.
(2)由题意知a＋2a＋3a＝1，a＝eq \f(1,6)，
E(ξ)＝－1×eq \f(1,6)＋0×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,6)，
E(|ξ|)＝1×eq \f(1,6)＋0×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(7,6)，
D(ξ)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(5,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(5,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(5,6)))eq \s\up12(2)＝eq \f(53,36)，
D(|ξ|)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(7,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(7,6)))eq \s\up12(2)＝eq \f(29,36).
D(ξ)>1>D(|ξ|)，
D(2ξ－1)＝4×eq \f(53,36)＝eq \f(53,9)，
D(2|ξ|＋1)＝4×eq \f(29,36)＝eq \f(29,9).
所以D(2ξ－1)最大.
热点二 随机变量的分布列
1.二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(02.5)＝P(X>2)－P(2