广东省深圳市福田区石厦学校2023--2024学年九年级下学期开学考数学试题

这是一份广东省深圳市福田区石厦学校2023--2024学年九年级下学期开学考数学试题，共21页。试卷主要包含了考生必须在答题卷上按规定作答，请问这组评分的众数和中位数是等内容，欢迎下载使用。

说明：
1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．
2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．
3．全卷三大题，共4页，考试时间90分钟，满分100分．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查相反数的概念，理解并掌握相反数的概念是解题的关键．
根据“只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意．
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高故选：C．
3. 5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．本题确定，即可．
详解】解：．
故选：C．
4. 某学校组织演讲比赛，最终有7位同学进入决赛，这7位同学的评分分别是：9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．请问这组评分的众数和中位数是（ ）
A. 9.3，9.4B. 9.7，9.4C. 9.4，9.3D. 9.3，9.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查众数和中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．直接根据众数和中位数的概念求解即可．
【详解】解：∵这七位同学的评分分别是9.1，9.3，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7，
∴这组评分的众数为9.3，中位数为9.4．
故选：A．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是矩形D. 四个角都是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，牢记有关矩形的判定定理及定义是解答本题的关键，属于基础概念题，难度不大．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
C、两条对角线互相垂直的四边形可能是菱形，故错误；
D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确，
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加法，同底数幂的除法，算术平方根，化简绝对值，理解相关知识是解答关键．
【详解】解：A．与不能合并，原选项计算错误，此项不符合题意；
B．，原选项计算正确，此项符合题意；
C．，原选项计算错误，此项不符合题意；
D．，原选项计算错误，此项不符合题意．
故选：B．
7. 八年级学生去距学校10千米的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据“时间等于路程除以速度”结合题意，即可列出方程．
【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，
20分钟，
由题意得：，
故选：C．
8. 如图，直线被所截，若，，则∠1的大小是（ ）
A. 35°B. 40°C. 50°D. 55°
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形外角的性质求出，由平行线的性质得到最终结果；
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出的度数，由平行线的性质得到．
【详解】解：∵
，
∵，
．
故选：C．
9. 如图，在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是（ ）
A. B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是含直角三角形的性质和勾股定理，掌握含直角三角形的性质是解题的关键．
根据题意画出直角三角形，再利用含30°直角三角形的性质和勾股定理求解即可
【详解】解：如图，过点作于，
∴,，
∵，
∴，则；
故选：B．
10. 如图，中，，，点P是内一点，，若，则的值为（ ）
A. 5B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，过点作，交延长线于，连接，由题意可知，证明，可知为等腰直角三角形，易得，再证，则，，可证，易知为等腰直角三角形，得，，即可求解．添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，交延长线于，连接，
∵，，
∴，
设，
则，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
则，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 小明观察某个红绿灯口，发现红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，当他下次到达该路口时，遇到红灯的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．
【详解】解：∵红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，
∴遇到红灯的概率是，
故答案为：．
12. 若，，则代数式的值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查因式分解，掌握平方差公式，利用整体思想求解是关键．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
故答案为：4．
13. 如图．是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点P．若，则的度数等于______．

【答案】##20度
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，切点的定义，直角三角形两锐角互余，根据，得到，，可得，结合进而得出最后的结论．正确理解题意是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据折叠和平行线的性质说明，设，则，证明，得到，代入解方程可得答案．
【详解】解：∵把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【点睛】此题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，说明是解题的关键．
15. 如图，□OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（4，3）在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图像经过C、D两点．已知□OABC的面积是，则点B的坐标为_____________．
【答案】（，4）
【解析】
【分析】由点D坐标求出k=12，直线OB的表达式为y=x，设B（x，x），则C（，x），BC=x﹣，由平行四边形的面积公式列方程求出x值即可解答．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点D（4，3），
∴k=4×3=12，
∴反比例函数的表达式为，
∵点D在对角线OB上，
∴设直线OB的表达式为y=mx，
∴3=4m，则m=，
∴直线OB的表达式为y=x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥OA，
设B（x，x），则C（，x），BC=x﹣，
∵OABC的面积是，
∴（x﹣）·x=，
解得：x=，
∵x＞0，
∴x=，
∴点B坐标为（，4），
故答案为：（，4）．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、图形与坐标，一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质是解答的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中16题5分，17题7分，18、19、20题各8分，21题9分，22题10分，共55分〕
16. 计算
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式、绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数．熟练掌握二次根式化简，绝对值化简，负整数指数幂化简，特殊角的三角函数值，实数混合运算顺序和运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式
.
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
当时，原式．
18. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）成绩为“B等级”的学生人数有 名；
（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ；
（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
【答案】（1）5（2）72°；40（3）
【解析】
【分析】（1）先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数；
（2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值；
（3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解．
【详解】（1）学生总人数为3÷15%=20（人）
∴成绩为“B等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人）
故答案为：5；
（2）“D等级”的扇形的圆心角度数为
m=，
故答案为：72°；40；
（3）根据题意画树状图如下：
∴P（女生被选中）=．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法．
19. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元
（2）学校一共有四种购买方案：方案一：篮球30个，足球20个；方案二：篮球31个，足球19个；方案三：篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个
【解析】
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【小问1详解】
解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
由题意可得：，解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
【小问2详解】
解：设采购篮球m个，则采购足球为（50-m）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，
解得30≤x≤33，
∵x整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
20. 如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若且，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为3
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟记切线的判定定理是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：设的半径，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
解得，或（舍去），
∴的半径为3．
21. [问题背景]为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度可以自动打开窗子上的通风口换气通风口为（其余部分均不通风），为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．已知边框，设为，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为．
[初步探究]
（1）若，，与之间的距离为，通风口的面积为
①当时，直接写出y与x的函数关系是______；
②当时，求y与x的函数关系；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少?
[拓展提升]
（2）若伸缩杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．h需要满足的条件是______．通风口的最大面积是______（用含a，h的代数式表示）．
【答案】（1）①；②；③金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是；（2）；
【解析】
【分析】（1）①利用三角形的面积公式解答即可；
②过作，垂足为，分别与、相交于点、，当时，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，再证明，，运用相似三角形性质即可得出结论；
③根据②的结论进行分析计算即可；
（2）在中有内接矩形，易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半；延长、交直线于、，则为的中位线时，矩形的面积最大；要想金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需与边平行的中位线在上方即可，作于交于，证明，，利用相似三角形性质即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵，
∴当时，在下方，
此时，由题意：，
∴，
故答案为：；
②如图，过作，垂足为，分别与、相交于点、，
当时，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可知，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，即，
化简，得：，
∴；
③当时，，
因此，当时，最大，最大值是3．
当时，，
因此，当时，最大，最大值是3．
综上所述，当时，最大，最大值是3．
因此，金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是．
（2）如图，已知中有内接矩形，其中，在，边上，，在边上，过点A作于点E，交于点D，则，，

设，，，
，
，，
∴，，
，即，
，
，
当时，矩形的面积最大，
此时，，即，
当为三角形中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半，即底高，
如下图，延长，交直线于，，
则为的中位线时，矩形的面积最大，则通风口的面积最大，
当在上方时，即，此时通风口面积最大，面积为面积的一半，
作于点S交于点J，
，
，，
∴，，
，即，
，
通风口面积矩形面积的最大值面积的一半，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质，二次函数最值问题等知识，综合性强，难度较大，读懂题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
22. 基础巩固】

（1）如图1，在中，为上一点，连接，为上一点，连接，若，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形中，对角线、交于点，为上一点，连接，，，若，，求的长．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，对角线、交于点为中点，为上一点，连接、，，若，，求______．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 证明，进一步得出结论；
（2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果；
（3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，由勾股定理求得的长，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，
，
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
（舍）
；
（3）解：如图，

延长 ，交于点 ，
，
设，，
则，
∵四边形菱形，
，
，，
，
，
即，
，
在中，
∵ 为 的中点，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即 ，
∴ (舍去)，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形