2023-2024学年河南省信阳市光山县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省信阳市光山县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列艺术字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点P与点Q关于x轴对称，点P的坐标是(−5,−6)，则点Q的坐标为( )
A. (5,6)B. (−5,−6)C. (5,−6)D. (−5,6)
3.2023年8月份，光山县举行首届乡村儿童艺术嘉年华活动，在这期间，光山先后接待游客达到21.63万人次…，将数据21.63万用科学记数法可以表示为( )
A. 2163×102B. 216.3×103C. 21.63×104D. 2.163×105
4.下列运算正确的是( )
A. a2+a4=a6B. (−a3)3=−a6C. a2÷a=a2D. (2a)3=8a3
5.下列因式分解正确的是( )
A. 2m2−4m=2(m2−2m)B. m3−m2=m3(1−1m)
C. m2−2m+1=(m−1)2D. −m2+4=(m+2)(m−2)
6.下列选项中的命题属于真命题的是( )
A. 锐角三角形的三个内角都是锐角B. 直角三角形的三个内角都是直角
C. 钝角三角形的三个内角都是钝角D. 钝角三角形的两个内角都是钝角
7.如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
8.如果分式|x|−1x−1的值为零，那么x等于( )
A. 1B. −1C. 0D. ±1
9.如图，AB=AC，BD=CD，∠BAD=35°，∠ADB=120°，则∠C的度数为( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 55°
10.如图，等腰△ABC的底边BC长为4，腰长为6，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP+CP的最小值( )
A. 10B. 6C. 4D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若(x−1)0=1，则x的取值范围是______．
12.若x2−10x+m是完全平方式，则m的值是______．
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q；②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BE=5，则AE= ______．
14.如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b=10，ab=20，则四边形ABCD的面积为______．
15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若△BPD是直角三角形，则PA=______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)5x+3yx2−y2−2xx2−y2；
(2)(m+2+52−m)⋅2m−43−m．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(1x+1−1)÷xx2−1，其中x=2
18.(本小题9分)
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(2,4)．
(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)△A1B1C1的面积为______；
(3)在y轴上确定一点P，使△APB的周长最小.(不写作法，只保留作图痕迹)
19.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE/​/DF．
20.(本小题9分)
如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC/​/AB，AE与CE有什么关系？证明你的结论．
21.(本小题10分)
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？
22.(本小题10分)
先阅读，再解答
例：x2+y2−2x+4y+5=0，求x+y的值．
解：∵x2+y2−2x+4y+5=0，
∴(x2−2x+1)+(y2+4y+4)=0，
即：(x−1)2+(y+2)2=0，
∵(x−1)2≥0，(y+2)2≥0，
∴(x−1)2=0，(y+2)2=0，
∴x=1，y=−2，
∴x+y=−1．
(1)已知x2+y2−6x+4y+13=0，求xy的值；
(2)已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2−2b(a+c)=0，判断△ABC的形状，并说明理由．
23.(本小题12分)
如图，点O是等边△ABC内的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，以OC为一边作等边△OCD，使△OCD和△ABC在直线BC的同侧，连接AD．
(1)△ADC与△BOC全等吗？说明你的理由；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？请直接写出答案．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A，B，C中的图形中，找不到这样一条直线，使图形沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以这三个图形都不是轴对称图形，不符合题意；
选项D中的图形，能找到这样一条直线，使图形沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以这个图形是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形的定义即可得到结果．
本题考查了轴对称图形的定义，找出对称轴、图形两部分折叠后互相重合是解答本题的关键，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”．
2.【答案】D
【解析】解：点p与点Q关于x轴对称，点P的坐标是(−5,−6)，
∴点Q的坐标为(−5,6)；
故选：D．
本题考查坐标与轴对称．根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果．
本题考查坐标与轴对称，较为简单．
3.【答案】D
【解析】解：∵21.63万=216300，
∴21.63万用科学记数法表示为2.163×105．
故选：D．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】A.a2、a4不是同类项，不能合并，运算错误；
B. (−a3)3=−a9，运算错误；
C.a2÷a=a，运算错误；
D. (2a)3=8a3，运算正确．
故选：D．
根据合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂除法运算和幂的乘方逐项判断即可．
本题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂除法运算和幂的乘方，熟练掌握相关运算法则及公式是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A.2m2−4m=2m(m−2)，原式分解不完全，故不正确；
B.m3−m2=m2(m−1)，原式分解有分式，故不正确；
C.m2−2m+1=(m−1)2，分解正确；
D.−m2+4=−(m+2)(m−2)，原式分解左右不相等，故不正确；
故选：C．
根据因式分解的定义解答即可．
本题考查的是多项式的因式分解，掌握因式分解的定义“把一个整式化为几个因式的积的形式”是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：锐角三角形的三个内角都是锐角，故A是真命题；
直角三角形的一个内角都是直角，故B是假命题；
钝角三角形的一个内角都是钝角，故C、D是假命题．
故选：A．
锐角三角形的三个内角都小于90°，据此判断A；接下来，根据直角三角形、钝角三角形的认识对B、C、D进行分析．
本题主要考查命题的真假判断，需明确正确的命题才是真命题．
7.【答案】D
【解析】解：设正多边形的边数为n，由题意得：
(n−2)⋅180°=4×360°，
解得：n=10，
故选：D．
设正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．
本题考查多边形的内角(和)与外角(和)，熟记多边形的内角和公式及外角和为360°是解答的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵分式|x|−1x−1的值为零，
∴|x|−1=0x−1≠0，
解得x=−1．
故选：B．
根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
在△ABD中，根据三角形内角和定理求得∠B，根据全等三角形的对应角相等即可解决．
本题主要考查了全等三角形的性质，正确判断对应角，对应边是解决本题的关键．
【解答】
解：在△ABD中，∠B=180°−∠BAD−∠ADB=25°
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠C=∠B=25°．
故选A．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，正确把握垂直平分线的性质及轴对称−最短路线问题是解题的关键．
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点A，故当点P与点D重合时，BP+CP的值最小，即可得到结论．
【解答】
解：∵EF垂直平分AB，
∴A、B关于EF对称，
如图，设AC交EF于点D，连接AP，
∴AP=BP，即BP+CP=AP+PC，
∴当P和D重合时，BP+CP的值最小，最小值等于AC的长，
∴BP+CP的最小值=6．
故选B．
11.【答案】x≠1
【解析】解：∵要使(x−1)0有意义，
∴x−1≠0，
∴x≠1．
故答案为：x≠1．
根据零指数幂的意义直接解答即可．
本题主要考查零指数幂的意义：零指数幂：a0=1(a≠0)．
12.【答案】25
【解析】解：∵x2−10x+25=(x−5)2，
∴m=25，
故答案为：25．
根据完全平方公式的结构特征进行计算即可．
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
13.【答案】5
【解析】解：由题可知，直线PQ是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵BE=5，
∴AE=5，
故答案为：5．
由题意可知，直线PQ是线段AB的垂直平分线，可得AE=BE，即可得到AE的长．
本题考查线垂直平分线定理，熟练掌握线段的垂直平分线到两端点的距离相等是解题的关键．
14.【答案】20
【解析】解：根据题意可得，四边形ABCD的面积
=(a2+b2)−12a2−12b(a+b)
=12(a2+b2−ab)
=12(a2+b2+2ab−3ab)
=12[(a+b)2−3ab]；
代入a+b=10，ab=20，可得：
四边形ABCD的面积=(10×10−20×3)÷2=20．
故答案为：20．
分析图形可得，四边形ABCD的面积为两个正方形面积和减去两个三角形的面积，据此计算可得关系式；代入a+b=10，ab=20，计算可得答案．
此题考查整式的混合运算，关键是利用面积的和差关系求出四边形的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值．
15.【答案】2或4
【解析】解：∵∠A=30°，∠C=90°，BC=3，
∴AB=6．
如图1所示：
由翻折的性质可知：AP=PD，
∴∠A=∠PDA=30°．
∴∠BPD=60°．
∵∠PDB=90°，
∴PD=12PB，
∴AP+2AP=6，解得AP=2．
如图2所示：
由翻折的性质可知：AP=PD，
∴∠A=∠PDA=30°．
∴∠BPD=60°．
∵∠PBD=90°，
∴PB=12PD，
∴AP+12AP=6，解得AP=4．
综上所述，AP的长为2或4．
故答案为：2或4
分为点D在AC上和点D在AC的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PBD为有一个角为30°的直角三角形，最后依据AP+PB=6列方程求解即可．
本题主要考查的是翻折变换、含30°直角三角形的性质，证得△BPD为一个含30°的直角三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=5x+3y−2xx2−y2，
=3x+3yx2−y2，
=3(x+y)(x+y)(x−y)，
=3x−y；
(2)原式=(m+2)(2−m)+52−m×2m−43−m，
=9−m22−m×2(m−2)3−m，
=−2(m+3)，
=−2m−6．
【解析】(1)先根据同分母分式加减计算，再分子分母分解因式，约分化为最简分式即可；
(2)先计算括号内的加减，再计算乘法即可；
本题考查了分式的混合运算，熟悉通分、约分的法则是解题的关键．
17.【答案】解：原式=−xx+1⋅(x+1)(x−1)x
=−x+1
当x=2时
原式=−2+1=−1．
【解析】先将分式化简，再选择适当的x值代入求值即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18.【答案】4
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；

(2)△A1B1C1的面积=3×3−12×3×1−12×3×1−12×2×2=4．
故答案为：4；
(3)作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点P，如图，点P即为所求．
(1)利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积；
(3)作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点P．
本题考查了最短路径问题以及作图−轴对称变换，解答本题的关键是熟练掌握轴对称变换图形的作法：先确定图形的关键点，再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．
19.【答案】证明：∵在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠B，DF平分∠D，
∴∠EBF+∠FDC=90°，
∵∠C=90°，
∴∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠EBF=∠DFC，
∴BE/​/DF．
【解析】根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可．
此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答．
20.【答案】解：∵FC/​/AB，
∴∠A=∠ECF，
在△ADE和△CFE中，
∠A=∠FCE∠AED∠FECDE=EF，
∴△ADE≌△FCE，
∴AE=EC．
【解析】结论：AE=EC.只要证明△ADE≌△CFE即可；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考基础题．
21.【答案】解：设乙队如果单独施工x个月能完成总工程．
依题意列方程：( 13+1x)×12=1−13．
解方程得：x=1．
经检验：x=1是原分式方程的解．
答：乙队单独施工1个月可以完成总工程，所以乙队的施工进度快．
【解析】由“甲队单独施工1个月完成了总工程的三分之一”知甲的工作效率为 13，设乙的工作效率为1x，根据(甲的工作效率+乙的工作效率)×12=1−13，由此可列方程．
本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系主要用到公式：工作量=工作效率×工作时间．
22.【答案】解：(1)∵x2+y2−6x+4y+13=0，
∴(x2−6x+9)+(y2+4y+4)=0，
即(x−3)2+(y+2)2=0，
∵(x−3)2≥0，(y+2)2≥0，
∴(x−3)2=0，(y+2)2=0，
∴x=3，y=−2，
∴xy=−6；
(2)△ABC是等边三角形，理由如下：
∵a2+2b2+c2−2b(a+c)=0，
∴(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)=0，
∴(a−b)2+(b−c)2=0，
∵(a−b)2≥0，(b−c)2≥0，
∴(a−b)2=0，(b−c)2=0，
∴a=b，b=c，
即：a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】(1)利用完全平方公式把原式变形为(x−3)2+(y+2)2=0，再根据完全平方的非负性求出x和y的值，即可求出xy的值．
(2)利用完全平方公式，把原式变形为(a−b)2+(b−c)2=0，再根据完全平方的非负性．确定a、b及c的关系式，即可作出判断．
本题考查了配方法的应用以及非负数的性质，等边三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)△ADC≌△BOC，
理由如下：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACB−∠ACO=∠DCO−∠ACO，
∴∠ACD=∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
BC=AC∠BCO=∠ACDOC=CD，
∴△BOC≌△ADC(SAS)；
(2)△ADO是直角三角形，
理由如下：∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
∴△BOC≌△ADC(SAS)，
∴∠BOC=∠ADC，
∵∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=150°−60°=90°，
∴△ADO是直角三角形；
(3)∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α，
∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°，
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°−α=α−60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°−α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α−60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【解析】(1)根据等边三角形性质得出∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，求出∠ACD=∠BCO，根据SAS可证△ADC≌△BOC；
(2)首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
(3)分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和全等三角形的性质等知识，根据等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．